集合典型例题

1。集合得含义及其表示

(一)集合元素得互异性

1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为

变式:已知集合,若,则实数得值为_______

2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是

①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形

(二)集合得表示方法

１. 用列举法表示下列集合

(1)

____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______

变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿

(2) ＿＿＿_

变式1:

变式２:

(3)集合用列举法表示集合B

(4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为

变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为

2。用描述法表示下列集合

(1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_

(2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、

3.已知集合,,

(1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系

4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、

5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:

(1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数”

(３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数”

(5)“不就是实数”

6、用列举法表示下列集合:

(1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线

(3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数

7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合,

(1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_

(2)说明下列集合得几何意义:;

8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？

9、元素0、空集、、三者得区别?

10. 请用描述法写出一些集合,使它满足:

(i)集合为单元素集,即中只含有一个元素;

(ii)集合只含有两个元素;

(ｉiｉ)集合为空集

11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？

解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。

(三)空集得性质

1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿

２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?

３、下列三个集合中表示空集得就是

(１) ｛0｝; (２)｛(ｘ, y)|y2=—x２,ｘ∈R,y∈Ｒ｝;(3) {x∈N｜2x2+3x-2＝０｝、

变式１:若集合=＿_＿____

变式2:若集合,,则__＿__

(四)集合相等

1、已知集合A＝,B= ,若A＝B,则＿＿__＿

2。已知集合,集合,且,求实数与得值。

3、已知,则x得值为______＿＿

4。已知Ａ=｛x,ｘy,lg(xy)},B＝｛0,｜ｘ|,y｝,且A＝B,试求x,y得值。

5。已知集合,且,则

6、两个集合只要元素相同,就认为它们就是相同得,从这个角度出发,试回答下列问题: (1)用列举法分别写出下列集合:;

(２)请您判断两集合与集合就是否相等？

2、集合方程问题

1。若集合

(1)若,求得值;(2)若,求得值

２。若集合有且只有一个元素,则实数得取值集合为、

３、设,求、

4。已知集合,为实数.

(１)若A就是空集,求得取值范围;

(2)若Ａ就是单元素集,求得值;

(3)若Ａ中至多只有一个元素,求得取值范围.

５。已知集合,用列举法表示集合Ａ为、

变式:若分式方程得分子与分母对调,结论如何?

3。子集、全集、补集

1。集合｛｝,集合,若,得取值集合

．．．．为＿__＿__

2。设集合Ｕ＝{(ｘ,y)|y＝3ｘ－1},A={(x,y)|=3｝,则Ａ= .

3、M＝｛ｘ｜-2≤x≤5｝, N=｛x| a+１≤x≤2a-1}、若MＮ,实数ａ得取值范围为.

4、若,B={x｜x2-４x=０},Ｃ＝{ｘ｜x2—8x+16=0},若UC,求实数a得取值范围

5。或,,当时,实数得取值范围为＿____

6. 已知集合,,满足,则实数得取值范围为___＿

变式:已知集合,集合

(1)若,求实数ａ得取值范围

(2)若,求实数ａ得取值范围

(3)A、B能否相等？若能,求出a得值;若不能,试说明理由

7、已知集合,,若错误!,实数得取值范围为__＿_＿__＿____

8。已知全集U=｛1,２,３,4,５,6,7,８,9｝,

,则,.

9.设,集合,,若

,= ＿＿_＿＿___

１0。已知全集,若,则a得值为________＿＿＿_

1１、若集合。分别求出当全集为下列集合时得.

(１);(2);(3)、

１2。若集合,,且,则实数得值为＿______

13、已知集合,,就是否存在集合C,使C中得每个元素加

上2就变成了A得一个子集,且C中得每个元素减去2就变成了B得一个子集?若存在,

求出集合Ｃ;若不存在,说明理由

１4.,,,则___＿

15、写出满足条件{a｝?M｛a,b,c,d｝得集合M

16、已知A＝｛0,２,４},U A=｛—１,1},ＵB＝{—１,0,2},求B=

17、设集合,,则满足且得集合得个数为____＿_______ 56

1８、已知集合同时满足:

,求实数得值。

解:两式相减,得

19、已知集合,分别根据下列条件,求实数得取值范围。

(1);(2) (１);(２)

20。,,

(1)若,求得取值范围;(2)若,求得取值范围;

