2020高考:高中数学线性规划各类习题精选
线性规划
基础知识:
一、知识梳理
1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数.
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点.
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二:积储知识:
一. 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,则点P 坐标适合方程,即Ax 0+By 0+C=0
2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),则当B>0时,Ax 0+By 0+C>0;当B<0时,Ax 0+By 0+C<0
3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax 0+By 0+C<0;当B<0时,Ax 0+By 0+C>0 注意:(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
(2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即:1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)>0
2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不.
包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入
Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,
当C ≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。
例题:
1. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -,点(,)P x y 在ABC
?内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗?你能否借助其几何意义求得min z 和max z ?
2. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -,
点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题: ①z x y =+在 处有最大值 ,在 处有最小值 ; ②z x y =-在 处有最大值 ,在 处有最小值
3. 若x 、y 满足条件?????≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ,
,
求y x z 2+=的最大值和最小值 4. 设实数x y ,满足20240230x y x y y --??+-??-?
≤,≥,≤,
,则y
z x =的最大值是__________. 5. 已知05≥-+y x ,010≤-+y x .求2
2
y x +的最大、最小值
6. 已知2040250x y x y x y -+??+-??--?
,,,≥≥≤求22
1025z x y y =+-+的最小值
7. 给出平面区域如右图所示,若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为( ) A.
41 B.53 C.4 D.3
5 8.已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤??
+≥??-≤?
,则3z x y =+的最大值为
( )
()A 12 ()B 11 ()C 3
()D -1
9.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤??
≤≤??≤≤?
,则2+3x y 的最大值为
A .20
B .35
C .45
D .55
10.若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥???
+-≤??
+-≥??,则3z x y =-的最小值为 。
11.设函数
ln ,0
()21,0x x f x x x >?=?
--≤?,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)
处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 . 12.某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元
13.若,x y 满足约束条件:02323
x x y x y ≥??
+≥??+≤?;则x y -的取值范围为_____.
14.设,x y 满足约束条件:,0
13x y x y x y ≥??
-≥-??+≤?
;则2z x y =-的取值范围为 .
15.设不等式组x 1x-2y+30y x ≥??
≥??≥?所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω
关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值
等于( )
A.285
B.4
C. 12
5 D.2
16. 设不等式组??
?≤≤≤≤20,20y x ,表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A 4π
B 22π-
C 6π
D 44π-
17.若实数x 、y 满足10
,0x y x -+≤??
>?则y x 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(
]
0,1
C.(1,+∞)
D.[)1,+∞
18.已知正数a b c ,
,满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,则b
a 的取值范围
是 .
19.设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1
A x y y x y
B x y x y x ??
=--≥=-+-≤????,则
A B I 所表示的平面图形的面积为
A 34π
B 35π
C 47π
D 2π
20.在平面直角坐标系xOy ,已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤
且0,0}x y ≥≥,则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 ( )
A .2
B .1
C .12
D .1
4
21.若A 为不等式组002x y y x ≤??
≥??-≤?
表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动
直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 .
22.若不等式组
3434x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面区域被直线
4
3y kx =+
分为面积相
等的两部分,则k 的值是
(A )73 (B ) 37 (C )43 (D ) 34高
23.若0,0≥≥b a ,且当???
??≤+≥≥1
,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.
24.在平面直角坐标系中,若不等式组101010
x y x ax y +-≥??
-≤??-+≥?(α为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
25.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件???
??≥≤--≤-+m x y x y x 0
3203,则实数m 的最大
值为( )
A .21
B .1
C .23
D .2
26.设二元一次不等式组2190802140
x y x y x y ?+-?
-+??+-?,,≥≥≤所表示的平面区域为M ,使函数
(01)x y a a a =>≠,的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A .[1,3]
B .[2,10]
C .[2,9]
D .[10,9]
27.设不等式组 110
330530x y x y x y 9+-≥??
-+≥??-+≤? 表示的平面区域为D ,若指数函数y=x
a 的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是
A (1,3]
B [2,3]
C (1,2]
D [ 3, +∞] 28.设m 为实数,若{250(,)30
0x y x y x mx y -+≥??
-≥??+≥?}
22
{(,)|25}x y x y ?+≤,则m 的取值范围是___________.
29.若实数x ,y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??
--≤??-+≥?
且x y +的最大值为9,则实数m =
( )
A 2-
B 1-
C 1
D 2
30.若x ,y 满足约束条件1122x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
,目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是 ( )
A .(1-,2)
B .(4-,2)
C .(4,0]-
D . (2,4)-
31.设m >1,在约束条件下,???
??≤+≤≥1
y x mx y x y 目标函数z=x+my 的最大值小于2, 则m 的取值范围为
A .)21,1(+
B .),21(+∞+
C .(1,3)
D .),3(+∞
32.设x ,y 满足约束条件???
