佛山市中考数学试卷命题意图

2013年佛山市高中阶段学校招生考试

数学学科分析总结报告

数学学科命题组孙治中赵士春彭永立

一、命题依据

1.中华人民共和国教育部颁发的《全日制义务教育数学课程标准(2001版)》.

2.中华人民共和国教育部颁发的《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》.

3.佛山市教育局的《佛山市2013年初中毕业生学业考试与高中阶段学校招生考试说明(数学科)》、现行北师大版教材和佛山市初中数学学科的教学实际.

二、命题原则

1. 基础性

考查内容依据《标准》，突出对学生基本数学素养的评价，体现基础性. 试题关注《标准》中最基础和最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用的技能. 所有试题求解过程中所涉及的知识与技能以《标准》为依据，没有扩展范围与提高要求.

2.公平性

试题素材、求解方式等体现公平性，避免了需要特殊背景知识才能够理解的试题素材. 制订评分标准以开放和严谨的态度对待合理的解答形式，即充分尊重不同的解答方法和表述方式，又不失严谨性、合理性与可操作性.

3.现实性

试题背景应来源于学生所能理解的或所具有的生活现实、数学现实和其它学科现实.如第6题、10题、23题.

4.有效性

试卷尝试有效地反映学生的数学学习状况，并特别注意关注学生数学学习各个方面的考查，反映《标准》所倡导的数学活动方式. 如17题、20题、21题、22题、25题.

5.合理性

试卷的结构合理，题量适中，让学生有必要的思考时间，不出“偏”、“怪”、“繁琐”、脱离实际和死记硬背的试题.

6.导向性

(1) 命题以《标准》和现行教材为依据，力争给初中数学教学正确的导向. 试题结合我市初中数学教学的实际，兼顾初中升学考试的选拔性，其部分试题的水平要求在初中毕业生学业考试的基础上适当提高.

(2) 重视考查学生用数学的意识，考查学生提出问题、理解问题、并运用数学知识解决一些简单的实际问题的能力.

(3) 关注学生获取数学信息、认识数学对象的基本过程与方法，关注在学习数学的活动过程中认识数学，掌握数学基本方法的能力.

(4) 反对知识的扩大化，扩大化的知识第一类是原来初中应学而新课程不学的知识，第二类是高中、大学下放的知识，第三类是课本、资料或教师自己设计的一些问题及其结论. 这三类知识的拓展在实际教学工作中已是普遍现象，考试如果不加以正确引导和制止而推波助澜，这对初中义务教育的伤害将是致命的！！！

(5) 重视解题的规范性要求，希望通过数学科试题解答树立规范意识和规则意识，能够清晰地和有条理地表达思想，知道数学中解决任何问题都应有依据，理解并掌握数学的核心和基础知识.

(6) 关注教材的考评价值. 对教师而言的教材，从学生方面来说应该称“课本”，显然这是学生学习材料的根本，一切资料都只能称“辅导资料”而处于附属地位. 然而现在的现象通常把资料作为教学的主要材料，把教材当作附属的，复习备考时尤甚，这是本末倒置！数学科命题以尽可能消除辅导资料为己任，实现国家在课程和中长期教育发展纲要中所期望的减负目标，教师教的轻松，学生学的愉快，教与学相长，而且教学效益显著.

关注教材，实际上是关注教学与学习的主体内容. 初中数学教学是奠基的阶段，但与小学的奠基阶段明显不同，这个阶段的学习内容包括了数扩充到实数(有理数＋简单无理数即代数数的一部分，是不完备的扩充)及运算的要求、代数的概念及其最基本的形式、代数式基本运算、明确了方程概念及其模型(基本的三类)思想和方法、不等关系的基本内容、函数与图象的相互关系、方程与函数及不等关系的相互联系、平面几何的基本对象与性质特征、平面几何对象的归类判断、几何基本对象的相互关系(构造或变换)、平面几何的学习方式与路径(操作、观察、发现、猜想到证明)、合情推理及演绎推理、证明的基础知识(原名、定义、命题、命题的结构、真假命题、公理、定理、推论、证明以及反例、逆命题或逆定理等)与方法(证明的推理形式即三段论)、图形中的函数(三角函数)、离散数学(统计)与随机现象(概率)的更系统化，等等.

关注教材，实际上是关注教与学的方式方法. 教材的编写特点，反映了对数学内容学习的整体构思，即从现实问题(含生活各方面和数学本身)的情境生成数学知识或数学问题～学习新知识或研究新问题～巩固应用新知识或解决新问题，在过程中提供了丰富的活动方式和过程性思考，也渗透了丰富的数学思想和方法，重视操作、观察、思考、分析、交流与评价等，重视数学知识、技能和理解为一体，还能在现有要求的基础上进行适当的联系与拓广，不仅给了学生大量的学习体验，也如何和更好的学习数学对学生进行指引.

关注教材，实际上更有利于高中阶段学习. 教材关注的是基础与核心的内容、基本的操作技能、基本的数学思想和方法、基本的研究与学习过程，能使学生学的全面、具体、系统、扎实与有效，更能培养学生的学科素养与学习能力，对将来的学习也能提供更大的帮助.

(7) 尊重国家义务教育对学科教学的要求. 关注“四基”的全面考查，特别是对“基本的数学活动经验”的再现和迁移的考查，反映了教育的“他育功能”和“自育功能”，也就是常说的学习能力的培养.

(8) 非常关注教师的专业发展. 这一特色在全国各地的考试中都没有佛山市体现的这么明确具体. 具体从本卷来说，大家可以从后文18、19、22、25等题的命题意图说明中清楚的看到这一点.

三、命题难度

考试说明要求：试题按难度分为容易题、中等题和难题. 难度在0.7以上为容易题，难度在0.4到0.7之间为中等题，难度在0.4以下为难题. 根据佛山市初中毕业生学业考试与高中阶段学校招生考试的性质与要求，容易题、中等题和难题按3：6：1的分值比例，全卷难度控制在0.65左右.试卷中各部分考查内容所占分数的百分比与在教学中所占课时的百分比大致相同.

