人口预测模型
一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国实行计划生育政策，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但该政策实施30多年来，其负面影响也开始显现。如临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应进行了大量的研究和评论。
党的十八届三中全会《决定》提出，启动实施单独两孩政策。这是新时期我国生育政策的重大调整完善，备受社会关注。
请解决以下问题：
（1）针对国家卫生计生委副主任王培安单独二孩不会导致人口大增的人口预测，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对单独二孩会不会导致人口大增进行分析，并发表自己的独立见解。
（2）建立数学模型，针对深圳市讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
二、问题分析
问题1、启动实施单独二胎政策，是经过充分的论证和评估的。对于我国目前为什么要放开二胎政策这个问题，以及为什么单独二孩不会导致人口大增是有以下情况决定的。
进入本世纪以来，我国人口形势发生了重大变化。一是生育水平稳中趋降，我国目前总和生育率为1.5-1.6，如果不实行单独二胎新政策，总和生育率将继续下降。二是人口结构性问题，劳动年龄人口开始减少，人口老龄化速度加快，出生人口性别比长期偏高。三是家庭规模持续缩减。四是城乡居民生育意愿发生很大变化，少生优生、优育优教的生育观念正在形成。
通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化来验证单独二孩政策的必要性以及单独二孩不会导致人口大增的预测。
问题2、我们从出生性别比、生育率、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等方面来预测分析2015年深圳市实行二胎政策对人口结构变化的影响。
先预测深圳市2015年实行二胎政策，预测生育率、出生性别比、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等数值并分析变化趋势，根据这几种变化趋势分析对深圳市未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响的影响程度。
由于出生性别比受经济、社会、政策多种因素的影响，用有规律的定量分析
并不能预测完全，所以我们用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行分析。
对于生育率，根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制图
图1：2008-2010年各年龄阶段生育率
从图中可以看出生育模式符合偏正态分布，因而我们选择概率分布中属于偏正态分布的对数正态分布和韦伯分布进行数据拟合，比较二者的拟合精度，选择最优的模型预测生育率。
对于人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年、老年系数我们用第一问建立的差分方程模型进行预测。
三、问题假设
1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题
2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况
3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化
4、假设查得的数据真实有效
四．名词解释及符号说明人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面【1】。
生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女的数量【2】。
人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之比，以百分数表示【3】。
bi--生育率
di--死亡率
si--生存率
B--总和生育率
五、模型建立及求解
5.1影响因素的分析
计划生育实施30多年来，在控制人口快速增长的同时，产生了令人担忧的问题：人口老龄化、生育率水平降低、劳动人口数下降等。
从以下几方面进行分析单独二胎新政策的必要性：
5.1.1生育率水平
计划生育30多年来，我国人口生育率发生了重大变化。如下图所示：
图2：1983-2010年生育率变化折线图
有图2可知我国在实施计划生育政策以来，生育率处于下降趋势，近几年我国生育率更是低于超低生育率水平1.5。（有图分析）
然而超低生育率水平加快了我国老龄化的进程，对社会将会有极大的损害，不利于社会的发展。
5.1.2出生性别比例
由于实行严格的计划生育政策，重男轻女的传统思想使得性别选择成为人们退而求其次的选择，最终导致出生性别比例逐年扩大。如下图所示：
图3：1980-2010年性别比例折线图
由图可知：自计划生育政策在全国范围内实施后，我国出生人口性别比例明显升高。严重偏离了正常的性别比值，且男女性别比值总体上仍呈增长趋势。
出生人口性别比失衡带来家庭稳定性受到冲击，各种社会不安定因素大量增加等不良后果。这些严重的社会问题，势必影响我国人口与经济、社会、资源、环境的协调发展和可持续发展，需要各级各有关部门及全社会都深刻认识并加以高度重视。
5.1.3劳动人口变化
人口红利期是指生育率迅速下降，少儿抚养比例下降，总人口中适龄劳动人口比重上升，而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。根据人口红利的定义，我们通过用劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化，确定人口红利的变化趋势。如下图所示：
图4：2000-2011年劳动人口占总人口比例年度变化折线图
根据上图可知我国的人口红利大致一直处于增长趋势，但是在2010年出现了一个拐点，所以为了解释这个问题，我们建立差分方程模型来预测接下来几十
年劳动人口占总人口比例的变化趋势，进而较精确的说明人口红利在现在及未来的发展趋势。
（1）差分方程模型
将人群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，相对应的，时间也离散为间隔与年龄区间大小相等的时段。
由于人口的增长与女性个体密切相关，所以用女性数量的变化为研究对象，下面提到的人口数量均指其中的女性。
进行一下定义：
1,2,...n，=0,1,2,...,i=时段k第i年龄组的人群数量xi(k),k
第i年龄组的生育率为bi，
第i年龄组的死亡率为di，
di，-1=第i年龄组的生存率为si，si
注：我们先假设国家环境稳定，于是 bi和di波动较小，可认为其不随时段k 的变化而变化。
xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：
1第一年龄组人口数量是时段k各年龄组生育数量之和，即+时段k
bixi(k)∑=1)+xi(k （4）
1n=i
1年龄组的人口数量是时段k第i年龄组生存下来的数量，即+1第i+时段k
1-1,2,...,n=sixi(k),i=1)+1(k+xk （5）
计时段k种群按年龄组的分布变量为：
[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T=x(k) （6）
由生育率bi和生存率si构成的矩阵为：
?s000??b1b2b3b4?
