运用欧拉公式求定积分
欧拉公式的应用
欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)
一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数公式及其证明 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1m o d n。 证明：(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1mo d n,a*x2m o dn,...,a*xφ(n)m od n}，则Z n=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i m o d n≠a*x j m o d n（消去律）。
(2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)m o d n ≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))m o d n ≡(a*x1m o d n)*(a*x2m o d n)*...*(a*xφ(n)m o d n)m o d n ≡x1*x2*...*xφ(n)m o d n 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注：消去律：如果g c d(c,p)=1，则a c≡b c m o d p?a≡b m o d p。 费马定理：若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1m o d p。证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ******************************************************************** ********* 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个
欧拉方程的求解教材
欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）. 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示 圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2.几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1） 的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ， ，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解） 二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ） ，且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3） 定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解. 于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根） （其中1c 、2c 为任意常数）
欧拉公式的证明和应用
数学文化课程报告 欧拉公式的证明与应用 一.序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 极限法 --------------------------------------3 指数函数定义法-------------------------------4 分离变量积分法-------------------------------4 复数幂级数展开法-----------------------------4 变上限积分法---------------------------------5 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 求高阶导数-----------------------------------7 积分计算------------------------------------8 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 求函数级数展开式----------------------------9 三角级数求和函数----------------------------10 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言
欧拉公式
欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka 等。 复变函数 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 欧拉公式 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到： 恒等式 e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ =-1 那么e^iπ+1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用。 分式 分式里的欧拉公式：
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结
[键入文档副标题]
acer [选取日期]
复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。 之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法： 特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下： 1.当a=b时， 2.当a>b时， 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。 7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合： 定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质： 对于素数p，φ(p)=p-1。 对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。 证明： (1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}， 则Zn=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。 (2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn
≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn ≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn ≡x1*x2*...*xφ(n)modn 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注： 消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodp?a≡bmodp。 费马定理： 若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。 证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ****************************************************** *********************** 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个 所以φ(n)=p k-1-(p k-1-1)=p k-p k-1。 (2)p*q的欧拉函数 假设p,q是两个互质的正整数，则p*q的欧拉函数为 φ(p*q)=φ(p)*φ(q)，gcd(p,q)=1。 证明： 令n=p*q，gcd(p,q)=1
欧拉公式的证明和应用
欧拉公式的证明和应用https://www.360docs.net/doc/288624986.html,work Information Technology Company.2020YEAR
数学文化课程报告 欧拉公式的证明与应用 一 .序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 1.1 极限法 --------------------------------------3 1.2 指数函数定义法-------------------------------4 1.3 分离变量积分法-------------------------------4 1.4 复数幂级数展开法-----------------------------4 1.5 变上限积分法---------------------------------5
1.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 2.1 求高阶导数-----------------------------------7 2.2 积分计算------------------------------------8 2.3 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4 求函数级数展开式----------------------------9 2.5 三角级数求和函数----------------------------10 2.6 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言 欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名 字命名的公式。本文关注的欧拉公式x i x e ix sin cos +=，在复数域中它把指数函数 联系在一起。特别当π=x 时,欧拉公式便写成了01=+πi e ，这个等式将最富有特 色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，“1是实数的基本单位，i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。i 源于代数，
微积分公式大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
欧拉公式的证明(整理)
欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数公式及其证明 Prepared on 22 November 2020
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合： 定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质： 对于素数p，φ(p)=p-1。 对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。 证明： (1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}， 则Zn=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。 (2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn
≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn ≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn ≡x1*x2*...*xφ(n)modn 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注： 消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodpa≡bmodp。 费马定理： 若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。 证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ****************************************************** *********************** 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。
所求的面积= 2 23 22 00 84 24 333 x x x dx x ?? -=-=-= ?? ?? ? 例1 例2．计算曲线 21 y x =+和2 4 y x =-，以及直线1 x=和1 x=-所围成的区域面积。 解：所求面积= 1 113 222 111 214 4(1)323 33 x x x dx x dx x --- ?? --+=-=-= ?? ?? ?? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？ 考虑区间112233 [,],[,],[,],[,] a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为： 123 123 ()()()()()()()() c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+- ???? 例3：求 3 () f x x =和() g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()() f x g x =时图像的交点， 即 332 0(1)0 x x x x x x =?-=?-= 01 x ∴=± 或 例3
欧拉公式的证明(整理)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqr t(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;
数论中的一些公式【整理】
数论中的一些公式【整理】 以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6 1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3 1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)! 2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2 1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/ (2*4*6*...*(2n+2)) 1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2)) 1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2... 2^n >= n^2 , n=4, 5,... 2^n >= 2n + 1, n=3,4,... r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]
复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ?θ?称为主值 -π＜θ?≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ?z k记?z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ?z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.
∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式的证明方法和 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法
欧拉函数积性公式证明
欧拉函数积性公式证明 定义：两个整数相除N/m一定可以表示为N=m·u+r，在初等数论中称m为模，r为剩余，如果r为非负整数那么r∈ {0,1,2,...，m-1}中一个。表示式可简化为N≡r modm；模m 对应的剩余集记rmodm。 欧拉发现剩余集中的元素其中与模m互质的个数非常有意义，并从“若m与N互质，则r与m也互质”启发，找到了计算方法。为了纪念他以他的名字称谓欧拉函数φ(m)。如8的剩余集为{0,1,2，...，7}八个元素，但与8互质的为{1,3,5,7}只有4个，即φ(8)=4。 定理1：若q与p互质，则φ(q·p)= φ(q)·φ(p)。 证明：设a,b分别是模q和p互质的剩余集（记Z q和Z p）的元素，根据中国剩余定理，即联立不定方程N≡a modq，N≡b modp 的解→N≡r modq·p，r是唯一的，r≡(ap·p-1+bq·q-1) modq·p，p-1是p的逆，p·p-1≡1modq。且对于不同的a或b，集合{(ap·p-1+bq·q-1) modq·p}的元素两两不相交，否则△a·p p-1≡△b·qq-1 modq·p，由于△a＜q、△b＜p，故等式不成立。于是根据乘法原理对于不同的a或b 集合Z q×Z p与Z qp一一对应，故φ(q·p)=φ(q)·φ(p)。 定理2：p j(j=1,2,...)均为不同的素数，欧拉函数可以表示为
φ(m)=m·∏(1-1/p j) (j 为 m 的素因子的个数)。 证：根据算数基本定理任何整数可以表示为m= ∏p j k j ,以及φ(p k)=p k- p k-1(与p k有公约数的剩余个数)=(p-1)p k-1，两式结合就得到上述著名的欧拉函数公式。