线段的垂直平分线 优质课教案

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线段的垂直平分线

【教学目标】

1．经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；

2．能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 3．通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用。

【教学重难点】

重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用。

【教学准备】

课件，三角尺，学案

【教学过程】一、情景引入1．引例：

区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A ，B ，C 三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？

2．回顾，导入

提问1：线段是不是轴对称图形？ 如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？

提问2：如图，线段AB 关于直线MN 对称，在直线MN 上任取一点P ，分别联结PA 、PB ，那么线段PA 与PB 一定相等吗？

揭示课题：线段的垂直平分线 二、学习新知

（一）探究新知

1．线段的垂直平分线的性质定理

操作：以直线MN 为折痕将这个图形翻折，观察点P 的位置动不动？

P

M N

C B

A

点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？

归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等。

验证：证明这个命题，写出已知和求证。

已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点C，点P在直线MN上。

求证：PA＝PB．

分析：如图，当点P不在线段AB上时，要证明PA＝PB，只需要

证△PCA≌△PCB．由直线MN是线段AB的垂直平分线，可知CA=CB，

∠PCA=∠PCB，再加上PC为公共边，三角形全等即可得到。

特别地，当点P在线段AB上时，P点与C点重合，此时PA=PB

当然也成立。

证明：

∵MN是线段AB的垂直平分线（已知）

∴MN⊥AB，AC=BC（线段垂直平分线的定义）

设点P在线段AB外时，

∵MN⊥AB（已证）

∴∠PCA=∠PCB=90o（垂直的定义）

在△PCA和△PCB中，

AC=BC（已证）

∠PCA=∠PCB（已证）

PC=PC（公共边）

∴△PCA≌△PCB（S.A.S）

∴PA=PB（全等三角形对应边相等）

当点P在线段AB上时，

点P与点C重合，即PA=PB

归纳线段垂直平分线的性质定理：

文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

符号语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴ PA=PB

辨析练习：

1．如图（1）：若AC垂直平分BD，则AB=____________

2．如图（2）：若BD垂直平分AC，则AB=____________

3．如图（3）：若AC、BD互相垂直平分，则AB=__________

4．如图（4）：PD、PE分别垂直平分线段AB、BC，则PA_______PC P

M

N

C B

A

C

C

（1）（2）

(3) (4)

2．逆定理：

提问：线段垂直平分线的逆命题是什么？逆命题正确吗？

原命题：如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点，那么这个点到线段的两个端点距离相等。

逆命题：如果一个点到线段的两个端点距离相等，那么这个点是这条线段垂直平分线上的一点。

简写为：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上。

符号语言：∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上

验证：

已知：如图，PA=PB

证明：点P在线段AB的垂直平分线上。

分析：为了证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点

P作线段AB的垂线MN，然后证明直线MN平分线段AB．

证明：

过点P作MN⊥AB，垂足为点C

∵PA=PB（已知）PC⊥AB（已作）

∴AC=BC（等腰三角形底边上的高平分底边）

∴PC是线段AB的垂直平分线

即点P在线段AB的垂直平分线上

特别地，当P就在AB的中点上时，结论正确吗？

综上所述，这条逆命题是正确的，也就是说，线段的垂直平分线有它的逆定理。

P

M

N

C B

A

3．线段的垂直平分线性质定理和逆定理的区别：

性质定理是归纳线段垂直平分线上点到线段两端点的距离的数量关系。 逆定理是归纳和一条线段两端点距离相等的点与线段的位置关系。 （二）应用新知，尝试反馈 例题1

已知：如图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点。求证：BE=CE 。 证明：联结BC ． ∵ AB ＝AC ，DB ＝DC ．

∴点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

∴AD 是线段BC 的垂直平分线， ∵点E 在AD 上，

∴BE=CE （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）。 【说明】

1．本例综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例让学生学会灵活运用这两个定理解决几何问题，并且明确这两个定理各自的作用，性质定理可以用来证明线段相等，学生原有证明线段相等的思维模式包括利用全等三角形和等角对等边，通过本例知道证明线段相等又多了一种途径。

2．对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以过到线段两端距离相等的点的直线是这条线段垂直平分线”，在本例教学中要引导学生认识过一点不能确定一条直线，判定一条直线是已知线段的垂直平分线，必须有和已知线段两端距离相等的的两个点才能确定这条直线。

同步练习：

如图，已知AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，求证：AD 是线段BC 证明：∵AB=AC （已知） ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角) 又∵∠ABD=∠ACD (已知)

∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质) 即∠DBC=∠DCB

∴DB=DC （等角对等边）

∵AB=AC （已知）DB=DC （已证）

∴ 点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

∴ AD 是线段BC 的垂直平分线。 （三）实际应用，拓展新知

现在我们可以来解决之前引例中的问题，启发学生讨论得出只需要画出三角形其中两边的垂直平分线，得到它们的交点即为所求，并且第三边的垂直平分线也必过这个交点。由此自然引出例题2的教学，证明上述结论成立。

例题2

已知：如图，在△ABC 中，OM 、ON 分别是AB 、AC 的垂直平分线，OM 与ON 相交与点O 。

求证：点O 在BC 的垂直平分线上。

分析：要引导学生想到本例的关键在于分别联结OB 、OA 、OC ． 证明：分别联结OB 、OA 、OC ．

∵OM 、ON 分别是AB 、AC 的垂直平分线（已知）

∴OA=OB ，OA=OC （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） ∴OB=OC （等量代换）

∴点O 在BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

【说明】在经过前一题的学习之后，同学们对本题的综合运用的将会更加的自如。 归纳：三角形三条边的垂直平分线交于同一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等。 三、课堂小结

这节课我们学习了线段垂直平分线定理和逆定理的知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会。

M

N

O

C

B

A