?1 （7）??0...s03???...s20...??=L
则公式（4）和（5）可表示为
0,1,2,...=Lx(k),k=1)+x(k （8）因而，当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x(0)已知时，可以预测任意时段k人群按年龄组的分布为
1,2,...=Lkx(0),k=x(k) （9）
（2）模型验证
由上式（9）可知只要知道t=1时的人口数据就能依次得到以后每年各个年龄段的人口数据，这样进而可以预测年龄在15-59岁的劳动人口数量，我们将年龄分为4组，将全国人口分为0-14、15-49、50-59、60-90四个年龄阶段，此时有
1?=sL?b1?
0b20s2??0?
?s30?? 00??00?0b3b4
根据中国统计年鉴查得2000-2008的数据出生率bi及死亡率di，通过死亡率求得生存率si。
这样我们就可以通过2000年的数据得到15-59岁预测数据（单位：万），真实数据与预测数据的对照表如下：
表2：2000-2008年的劳动人口真实值与预测值及平均相对误差
果，符合人口发展规律，所以我们用该模型预测各年龄段的人口数量，从而得出15-59岁劳动人口数，以及总人口人数，两者比值即每年的人口红利数据，并作图作图分析人口红利趋势。
相关运算过程借助MATLAB实现，如下图即为预测的未来人口红利变化趋势图。图5：预测的人口红利变化趋势图
根据预测出的人口红利趋势图可知：人口红利在2010-2015年呈增长趋势，
在2015年左右达到顶峰，在2015年之后，如果不采取任何措施我国人口红利将呈现急剧下降的趋势，将不利于经济的发展，对我国经济带来巨大的损失。
5.1.4人口老龄化问题
老龄社会是指老年人口占总数人口达到或超过一定的比例的人口结构模型。
按照联合国新标准是65岁以上老人达到总人口的7%【3】。
我们用近几年65岁以上老年人占总人数的比例来进行分析说明。
表3：2000-2011年我国65岁以上老年人占总人口的比例
并一直呈现增长趋势。并且到2011年比例已经高达9.1，超出标准2.1个百分点，说明我国已经在2000年达到了老龄社会，并且老龄化程度还会继续加大。
根据建立的动态差分方程模型，我们预未来几十年65岁以上老年人占总人
口的比例，用以说明我国老龄化程度的变化趋势。
比率年份
图6：2010-2040年老龄化趋势图
有上图可知：我国人口老龄化呈递增趋势。并预测出到2030年我国老龄化已经超过20%，并将一直增长下去，所以我国到20年后将成为高度老龄化国家。
造成中国人口老龄化加速的原因是多方面的，但最主要、最直接的原因有两个方面：一是长期以来实行计划生育政策出现的较低生育率。另一方面是经济的快速增长、科学技术的进步，人民医疗条件的改善和生活水平的提高，使人类在健康和长寿方面已取得了惊人的成就，人口寿命大大延长。
人口老龄化是社会文明进步的重要标志，同时也会给经济增长、产业演变、文化进步、社会发展等带来一系列的影响。老龄人口的增长将加重现有劳动人口的负担，对经济发展和劳动生产率的提高产生一定的消极影响，给政府带来比较沉重的财政负担并且会引起家庭规模和家庭结构的变化，使家庭的养老功能不断削弱。
5.2结论
通过对生育率、出生性别比例、劳动人口数量变化、人口老龄化的分析，我们得出以下结论：我国生育率持续降低，出生性别比例不平衡程度继续加深，劳动人口数量开始减少，人口老龄化程度继续加重。这种变化趋势最终会影响我国经济的发展。所以我国的生育政策急需调整，即目前很有必要开放二胎政策。
5.3基于灰色GM(1,1)模型的出生性别比
从图3中可以看出,出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,有规律的定量分析并不能很好的对其进行预测。这里我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行出生性别比预测。
5.3.1灰色GM(1,1)简介
灰色系统是指信息数据不明确的系统,灰色系统预测模型的构建原理是将
已知的部分数据序列输入到系统中,通过某种线性或非线性的转换来预测未来
指标的变化情况,在这个阶段中遵循某种规则,反复修正结果,最终得到比较明
朗的变化规律,GM(1,1)模型是在灰色系统预测中应用最为广泛的一种模型。
5.3.2灰色模型求解
一般近似地服从指数规律。则生1)(设X(0)为原始数据，为了使其成为有规律的时间序列数据，对原始数据作一次累加生成运算，从而得到新的生成数列X
成的离散形式的微分方程具体的形式为
u=ax+dx (10) dt
即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的。求解上述微分方程，解为
x(u,u+1)-a(t-ce=x(t) (11) a
x(u，则可根据上述公式得到离散形式微分方程a=x(1)，即c=当t=1时，x(t)-1)
的具体形式为
（-）1(x =)t(x
+u)1-t(a-?u? a?ea?(12)
0dtt→lim t=x(t)-t)+dxx(t
1dt→x(t)) t-t)+lim(x(t=dx
x(1)(t) dt-1)+x(1)(t=dx
将其2???1)+x(1)(t+x(t)?1(1)=t)的平均值作为当t足够小时的背景值，即
x(1)+t)是不会出现突变的，所以取x(t)与x(t+当t足够小时，变量x从x(t)到x(t
u+?1)+x(t+值带入式子，整理得 1(1)(1)x(t) (13) 2???a-=1)+x(0)(t
由其离散形式可得到如下矩阵：
???x(n)+1)-x(n?-???(1)?1(1) ???x(0)(n) ????????u
+????2-?a=?x(3) x(3)+x(2)???(1)(1)?(0) 1???x(2)?(0)2????x(2)+x(1)-??(1)??1 (1)
?2
(0)(0)令 (0)T??x(2),x(3),,x(n)??=Y
?2 = B??1??x(1)(3)+x(1)(2)?-?1???2???x(2)+x(1)-???(1)1?1(1)
??1??-??x(n)+1)-(1)x(n?1(1) ????
