必修五不等式知识点总结
不等式总结
一、不等式的主要性质:
(1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0,
bd ac d c b a >?>>>>0,0
(5)倒数法则:b
a a
b b a 110,
>> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法
有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间
三、均值不等式
1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即
2
112a b a b
++(当a = b 时取等)
四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、则不等式:如果,0>a a x a x a
x -<><=>>或|| a x a x a
x -≤≥<=>≥或||
a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤||
3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-,
||ax b c c ax b c +-<+<;
当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法:
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;
②去掉绝对值的主要方法有:
(1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
五、其他常见不等式形式总结:
①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?
②无理不等式:转化为有理不等式求解
()0()0()()f x g x f x g x ?≥?
???>?≥???>?
定义域
???<≥?????>≥≥?>0)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或
???
??<≥≥?<2
)]
([)(0)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f
③指数不等式:转化为代数不等式
()()()()()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a
b a b f x a b
>>?>><<>>>??>
④对数不等式:转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>???
?>>?>><>????>
?
六、三角不等式: |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤
七、不等式证明的几种常用方法
比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿,偶不穿
例题:不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解为( )
A .-1 B .x <-3或1≤x ≤2 C .x =4或-3 D .x =4或x <-3或1≤x ≤2 九、零点分段法 例题:求解不等式:|21||2|4x x ++->. 十、练习试题 1.下列各式中,最小值等于2的是( ) A .x y y x + B .4 522++x x C .1tan tan θθ+ D .22x x -+ 2.若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是( ) A ..1+.6 D .7 3.设0,0,1x y x y A x y +>>= ++, 11x y B x y =+++,则,A B 的大小关系是( ) A .A B = B .A B < C .A B ≤ D .A B > 4.函数46y x x =-+-的最小值为( ) A .2 B .4 D .6 5.不等式3529x ≤-<的解集为( ) A .[2,1)[4,7)- B .(2,1](4,7]- C .(2,1][4,7)-- D .(2,1][4,7)- 8.已知,0x y >,且221x y +=,则x y +的最大值等于_____________。 9.设10101011 111 1 22122 21 A = ++++ ++-,则A 与1的大小关系是_____________。 10.(12年浙江省文数第九题)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是 A. 24 5 B . 285 C .5 D .6 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______ 高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值 不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、, ac b 42-=?, 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现() f x的符号变化规律,写出不等式的解集。()()() 如:x x x +--< 1120 23 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0 ()() 0()()0;0 ()0 ()() f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥ ? >?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,),把它的坐标(y x,)代入 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式: 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号)分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质:8条性质. (2)一元二次不等式: +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 高次不等式: (4)解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x 2 – (a +a 2)x +a 3>0; (3)2x 2 +ax +2 > 0; 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题: ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤(一) 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 2 a b +≤的证明过程; 教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 2a b +≤ ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。(教师提问→学生思考→师生总结) ②思考:证明一般的,如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥, (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ : 用分析法证明:要证 2a b +≥, 只要证 a+b ≥ (2), 要证(2),只要证 a+b- ≥0(3)要证(3), 只要证( - )2(4), 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。 ⑤练习:已知x 、y 都是正数,求证:(1)y x x y +≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8 x 3y 3. 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接: 1、检查学生的作业,及时指点; 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解: 1.如果那么当且仅当时取“=”号). 2.如果那么(当且仅当时取“=”号) 3、在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三相等。 ①一正:函数的解析式中,各项均为正数; ②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 三、课堂总结与反思: 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置: 见讲义 管理人员签字:日期:年月日 作1、学生上次作业评价:○好○较好○一般○差 备注: 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点:基本不等式 1.如果(当且仅当时取“=”号). 2.如果(当且仅当时取“=”号). 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 ①一正:函数的解析式中,各项均为正数; ②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 类型一:利用(配凑法)求最值 1.求下列函数的最大(或最小)值. (1)求的最小值; (2)若 (3)已知,,且. 求的最大值及相应的的值变式1:已知 类型二:含“1”的式子求最值 2.已知且,求的最小值. 变式1:若 变式2: 变式3:求函数 类型三:求分式的最值问题 3. 已知,求的最小值 变式1:求函数 数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结: 1、 比较实数大小的依据:①作差:0a b a b ->?