2020届南通中学高三上学期期中数学试题
江苏省南通中学高三数学上学期期中试题
数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ．12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?.(1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ． 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DCB 11第22题23．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围； （3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ． 答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ． 答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）． 答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 . 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________． 答案：3159．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ． 答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ． 答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ． 答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ． 答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?. (1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， 设A ={}()x p x , B={}()x q x , 则A ⊃≠B， ………………………10分 又(2,3]B =，A =(,3)a a ；所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 0x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()123cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分 因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-， 所以当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调递增区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==--．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 22+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=， 所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分 （3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分 （ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+== ， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-， 212(1)k k ka a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==- ，22222111311222()()()(21)31222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----，212(21)(23)k k ka a k k q +==--， 所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0C P a a =≤≤，则CQ =(2,2,0),(22,2,0)P a Q a ∴---1(2,2)B Q=-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥, ∴110BQ D P ⋅=，∴240a -+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分 (2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)P Q P C =-=,又10n PQ n PC ⋅=⋅=， ∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-， 则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角, 故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；DCB 11第22题（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，。
2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)
江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b abcosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥，解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb kx x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v，可得()()222222222222212cos13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略.11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v 分别表示出,BD AG u u u v u u u v ，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．23．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 35．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ） A ．−725B ．−1625C ．725D ．16258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．BM ∥AD 1 B ．AM ⊥BDC ．B 1M ⊥平面ABND ．MN ∥平面A 1BD10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜312．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）；②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长． 19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．21．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnx．x（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ， 因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数， 所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，则f(x)=2x−12x +1，f(−x)=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）是奇函数； 若函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数，可得f(−x)=12x −a 12x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x =−f(x)=−2x −a 2x +a =a−2x2x +a， 解得a ＝±1，∴a ＝1是函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．故选：A ．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x ，2x ， 因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°， 所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x ＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x ＝15，下底面半径为2x ＝10，高为5√3． 由此可得圆台的体积为V =13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm 3）． 故选：A ．5．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解：对于甲，该f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T 2=πω=π2，则f （x ）的周期T ＝π；对于乙，将函数y =cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)的图象向右平移 π4个单位长度，得到y =2cos[2(x −π4)+π3]=2sin(2x +π3) 的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B．7．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A．−725B．−1625C．725D．1625解：∵sin(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin（2α+π3+π2）＝cos（2α+π3）=1−2sin2(α+π6)=1−2×(35)2=725．故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，则函数f（x）的极小值是（）A．−14B．0C．−427D．−49解：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，所以f（m）＝f（m+1）＝0，且x＝m为f（x）＝0的二重根，所以f（x）＝（x﹣m）2[x﹣（m+1）]，则f′（x）＝2（x﹣m）[x﹣（m+1）]+（x﹣m）2＝（x﹣m）（3x﹣3m﹣2），则当x＞3m+23或x＜m时f′（x）＞0，当m＜x＜3m+23时f′（x）＜0，所以f（x）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m）上单调递增，在(m，3m+23)上单调递减，所以f（x）在x=3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m+1)]=−427．