?)au(=α
为参数向量. 则上式可简化为线性模型：α称Y为数据向量，B为数据矩阵，αB=Y (14) 由最小二乘估计方法得：
T?a?1T-
BY)BB(=??=α (15)
?u?
T
BTY事实上是数据矩阵)BB(上式即为GM(1,1)参数a,u的矩阵辨识算式，式中
T
1-
B的广义逆矩阵。
将求得的a，u值代入微分方程的解式，则
1)u-a(t-u)1(
+ (16) )e-(x(1)=x(t)
aa
其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得
x =?(t) x
(1)
?
?
(0)
u?u
+1)-a(t-e?-(1) (17)
a?a
再作累减生成可进行预测. 即对序列x)t()1(?
b(x)
(18) B
通过利用MATLAB编程求得a,u，将a,u的值代入微分方程的时间响应函数，5.3.3灰色模型的检验
?(1)(1),x(1)(0)模型求出各时刻值，然后常用的方法是回带检验，即分别用x 求相对误差。结果如表所示：
表4：精度检验实测值、残差值表
从残差检验结果看，平均相对误差为0.003，误差较小，累计生成数列曲线拟合较好，可以用来预测。
表5：2006-2038年的出生性别比预测值
从预测数据可以看出我国出生性别比呈下降趋势，到2038年下降到99.2044。考虑到在这几十年内人们的生育观念难以发生彻底的改变，而GM(1,1)模型没有考虑到实际情况，所以在现行人口政策没有改变的情况下，可以利用GM(1,1)进行未来十年的预测。
5.4基于韦伯分布的生育率数学模型
根据总和生存率与年龄生育率的关系,妇女的年龄生育率的数学表达式可设为
x0。其中:
B为总和生育率,
g(x)为特定的生育模式
b(x)为妇女年龄别生育率,
X为生育年龄,这里假设X取值范围为15到49。
由于随机分布函数的积分值为1,所以需要对年龄别生育率的统计数据进行标准化处理,用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率,使其和为1。
g(x)变形为B?B=g(x) 将妇女年龄别生育率的数学形式b(x)=b(x)
b(x)式中就是指标准化的年龄别生育率,这个统计数据是已知的。 B
用韦伯分布的数学形式表示生育模式为：
x0)b]-a(x-e[?1-x0)b-b(x?a=g(x) （19）其中x0为初始生育年龄，也定为x0=14，参数a和b决定了生育模式的形状。画出韦伯分布的拟合图：
图7：韦伯分布的拟合图
根据韦伯分布的数学表达式可预测出未来的生育率。
5.5差分方程模型
根据问题一中建立的差分方程我们可预测出各个年龄阶段的人数占总人口数的比值。所以可预测人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势。
所以在没有实行二胎政策时，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图8：计划生育政策下中国未来人口结构预测图
由上图可知：少年儿童人口系数有个平稳的下降,这可能由于人口政策并没有完全放开的原因;青壮年人口系数持续下滑至2038年的60%左右,之后直到2060年都维持在该水平;老年人口系数在2041年达到峰值，之后一直维持在一个水平;人口抚养比也是在未来50年内持续走高,2060年达到72. 23%;人口性别比变化幅度较大，从2040-2045年出生人口性别比达到最低，在1的附近，在2050年之后逐渐回升，2060年达到1.02。
当2013年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图9：2013年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图
将图8与图7做对比可知：在2013年实行二胎政策后青壮年人口系数下降较平缓；少年儿童人口系数有个较小幅度的升高，2030-2040年是一个平稳期，变化较平缓，2040年之后则逐渐升高；老年人口系数不再是一直上升，而是在2036年达到高峰，之后则下降；老年人口抚养比跟老年人口系数变化趋势相似，在2037年达到顶峰，之后呈下降趋势；人口性别比变化较平缓，这与实行二胎政策有直接的关系。
当2014年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图10：2014年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图
将图9与图8对比可知在2013年与2014年实行二胎政策对我国未来人口结构影响几乎相同，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势相似，差异极小。只是老年人系数与老年人抚养比的高峰分别前移，人口
抚养比上移说明实行二胎后我国人口结构变化平稳。接下来预测在2015年实行
二胎政策时我国人口结构的变化。
图11：2015年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图
将图10与图8和9对比知2015年实行二胎政策各人口变化更平缓，更利于
中国人口结构的稳定。所以根据问题一我们知道目前有必要实行二胎政策，我们
将2010-2015年作为一个时间段，所以在2015年实行二胎政策对我国人口结构
稳定较有利。
5.6灰色关联度分析模型
灰色关联分析方法是一种新的多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序
列几何关系的比较来分清系统中多因素的关系的紧密程度，序列曲线的几何形状越接近，则它们之间的灰关联度就越大，反之越小。灰色关联度分析方法弥补了
采用数据统计做系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同
样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的
情况。
首先我们根据各地区的人口数量和人口增长率作为灰色关联度的指标，指标
间的相关关系确定权数。然后根据权数大小将各地区进行排名，然后将这些地区
排名进行分类，每一类对应不同的放开二胎的政策。
5.6.1影响因素的选取
二胎政策的放开程度最终会影响各地区人口的变动，所以我们选取各地区人
口的增长率以及人口的数量作为二胎政策放开程度的指标。
5.6.2指标的原始数据
本文使用指标的原始数据为中国统计年鉴2007-2011年的人口普查数据如
下表所示：
六、模型评价
差分方程模型：
人口的变化可以用阻滞增长模型来描述，人口主要由总量的固有增长率决定。但是不同年龄人群的生育率和死亡率有着明显的不同，所以为了更精确地预测人群的增长趋势，我们用按年龄分组的人群增长预测模型。该模型可预测出各年龄阶段的人口数量，即可以预测出人口抚养比、老年人口抚养比、老龄化程度、青壮年、少年、老年系数的趋势，最终预测出人口结构的变化。
灰色GM(1,1)模型:
我们用灰色GM(1,1)模型预测出生性别比。由于出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。但是灰色GM(1,1)模型在预测十年之后误差较大，所以灰色GM(1,1)可以用于短期预测。
韦伯分布拟合：
根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制的图可以看出：生育模式符合偏正态分布。在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。由于韦伯分布拟合更好，所以我们选择韦伯分布模型预测各年龄阶段的生育率。