实际上考虑到初中教学更应该重视奠基，所以容易题、中等题和难题按大约5：4：1的分值比例命制，全卷难度仍然控制在0.65左右. 而考查内容按领域划分，代数的比重大于几何的比重，主要是考虑代数的内容基本上不重复，而几何更多的体现了螺旋上升的教材编写理念，部分内容在一定程度上有交叉重复.

四、命题的设计意图逐题分析

1． -2的相反数等于

A ．2

B ．2-

C ．

2

1 D ． 2

1-

考查要点：考查有理数中的相反数的概念. 定位为容易题.

设计意图：初中的有理数是在小学算术数基础上数系的第一次扩张.首先引入负数的概念(事实上小学已有负数的基本认识，已经知道引入负数概念的必要性、重要意义，但没有运算)，理解负数符号的意义和合理性；其次是正负两个数之间有关系(仅符号不同)时产生相反数；再次是说明有理数的几何意义(当然要先有数轴的概念)及绝对值概念；最后研究运算的问题(一般是四则运算，数的表示类主要有整数、小数和分数，根据初中生的认知水平增加学习“乘方”这个新的表示类).

与数相关的知识的学习是数学学习的重要内容，本题考查的是初中阶段的入门知识.

2. 下列计算正确的是

A ．1243a a a =?

B ．3632)(b a b a =

C ．743)(a a =

D ．)0(43≠=÷a a a a

考查要点：考查幂的运算律. 定位为容易题.

设计意图：本题考查幂的运算，来源于七年级下第一章，包括幂的乘法、乘积的幂、幂的乘方、幂的除法等关于幂的基本运算，用单一字母是相当于考查概括性的公式(运算法则或性质).

幂是数的表达形式和运算关系，幂及其运算是初中代数的基础之一，也是高中教学内容的奠基部分. 幂的意义和有关运算的理解是解决问题的关健，教学要给予足够重视.

3．如图是并排放置的等底等高的圆锥与圆柱，则它的主视图是

A

．

B ．

C ．

D ．

考查要点：考查简单几何体的视图，来源于九年级上第112页. 定位为容易题.

设计意图：立体图形的截面(相当于某方向视图)和展开图是认识立体图形的重要依据，可以据此定性和定量并进一步认知图形的其它特征. 这方面的考查力度，能拓展学生空间想象能力，有利

第3题图

于高中学习立体几何.

4．分解因式a a -3的结果是

A ．)1(2-a a

B ． 2)1(-a a

C ．)1)(1(-+a a a

D ．)1)((2-+a a a

考查要点：考查提取公因式法、公式法(平方差公式)分解因式. 定位为容易题.

设计意图：因式分解是重要的数学知识，是数的分解在代数中的反映，是初中代数中的基本技能之一，对后续学习非常重要(解整式方程，分式运算中的整式部分处理，因式分解定理及其应用).

因式分解有多种方法(整式也有多种形式)，但根据现阶段的内容要求与学生认知水平，课标只限定了两种分解的方法，所以题目严格按照要求命制.

在教学实践中发现，许多教师不满足于提公因式法和公式法的学习，往往加入十字相乘法、分组分解法，更有甚者在练习题中出现需要用到双十字相乘法的题目. 对学有余力的学生来说，适当的拓展是必要的，如何把握这个度是个关键. 既要充分调动学生学习数学的兴趣，鼓励学生主动学习，甚至给学有余力的学生更大的学习空间，也要防止将课标以外的内容大量的加进常规教学.

另外，分解因式是在有理数范围内，且指数要求为正整数，所以题目分解结果最好能为一次式的积的形式. 教学时也可拓展到分解32-a ，课外可拓展到分解13-a ，但中考会慎重！ 5． 化简)12(2-÷得

A ．122-

B ．22-

C ．21-

D ．22+

考查要点：考查关于数的根式的除法运算和分母有理化. 定位为容易偏中等题. 设计意图：今年《考试说明》中保留二次根式b

a -1的分母有理化，略高于课本要求，主要有

以下两个方面的思考：

一方面，从学习的一般认识和数学系统(比如数域的公理化定义)来说，学习数，必然要学习数的运算. 因此，对于初中阶段学习的无理数(主要有四类：无限不循环小数，用于定义但难以举例；二次根式和三次根式表达但开不尽的形式，这种形式很明确，但被开方数要控制――因为一个相当大的数的质因数分解比较困难，因此难以判断它是否可以开尽，而小数类似于大数的倒数；圆周率，现时所见的唯一的超越数；非有理数的三角函数形式，这种形式的数难以说明，在教学上无需深究)，必然要学习无理数的简单的四则运算. 但现在初中在无理数的运算类要求中基本上没有“除法”的

运算，这是考虑到教学和考查时老师们可能会深挖！

另一方面，在高中常规教学中没有这方面的教学，而是作为已经熟练掌握的基本技能，因此初中教学应尽可能的解决这个问题(人教版课本单列一节学习它).

考虑到是新加考点，为简单起见设计了一道选择题，当然也可设计填空题或者解答题. 形如

b

a -1的化简是

2

1b a b

a b

a b a b

a -+=

++?

-，关键是利用分母的对偶式(类似于复数的共轭).

但本题不是简单的分式形式化简，而是给了“除法”的形式(这种类型与前面的类型相比，在教学中可能不会有较好的训练)，有一点难度.

6． 掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是

考查要点：通过掷硬币这个基本的随机现象，考查随机事件、可能性及其大小、一步实验的概率计算. 定位为容易题.

设计意图：关于掷硬币或类似的随机现象，理论上对实验对象和环境有要求，即实验结果与这两个要素有关. 比如“硬币有正反面、均匀”是对“掷硬币”的对象的要求. 如果只有正面，无论如何也不会掷出反面来；如果不均匀，“掷出正面”和“掷出反面”就不具有等可能性. 反之亦然.