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，A1D1的中点，则（）A．BM∥AD1B．AM⊥BDC．B1M⊥平面ABN D．MN∥平面A1BD解：对于选项A：连接BC1，则BC1∥AD1，又BC1∩BM＝B，所以BM∥AD1不正确，故选项A不正确；对于选项B：在正方体中，BD⊥AA1，BD⊥AC且AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又AM⊂平面AA1C1C，所以AM⊥BD，故选项B正确；对于选项C：在正方体中，AB⊥平面B1BCC1，又B1M⊂平面B1BCC1，所以AB⊥B1M，取B1C1的中点Q，连接BQ，在正方形BCC1B1中（如图），△BB1Q≅△B1C1M，∠BQB1＝∠B1MC1，又∠B1MC1+∠MB1C1＝90°，所以∠B1QB+∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BQ，又在正方体中，AN∥BQ，所以B1M⊥AN，又AN∩AB＝A，所以B1M⊥平面ABN，故选项C正确；对于选项D：取A1D的中点E，连接EN，EC，则EN∥AA1，且EN=1AA1，2所以EN∥MC，且EN＝MC，故四边形NECM为平行四边形，则MN∥EC，又EC与平面A1BD相交于点E，所以MN不可能与平面A1BD平行，故选项D不正确．故选：BC ．10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A ．当c ＝0时，a |c |＞b |c |不成立，故选项A 不正确． 选项B ．由b+c 2a+c 2−b a=(b+c 2)a−b(a+c 2)a(a+c 2)=c 2(a−b)a(a+c 2)＞0，所以ba≤b+c 2a+c 2，故选项B 正确．选项C ．由 a 2−b 2−(1a−1b)=(a −b)(a +b)−b−a ab =(a −b)(a +b +1ab)＞0， 所以a 2−b 2＞1a−1b，故选项C 不正确．选项D ．由[√2(a 2+b 2)]2−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2＞0，所以a +b ＜√2(a 2+b 2)，故选项D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3解：依题意，a 4＝4，a n a n+1=2n，a n =2na n+1，a n+1=2na n，所以a 3=23a 4=84=2，a 2=22a 3=42=2，a 1=21a 2=22=1，A 选现正确．所以a 3＝a 2，所以B 选项错误． 由a n a n+1=2n 得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n }的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a 1+a 2+⋯+a 2023＝（a 1+a 3+⋯+a 2023）+（a 2+a 4+⋯+a 2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C 选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列． 当n 为偶数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1a 3+⋯+1a n−1)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n)，=1(1−12n 2)1−12+12(1−12n 2)1−12=3−32n 2＜3；当n 为奇数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n =(1a 1+1a 3+⋯+1a n)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3， 综上所述，1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3，所以D 选项正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 解：f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），f ′（x ）＝2a 2x lna ﹣1，对于A ：因为a 2x ＞0恒成立，所以当a ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减， 所以此时不存在极值点，A 错误；对于B ：当a ＝e 时，f （x ）＝e 2x ﹣x ，令g （x ）＝f （x ）﹣（lnx +2）＝e 2x ﹣x ﹣lnx ﹣2， 下面先证明：e x ≥x +1和lnx ≤x ﹣1，令f 1(x)=e x −x −1，则f 1′(x)=e x −1＞0⇒x ＞0，所以f 1（x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f 1（x ）≥f 1（0）＝0，所以e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，取到等号； 令f 2（x ）＝lnx ﹣x +1，则f 2′(x)=1x −1＞0⇒0＜x ＜1， 所以f 2（x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f 2（x ）≤f 2（1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时，取到等号， 由上结论可得：e 2x ≥2x +1，﹣lnx ≥﹣x +1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e 2x ﹣lnx ＞x +2， 即e 2x ﹣lnx ﹣x ﹣2＞0恒成立，即g （x ）＞0恒成立， 所以y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方，B 正确；对于C ：函数f （x ）有2个零点等价于方程a 2x ﹣x ＝0有两个根， 即a 2x =x ⇒lna 2x =lnx ⇒2xlna =lnx ⇒2lna =lnxx有两个根， 令ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx 2＜0⇒x ＞e ， 所以h （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，当x →0时，h （x ）→﹣∞，当x →+∞时，h （x ）→0， 所以要使得2lna =lnx x 有两个根，则2lna ∈(0，1e)， 所以0＜lna ＜12e⇒1＜a ＜e 12e ，所以C 正确；对于D ：设切点坐标为(x 0，a 2x 0−x 0)，则k =f ′(x 0)=2a 2x 0lna −1，又因为切线经过点P （0，t ），所以k =a 2x 0−x 0−tx 0， 所以2a2x 0lna −1=a 2x 0−x 0−tx 0，解得t =a 2x 0−a 2x 0lna 2x 0，令m =a 2x 0，则m ∈（0，+∞），所以t ＝m ﹣mlnm ， 因为过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切， 所以方程t ＝m ﹣mlnm 有两个不同的解，令φ（m ）＝m ﹣mlnm ，则φ′（m ）＝﹣lnm ＞0⇒0＜m ＜1， 所以φ（m ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m ）max ＝φ（1）＝1，当m →0时，φ（m ）→0，当m →+∞时，φ（m ）→﹣∞， 所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)， 所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ a x （0＜a ＜1）（答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）； ②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由性质②，f（x）是R上的减函数，且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），可以是指数函数，所以函数f（x）＝a x（0＜a＜1）符合题意．故答案为：a x（0＜a＜1）（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.08t．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e−0.08t=2 3，所以−0.08t=ln 23，解得t=−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A ′E =AE =√62，FC =FE +EC =x +√22，A ′C =√3， 在Rt △A ′FE 中，有A ′F 2+FE 2＝A ′E 2，即x 2+(2ℎ)2=32， 在Rt △A ′FC 中，有A ′F 2+FC 2＝A ′C 2，即(x +√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x =√22，ℎ=12， 所以R =√ℎ2+12=√14+12=√32， 从而四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为S =4πR 2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E 用现在的点F 来代替，而现在的点E 为线段BD 的靠近点B 的三等分点， 此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ， 由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．解：（1）f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x =cos2x sin2x +12cos4x=12（sin4x +cos4x ）=√22sin （4x +π4）， 当4x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π16+kπ2，k ∈Z 时，函数取得最大值√22，此时{x |x =π16+kπ2，k ∈Z }； （2）因为g （x ）＝f （ωx ）=√22sin （4ωx +π4），ω＞0，若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，则极值点只能为极大值， 根据五点作图法，令4ωx +π4=π2，则x =π16ω， 令4ωx +π4=3π2，则x =5π16ω，所以{π16ω＜π25π16ω≥π2ω＞0解得18＜ω≤58，故ω的范围为（18，58]．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB ． （1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．