七、参考文献
[1] 中国统计年鉴：人口相关数据
[2] 汪小勤，汪红梅.“人口红利”效应与中国经济增长[J].华中科技大学出版社，2007：104-105.
[3] 刘静.基于人口学理论的中国放开生育二胎政策研究[J].四川省社会科学院出版社，2010：2-3.
[4] 韩晓庆.基于LesLie模型中国未来人口策略模拟研究[M].东北财经大学，2012年
[5] 邓聚龙.灰色系统理论教程[M] .武汉：华中理工大学出版社,1990
八、附录
（1）生育率折线图
x=[1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008];
y=[20.19 19.9 21.04 22.43 23.33 22.37 21.58 21.06 19.68 18.24 18.09 17.70 17.12 16.98 16.57 15.64 14.64 14.03 13.38 12.86 12.41 12.29 12.46 12.09 12.10 12.14 ]./10;
plot(x,y)
grid on
（2）老龄化拟合图
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]; y=[7 7.1 7.3 7.5 7.6 7.7 7.9 8.1 8.3 8.5 8.9 9.1];
plot(x,y,'.')
a=polyfit(x,y,1);
grid on
hold on
y1=a(1)*x+a(2);
plot(x,y1,'r')
（3）劳动人口占总人口折线图
a=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011];
b=[70.1 70.4 70.3 70.4 70.9 72 72.3 72.5 72.7 73 74.5 74.4];
plot(a,b)
grid on
（4）人口红利变化曲线图
%人口红利
popu=[196517 190502.9245 185053.8543 180108.46 175612.1276 171516.2225 167777.4348 164357.1959 161221.1591 158338.7371 155682.6899 153228.7588 150955.3392 148843.19 146875.1748 145036.0314 143312.1663 141691.4721 140163.1644 138717.6373 137346.3342 136041.6327 134796.7422 133605.6132
132462.8558 131363.6676 130303.7691 129279.3469 128287.0022 127323.7057 126386.7571;
636132 637390.8212 638082.5903 638272.0246 638016.7355 637368.0075 636371.4913 635067.8211 633493.1642 631679.7107 629656.1087 627447.8532 625077.631 622565.6289 619929.8071 617186.1438 614348.8521 611430.5736 608442.5504 605394.7789 602296.1458 599154.5505 595977.0127 592769.7691 589538.3593 586287.7022 583022.164 579745.6191 576461.5037 573172.8642 569882.3998; 163449 165864.5264 168120.4998 170215.855 172151.1628 173928.3302 175550.3447 177021.0535 178344.9761 179527.1443 180572.9666 181488.1135 182278.4217 182949.8133 183508.2293 183959.5746 184309.6738 184564.2344 184728.8189 184808.8225 184809.4563 184735.7351 184592.4692 184384.2595 184115.495 183790.3527 183412.7996 182986.5957 182515.2986 182002.2687 181450.6758; 167407 173158.3804 178879.3942 184559.744 190189.4185 195758.7998 201258.7443 206680.643 212016.4643 217258.7808 222400.7855 227436.296 232359.7516 237166.2031 241851.2974 246411.258 250842.8618 255143.4142 259310.7221 263343.0658 267239.1704 270998.1772 274619.6152 278103.3722 281449.6682 284659.0277 287732.2547 290670.4072 293474.7739 296146.8517 298688.3242;];%未来三十年各年龄分布
z=sum(popu(2:3,:));
h=sum(popu);
y=[];
for i=1:31
y(i)=z(i)/h(i);
end
x=2010:2040;
plot(x,y,'-r')
（5）韦伯分布拟合图
clc
clear
x=15:49;
for i=1:35
b(i)=0.000705*2.763*((x(i)-14)^1.763)*exp(-0.000705*(x(i)-14)^2.763)
end
plot(x,b)
（6）人口结构图
b=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.20e-08 3.33e-05 0.000964679 0.005942649 0.017576217 0.034509514 0.052636316 0.067985513 0.078287436 0.083045681 0.082937903 0.079166813 0.073004794 0.065552067 0.057649045 0.049877081 0.042599409 0.036013423 0.030199795 0.025162689 0.020860038 0.017224951 0.014180046 0.011646511 0.009549449 0.007820694 0.006400002 0.005235229 0.004281934 0.003502677 0.002866199 0.002346573 0.001922413 0.00157615 0.001293396 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];
k =[118.4393 117.6921 116.9495 116.2117 115.4785 114.7499 114.0259 113.3065 112.5916 111.8812 111.1753 110.4739 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110];