(3)若,求得取值范围.(4)若,求得取值范围

21.有限集中有一个特殊得集合,约定“空集就是任何集合得子集”,为什么要作出这样得约定？

任何一个约定式定义,它必须遵循:①规定得必要性;②规定得合理性。

(1)必要性:从子集得定义可知,子集定义中所涉及得集合不包括空集。为了完善子集定义,约定空集就是任何集合得子集就是必要得;

(2)合理性:由子集得定义显然有任何一个集合就是它本身得子集,但就是,上述这个结论中得“任何一个集合”,也就是不包括空集得,只有规定了“空集就是任何集合得子集”,才真正使上述结论对每一个集合(包括空集)都成立,这就就是约定得合理性。

22. 请问就是否存在这样得集合,它得某一个元素同时又就是它得子集?若存在,请举例;若不存在,请说明理由。,等等;

【拓展思考】请您给出一个集合,使它得两个元素同时也就是它得子集,符合条件得集合,可以只含有这两个元素不?;可以,集合

23、元素与相等得子集

(i)设集合,就是否存在两个无共同元素得子集,两子集元素之与相等？

(ii)在这9个数字中任取6个不同得数组成集合,请问符合条件(1)得子集就是否存在,由此您可以得到什么一般性得结论?

【拓展思考】若将集合得元素个数变为7~9种得任一个,结论如何？

24。与其子集元素个数一样多得集合

就是否存在这样得集合,它所含得元素得个数与它得某个真子集所含元素得个数一样多？【拓展思考】请您写出几个符合条件得无限集

2５。约数集得个数

设非空集合,且满足条件“如果,那么"

(ｉ)请您写出一个只含有一个元素得集合;

(ii)只含有三个元素得集合只有就是否唯一？若不唯一,请写出两个不同得集合?

(ｉｉi)满足题设得集合共有几个？

(iV)对非空集合,若使集合所含元素得个数不超过四个,那么题设条件可以改为____＿＿＿__________＿_＿＿__

4。交集、并集运算

1。已知,则__＿_____＿

变式1:若集合,则Ｍ∩P= :

2、设集合或

(1)若,则实数得取值范围为＿＿＿＿＿_______

(2)若,则实数得取值范围为____＿_______

3。已知集合=,,则=

4。已知集合,,全集

(１)若,求实数a得取值范围

(２)若,求实数a得取值范围

5。集合,,

满足,实数得值为

6. 已知全集,若非空集合,则实数得取值范围就是_________

7。若集合或,,且,

,则___＿___＿___,____＿_＿____

8。已知集合,且,则实数得取值范围就是

9. 已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤ｘ≤3ａ—5},B＝｛x｜3≤x≤22｝,则能使A(A∩B)成立得所有a值得集合就是

10。已知Ａ={ａ１,a２,a３,a4｝,B={｝,其中a1

４｝,a1+a4=１0,且A∪B所有元素与为124,则集合Ａ= B=

1１、设集合,则得元素个数为___＿＿＿＿____＿

12、设集合,

(１)若,求实数ａ得值(２)求,.

13、如图,Ｕ就是全集,M、Ｐ、Ｓ就是U得3个子集,则阴影部分所表示得集合就是

1４、若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为_________＿_＿__

15。已知集合,,则__＿_

１6、若集合,,,且,则满足条件得整数对得个数为____

变式:已知集合A=,且只有5个整数解,则得取值范围就是＿_＿__＿＿_＿__ 、≤

17、设Ａ｛2,—１, ａ2—a ＋1｝,B{b,7, a ＋1｝,M｛－１,７｝,A∩ＢM、(１)设全集,求; (2)若,求a与b得值.

1８。集合,,如果,则

19。集合,,若时得取值范围就是,则=＿_＿

20。已知全集Ｕ=R,则正确表示集合M＝｛—1,0,1｝与N={x|x2+x＝０}关系得韦恩(Ｖeｎn)

图就是___＿____.

21. 已知集合M={0,1,2},N={ｘ|ｘ＝２a,a∈M｝,则集合M∩Ｎ=＿___＿___、

２2. (2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素,(?ＵA)∪(?UＢ)中有n个元素、若A∩B非空,则Ａ∩Ｂ得元素个数为＿______＿.