??≥≥≥+-≤--0
,0020
63y x y x y x ,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的
值是最大值为12,则23
a b +
的最小值为( ) A. 625 B. 38 C. 311
D. 4
33.设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥??
--≤??≥≥?,若目标函数()0,0z abx y a b =+>> 的最
大值为8,则a b +的最小值为________.
1.略
2.①点A,6,边界BC,1
②点C,1,点B,-3
3.2
4.3 2
5.最大、最小值分别是50和
2
25
6.
2
9
7.B
8.B
9.D
10.-1
11.2
12.C
13.[3,0]
-
14.[-3,3]
15.B
16.D
17.C
18.[] 7
e,
19.D
20.B
21.7 4
22.A
23.1
24.D
25.B
26.C
27.A
28.
4 [0,]
3
29.C
30.B
31.A
32.A
33.4
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案(1) 1、设,x y 满足约束条件?? ? ??≤--≥-+≥-0 2020 2y x y x y x ,则22y x ++的最大值为 45 2、设变量,x y 满足?? ? ??≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ,若直线20kx y -+=经过该可行域,则k 的最大值为答案:1 3、若实数x 、y ,满足?? ? ??≤+≥≥12 3400 y x y x ,则13++=x y z 的取值范围是]7,43[. 4、设y x z +=,其中y x ,满足?? ? ??≤≤≤-≥+k y y x y x 0002,若z 的最大值为6,则z 的最小值为 5、已知x 、y 满足以下条件220 240330 x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ,则22 z x y =+的取值范围是 4[,13]5 6、已知实数,x y 满足约束条件10 10310 x y x y x y +-≤??-+≥??--≤? ,则22 (1)(1)x y -+-的最小值为 12 7、已知,x y 满足约束条件10 00 x x y x y m -≥?? -≤??+-≤? ,若1y x +的最大值为2,则m 的值为 5 8、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是 ?? ? ??≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x
9、若曲线y = x 2上存在点(x ,y )满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤?? --≤??>? ,则实数m 的取值范围是 (,1)-∞ 10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥?? +-≤??≥-? ,则3z x y =+的最小值为 -3 11、若,x y 满足约束条件10, 0,40,x x y x y -≥??-≤??+-≤? 则x y 的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥??-+≤??--≤? ,则22 (2)(1)x y ++-的最小值为___10_ 13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥?? +-≥??≤? ,则函数3z x y =+取得最大值是 12 14、已知x ,y 满足约束条件?? ? ??≤≥+≥+-3005x y x y x ,则z =2x +4y 的最小值是-6 15、以原点为圆心的圆全部在区域?? ? ??≥++≤-+≥+-0 9430420 63y x y x y x 内,则圆面积的最大值为 π516
高中数学(人教版A版必修五)配套单元检测:第3章:3.3.2 简单的线性规划问题(二)
3.3.2 简单的线性规划问题(二) 课时目标 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值. 2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型. 1.用图解法解线性规划问题的步骤: (1)分析并将已知数据列出表格; (2)确定线性约束条件; (3)确定线性目标函数; (4)画出可行域; (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解; 根据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). 2.在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小. 一、选择题 1.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克,生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元.月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克,月利润总额为z 元,那么,用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中,约束条件为( ) A.????? a 1x +a 2y ≥c 1, b 1 x +b 2 y ≥c 2 ,x ≥0,y ≥0 B.????? a 1x +b 1y ≤c 1, a 2 x +b 2 y ≤c 2 , x ≥0, y ≥0 C.????? a 1x +a 2y ≤c 1, b 1 x +b 2 y ≤c 2 ,x ≥0,y ≥0 D.????? a 1x +a 2y =c 1, b 1 x +b 2 y =c 2 , x ≥0, y ≥0 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为( ) A.14 B.35 C .4 D.53 3.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对
高考全国卷及各省数学线性规划真题附答案.docx
2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理(附答案解析) x 3y 3, 1. ( 17 全国卷 I ,文数 )设 x ,y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为( ) 7 y 0, A . 0 B . 1 C .2 D .3 答案: D 解析:如图,由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 (即 x 轴)的交点 A(3,0) 时, z 能取到最大值,把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ,故选 D. x 2 y 1 2.(17 全国卷 I, 理数 14 题)设 x ,y 满足约束条件 2x y 1,则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案: 5 x 2 y 1 解析:不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值, 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图,易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时,纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ,此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ,解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.
2x+3y 30 3. (17 全国卷Ⅱ,文数 7、理数 5)设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是() A.-15 C.1D9 答案: A 2x+3y 30 解析:不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示, y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ,3 时,目标函数 z2x y 取到最小值,此时有 z min 26315 ,故所求z 最小值为15. )设,满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. (17 全国卷Ⅲ,文数 5 x0,则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案: B 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 (即x 轴)的交点A0,3处取得最小值, 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值,此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.(17 全国卷Ⅲ,理数13)若 x,y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________.