n=[6174249.184 5768666.662 6230389.137 6341523.331 6441200.392 6577540.279 5976040.776 6403391.852 *******.893 6763145.84 6757417.273 7521608.071 7559416.611 7948959.146 8718878.51 8283507.441 8628367.156 8581392.909 8762415.617 10822408.2 10788036.8 9879486.122 11044676.59 9607952.061 8673049.976 8505775.829 8458801.582 9504837.86 8430158.748 8411827.335 8787621.31 8872404.097 8453073.015 9579309.227 10022700.29 10896879.57 11722938.88 12246529.88 12542123.92 13841362.85 13064569.2 13905522.8 11653050.37 13144769.14 12956872.15 12858340.8 14932081.95 6436617.539 11105399.39 8195287.514 7664822.238 9562123.527 10522231.31 9943646.069 10304545.77 10362977.15 9337563.713 9247052.359 8191850.374 8140293.274 7538793.771 6540877.452 6374749.018 5601392.514 5270281.359 5059470.105 4492342.002 4470573.449 4504944.849 4200185.101 3820953.986 4066136.6467 3740754.052 3586082.751 3385582.917 3181645.942 2994894.668 2517132.206 2226121.018 2291426.678 1842307.049 1716278.582 1574210.128 1271741.806 1174356.172 937193.5113 706905.1302 612956.6364 521299.5692 449119.6289 1189250.446];
%m=[7665967.951 7244345.442 7496402.377 7834387.812 7727836.472 8270904.594 7449428.13 7702630.778 8238824.621 8100193.307 8433595.888 8850635.544 8981246.864 9397140.806 9879486.122 9375372.253 9862300.422 9866883.275 9740854.808 11760747.42 11205076.46 10332042.89 10510774.17 9746583.375 8616910.023 *******.163 8209036.074 9716794.828 8438178.742 8183830.38 8710858.516 8383184.501 8209036.074 9318086.586 9870320.415 10600139.81 11470881.95 11860424.49 12668152.39 13639717.3 12976349.28 13857402,84 11460570.53 12860632.23 12846883.67 12689920.94 14677733.59 6202892.017 10831573.91 7897402.046 7486090.957 9803869.042 10705545.44 9941354.643 10689505.45 10554311.28 9265383.772 9597640.641 7867613.499 8077279.04 7999370.533 6736794.433 6558063.152 5715963.848 5469635.48 5359647 4617224.756 4467136.309 4477447.729 4309027.868 3832411.119 4152065.141 3733879.772 3536817.077 3371834.357 3025828.928 2973126.115 2417455.145 2065721.15 2116132.537 1579938.694 1455055.941 1142276.199 910842.1045 844390.7308 679408.01 552233.8294 445682.4889 313925.4549 266951.208 508696.7225];
m=[7665967.951 7244345.442 7496402.377 7834387.812 7727836.472 8270904.594... 7449428.13 7702630.778 8238824.621 8100193.307 8433595.888 8850635.544... 8981246.864 9397140.806 9879486.122 9375372.253 9862300.422 9866883.275...
9740854.808 11760747.42 11205076.46 10332042.89 10510774.17 9746583.375...
8616910.023 *******.163 8209036.074 9716794.828 8438178.742 8183830.38...
8710858.516 8383184.501 8209036.074 9318086.586 9870320.415 10600139.81...
11470881.95 11860424.49 12668152.39 13639717.3 12976349.28 13857402.84...
11460570.53 12860632.23 12846883.67 12689920.94 14677733.59
202892.017...
10831573.91 7897402.046 7486090.957 9803869.042 10705545.44 9941354.643...
10689505.45 10554311.28 9265383.772 9597640.641 7867613.499 8077279.04...
7999370.533 6736794.433 6558063.152 5715963.848 5469635.48 5359647 ...
4617224.756 4467136.309 4477447.729 4309027.868 3832411.119 4152065.141...
3733879.772 3536817.077 3371834.357 3025828.928 2973126.115 2417455.145...
2065721.15 2116132.537 1579938.694 1455055.941 1142276.199
910842.1045...
844390.7308 679408.01 552233.8294 445682.4889 313925.4549 266951.208...