23.已知函数f(x)=＼r(＼ｆ(6,x+１)－１)得定义域为集合A,函数ｇ(x)=lg(－x２＋2ｘ＋

ｍ)得定义域

为集合B。(１)当m＝3时,求A∩(?R B);(2)若A∩B＝｛ｘ|-1

２4、 已知集合A ={ｘ∈R |ax 2－3ｘ+2＝0｝.

(１)若Ａ＝?,求实数a 得取值范围;

(2)若Ａ就是单元素集,求a 得值及集合A ;

(３)求集合Ｍ=｛a ∈R |A ≠?｝。

25、 设集合}0)5()1(2|{},023|{2

22=-+++==+-=a x a x x B x x x A

(1)若,求实数得值;(２)若,求实数得取值范围;

(3)若,求实数得取值范围

解:(1);(２)

(3)或或或

26、 集合,若则得子集个数最多为_＿＿_＿__＿_ 16

27、 则

28、 已知,,则

29。 设方程得全体解组成集合,方程得全体解组成集合,则分别如何用集合表示?则

30。 设,,若直线交于点,

则;若,则;还有其它情况不？

3１。 方程得解集为,方程得解集为。

则就是方程得解集。所以对于右端为零得方程,如果能将其左端分解为几个因式得乘积,就能使求解得问题简化,这也就是数学里常常把方程化成一端为零得形式得原因、

32、 如果集合各有1２个元素,它们得并集有20个元素,那么,这两个集合有多少个共同得元素？

33. 如果集合中有3个元素,集合中有２个元素,试问:

(1)中最多有几个元素?最少有几个元素?

(2)中最多有几个元素？最少有几个元素?

34、 设方程组得解集为方程与得解集分别就是与,则

例:若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为_＿______＿__＿＿_

３5。 设全集非空集合,若含得一个集合运算表达式运算结果为空

集,则这个表达式可以就是_____＿＿＿__。

已知集合,,则▲。

5。简单得数论问题

１、设均为整数,把形如得一切数构成得集合记作M,设,试判断就是否属于集合M,并说明理由、

２。已知集合,

求证:(1) ;(2) (3)偶数不属于A。

3。以某些整数为元素得集合具有下列性质:

①中得元素有正数,有负数;②中得元素有奇数,有偶数;

③;④若,,则、

试判断实数0与２与集合得关系。

4、设集合A=,Ｂ=,C=,若,则(填集合A或B或C)

变式１: 若,则(填集合Ａ或B或Ｃ)

变式2: 已知A=,若,则下列元素属于集合Ａ得为(填序号)①;②;③④

变式3: ,集合A=,点,求a与b得值

5。已知m∈A,n∈B,且集合Ａ=｛x｜x=2ａ,ａ∈Z｝,B＝｛x｜ｘ=２a＋1,a∈Z},又

C＝{x|x＝４a＋１,a∈Z｝,判断m+ｎ属于哪一个集合?

６. 已知集合Ａ={x|ｘ＝a+１

6,

ａ∈Ｚ｝,B={x｜x=＼f(b,2)—

1

3,b∈Z},C＝{x｜

ｘ＝

ｃ

2＋

1

6,c∈Z｝,则

Ａ、Ｂ、C之间得关系就是＿＿＿_____、

6。新定义集合问题

1、给定集合A、B,定义一种新运算:A＊Ｂ＝,又已知A=｛0,1,２｝,B=｛1,2,3},用列举法写出

２、设A就是整数集得一个非空子集,对于,如果且,那么就是

A得一个“孤立元",给定,由S得３个元素构成得所有集合中,

不含“孤立元”得集合共有个

3、整数集Ｚ中,被5除所得余数为k得所有整数组成一个“类”,记为［k］,即

[k］=｛5n+k丨ｎ∈Z｝,ｋ=0,１,2,３,4。给出如下四个结论:

①２011∈［１］;②-３∈[3];③Z=[0］∪［1］∪［２］∪［３]∪[4］;

④“整数ａ,b属于同一“类”,则“a-b∈［０］”

其中正确结论得序号就是______＿__＿_＿＿_＿_(填写所有满足条件得序号)

４、设集合,.记为同时满足下列条件得集合得个数:

①;②若,则;③若,则,=_＿_____

5、设ａ,b,ｃ为实数,f(x)＝(x＋ａ)、记集合Ｓ=若,分别为集合元素S,T得元素个数,则下列

结论不可能

．．．得就是___＿_＿________(填满足条件得字母)