掷“有正反面、均匀”的硬币问题，主要有以下几种： ①考查随机现象、随机事件、可能性等基本概念； ②一步实验的概率问题. 如本题中的D ；

③多步实验的概率问题. 假设硬币有正反面且均匀，掷m 次硬币(掷法不同，理解有异，方法不

同)，正面朝上次数为n 的概率符合独立重复实验中的二项分布m n m n m n n m C C P )2

1()211()21

(=-=-. 这

样，掷100次正面都朝上的结果也是有可能发生的，只不过机会很小. 但在初中一般只要求解决掷两次或三次的问题，用列举的办法列出所有的实验结果来计算，不能用上面的公式；

④考查实验的独立性. 比如“掷硬币100次后再掷1次，这第101次实验正面朝上的概率是多少”的问题，问题的概率仍为0.5，第101次实验的结果与前面的结果无关. 实验的独立性是对概率的理性认识，高于现阶段的教学要求，建议在教学中尽量不要出这样的题.

⑤怀疑实验对象和实验环境合理性的问题. 比如“掷有正反面且均匀的硬币，掷100次都正面朝上有可能吗？再掷1次，正面还是反面朝上的可能性大？”类似的问题，可以有“第101次正面仍朝上的概率仍为0.5”、“硬币不是真的均匀，正面朝上的可能性大”、“没有投掷，可能只是正面朝上放下”等回答. 这类问题也是高于现阶段的教学要求.

A ．正面一定朝上

B ．反面一定朝上

C ．正面比反面朝上的概率大

D ．正面和反面朝上的概率都是0.5

A 第7题图

C

B

请阅读上面的说明，准确把握教学要求.

7． 如图，若?=∠60A ，m AC 20=，则BC 大约是(精确到m 1.0)

A ．m 3.17

B ．m 3.28

C ．m 6.34

D ．m 32.17

考查要点：考查直角三角形的边角关系(锐角互余、含?30角的直角三角形中的直边与斜边关系、勾股定理、三角函数)、特殊角的三角函数、简单的近似计算等. 做题时首先应从图中获得直角的信息. 定位为容易题.

设计意图：本题紧扣课程标准，以能力立意，可以认为是解直角三角形，也可以认为是简单实际问题的模型构造及求解. 本题有多种思考途径，因解题思路的不同所涉及的知识呈广泛性.

8． 半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是

A ．3

B ．4

C ．5

D ．7

考查要点：考查圆的定义与对称性、等腰三角形及其性质、三角形的高(或点到直线距离)、勾股定理. 定位为容易偏中等题.

设计意图：本题未提“弦心距”概念，是因为课本没有这个概念.

本题未给图形，需要学生自己构造满足要求的图形，这部分知识学习的熟练程度及理解题意并作图的能力强弱会影响题目的解答.

9． 多项式2321xy xy -+的次数及最高次项的系数分别是

A ．3，-3

B ．2，-3

C ．5，-3

D ．2，3

考查要点：考查整式的相关概念(多项式、项、系数、次数). 定位为容易偏中等题.

设计意图：多项式是代数的基础，多项式的构造形式、相关要素及识别判断是重要的学习内容.

10．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家. 此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是

考查要点：考查现实背景下的变量之间的变化关系、函数及图象. 定位为中等题.

设计意图：本题综合考查了现实问题、现实问题的模型----函数及其相关知识、函数图象与现实意义的关系解释等，还涉及到速度、距离和路程三者之间的关系.

11．数字9 600 000用科学记数法表示为 .

考查要点：考查大数的科学记数法. 定位为容易题. 设计意图：略.

12．方程0222=--x x 的解是 .

考查要点：考查一元二次方程的形式识别与求解(配方法或公式法). 定位为容易题. 设计意图：略.

13．在1、2、3、4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是 .

考查要点：考查两步实验的等可能事件的概率计算(列举法即树状图或列表). 与第6题相比要求高，体现了层次性. 由于是常见问题，故定位为容易题.

设计意图：略.

14．图中圆心角?=∠30AOB ，弦OB CA //，延长CO 与圆交于点D ，则=∠BOD .

考查要点：考查平行线的性质(同位角、内错角等知识)、等腰三角形性质、圆心角与圆周角. 定位为容易偏中等题.

设计意图：略.

15．“对顶角相等”是一个命题，它的条件是 .

考查要点：考查对顶角概念、命题及其结构. 定位为中等偏难题.

设计意图：本题考察命题的相关知识. 命题是数学的核心概念之一，是数

学学习必须掌握的基础知识，课标要求“会区分命题的条件和结论”，本题的条件比较隐避，需要敏锐的观察和对命题有充分的理解才能发现.

本题是命题的简约形式，相当于一个知识的称谓部分，它和其完整形式的表达都在课本里有反映，选用此题的目的一方面是引导课堂教学要重视课本，另一方面也降低了学生的应试难度(实际情况未必如此). 希望教学中慎重看待和分析命题的各种基本形式！

16. 计算：)2|4|(])2(5[213-÷----+?.

考查要点：考查有理数的相关概念、相关运算法则和运算律、运算顺序、整数次幂、负整数次幂、绝对值、符号法则等. 定位为容易题.

设计意图：

中考题目中考查的有理数的运算问题，通常是小学没有学过的知识，具体说就是数

第14题图

的发展过程中不得不引入的新的数类与运算. 实际上，我们可以有更高的要求，也就是考查实数及其运算，而实数中除有理数外，现在主要有开平方(开立方)、三角函数值(几乎都是)、圆周率π及符合无理数定义且有规律表达的数(如0.1010010001…)等四种形式的数类(一般来说，符合无理数的定义但无法显性表达的无理数，或可不作为一类)，而运算中所涉及的数通常只有前三类.

关于有理数和简单根式的运算，需要关注数的各种表达方式(数的类型)、运算的类型、运算的顺序、运算法则与运算律等，我们希望初中学生能达到熟练的程度.