508696.7225]; %2009年末男性分年龄别人口数
m0=m';n0=n';
B=b*1.8;
d1=[12.44984 1.58332 0.54903 0.86095 0.47311 0.20598 0.24449 0.22661 0.09096 0.3246 0.337 0.23321 0.1003 0.13945 0.20968 0.15685 0.23915 0.21239 0.43935 0.36813 0.24991 0.54871 0.43079 0.50374 0.32694 0.59545 0.60909 0.49915 0.70291 0.50733 0.81532 0.7423 0.9434 0.67467 0.51476 0.65577 0.60511 0.88755 0.75426 0.90428 0.99015 1.10234 1.2275 1.19099
1.4795 1.14292 1.44357
2.56088 1.29463 2.11052 2.12619 2.9916 2.86785
3.11982 3.36051
3.40799 3.9412
4.10437 4.68148
5.09535 5.91741 4.68597 7.25054 9.72275 9.99064 10.31572 12.06464 11.80985 14.94018 18.71142 20.2902 20.79163
23.63313 25.82687 29.33152 32.58654 32.25789 44.11785 46.49391 42.58775 52.62696 59.73726 61.38434 71.20209 79.95427 72.51913 89.04526 99.37662 118.90221 117.21207 156.1257634];
d2=[8.85809 1.56957 0.95064 0.86802 0.70085 0.47771 0.57248 0.29856 0.34356 0.61927 0.46988 0.4138 0.29731 0.47707 0.51739 0.29271 0.45193 0.57819 0.48735 0.75171 0.88532
1.41973 1.12784 0.84013 0.81089 0.96146 1.08366 1.07762 0.75742 1.65891 1.3036 1.73088
1.43995 1.75 1.5438
2.01408 1.56224 1.46368 1.74175 2.18403 2.29059
2.73017 2.52196
2.58796
3.0175 3.04082 2.94246
4.12824 3.7722 4.74966
5.27049 5.04544 4.82005 4.71728
5.57793
6.27475
7.20838 6.63975
8.49921
9.76172 10.01252 10.03391 11.57389 14.85008 13.5001 18.39465 18.93617 18.39092 24.13368 24.04701 28.38475 31.89455 33.1155 37.32993 37.27515 49.54132 51.13589 53.60277 57.54084 61.60462 70.64919 79.51827 83.46304 99.94565 79.12245 92.36785 113.62503 120.47424 119.34161 136.7385 172.3682691];
s1=(1000-d1)/1000;%计算女性年龄别存活率
s2=(1000-d2)/1000;%计算男性年龄别存活率
M1=eye(90);
for i=1:90
%生成90维单位矩阵Ml
M1(i,:)=M1(i,:)*s1(1,i);
end
%通过循环语句将女性年龄别存活率赋值到M1矩阵对角线元素
h=zeros(91,1);%生成零矩阵h
N1=[B;M1];
L1=[N1,h];
i=1;
X(:,i)=L1*n0;
X(1,i)=X(1,i)*100/(100+k(i));
for i =2:51
X(:,i)=L1*X(:,i-1);
X(1,i)= X(1,i)*100/(100+k(i));
end
%计算未来50年女性预测人口数，记为矩阵X M2=eye(90);
for i=1:90
M2(i,:)=M2(i,:)*s2(1,i);
end
h0=zeros(1,90);
N2=[h0;M2];
L2=[N2,h];
i=1;
Y(:,i)=L2*m0;
Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100;
for i=2:51
Y(:,i)=L2*Y(:,i-1);
Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100;
end
%计算未来50年男性预测人口数，一记为矩阵Y Z=X+Y;%计算预测分年龄人口总数
T=sum(Z) ;%计算预测人口总数
C1=sum(Z([1:15],:));%计算0-14岁人口数
C2=sum(Z([16:65],:));%计算15-64岁人口数
C3=sum(Z([66:91],:));%计算65岁及以上人口数
F1=C1./T;%计算预测少年儿童人口系数
F2=C2./T ;%计算预测青壮年人口系数
F3=C3./T;%计算预测老年人口系数
A1=sum(X);%计算预测女性人口总数
A2=sum(Y);%计算预测男性人口总数
A=A2./A1;
D1=(C1+C3)./C2;%计算预测人口抚养比
D2=C3./C2;
g1=2010:2060;
subplot(2,1,1);plot(g1,T,'ro')
legend('人口总数')%加图例
xlabel('年份')%加x轴标签
ylabel('人口数(单位:人)')%加y轴标签
grid on %加网格
subplot(2,1,2);plot(g1,C2,'y+',g1,C1,'c*',g1,C3)
legend('青壮年人口数','少年儿童人口数','老年人口数') xlabel('年份') ylabel('单位;人')
grid on
%绘制人口总数与各年龄阶段人口数的两个子图
subplot(3,1,1);plot(g1,F2,'b*',g1,F1,g1,F3,'r.')