解：（1）因为tan A +tan B =−√3cacosB ，所以sinA cosA +sinBcosB =−√3c acosB，由正弦定理得，sinAcosA +sinBcosB =−√3sinCsinAcosB ，因为sinAcosA+sinB cosB=sinAcosB+cosAsinB cosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinC cosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72， 因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，ADsinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD=AD×1272=AD7， 在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b2AD 7=cAD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）23×3=49，解得AD =√212．19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n=1n−1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1． （2）b n =(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1， 当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．解：（1）已知f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x，此时f′（1）＝a﹣1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y﹣a+1＝0；（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0，故f（x）≥0；（3）由（2）知lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，令x=2n−13n+1，此时ln(1+2n−13n)＜2n−13n，可得ln(1+13)+ln(1+232)+ln(1+2233)+⋯+ln(1+2n−13n)＜13+232+⋯+2n−13n=13(1−2n3n)1−23=1−2n3n＜1，即ln[(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)]＜1，所以(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜e，当n≥4时，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)≥(1+13)(1+232)(1+2233)(1+2334)=12139659049＞2，所以对于任意n∈N*，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜m成立时，整数m的最小值为3．21．（12分）如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON＝60°．（1）证明：PB⊥平面P AM；（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面P AB所成角的正弦值．证明：（1）连接OM ，MN ，BM ，因为M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点， 所以有∠MON ＝∠NOB ＝60°，又因为OM ＝ON ＝OB ＝2，所以△MON ，△NOB 都为正三角形，所以MN ＝NB ＝BO ＝OM ，即四边形OMNB 是菱形， 记ON 与BM 的交点为Q ，Q 为ON 和BM 的中点， 因为∠PON ＝60°，OP ＝ON ， 所以三角形OPN 为正三角形， 所以PQ =√3=12BM ，所以PB ⊥PM ，因为P 是半球面上一点，AB 是半球O 的直径，所以PB ⊥P A ， 因为PM ∩P A ＝P ，PM ，P A ⊂平面P AM ， 所以PB ⊥平面P AM ；解：（2）因为点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，由（1）知Q 为ON 的中点，△OPN 为正三角形，所以PQ ⊥ON ， 所以PQ ⊥底面ABM ，因为四边形OMNB 是菱形，所以MB ⊥ON ， 即MB 、ON 、PQ 两两互相垂直，以点Q 为坐标原点，QM ，QN ，QP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0， 令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ， 所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=3+36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2． 解：（1）由f(x)=1+lnx x 得，f ′(x)=−lnxx2， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故f （x ）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）． （2）将ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b 变形为a+1e a=b+1e b ．令e a ＝m ，e b ＝n ，则上式变为1+lnm m=1+lnnn，即有f （m ）＝f （n ），于是命题转换为证明：m +n ＞2．不妨设m ＜n ，由（1）知0＜m ＜1，n ＞1． 要证m +n ＞2，即证n ＞2﹣m ＞1，由于f （x ）在（1，+∞）上单调递减，故即证f （n ）＜f （2﹣m ）， 由于f （m ）＝f （n ），故即证f （m ）＜f （2﹣m ）， 即证f （m ）﹣f （2﹣m ）＜0在0＜m ＜1上恒成立． 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1），则g ′(x)=f ′(x)+f ′(2−x)=−lnx x 2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2， =−(4−4x+x 2)lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x 2ln[(2−x)x]x 2(2−x)2≥0，所以g （x ）在区间（0，1）内单调递增， 所以g （x ）＜g （1）＝0，即m +n ＞2成立． 所以e a +e b ＞2．。
江苏省南通中学2020届高三数学上学期期中试题 理(无答案)苏教版
江苏省南通中学2020学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|22}=-<<A x x ，{|13}=<≤B x x ，则A B =I ▲ ． 2．命题“∀∈x R ，3x a >”的否定是 ▲ ． 3．2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+= ▲ ．4．已知||2=a ，||1=b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角大小为 ▲ ．5．已知曲线cos 1y x x =+在点π(,1)2处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数a = ▲ ．6．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆ 是 ▲ 三角形．7．已知,αβ均为锐角，且π1tan()43α-=，5sin β=，则αβ+= ▲ ．8．若()f x 是偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，且(2)0f -=，则不等式(2)(1)0x f x -->的解集是 ▲ ．9．直角三角形ABC 中，π2C =，2AC =，4BC =．已知()CP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．10．若函数()f x 对于任意的两个不相等的实数12,x x A ∈都有1212()()01f x f x x x -<<-成立，则称()f x 在区间A 上为“0-1函数”． 则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有 ▲ （请填写相应的序号）． （1）ππsin ,[,]22y x x =∈-；（2）ln ,1y x x =>；（3）e ,x y x =∈R ；（4）223,01y x x x =++<<． 11．如图所示的是定义域为R 的函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0ω>，[π,π)ϕ∈-）的部分图象，则不等式()3f x >的解集为 ▲ ．12．若[1,1]x ∃∈-，使不等式212731x x a -⋅+>成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．-2（第11题图）Ox y 37π1213．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．则“对于任意的(0,)x ∈+∞有()1f x ≤恒成立”的充要条件是 ▲ ．14．已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在π[0,]2x ∈时有最大值为72，则实数m 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合2{|320}A x x x =-+<，集合22{|(32)2310}B x x m x m m =--+-+<． （1）若1m =，求A B U ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()2cos sin cos f x a x x x b =-+的定义域为R ，且2b ≤． 又{}π(),[0,]2y y f x x =∈[1,4]=．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的对称轴方程；（3）求函数2log [()3]y f x =-的单调增区间．已知函数222(1)log 2mx f x x -=-，其中1m >．（1）判断并证明()f x 的奇偶性； （2）解关于x 的不等式2()(1)23f x f x≥-+．18．（本小题满分16分）锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ．已知m =(2,)c a b -，n =(cos ,cos )B C ，且||||+=-m n m n ．又b =（1）求三角形ABC 的面积S 的最大值； （2）求三角形ABC 的周长l 的取值范围．已知某工厂生产并销售某种产品，每月生产该产品的成本()C x （单位：万元）与产品数量x （单位：吨）之间的函数关系为21()ln 2a C x x x -=+，每吨该产品的销售价为a 万元．且为保证设备的正常运转，每月至少生产1吨该产品．（1）若2a =，且每月的生产能力不超过5吨，求()C x 的变化范围； （2）若需要保证在该产品的生产销售中不出现亏本，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．高三数学试卷（理科Ⅱ）本卷共4题，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为πsin()4ρθ+=C上任意一点P 到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 的作用下，点(1,3)P 变化为点1(10,6)P ，点(2,1)Q 变化为1(5,2)Q ． 求二阶矩阵M ．23．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ，2PA =，点M ，N 分别为边PA ，BC（1）求异面直线AN 与MD 所成角的余弦值； （2）求点B 到平面MND 的距离．24．（本小题满分10分）已知1221201212(12)x a a x a x a x +=++++L ． （1）求1212a a a +++L 的值；（2）求01231112a a a a a a -+-+-+L 的值； （3）求1212212a a a +++L 的值．（第23题图）。