高中数学线性规划问题
高中数学线性规划问题 一.选择题(共28小题) 1.(2015?马鞍山一模)设变量x,y满足约束条件:,则z=x ﹣3y的最小值() A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8 2.(2015?山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=() A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3 3.(2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为() A.﹣3 B.1 C.D.3 4.(2015?福建)变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于() A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 5.(2015?安徽)已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是()
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1 6.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣ y的最大值为() A.10 B.8 C.3 D.2 7.(2014?安徽)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最 大值的最优解不唯一,则实数a的值为() A.或﹣1 B.2或C.2或1 D.2或﹣1 8.(2015?北京)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为()A.0 B.1 C.D.2 9.(2015?四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为()A. B. C.12 D.16 10.(2015?广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y 的最小值为() A.4 B. C.6 D. 11.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=x+2y 的最大值为() A.8 B.7 C.2 D.1
12.(2014?北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4, 则k的值为() A.2 B.﹣2 C.D.﹣ 13.(2015?开封模拟)设变量x、y满足约束条件,则目标函 数z=x2+y2的取值范围为() A.[2,8] B.[4,13] C.[2,13] D. 14.(2016?荆州一模)已知x,y满足约束条件,则z=2x+y 的最大值为() A.3 B.﹣3 C.1 D. 15.(2015?鄂州三模)设变量x,y满足约束条件,则s= 的取值范围是() A.[1,] B.[,1] C.[1,2] D.[,2] 16.(2015?会宁县校级模拟)已知变量x,y满足,则u= 的值范围是() A.[,] B.[﹣,﹣] C.[﹣,] D.[﹣,]
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围 成一个三角形区域(如图4所示)时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2:在平面直角坐标系中,不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是() (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为: 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选B。 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件,探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式,斜率——商的形式)目标关系最值问题(重点) 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则 ①y x 32+的最大值为 。(截距) 解析:如图1,画出可行域,得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
人教版高中数学总复习[知识梳理简单的线性规划(基础)
简单的线性规划 【考纲要求】 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。 【知识网络】 【考点梳理】 【不等式与不等关系394841 知识要点】 考点一:用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 要点诠释: 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤: ①画出直线:0l Ax By C ++=(有等号画实线,无等号画虚线); ②当0≠C 时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当0C =时,另取一特殊点判断; ③确定要画不等式所表示的平面区域。 简称:“直线定界,特殊点定域”方法。 考点二:二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y),实数Ax+By+c 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便).把它的坐标代入Ax+By+c ,由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧. 要点诠释: 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法: 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y),数Ax+By+C 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便),它的坐标代入Ax+By+c ,由其值的符号 简单的线性规划 二元一次不等式(组)表示的区域 简单应用 不等式(组)的应用背景
2020高考:高中数学线性规划各类习题精选
线性规划 基础知识: 一、知识梳理 1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数. 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二:积储知识: 一. 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,则点P 坐标适合方程,即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),则当B>0时,Ax 0+By 0+C>0;当B<0时,Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax 0+By 0+C<0;当B<0时,Ax 0+By 0+C>0 注意:(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, (2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即:1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不. 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。 例题: 1. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -,点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗?你能否借助其几何意义求得min z 和max z ?
人教版 高中数学 简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 一、教学内容分析 普通高中课程标准教科书数学5(必修)第三章第3课时 这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”. 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科 学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 简单的线性规划(涉及两个变量)关心的是两类问题:一是在人力、物力、资金等资源 一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理规划,能以 最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想. 教科书利用生产安排的具体实例,介绍了线性规划问题的图解法,引出线性规划等的概 念,最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 二、学生学习情况分析 本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上,又通过实例,理解了平面区域的意义, 并会画出平面区域,还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件,将实际问 题转化为数学问题. 从数学知识上看,问题涉及多个已知数据、多个字母变量,多个不等关 系,从数学方法上看,学生对图解法的认识还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日, 这都成了学生学习的困难. 三、设计思想 本课以问题为载体,以学生为主体,以数学实验为手段,以问题解决为目的,以几何画 板作为平台,激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验 “从实际问题到数学问题”的建构过程,“从具体到一般”的抽象思维过程,应用“数形结 合”的思想方法,培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 1.了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最优解. 2.在实验探究的过程中,让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神; 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力,体验数学来源于生活,服务于生活,体验数学在建设节约型社会中的作用. 五、教学重点和难点 求线性目标函数的最值问题是重点;从数学思想上看,学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?以及如何想到要这样转化?存在一定疑虑及困难;教学应紧扣问题实际,通过突出知识的形成发展过程,引入数学实验来突破这一难点.