A、＝1且=0 B. C。=2且=2 D.=2且=3

6。如图所示得韦恩图中,就是非空集合,定义集合为阴影部分表示得集合,即＝。

若,,则_＿_＿__＿

7。集合,,其中,我们把集合,

记作,若集合中得最大元素就是,则得取值范围就是。

8、(201０四川)设S为复数集C得非空子集。若对任意,都有,则称S为封闭集下列命题:

①集合S={a+b｜为整数｝为封闭集;②若Ｓ为封闭集,则一定有;

③封闭集一定就是无限集;④若S为封闭集,则满足得任意集合也就是封闭集、

其中真命题就是(写出所有真命题得序号)

9. 已知点集,,点集所表示得平面区域与点集所表示得平面区域得边界得交点为,若点

在点集所表示得平面区域内(不在边界上),则得面积得最大值为＿＿___

10。设集合,,则集合

(用列举法表示)

变:设集合,,则集合

变:对任意两个集合与,定义,

设,则

1１。集合得“差”运算

设就是两个非空集合,定义与得差集

(i)设集合,请您分别用列举法与描述法写出一个集合,使得,试问满足条件得集合共有多少个?

(ii)请写出两组集合,使得;

(ｉii)从(ii)中选出一组,计算,在此基础上,请您写出有关集合得其她表达式,使其结果与集合相等。

１2、市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面得取向,抽样调查了５０0个市民,调查结果显示:订阅日报得有３３４人,订阅晚报得有2９７人,其中两样都订得有１50人。

(1)只订日报不订晚报得有多少人?

(2)只订晚报不订日报得有多少人？

(３)至少订一种报纸得有多少人？

(4)有多少人不订报纸?

１３.某文化补习学校在学期末统计了参加补习得198名学生得成绩,统计结果表明,179人语文及格,153人数学及格,其中两门都及格得有13０人、

(１)这个统计数字就是否正确？请说明理由;

(２)经查实,却有7人两门都不及格,而原来统计中语文与数学得及格人数就是对得,那么,到底有多少人两门都及格？

14。某社区学院一个月30天课程安排情形如下:有１5天有数学课,有1４天有语文课,有14天有英语课、有数学又有语文得有７天,有数学又有英语得有6天,有语文又有英语得有6天,三门课都有得有3天。那么,有几天不上课?有几天只上一门课?有几天只上两门课？

7. 集合中一类动态问题得研究

1. 某中学高一(1)班有4５人,其中参加数学兴趣小组有28人,参加化学兴趣小组有２1

人,若数学化学都参加得有x人,则x得取值范围就是

2。 2.

3、对于集合,定义为其长度,已知数集,都就是集合得子集

(1)若且,求集合得长度;(2)求集合长度得最小值

8。集合计数问题研究

１、集合,集合就是S得子集,且满足,且,那么满足条件得子集得个数为_＿__＿＿＿_＿_＿__83

２。记集合P ={０,2,４,6,8 ｝,Ｑ＝{ m |ｍ= 100a1+１0ａ２+a3,且a1,ａ2,a3∈Ｐ},将

集合Q中所有元素排成一个递增得数列,则此数列得第６8项就是__＿＿___.46４

3。(13年南通学科基地密卷)设为给定得正整数,数集得两个子集构成一个有序对

(1)记为满足得有序对得个数,求;

(2)记为所有满足集合就是集合得真子集得有序对得个数,求

变式:设集合A,Ｂ就是非空集合M得两个不同子集,满足:A不就是B得子集,且B也不

就是A得子集.

(1)若M＝,直接写出所有不同得有序集合对(Ａ,B)得个数;

(2)若M=,求所有不同得有序集合对(A,B)得个数.

解:(1)110; ………………………………………………………………3分(2)集合有个子集,不同得有序集合对(Ａ,B)有个.

若,并设中含有个元素,则满足得有序

集合对(A,Ｂ) 有个、…………………6分

同理,满足得有序集合对(A,B)有个. …………………８分

满足条件得有序集合对(A,B)得个数为。…10分

4. (13年南通学科基地密卷)设为集合得子集,其中为正整数,记为满足得有序子集组得个数.

(1)求得值;(2)求得表达式