【20套试卷合集】南通市重点中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则=( )A. B.C. D.2.已知向量，，则向量与的夹角为（ ）A. 135°B. 60°C. 45°D. 30°3.设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23 4.已知是等差数列的前项和，则，则=（ ）A. 66B. 55C. 44D. 33 5. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A.B. (-∞,2］C.D.6.已知函数的图象的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍B. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍C. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍D. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍7.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y)，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．108.某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.9.下列命题错误的是（ ）A ．对于命题＜0，则均有B ．命题“若，则”的逆否命题为“若， 则”C．若为假命题，则均为假命题D．“x＞2”是“＞0”的充分不必要条件.10.已知实数满足条件,,则的最小值为( )A. B. C. D.11.已知函数，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.设为函数的导数且,则________.14.已知，，则________.15.四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为________.16.设数列的前项和为，已知，，则 _______.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知函数（1）求函数的解析式及其最小正周期；（2）当x∈时，求函数的值域和增区间．18. （本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面为直角梯形，，平面平面，，△ADE是边长为2的正三角形．（1）证明：平面；（2）求点B到平面ACF的距离．19. (本小题12分)已知的三个内角所对应的边分别为，若.（1）求的值；（2）若的面积，求.20.已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求三棱锥S-BPD的体积。
江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题及答案解析
江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．若集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∩B 为()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{x |0≤x ≤3}2．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．0D ．i3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝23log (72),0,23(3),,2x x f x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)等于()A ．log 25B ．2log 5-C ．2-D ．04．两正数a ，b 的等差中项为52，等比中项为，且a >b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率e 为()A.13 B.53C.3D.35．设函数11()sin ||222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为()A ．6π- B.6πC ．3π- D.3π6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为()A ．8B ．16C ．32D ．647．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2019的值为()A ．1008B ．1009C ．1010D ．10118．设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为()A.232e 3 B.233e 2 C.322e 3 D.323e 2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中不成立的是()A ．a b <b a B ．c b >c aC ．log a c >log b cD ．b log c a >a log c b10．下列四个命题中正确的是()A ．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域相同B ．函数y y ＝3x 的值域相同C ．函数y ＝|x ＋1|与函数y ＝2x ＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数D ．1lg 1x y x+=-是奇函数11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是()A ．若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥αB ．若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥αC ．若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥nD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m12．把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是()A ．g (x )在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．g (x )的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．g (x )的最小正周期为4πD ．g (x )的图象关于y 轴对称第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．14．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+ 的最小值为________．15．将数列{a n }中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6，a 7a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14，a 15……记数阵中的第1列a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，T n 为数列{b n }的前n 项和，T n ＝5n 2＋3n ，则b n ＝________，a 1025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知函数f (x )＝|ln |,0e,2ln ,e,x x x x <≤⎧⎨->⎩若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A＋3a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝6，求AB的长．19.(12分)如图，四棱锥S－ABCD2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由．20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的概率分布及均值．21.(12分)设椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的离心率e＝12，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－a(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：123ee1 n n nn nn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案精析1．B2.A3.B4.D5.D6.C 7．C [当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，①故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，②由②－①得，a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1010.]8．B [设P (x 0，y 0)，由于点P 为切点，则1022032ln 02x ax a x b +=+，又点P 的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝23a x ，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0，又a >0，x 0>0，∴x 0＝a ，于是，b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0)，所以h (x )在(0，13e )上单调递增，在(13e ，＋∞)上单调递减，b 的最大值为12333e e 2h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9．ABC [由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 错误；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选项D 正确．]10．