三角函数值及圆周率π参与的运算，主要是特别的情形. 比如特殊角的三角形函数参与运算是把它当做有理数或根式值，或者取它的有理近似值，或者不考虑具体的值而计算一个数的0次幂.

我们认为现在学生在运算能力上有问题，主要是这些方面的教学不精细. 附：设计原题16. (1) 计算：)2|4|(])2(5[213-÷----+?.

(2) 在(1)中用到了有理数的相关知识，请按答题卡中的示例举例说明(一例即可).

其中(2)的解答示例：3)2(-叫正指数幂是概念的称谓(名称)；)2()2()2()2(3-?-?-=-用的是幂的定义；8)2()2()2(-=-?-?-是有理数相乘，左边是运算式子，右边是运算结果.

原设计考虑了数及其运算的认识和关于代数推理的要求. 实际上，每一个数值运算和符号变形都有数学相关知识的支撑. 更一般的，所有的数学运算、变形与推理都是如此.

17. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形. 若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是网格点，试说明△ABC ∽△DEF .

考查要点：考查图形的旋转和相似、三角形相似的判断方法、勾股定理等. 定位为容易题.

设计意图：本题来源于八下第137页议一议，命题时将其中一个三角形作了旋转. 本题要求“说明”而不是“证明”，一字之差体现了课标和教材对相似形的教学要求的不同.

关于相似问题，课程标准和北师大版教材停留在直观、归纳、合情推理、似真知识的阶段. 由于教材中有标注“以后数学上可以证明这些知识都是正确的”，所以相似的知识可以在解决数学一般的说理、计算和实际问题中应用. 又由于在课标和现行教材体系中，相似的知识没有明确其作为公理也没有被证明为定理，所以不能作为演绎证明的依据.

A B C D E F 第17题图

本题直观上看用三边成比例较好，进一步分析可知用夹同角(等角)的两边成比例亦可.另外，用三角对应相等也行，只不过讨论的更复杂，并不希望如此. 知识是否熟练、思维是否敏捷、能力有强有弱，则策略的选择有优有劣，考生要临场选择合理的策略.

18. 按答题卡中的要求化简：

2

13

12a

a a -++-. 考查要点：考查分式中的分式性质、同(异)分母分式的加减法则、通分、约分；考查整式中的

去括号法则、合并同类项等. 定位为容易偏中等题.

设计意图：本题之所以归为偏中等难度的题，主要原因是设计了规范的要求，需要读懂表格中的陈述的意思并正确填写.

表格中的各列，分别反映了解决一个问题的过程(怎样做)、过程说明(做什么)、变形依据(为什么这样做). 做什么的描述，说明了步骤与环节清晰、程序合理、思路明确的要求；过程书写，说明了数值与符号运算准确、推理与论证符合逻辑、解题思路显性表达的要求；变形依据的注释，说明了解题过程中每一个步骤都是有数学知识做保证，这些知识主要有数学的概念、原理、方法等，是数学学习内容的重要组成部分.

分式运算是分式的性质和多项式运算、因式分解等多种知识的综合应用，历来是学习中的难点. 本题考察的是简单的基本运算，本身运算难度不大，但要求学生写出“解题步骤说明、用文字或符号填写解题依据”，也就是要求考生做“不仅仅是知其然(会做)，还要知道其所以然(理解解题的步骤含义)”. 命题者正是通过这样的设计引导我们的课堂要重视知识发生过程的教学，使学生真正掌握知识、提高能力，对于克服课堂教学中存在的“生搬硬套，盲目训练，题海战术”等违背教学规律的做法，引导课堂教学健康发展具有重要意义. 本题的设计新颖，是佛山充分体现了“特色”(赵).

本题创新利用表格的形式呈现了分式化简的过程和其中的原理. 解题过程中涉及到的原理和性质往往是教学实践中容易忽视的一环. 特别是代数运算方面，往往采用简单的机械重复训练巩固，而非数学活动过程的体验和分享. 久而久之，必将严重挫伤学生学习数学的兴趣和动力. 本题的设计对教育教学过程有巨大指引作用(彭).

19．已知两个语句：① 式子12-x 的取值在1与3之间(含1与3)；② 式子12-x 的取值不小于1且不大于3.

请解决以下问题：

(1) 两个语句表达的意思是否一样？ (2) 把两个语句分别用数学式子表示出来.

考查要点：考查语义理解、关系判断、建立不等关系(数学化). 定位为容易偏中等题. 设计意图：本题来源于八下课本第35页的两个问题，取自课本问题中的片语，是课本问题中建立数学关系的两个关系语句的同义句.

我们认为，数学学习的一个非常重要的方面是阅读理解. 教学实践中，学生的阅读理解能力明显不如基本技能.

学生阅读困难的原因可能是多方面的，主客观因素都存在，但老师的原因不容忽视. 老师大多能意识到培养学生阅读理解能力的重要性，但在课堂上却处理不当. 不当现象要重视如下几种：

阅读策略方面，阅读时要关注每一个字、词、短语、句子以及段落和全文，要多读几遍，区分精读和泛读，实际上多模糊处理.

对时间的感知问题，对时间的感知与所处的环境有关，同样的时间在不同的环境里感觉不一样，例如读懂某个题目需要三分钟，但老师在干等时会感觉漫长，可能只读一分钟时即要求学生停止，开始干预.

老师包办代替现象普遍存在，这个现象存在的原因可能不是老师的主观意愿，可能是客观的教学任务要求、态度论、效率论等的影响.

“以做代学”与“题海”现象盛行课堂，越演越烈(近些年所谓的先做后学、导学案等教学方式是否推波助澜不得而知). 特别是复习阶段，每年都有各地的中考题“充实”到老师的认知结构里、教案里和课堂中，题目越来越多，知识点不断拓展，学生在有限的时间内只能浅尝辄止.