数学模型课程设计-中国人口增长预测
中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率
一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。
美国人口增长模型
4.1 美国人口增长问题研究 4.1.1 问题重述 认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。 4.1.2 符号规定与基本假设 1. 符号规定 1.r表示人口增长率 x t表示人口数量 2.() x表示人口容量 3. m 2. 基本假设 1)假设人口增长符合生长规律； 2)不考虑战争等非射幸因素； 3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；
4.1.3 模型分析与建立 考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。记初始时刻()0t =的人口为0x 。假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为： ()0,0dx rx x x dt == (1.1) 易得： ()0n x t x e = (1.2) 若0r >，人口将按指数规律无限增长。 根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。对式(1.1)中的参数 0,r x 进行估计主要有以下两种方法。 方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得： 0,ln ,ln y rt a y x a x =+== (1.3) 由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496 x =。 方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。 数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ?)的离 散值为01,, ,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为 ()11 ,1,2,,12k k k x x x t k n t +--'= =-? (1.4) ()()0122103443,22n n n n x x x x x x x t x t t t ---+--+''==?? (1.5) 根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率() () k k k x t r x t '= ，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
人口预测模型经典
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
人口增长模型的确定
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
美国人口的预测
实验一 美国人口的预测 一．实验目的： 1．学会用拟合方法解决实际问题 2．掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法 二．实验内容： 给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美 国2010年的人口。 表1 美国人口统计数据 年 份 1790 1800 1810182018301840 1850 人口(×106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.917.1 23.2 年 份 1860 1870 1880189019001910 1920 人口(×106) 31.4 38.6 50.262.976.092.0 106.5 年 份 1930 1940 1950196019701980 1990 2000 人口(×106) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
实验二 炼油厂的生产计划 一．实验目的： 1．学会建立数学规划模型 2．掌握用Lingo软件求解线性规划 二．实验内容： 炼油厂将A, B, C 三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油。一桶原油加工成一桶汽油 的费用为4 元，每天至多能加工汽油14000 桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含 量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在 满足需求的条件下使利润最大？ 一般说来，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可使这 种汽油日销量增加10 桶，问如何安排生产和广告计划使利润最大？ 原油类别买入价（元/桶）买入量（桶/天）辛烷值硫含量（%） A 45 ≤5000 12 0.5 B 35 ≤5000 6 2.0 C 25 ≤5000 8 3.0 汽油类别卖出价（元/桶）需求量（桶/天）辛烷值硫含量（%）甲70 3000 ≥10 ≤1.0 乙60 2000 ≥8 ≤2.0 丙50 1000 ≥6 ≤1.0
人口预测的最小二乘模型
实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y
- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。
数学建模logistic人口增长模型
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
基于GIS和元胞自动机的荒漠化演化预测模型
收稿日期:2003 01 09;修订日期:2003 04 23 基金项目:本项研究得到国家自然科学基金项目(No.40072030)、教育部博士点基金(20010491007)和国土资源部科研项目(B1 9)共同资助。作者简介:陈建平(1959 ),男,教授,博士导师,1995年毕业于成都理工学院,获博士学位,主要从事资源评价和 3S !技术应用的教学与科研工作,已发表文章80余篇,专著7部。E mail:3s@https://www.360docs.net/doc/2612013996.html, 文章编号:1007 4619(2004) 03 0254 07基于GIS 和元胞自动机的荒漠化演化预测模型 陈建平,丁火平,王功文,厉 青,冯 春 (中国地质大学,北京 100083) 摘 要: 荒漠化是当今全球最严重的环境与社会经济问题之一,荒漠化以其发展速度和严重的灾害性而引起国际学术界的广泛关注。开展荒漠化变化的驱动因素及其作用机制研究,尤其是在此基础上对荒漠化与其驱动因素之间的关系进行量化及动态模拟模型研究,对荒漠化的防治和治理具有十分重要的意义。尝试利用3S 技术,结合元胞自动机理论架构出一套荒漠化动态模拟模型,进而对北京及邻区荒漠化的发展趋势进行预测。实验证明,这套系统是对荒漠化演化机制从宏观和微观角度进行模拟的有效方法。关键词: 荒漠化;元胞自动机;驱动因素;动态模拟中图分类号: P208/XB7 文献标识码: A 1 引 言 荒漠化是指包括气候变异和人类活动在内的种种因素造成的干旱、半干旱、亚湿润干旱区的土地退 化。荒漠化已经演变为全球性的环境问题之一,对人类的生存发展构成严重威胁 [1] 。据资料显示:全 球陆地面积的1/4受荒漠化威胁,9亿多人口受到荒漠化影响;全球荒漠化正以每年约50000 70000km 2的速度扩展;全球荒漠化造成的直接经济损失每年达423亿美元。中国是世界上受荒漠化影响最严重的国家之一。目前,中国的荒漠化土地约为261万km 2,并有更多的土地正面临着荒漠化的潜在威胁;荒漠化土地从东北经华北到西北形成一条不连续的弧形分布带。荒漠化土地不仅面积广大,而且其发展速率仍在加大,在20世纪60 70年代为1560km 2 /a,80年代为2100km 2 /a,90年代已经达到2460km 2 /a [2]。荒漠化的不断发展,已经严重地影响了中国北方地区生态环境建设和社会经济的可持续发展。荒漠化以其发展速度和严重的灾害性而引起国际学术界的广泛关注和重视。中国在荒漠化治理研究方面进行了大量的工作,取得了一系列成果。近几年来,遥感(RS)、地理信息系统(GIS)和全球定位系统(GPS)及其集成技术迅速发展,大量应 用于灾害监测、资源监测等方面,在多元数据定量分析与综合研究方面取得了很好的效果,不足之处在于动态模拟演化研究。本文基于元胞自动机理论将荒漠化动态演化规律与其空间分布特征相结合,利用3S 技术的集成技术,结合数学模型探讨荒漠化时空动态演变规律,并预测其未来发展趋势。 C A 模型(Cellular Automaton Model)又叫元胞(细胞,元胞,分子或点格)自动机模型。最初是由John Von Neumann 40年代末提出来的,用于研究自复制系统的逻辑特性。C A 理论在地学中的应用最早可追溯到20世纪60年代。美国北卡来罗那州大学的Chapin 和Weiss(1968)在土地利用变化研究中采用了离散动态模型,十分接近CA 模型。Tobler 在70年代,认识到C A 理论在模拟复杂地学现象中的优势,首先正式采用了C A 概念模型来模拟当时美国五大湖边底特律地区城市的迅速扩展。进入80年代后,伴随着C A 理论的深入和发展,CA 在地学中的应用和理论研究也取得了长足的进步,成为地学研究的热点。Yong 和Wadge 用C A 模拟了火山爆发时,火山熔岩在重力作用下的漫流扩散过程。Simth 设计了一个简单地学元胞自动机模型模拟了地形侵蚀的过程。Flavio B onfatti 等人,用C A 模型对意大利威尼斯泻湖在周期性潮汐作用下的动态变化进行了生动的模拟和预测。CA 在地学中的许多邻域都已 第8卷第3期遥 感 学 报 Vol.8,No.32004年5月 JOURNAL OF REMOTE SENSING May,2004