ACD [A 项，函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ，故A 正确；B 项，函数y值域为[0，＋∞)，函数y ＝3x 的值域为(0，＋∞)，故B 错误；C ，当x ∈[0，＋∞)时，函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数，函数y ＝2x ＋1是增函数，故C 正确；D 项，lg 11x y x+=-的定义域是(－1,1)，令()1lg 1x f x x +=-，1111()lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，故函数1lg1x y x +=-是奇函数，故D 正确．]11．AD [A 正确，B 中直线l 可能平行于α也可能在α内，故B 错；C 中直线l ，m ，n 可能平行也可能相交于一点，故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin 2sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．若,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2,626x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()g x ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；由1062g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭知，g (x )的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；g (x )的最小正周期为π，故C 错误；∵1(0)12g =-≠±，∴g (x )的图象不关于y 轴对称，故D 错误．]13．9解析由事件A ，B 互为对立事件，其概率分别P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x＝1，所以144()5y x x y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭524y x 9x y ≥+⋅=，当且仅当x ＝6，y ＝3时取等号，所以x ＋y 的最小值为9.14．－4解析由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，设P (x ，y )，则PA ＝(－x ，－y )，PB ＝(2－x ，－y )，PC ＝(2－x,2－y )，PD ＝(－x,2－y )，所以PA ＋PB ＝(2－2x ，－2y )，PC ＋PD ＝(2－2x,4－2y )，因此(PA ＋PB )·(PC ＋PD )＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值－4.15．10n －2216解析T n 为数列{b n }的前n 项的和，T n ＝5n 2＋3n ，b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2)，验证n ＝1时，b 1＝T 1＝8也符合，故b n ＝10n －2，a 1024＝b 11＝108，a 1025＝2a 1024＝216.16.212e ,e 2e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭解析画出函数f (x )＝|ln |,0e 2ln ,e x x x x <≤⎧⎨->⎩的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ，则由已知和图象，得0<a <1<b <e<c <e 2，且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ，则ab ＝1，bc ＝e 2，则a ＋b ＋c ＝221e 1e b b bb b +++=+，令21e ()g x x x+=+，因为221e ()10g x x+'=-<在x ∈(1，e)时恒成立，所以g (x )在(1，e)上单调递减，所以2211e 2e 2e eb b ++<+<+.17．解(1)由题意得1176749,25424526,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪<+<⎪⎩∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 21n n =+.18．解(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )，所以sin B cos A ＋3sin A ＝sin (A ＋B )，故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝33sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33.(2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝13-，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×13⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12，所以AC ＝，在△ABC 中，BC ，AC ＝cos B ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即12＝AB 2＋6－2·AB ×33，化简得AB 2－AB －6＝0，解得AB ＝.故AB 的长为19．(1)证明连结BD 交AC 于O ，连结SO ，由题意得，SO ⊥AC .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，6所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SD .(2)解由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a .则S 0,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 0,,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ,0,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又SD ⊥平面PAC ，则平面PAC 的一个法向量26,0,22DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面SAC 的一个法向量2,0,02OD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos ,2||||DS OD DS OD DS OD ⋅==- ，又二面角P －AC －S 为锐二面角，则二面角P －AC －S 为60°.(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,22DS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设CE tCS = ，t ∈[0,1]，则BE =BC +CE =BC +tCS ＝226,(1),222a a t at ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又BE ∥平面PAC ，所以BE ·DS ＝0，解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时，BE ⊥DS ，而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .所以侧棱SC 上存在点E ，当SC ∶CE ＝3∶2时，有BE ∥平面PAC .20．解(1)因为A ，B ，C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取80×40200＝16(人)，所以这40人中有16人来自C 镇，因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35，显然X 可取0,1,2,3，且X ～B 33,5⎛⎫⎪⎝⎭，则28(0)35125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12133236(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21233254(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的概率分布为X0123P 8125361255412527125所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解(1)由题设条件可得c a ＝12，a ＋c ＝3，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积S＝，当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线的斜率为k ，则BC ，AD 所在直线的斜率为1k-，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，得m 2＝4k 2＋3，显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m ，直线AB ，CD间的距离1d ===同理可求得BC ，AD间的距离为2d ==所以四边形ABCD 的面积为S ABCD ＝d 1d 2＝=14=≤.(当且仅当k ＝±1时等号成立)，又SABCD >＝综上可得外切矩形面积的取值范围是[14]．22．(1)解因为f (x )＝e x －ax －a ，所以f ′(x )＝e x －a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间R 上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )>0，x >ln a ，令f ′(x )<0，x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)解因为对任意的x ∈(0,2]，不等式f (x )>x －a 恒成立，即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立．即当x ∈(0,2]时，a <e x x －1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2])，则g ′(x )＝22(1)e x x -.令g ′(x )>0,1<x ≤2，g ′(x )<0，，0<x <1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增．∴x ＝1时，g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞，e －1)．(3)证明在(1)中，令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0，即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)．令x ＋1＝k n(k ＝1,2,3，…，n )，则k n <1e k n -，即e e e k k n n k n n -⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()123e e 11231e e e e e e (e 1)e (e 1)n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++=< ⎪ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。