学生的因素同样值得思考和解决，这里不再赘述.

另外，数学的阅读与文学阅读不同，除了一般的文字阅读理解，还有数学的术语、概念以及题目里蕴含的数学关系的理解，学生若数学的基础不扎实，阅读也会成问题.

本题考查完整句子的阅读理解并根据所蕴含的数学关系将之数学化，其中数学化的结果反映了理解的正确与否. 我们希望数学化时用“直译”而不是“意译”，一般来说，直译的结果具有唯一明确的形式，意译的结果可能是多样化的. 两个语句分别建立“连续不等式”和不等式组是合理的，是八下课本第35页做一做和例4的关系的重现，说明了语句“在…之间”与语句“不小于…且不大于…”之间的转换且具有等价性(如果有争议，争议的焦点或许在于对直译和意译的认识和这里的等价性).

在初中，不能通过命题逻辑说明3121≤-≤x 和?

??≤-≥-312,

112x x 的等价，希望通过对现实问题中数学

关系语句的等价性的理解，得到数学化结果的等价性的认识，明白它们之间相互转化的合理性. 然而在教学时，通常把这个转化当作是一个固定的知识强硬灌输给学生，我们认为这是在教学的理念、认识和方法上与新课程标准的要求有一定的距离(当然你也可以说出这样做的理由)！

20. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB 与高AO 的夹角. 参考公式：圆锥的侧面积rl S π=，其中r 为底面半径，l 为母线长.

考查要点：考查圆锥、圆锥的侧面展开、扇形相关计算、等积变换、等边

第20题图

三角形的性质等. 定位为容易偏中等题.

设计意图：本题得到OB AB 2=后，用命题“直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条边所对的角为?30”直接得结果是不行的，此命题需要证明正确后才能使用，它是“?30角所对直角边是斜边的一半”这个正确的命题的逆命题，不能保证它的正确性，即使在课本里有证明，但也只能看作是一个问题，而不是现行教材知识体系中的特定知识. 对于本题来说证明其正确恰是解题过程.

如果得到OB AB 2=后，用2

1

sin =∠BAO 再得到?=∠30BAO ，不太恰当但勉强可以接受. 说不太恰当，因为在现行教材中2

1

sin =

∠BAO 是由?=∠30BAO 得到的；说勉强可以接受，因为课标要求“知道由三角函数值可以求角”，而且课本里有类似的问题(课本里要求用计算器)，但

“2

1

sin =∠BAO ?=∠→30BAO ”并不是一个现成的知识.

用扩大化的知识解题，是实际教学与学习过程中的普遍现象，原因在于大家有下面所谓的基本

共识：即多学习知识则便于应用；知识学的多了，也对已学习的知识有相互解释的作用，可以加深对已学习的知识的理解.

实际上，学习其它知识也会有更多的不利因素，比如难以记忆、需要练习或训练、因练习或训练冲击了核心知识的学习、知识多了会造成体系混乱或结构的复杂等，不一定是可取的办法.

课本以外的知识加进课堂教学以及把课本里问题当成知识，仿佛是默认的规则，多年积累下来，加重了教师和学生的负担，也与素质教育的理念相背离. 本题的命制希望对此起到好的引导作用.

21．已知正比例函数ax y =与反比例函数x

b

y =

的图象有一个公共点A )2,1(. (1) 求出这两个函数的表达式；

(2) 画出草图，据此写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围.

考查要点：考查待定系数法求函数表达式、函数与坐标定位、画图能力、图象特征(一增一减的比较). 定位为容易偏中等题.

设计意图：函数是数学中极为重要的内容. 初中涉及的函数类型主要有一次函数、反比例函数(不含一般的分式函数d cx b ax y ++=

即k m

x n

y ++=)和二次函数，没有根式函数b ax y +=，也没有形如d

cx b

ax y ++=

等的复合形式；函数所涉及的知识主要有函数的定义、图象、简单性质，以及函数与方

程、不等式的关系等，其中定义用表达式呈现出描述性、形式化特征，图象具有程序性和操作性(作图)、直观性(观察识图)、粗略性(计算与画图可能不精确，且没有理性论证)的特征，性质因简单要求进行了有限约定，函数与方程、不等式的关系也是基础的部分.

本题考查一次函数和反比例函数的基础内容. 选用的函数不是类似于k ax y +=与x b y /=，而

是ax y =和x b y /=，主要是这两个函数的图象具有同时关于原点对称的特点(当然直线ax y =关于原点或其上任意一点对称的问题不是不是知识点，也不是那么容易理解的；x b y /=的图象关于原点对称同样不是知识点)，显然严格控制在课标、课本的要求范围内. 当然如果选择k ax y +=与

x b y /=来设计题目，必须注意解答过程不能用解方程组的方法！

(2)的语义理解：未指明“在同一坐标系中”画出两个函数的图象，要能根据前后的陈述明白在同一坐标系中画图，才好通过图象比较或说明函数关系.

观察图象特征，写出符合条件的x 的取值范围时，本题设计的两个函数在共同的自变量取值范围内一增一减，不是同增同减. 若是同增同减，则可能出现复杂的情况，比如是否要讨论在同增的部分增加的快慢，用什么办法讨论，在可视的范围所作的判断是否可以推广到未知的部分(直观所得与理论结果是否一致)等. 你知道本题这样不是同增同减时的好处吗？

其中第三象限的公共点的坐标可通过作图时给出或观察并验证给出. 若观察就必须验证，否则是没有数学依据的，因为观察不是数学知识. 因此，由两个图象作图时是否同时取对应值(-1,-2)，第(2)题的解答过程有两个，一个是“根据作图过程知两个函数另有公共点(-1,-2)～写出结论”，二是“观察图形～猜想两个函数的图象另有公共点(-1,-2)～验证(-1,-2)是公共点～写出结论”.

22．课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.

(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ； (2) 证明推论AAS .

要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明时各步骤要注明依据.