>;0a b a b -=?=;0a b a b -<;变形的方向是 化成几个完全平方的形式或一些容易判断符号的因式积的形式,变形时常用因式分解、配方、通分、分子(或分母)有理化等方法,注意完全平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。②作商: 0,0, 1a a b a b b >>>?>时,1a a b b =?=,1a a b b <;0,01a a b a b b <<>?<时,,1a a b b =?=,1a a b b > 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤:①将不等式变形,使一端为0且二次项的系数大于0;②计算相应的判别式;③当0?≥时,求出相应的一元二次方程的根;④根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集。(大于0取两边,小于0取中间).含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论:①二次项系数的正负;②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系;③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布:一般借助二次函数的图象加以分析,准确找到限制根的分布的等价条件,常常用以下几个关键点去限制:(1)判别式;(2)对称轴;(3)根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根,则12,x x 的分布情况列表如下:(画出函数图象并在理解的基础上记忆) 5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解,其步骤如下:①将()f x 最高次项的系数化为正数;②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积;③将每一个根标在数轴上,从右上方向下依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶重根穿而不过,奇重根既穿 又过);④根据曲线显现出的符号变化规律,写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念:①线性约束条件:由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件;②目标函数:要求最值的关于,x y 的解析式,如:22z x y =+, 不等式知识总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,;bc ac c b a <>0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 1 10, >>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax (0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间 三、均值不等式:若0a >,0b >,则a b +≥,即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式:①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈;②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈; ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???;④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +(当a = b 时取等) 必修五不等式综合 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若 ,a b c d ><,则a c b d ->-) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除, 但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >> 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。如 练习一、: (1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 1 1,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 练习二;(1)设0,10>≠>t a a 且,比较21 log log 21+t t a a 和的大小 (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积 描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 必修五-不等式知识点 汇总 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 《基本不等式》同步测试 一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( ) A .21a a +> B .2111 a <+ C .296a a +> D .2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( ) A.12 B.22a b + C.2ab D.a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 ( ) A.3 B.3- C.3- D.-1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数,且141x y +=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值 116 C.最小值16 D.最大值116 6. 若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( ) A .2222a b c ++≥ B .2 ()3a b c ++≥ C .1 1 1 a b c ++≥ D .a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A .114x y ≤+ B .111x y +≥ C 2≥ D .11xy ≥ 8. a ,b 是正数,则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 ( ) A. 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ C.22ab a b a b ++ D.22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( ) A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2 p q x +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( ) A.4y x x =+ B.4sin sin y x x =+ (0)x π<< 基本不等式的应用 一.基本不等式 1.(1)若R b a,,则ab b a 22 2 (2)若R b a,,则2 2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”)2. (1) 若* ,R b a ,则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ,则a b b a 2(当且仅当 b a 时取“=”) (3)若 * ,R b a ,则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”) 3.若0x ,则12x x (当且仅当1x 时取“=”);若0x ,则12x x (当且仅当1x 时取“=”) 若0x ,则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”) 4.若0ab ,则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”)若0ab ,则 22-2a b a b a b b a b a b a 即 或 (当且仅当b a 时取“=”) 5.若R b a,,则2 ) 2 (2 2 2 b a b a (当且仅当b a 时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +1 2x 2 (2)y =x + 1 x 解:(1)y =3x 2 + 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x · 1x =2; 当x <0时,y =x + 1x = -(-x -1 x )≤-2x · 1x =-2 ∴值域为(-∞,- 2]∪[2,+∞) 解题技巧:技巧一:凑项例1:已知54 x ,求函数142 45 y x x 的最大值。 解:因45 0x ,所以首先要“调整”符号,又1(42) 45 x x 不是常数,所以对42x 要进行拆、凑项, 5,5 404 x x , 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ,即1x 时,上式等号成立,故当1x 时,max 1y 。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。必修五-不等式知识点总结[1]
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