江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷 人教版
江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10}4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 对于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是 A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再经过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题 的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上．13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSM P U 痧＝ .（用列举法表示）14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，如果1473130a a a a ++++=L ，那么36933a a a a ++++L ＝ ．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .得分 评卷人17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是 ．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域; (2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范围.得分 评卷人得分 评卷人21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范围.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明 理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+L *()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人[参考答案]说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDABADCBDBC二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分 将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分 故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分于是53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分 （2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y y x -=+，∴1()f x -3(51)51x x-=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x-=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分） （1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 于是－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).所以f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 （2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范围是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 （2）2C π=⇔A +B = 2π，于是h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++L[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …………2分。
精品解析：江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年度第一学期期中检测试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】由()2i 12i z +=-，得12i2iz -=+，化简可得结果 【详解】解：由()2i 12i z +=-，得12i (12i)(2i)5i=i 2i (2i)(2i)5z ----===-++-， 故选：D2. 已知集合{}20A x x x =->，则RA =（ ）A. {}01x x << B. {}01x x ≤≤C. {0x x <或1}x >D. {|0x x ≤或1}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出A ，结合补集的定义进行计算即可. 【详解】{}20{1A x x x x x =->=或0}x <， 则{}01RA x x =≤≤，故选：B.3. 在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{}n a ，则50a =（ ） A. 289 B. 295C. 301D. 307【答案】B【解析】 【分析】根据题意可得出{}n a 的通项公式可求得50a .【详解】由题意可知1n a -即是2的倍数，又是3的倍数，即1n a -是6的倍数， 则()()161,n n N a n *-=-∈，所以65nan =-，所以505065295a =⨯-=.故选：B.4. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A. 35 B. 40C. 50D. 70【答案】C 【解析】 【分析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可【详解】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为22362650C A C +=,故选：C 5. 函数222xy x x-=+的图象大致为（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由单调性排除一个选项，得出正确结论．【详解】函数定义域为{}|0x x ≠，则22()()1xf x f x x -=-=-+，函数为奇函数，排除BD ， 又2(1)111f ==+，416(2)11744f ==+，所以()1)(2f f >即()f x 在0x >时不是单调递增，排除C ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（ 1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （ 2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （ 3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （ 4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能．．．是（ ） A. 15 B. 17C. 21D. 26【答案】A 【解析】 【分析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，根据容斥原理得出616X +≥，626X +≤，从而得出答案.【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，则,X Y N ∈，且20X Y +=①由题设条件知，两项比赛均参加的有4520196--=人故参加定点投篮比赛的一共有()6X +人，参加定点射门比赛的有()6Y +人不妨设参加定点投篮比赛人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则66X Y +≥+② 由①②可得10X ≥，故616X +≥，又20X ≤，所以626X +≤ 故16626X +故参加定点投篮比赛的人数不可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15. 故选：A7. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，AOC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先分析出OC 的最大值并得到,OBC OAC ∠∠之间的关系，由此借助余弦定理求解出AB 的长度，再利用余弦定理即可求解出AOC ∠的大小.【详解】因为OB AC OA BC OC AB ⋅+⋅≥⋅，且ABC 为等边三角形，1,2OB OA ==， 所以OB OA OC +≥，所以3OC ≤，所以OC 的最大值为3，取等号时180OBC OAC ∠+∠=︒， 所以cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，不妨设AB x =，所以221949024x x x x+-+-+=，所以解得7x =所以9471cos 2232AOC +-∠==⨯⨯，所以60AOC ∠=︒，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A. sin y x = B. cos 2y x =C. tan y x =-D. sin 2y x =【答案】AC 【解析】 【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断. 【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； cos 2y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；tan y x =-最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； sin 2y x =不是周期函数，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 故选：AC10. 若2nx⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】ABC 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大；②展开式中只有第6项的二项式系数最大；③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得n 的值. 【详解】分以下三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则展开式共10项，可得110n +=，得9n =； ②展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共11项，可得111n +=，得10n =； ③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式共12项，可得112n +=，得11n =. 