考查要点：证明三角形全等的判定方法即推论AAS ，考查文字命题的证明. 定位为中等题. 设计意图：数学结论的探索发现(合情推理)、推理论证(演绎推理)、知识应用在数学学习中都是重要的，缺一不可. 本题考查推理论证.

命题是数学中的基础“语言”，学生应切实理解命题、公理和定理的含义，准确分析命题结构，掌握证明真假命题的方法和步骤(依据现有的定义、公理、定理和严格的逻辑推理方式证明真命题，或者通过举反例说明假命题).

本题来源于九年级上第2页，教师参考书和教材都明显要求利用公理ASA 证明推论AAS. 命制本题既考查了数学的基础与核心知识，又达到引导教师关注教材的目的，而且体现了公平、公正的命题思路.

必须注意，现行教材的证明体系中承认的公理一共有6条(课标修订稿有9条，实际上能用来作为论据的仍然是6条)，与几何原本不同. 凡是不在课本里进行严格证明的定理，课后非黑体字的命题(我们认为这些命题只是一个问题而不是一个知识)，均不可以在证明时直接使用.

A B C D

E F

第22题图

本题之所以定位为中等题，主要有如下几个方面的因素：一是在教学中对概念、命题、法则、方法等的过程性重视不够，特别是教材的编写特点和师生对数学及数学学习的理解有问题，使得师生把经历的探索发现的知识当作已会的数学真理性知识，在证明阶段对文字命题的处理不到位；二是训练时对知识的记忆、背诵、默写、例证、理解等不够重视，以应用性的题海式练习为主；三是在教学特别是复习备考时普遍存在拓展知识的现象，知识多了，对核心和基础知识的关注自然少了，也就会生疏和不熟练；四是学生在各种因素的综合作用下，失去了对数学学习的理解和价值判断，以做题为学习的主要形式，不做题就不知道如何学习，不重视数学基础知识的学习.

本题中，学生可能不能完整的叙述这个推论的文字描述，也可能不知道这是一个需要证明的命题，也许会想这已经是一个数学真命题还用证明吗，当然也可能不知道ASA 是公理可以用来作本题证明的依据，或许会误解ASA 是否也要证明，等等.

以上谈到的问题本来不是个问题，是教师应该具备的专业常识性知识，但从教学实际发现，有些教师还不能正确的理解证明的系统性知识，教学失当，因此对本题命题者抱的期望并不是很高.

23. 在一次考试中，从全体参加考试的1000名学生中随机抽取了120名学生的答题卷进行统计分析. 其中，某个单项选择题答题情况如下表(没有多选和不选)：

(1) 根据统计表画出扇形统计图；

要求：画图前先求角；画图可借助任何工具，其中一个角的作图 用尺规作图(保留痕迹，不写作法和证明)；统计图中标注角度.

(2) 如果这个选择题满分是3分，正确的选项是C ，则估计全体学生该题的平均得分是多少？

考查要点：考查抽样、数据整理、数据计算、制作扇形统计图、样本估计总体和尺规作图的作角等于已知角等. 定位为中等题.

设计意图：本题通过一个有意义的应用题，综合考查了代数、几何和统计等方面的基础知识和基本技能，为了方便数据作了理想化设计，是一个有创意的好题.

本题的难点在于需要考虑的点比较多，有些是隐性的，有些必须在解答表达时有反映. 比如数据整理成表，是隐性的考查意图，反映在题干里. 比如样本估计总体的考查意图，也是隐性(或者说是半隐性)的考查，在解答时应有反映，反映的标志就是要说明样本的平均得分(选项赋分后进行加权计算)作为总体的平均得分要用到“估计(或大约)”. 有些问题直接反映在解题要求里，如尺规作图和其它工具画图等.

24. 如图①，已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A (0,3)，B (3,0)，C (4,3).

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 求抛物线的顶点坐标和对称轴；

第23题图

第24题图①

第24题图

(3) 把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形面积S (图②中阴影部分).

考查要点：考查用待定系数法建立三元(或二元)一次方程组求二次函数解析式，二次函数图象与性质，图象平移，图形割补与面积计算，消元思想(方法)，一元一次方程及解法，解法程序及规范表达. 定位为中等偏难题.

设计意图：本题是一道综合题，综合考查了代数、几何、函数等知识、技能和思想方法. 第(1)题，用待定系数法建立方程组求解析式是数学的基本思想、方法、模式和技能的反映，本题按考试说明的要求设计了用解三元一次方程组的知识.

第(2)题，求抛物线的顶点坐标和对称轴，不论是用配方法还是记得公式，也都是基本方法或模式的反映.

第(3)题，首先要知道抛物线平移不改变形状和大小，其次要知道它与参照物即坐标系的相互关系中有些是保持的，最后要能根据前者分辨出图形之间的割补关系. 阴影面积推导如下：Ⅲ＋Ⅳ=Ⅱ＋Ⅳ即Ⅱ=Ⅲ，从而阴影面积为Ⅰ＋Ⅱ=Ⅰ＋Ⅲ=2(也可以构造平行四边形来解决；如果知道平移时处处竖直线段的长为1和平面上的祖暅原理，可简单获得结果，但不希望教师补充这方面知识).

一般地，图形的平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形要素之间的相互关系，因此阴影部分“曲边四边形”ADEF 的面积等于平行四边形ADEF 的面积. 对于本题来说，可以认为这是变形的祖暅原理.

当然，若理解为要用积分来求曲边图形的面积，这是老师的经验，多想了！

另外，如果学生猜出答案，这也是在经验的基础上的直觉判断，丰富的直觉也是难得的！

25. 我们知道：矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识.

已知平行四边形ABCD ，?=∠60A ，a AB 2=，a AD =. (1) 把所给平行四边形ABCD 用两种方式分割，并作说明；

要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个.

(2) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题. 现在请计算两条对角线的长度.

要求：计算对角线BD 长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC 的长.