中国人口预测模型(精)
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
人口增长预测
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
中国人口预测模型
全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 20011 年 7 月4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长模型 摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能过较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。针对题目所提要求，我们首先建立了Malthus模型。此模型假设人口增长率为常数，即人口按指数增长。但实际上人口增长率受环境、资源等多重因素影响，并不是常数。用Malthus模型计算1982~2005年的中国人口总量并与实际值比较发现，在短期内(1982~1995)Malthus模型能过较准确的计算出人口总量，但中长期的计算值误差较大，所以此模型只适用于短期的人口预测。为使人口预报特别是中长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，注意到，自然资源、环境条件等因素对人口起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。假设人口增长率随着人口总量的增加线性递减，从而建立了性能更好的Logistic 模型。经对比发现，作为短期预测，Malthus模型和Logistic模型不相上下，但作为中长期预测Logistic模型比Malthus模型更合理一些。
2019年人口增长的预测.doc
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
2008美国数学建模真题论文
Take a bath for mainland Abstract：全世界约有三分之一的人口，包括许多大城市位于居海岸线60km的范围内。在美国，相对海平面上升100cm，按现在经济发展水平和价格估算，仅保护发达地区与滨海旅游区所需费用和欠发达地区的受淹损失，累计经济损失就将高达2700-4500亿美元。由全球气候变暖所导致的海平面上升已经被世界各国所关注，海平面上升可能带来的影响包括淹没低地、加剧海岸侵蚀、增加风暴潮的发生频率、盐水入侵等。 本文主要研究由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。以佛罗里达州为例，用灰色模型对近几十年 CO排放量上升引起气温升高，气温升高导 2 致冰川融化引起海平面上升，以及海平面上升造成的陆地面积减少分别建立灰色模型、线性模型。就陆地面积减少而言预测了今后50年陆地面积因海平面上升的减少量。 Keywords:气温升高，海平面上升，灰色模型，线性拟合 一、引言 大量研究表明，人类活动造成的大气中 CO、CH、N O等温室气体含量急剧增 24X 加所引起的气候与环境效应，将对下一个世纪人类的生存与发展构成极大威胁，其中最严重的威胁之一是气候变暖导致的冰川融化使全球性的海平面的加速上升。在过去100年中，全球海平面平均已上升了10-20cm，上升速率约为1-2mm/a，大多数研究者认为，随着全球变暖，下一个世纪海平面上升速度将明显加快，年上升速率可能将达过去100年来平均上升速率的3-8倍，在地壳显著沉降地区，其相对海平面上升速率将高于全球平均值。而在沿海地区，因受地质等多种因素影响，其地壳垂直沉降运动频率远大于上升运动频率。再加上人为大量使用地下资源加剧的地面下沉，从而使世界各地的相对海平面呈明显的加速上升趋势。 自1978年以来，北极地带冰帽正以每10年减少3%至4%的速度消融。在过去20年间，北极地带冰帽缩小了大约100万平方公里。佛罗里达州（英文：State of Florida）是美国南部的一个州，亦属于墨西哥湾沿岸地区，是美国人口第四多的州。本文主要研究由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响，以佛罗里达州为例，为佛罗里达海岸今后50年，每十年由于融化造成的影响建立模型。 二、问题重现 研究一下由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。具体来说，为佛罗里达海岸今后50年，每十年由于融化造成的影响建立模型，要特别注意大型都市区。提出一些适当的回应来处理这些问题。对所使用的数据的详细讨论是答案的一个重要部分。 三、假设条件 1、全球气候变暖是由温室效应引起的，温室效应是由全球二氧化碳的排放引起
数学建模 人口模型 人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
人口预测的最小二乘模型
实验24 人口预测的最小二乘模型 表 24-1 世界人口数据（单位 亿） 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。作出这一预测结果所用 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数 N 不是很大时，在不长的 时期内，人口增长率与人口数 N 成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微 分方程描述为 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达 式中a 和b 均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确 定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是 经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为 3.6974 杓-4 为了计算方便，将上式两边冋取对数，还原为 y = ln N 或 In N = a + b t ,令 N = e y 变换后的拟合函数为 dN dt bN 其中，b 为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得 N(t) a bt e (24.1) In N = b t + a ，即 (24.2) 图24-1指数函数图形与原始数据散点图
y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数(y = In N )计算，得下表 表24-2世界人口数据(单位：亿) 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1, 2, ……,9)可列出关于两个未知数 a、b的9个方程的线性方程组 a 1960 b 3.3918 a 1961 b 3.4213 a 1962 b 3.4503 a 1963 b 3.4698 a 1964 b 3.4763 a 1965 b 3.4920 a 1966 b 3.5133 a 1967 b 3.5322 a 1968 b 3.5505 (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为 AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时 乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A, b = A T f。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解(广义解)。由于原方程组一般无解，将最小二乘解 代入下式计算 R = f -A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的 逼近程度。 三、问题求解的计算机实验 输入下面命令