因此，n 的可能值为9、10、11. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法： （1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C a b -=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代回通项，主要是r 的取值范围()0,1,2,3,,r n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 11. 已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ）A. a b +≤B.1222a b -<<C. 221log log 2≥-D. 221a b ->-【答案】ABD【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C. 【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤，又0,0,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误； 故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.12. 我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成()10110,nN a a n =⨯≤<∈Z .定义：(),0,0,0,N n W N N n ≥⎧=⎨<⎩的整数部分的位数的非有效数字的个数如：()21.2103W ⨯=，()1.23102W ⨯=，()23102W -⨯=，()13.001101W -⨯=，则下列说法正确的是（ ）A. 当0n >，1M >，1N >时，()()()W M N W M W N ⋅=+B. 当0n <时，()W M n =-C. 若1002N =，lg 20.301≈，则()31W N =D. 当k *∈N 时，()()22kkW W -=【答案】BCD 【解析】 【分析】先要通过举例，搞清楚()W N 的意义，)()110,10nn N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +,当)()110,101,2,3,,n n N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .然后通过举例可以否定A ；通过一般性论证判定B ；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD ；【详解】当[)10,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,100N ∈时，N 的整数位数为3，一般地，)()110,10n n N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +, 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字中0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当)()110,101,2,3,,nn N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .取210M =，10N =，则()3W M =，()2W N =，()()()()31045W MN W W M W N ==≠=+，取()()()()()()500,50,3,2,250005M N W M W N W MN W W M W N =======+,故A 有不正确的时候，故A 错误；当0n <时，110a ≤<,∴)()11010,10,nn n N a W N n ---+⎡=⨯∈∴=-⎣，B 正确； 因为1002,lg20.301N =≈，则()1003031lg2100lg230.1,30,1010,31n N W N ===≤<∴=，故C 正确；*k N ∈时，根据定义,由于2k 为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在N m ∈,使得110210m k m +<< ，此时()21kW m =+()110210m k m -+--<<，()21kW m -=+，故 D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D 的判定中，注意不等式的性质的运用，*k N ∈时，2k 为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出()110210m k m -+--<<，特别是右端不能取等号，否则比如0.010.1x <≤的话，不能得出()2W x =的结论，其中()0.11W =.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p =______. 【答案】3 【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可得，51()22p --=，解得3p =， 故答案为：314. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x （年）与维护费用y （千元）之间有如下数据： x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为 1.05y x a =+（a 为常数）.据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为______千元.（参考公式：线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）【答案】8.2 【解析】 【分析】计算出样本的中心点(),x y 的坐标，再将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出a 的值，可得出回归直线方程，然后将7x =代入回归直线方程，即可求得对应的维修费用的估计值. 【详解】由题意可得2456855x ++++==，3 4.5 6.57.59 6.15y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，所以，1.055 6.1a ⨯+=，解得0.85a =， 所以，回归直线方程为 1.050.85y x =+， 当7x =时， 1.0570.858.2y =⨯+=，所以，当该品牌的新能源汽车的使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元. 故答案为：8.2.15. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上，记电线杆的底部为点A .把路灯看作一个点光源，身高1.5m 的女孩站在离点A 5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D .然后从点D 出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为______2m.【答案】3200 289【解析】【分析】根据女孩在移动的过程中比例关系不变，得到女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形，再根据原正方形的对角线为4，利用比例关系求得轨迹的对角线长即可.【详解】如图所示：设女孩在点BD处头顶EF的投影点分别为MN，则EF=BD=4，BE=DF=1.5，则10 1.50.8510EFMN-==，所以8017MN =, 因为女孩在移动的过程中比例关系不变，所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为8017的正方形， 所以其面积为：18080320021717289S =⨯⨯=故答案为：320028916. 已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 2为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______.【答案】924612π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据已知可以判定球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，进而计算求解.【详解】如图所示，设,,BD CA AB 的中点分别为,,D E F ,P 在平面ABC 内的射影为1O ，由已知可得1O 为底面正三角形ABC 的中心.∵PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，2,AB BC CD PD PE PF ∴===∴===2,111O D O E O F==236= 以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，∴交线的长度之和为π2692463222ππ+⨯⨯+=⎝⎭, 故答案：9246π+⎝⎭.【点睛】本题关键是分析几何体的形状特征，利用球的性质，判定截线的类型和形状.注意到三棱锥是正三棱锥，斜高恰好是球的半径，从而得到截线的形状.四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nnn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可.【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.18. 在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+. （1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为说角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）2S ⎛∈ ⎝.【解析】 【分析】（1）用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A ；（2）由正弦定理把c 边用角表示，这样三角形的面积可表示为B 的函数，求出B 的范围，结合三角函数性质可得面积范围．【详解】（1）()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+ ∴()()()c b c a b a b -=-+ ∴222c bc a b -=- ∴222a b c bc =+-， 而2222cos a b c bc A =+- ∴1cos 2A =，(0,)A π∈， ∴3A π=．（2）2b =2sin sin sin sin b c Cc B C B=⇒=1sin 2ABC S bc A ===△1cos 12sin 2B B ⎫==+⎪⎭∴ABC 为锐角三角形 ∴02B π<< 且02C <<π即2032B ππ<-< ∴62B ππ<<cos sin BB∈∴3cos 11,22sin 22B B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴3,23S ⎛⎫∈⎪⎝． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3015. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的定义得到PD BC ⊥，再根据线段的长度关系得到BC BD ⊥，由此借助线面垂直的判定定理完成证明；（2）利用等体积法求解出A 到平面DCE 的距离h ，然后根据hAE的结果得到直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：∵//AB CD ，AD CD ⊥，∴90DAB ︒∠= ∴1AB AD ==，∴2BD =在底面ABCD 中，过B 作BF CD ⊥于点F∴四边形ABFD 为矩形，∴1DF =，1CF =∴2BC =，∴2224BD BC CD +==，∴BC BD ⊥又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥ ∵BDPD D =，∴BC ⊥平面PBD（2）2BD =，426PB =+=∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AB ⊥ 又∵AB AD ⊥，PD AD D ⋂= ∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PA ⊥ ∵E 为PB 的中点，∴162AE PB ==且62DE = 设A 到平面DCE 的距离为h ，AE 与平面DCE 所成角为θ，∴sin hAEθ=由11133A DCE E ACD DCE ACD V V S h S --=⇒⋅=⋅△△ 而在DCE 中，62DE =，2CD =，22314222CE BC BE =+=+=∴374cos EDC+-∠==sin EDC∠=∴122DCES==△，2112ACDS⨯==△∴11133h=⨯⇒=∴sin15θ==．所以直线AE与平面DCE所成角的正弦值为15.【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值（或者通过等体积法求解出线段端点到平面的距离，根据点到面的距离比上待求线段长度得到线面角的正弦值）；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【答案】（1）分布列见解析，()1E X=；（2）0.01p≈，答案见解析.【解析】【分析】（1）先分析X的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X的概率分布以及数学期望；（2）先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===∴X 的分布列如下：()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（2）新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，∴01090110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2 .【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知222222112211c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y += 过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y +=椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=， 联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨⎪+=--⎩⎝⎭∴2222000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22002022004(1)4122(2)2(2)(2)x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭===-- 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b ab cosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb k x x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v ，可得()()222222222222212cos 13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v 是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略. 11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v分别表示出,BD AG u u u v u u u v，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。
【详解】由题得，2211133233AG AC CG AC CO AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而//BD AG u u u v u u u v ，则有常数k ，使得BD k AG =u u u v u u u v，而()217BD AD AB AB AC λ=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故()2111733AB AC k AB AC λ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v 即21337k k AB AC λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，又,AB AC u u u v u u u v 不共线，可得1032037k k λ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：9767k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故97λ=. 故答案为：97【点睛】本题考查向量几何运算和向量共线，属于中档题。
12．设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =________________.【答案】4-【解析】已知()f x 是单调递增函数，那么()f x C +也是单调递增函数，构造函数()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，()g x 也是单调递增函数，由{}n a 是公差为2的等差数列，可计算得()10100g a =，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点，再由()()0f x f x +-=，可得1010a 的值，又10101001009011112,2a a a a -=+=，即得.【详解】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ， 又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4- 【点睛】本题是一道考查函数和数列的综合题，有一定难度. 13．设G 为ABC ∆的重心，若,BG CG BC ⊥=+AB AC 的最大值为______.【答案】【解析】【详解】设BC 的中点为D ，因为BG CG ⊥，故BCG ∆是直角三角形，所以122GD BC ==. 又因为G 为ABC ∆的重心，所以32AD GD ==. 由三角形的中线长公式可得()22221224AD AB AC BC =+-，所以22222211221022AB AC AD BC +=+=⋅+⋅=⎝⎭.所以AB AC +≤=AB AC =时等号成立.故AB AC +的最大值为14．数列{}n a 满足113a =，且对于任意的*21,,n n n n N a a a +∈=+则2019111n na =+∑的整数部分是________________. 【答案】2【解析】根据21n n n a a a +=+可将11n a +化为111n n a a +-，再由裂项相消法对2019111n na =+∑进行化简，结合数列{}n a 的单调性，可得.【详解】()()211211111111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++--====-+++⎡⎤⎣⎦，故2019201911112020202011111131n n n nn a a a a a a ==+⎛⎫=-=-=- ⎪+⎝⎭∑∑，210n n n a a a +-=>Q ，{}n a ∴单调递增，又113a =，21n n n a a a +=+则2222222271123456111166133a a a a a a a a a a ⎛⎫=++++++>+=+= ⎪⎝⎭，那么202071a a >>，20201233a ∴<-<，从而2019111n n a =+∑的整数部分是2. 故答案为：2 【点睛】本题考查数列的递推公式以及裂项相消法，有一定难度.二、解答题15．在ABC V 中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足cos 3sinA sinC C sinB =+ （1）求角B 的大小；（2）若,,a b a c +成等比数列，求sin sin AC的值. 【答案】（1）3π（2）12【解析】（1）根据()sin sin B C A +=对cos 3sinA sinC C sinB =+进行化简整理，即得；（2）由已知可得()2b a ac =+，再由余弦定理可得关于,a c 的等式，计算即得. 【详解】（1）由题得，()sin sin sin cos 3B C A B sinC C ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin cos cos sin sin cos sin 3B C B C C B C B +=+，则有cos sin sin B C C B =，cos B B ∴=，即tan B =3B π=.（2）若,,a b a c +成等比数列，则有()2b a ac =+，又222b a c ac =+-，故()22a a c a c ac +=+-，化简得22c ac =，则sin 1.sin 2A a C c == 【点睛】本题考查余弦定理和等比中项，是常考题型.16．在平面直角坐标系xOy 中，点(),0,2A cos sin A πθθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭点关于原点O 对称的点为,B 二次函数2y x ax b =++的图像经过点A 和点,B 回答以下问题： （1）用θ表示,a b 和2y x ax b =++的图像的顶点的纵坐标；（2）证明：若二次函数2y x ax b =++的图像上的点(),P x y 满足x cos θ>，则向量OP uuu v 与OA u u u v的数量积大于1.（3）当变θ化时，求()1中二次函数顶点纵坐标y 的最大值，并求出此时θ的值.【答案】（1）22tan cos 4θθ--（2）见详解（3）34-，4π【解析】（1）根据A 点坐标得出B 点坐标，将A,B 坐标代入2y x ax b =++，解得,a b代入2y x ax b =++，配方即得；（2）用坐标表示出OP OA ⋅u u u v u u u v ，根据cos (0)2x πθθ><<和函数单调性，即得；（3）由cos 0θ>和基本不等式可得。