考查要点：定位为偏难题. 直观考查基本特殊图形认知、图形构造(剖分与拼接)、已知确定图形中的相关要素(边与角)求另外的要素(对角线). 隐性考查阅读理解、探索发现与推理论证、合情推理与演绎推理、事物的特殊性、计算过程中论证时知识性要求等.

设计意图：与前几年佛山市数学科的试题一脉相承，此题亦渗透了对事物的认识策略和学习策略. ①认识策略的反映：题干的陈述部分说明了矩形相对于平行四边形、黄金矩形相对于一般矩形有其特殊性，各产生了相关的特殊知识. 因此对于题目所给限制条件下的平行四边形，亦有可研究

A

B

C

D 第25题图

的特殊问题. ②学习策略的反映：比如圆的学习大体上有三个方面的内容，一是圆本体具有简单对象与问题(如圆的定义、作图、半径与面积计算等，这是整体属性)，二是圆通过分割产生了相关对象与问题(如弦、弧、圆心角、圆心角与圆周角的关系等，这是局部特征)，三是圆与其它图形对象的位置关系构图产生了相关对象与问题(如点在圆内、直线与圆相切等，这是联系性). 本题是特殊的平行四边形本身的对角线计算问题和在进行图形分割时产生的用特殊图形构造的问题(还可以对此图形进一步进行研究)，与圆类似，可以认为是圆的学习策略的迁移.

第(1)题在作图时，对图形的构造含有探索与猜测的因素，是直观和合情推理. 第(2)题在计算时，需要对图形的关系或形状进行论证说明，是演绎推理. 这两个阶段的差异在计算对角线BD 时有明显的反映.

第(1)题考查对特殊平行四边形进行分割，并且要求分割后的图形是学习过的特殊图形. 在答题卡上附有表格，方便学生填写. 表格除了要求填写分割的示意图，还需要用文字和符号描述图形的特征(包括边与角的定量条件，这是直线形图形的特征)，这样的设计新颖、立意高. 学生需要足够的临场应变能力和扎实的数学基本功，能读懂题目要求和准确填写表格. 为了降低的难度和明确要求，表格提供了示例.

第(2)题“求出对角线长度并要求规范书写”，也就是对图形进行定量分析. 求解过程需要作辅助

线，不同的辅助线导出不同的解法. 图①的解答中可能会掉进“直接判定△ABD 是直角三角形”的陷阱，这里需要更多论证；图②的解答则可以避开陷阱，但要计算的边长较多，当然还有其它好的做法. 细心的学生可以发现，这些图形都是第一问的答案之一. 把新图形分割成我们学习过的特殊图形(通过辅助线实现)是学习数学中很重要的转化思想！

需要说明的是根据已知条件不能直接判定ADB ∠是直角，因为我们没有“三角形中，如果夹?60角的两边中，一边长是另一边长的一半，则这个三角形是直角三角形”的知识.

可用的知识除了参考答案中的外，还可以用“如果三角形一边的中线长等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”这个知识，因为它是课本里确认的结论.

学习不能离开一定的课程体系，课本中不作为类似于定理的结论，从学生的角度来说当然不能随便用来作为论据. 如果一定要用，必须在使用之前给出证明，其格式是“下面(我们)先证明‘三角形中，如果夹?60角的两边中，一边长是另一边长的一半，则这个三角形是直角三角形’：……”. 老师应知道，在数学文献中，这样的例子很多. 如果解答选择题和填空题用到这个知识，那就悉听尊便了，因为这两种题型都不需要解答过程. 本题若如此做，显然亦是解题的过程.

把本题定位为偏难题，主要因素有：一是阅读理解题意(含题目本体要求和解答要求)和答题卡里

E

A

B

C

D

图①

A

B

C D E

图②

的表格示例意义有困难；二是学生对图形构造的说明不一定清楚，可能读不懂答题卡里的表格示例的意义是确定图形，不会用正确的数学语言对图形进行说明；三是计算时要求论证且在论证时可能自以为是的应用“似知识”的“非知识”；四是论证和计算的途径和方法多样化.

五、基本数据

1.总分基本数据

3.成绩分布

附件：送省分析报告(节选)

一、试卷分析

(一)试题与预期目标的一致性(如难度等)

数学科的试卷依据课标、现行教材及佛山实际命制，遵循基础性、公平性、现实性、合理性、有效性和导向性等原则.

根据市教育局的要求，试题难度为0.63-0.68，预测难度为0.64(实际得分78.65，难度0.655).

(二)数学科试题内容的科学性

本卷题目的叙述清晰明确，所给的条件充分、独立、不矛盾，涉及的概念是课本里定义的知识，涉及的有关符号意义明确、无歧义.

本卷所考查的内容抽样具有明显的代表性和广泛的覆盖面，落实三维目标，体现教育价值，内容与表述的科学与严谨，重视试题的质量系数，关注正确的价值取向.

(三)数学科试题设计的教学导向性(知识的覆盖面、重点、难点)

佛山市数学科试卷的命制充分反映了导向性原则的要求.

(四)数学科试卷题型及卷面设计的特点

1.重视基础和核心知识的考查

我们认为，只要基础知识学的扎实，在学知识的过程中掌握了学习的方法，能力得到提升、思维得到锤炼，现阶段的学习任务就圆满的完成了，进一步学习的前提也具备了.

佛山市数学试卷明显的反映了前述内容. 比如第4题分解因式，明确要求用提公因式法和公式法，不反映十字相乘法和分组分解法；比如第15题命题的结构分析，从简约的形式到完整的形式；比如第16题的有理数运算，就是考查数的发展过程中不得不引入的新的数类与运算.

2.进一步完善规范的要求

规范要求主要有三个方面，一是命题过程的规范，二是试卷、答案与评分标准的规范，三是解题要求的规范.

前两个规范已经是佛山市中考命题的常规，本卷明确反映规范要求的具体题目是第18题，其它的基本题目也分别有所反映.

3.体现课标和教材的要求

我们认为，教材中的内容、呈现方式、研究路径、思维和能力等要达到的教学目标基本上反映了课标的要求，学好教材即达到初中学段规定的学习任务要求.

比如第17题关于相似的问题用“说明”而不用“证明”，这是因为课标和课本都没有关于相似的证明要求，相似的知识都是探索并合情猜测的结果；比如第20题，在现有的知识体系中有正确的30角所对直角边是斜边的一半”，而没有把它的逆命题“直角三角形中，一条直角边命题即定理“?

30”当作知识，因此是不能直接使用的.

等于斜边的一半，那么这条边所对的角为?

4.题目的设计有后续的研究价值

教师是一个成长的职业，教学也是个完善的过程，因此教学观念要不断的进行更新，对具体问题的认识也要不断的深入.

比如，“什么是知识”？我们认为“一次函数经过某个象限”不是知识而是一个问题的解，它是用“作图、观察、明确‘经过象限’的意义、判断”等过程得到的结果，如果把它当作知识，则知识是无穷尽的. 针对本卷，第20题中的“直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条边30”也是一个可以论证的问题而不是知识，解决这个问题就是解第20题的过程.

所对的角为?

(五)数学科试题答案及评分标准的科学性、准确性、唯一性和可操作性

无需说明与举例，佛山市中考数学科试题多年来均按要求给出答案及制定评分标准.

(六)数学科命题工作存在的问题或今后改革的意见或思路

佛山市中考数学科考试命题工作相当的成熟，没有特别需要考虑的问题.

二、答卷分析(抽样人数不少于当地总考生数的3％，以每试室第一份或同间距抽取的试卷为样本) (一)数学科答卷中知识性错误集中反映及典型例子

例1[试卷第15题]. 命题“对顶角相等”的条件是 .

本题是命题的简约形式，它和其完整形式的表达都在课本里有反映. 有相当多的学生不理解什么叫命题，不会分析命题结构，因此不懂得题目中“条件”的意思，写成了怎样能得到对顶角“两条直线相交”等类似的说法，也有部分学生就写“对顶角”. 本题解答中出现的问题是教学中的薄弱环节.

例2[试卷第22题]. 课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定

理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.

(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ； (2) 证明推论AAS .

要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达 已知、求证，并证明，证明时各步骤要注明依据.

本题在解答时有两个问题出现了明显的错误：第一是不知道什么是推论AAS ，乱写；第二是在

证明时运用了相似的知识，相似的问题在课程标准和教材里都没有证明，相似的知识也不作为证明的依据，这是对课程体系和知识体系理解错误所致，然而这是教学中的普遍现象，应杜绝！

(二)反映考生能力未达到课程标准和《2013年广东省初中毕业生各科学业考试大纲》要求的较集中的典型例子

由于佛山市基础教育保持了相当高的水平，并且初中数学教学在近些年考试的引导下有了很大的变化和提升，对课程的要求师生都把握的较好，学生的能力都能达到基本要求．

(三)考生对数学科试卷题型的理解及适应程度

总体上对试题的理解不存在障碍，适应情况良好. 但由于佛山市今年的试题命制有较多的特色要求，在题目的设计上有变化和突破，故而学生在对试题的理解上也存在一些不适应的情况，具体举例如下：

例１[试卷第15题]. 命题“对顶角相等”的条件是 .

本题是命题的简约形式，但学生可能会根据命题的完整形式理解为题目的陈述仅是命题的结论，存在着对题目的怀疑和困惑.

例2[试卷第18题]. 按要求化简：

2

13

2a a -++

. 解题过程

解题步骤说明 解题依据(用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个)

2

13

12a a a -++

- 此处不填

此处不填

=)

1)(1()3()1(2-++-+a a a a

示例：

通分 示例：

略.

=)1)(1(3

22-+--+a a a a

去括号 . ①

=)

1)(1(1

-+-a a a

合并同类项

此处不填

=

. ② . ③ . ④

本题主要是①、④两处的填写问题很多. 例3[试卷第19题]. 已知两个语句：① 式子12-x 的值在1(含1)与3(含3)之间；② 式子12-x 的值不小于1且不大于3.

A B C D E F

第22题图

请回答以下问题：

(1) 两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)？ (2) 把两个语句分别用数学式子表示出来.

答卷中，学生或者理解两个语句表达的意思不同将数学化的式子强硬的进行调整，或者理解两个语句表达的意思相同将数学化的式子统一，这些都是理解上有问题.

本题只需要按题目要求写出答案，但也有学生把所列的式子解出来.

(四)对数学科答卷中存在问题原因的分析 1. 知识的扩大化问题 2. 解题的规范问题

关于规范的要求，本卷中典型的、显性考查的题目是第18题，在第16题、第17题等题目中有隐性的反映.

比如第16题计算)2|4|(])2(5[213-÷----+?，按照命题的意图说明，运算过程中关于3

)2(-+与)(a --中的符号处理，3)2(-、|4|-和12-÷的取值，都是需要反映出来的，然而实际上有不少学生跳步，反映不全面.

表达或描述一个问题的解，至少需要明确三个方面的内容：做什么、怎样做、为什么这样做(或为什么能这样做、这样做的理由或依据是什么). 做什么主要说明解题的阶段性、层次性、程序性；怎样做主要是实现做什么的具体表现；为什么这样做所依据的不外乎是数学的概念知识、方法、思想，也可以说是数学知识.

考查解题规范性，实际上是考查学生分析题意、形成思路和用知识解决的能力.

(五)本次试卷值得肯定的方面

命题者对数学、数学教学与数学教育进行了深刻反思，在本次数学科试卷命题过程中坚持了与全国各地不同的特色要求，对佛山市将来的数学教学将起到巨大的推动作用.

(六)对改进数学科命题的建议和意见

无须质疑，佛山市数学科中考命题的要求是合理的，试题命制技术是比较成熟的，已得到广大数学老师的认同，我们将坚持其风格与方向！