圆锥曲线典型例题(精华版)

圆锥曲线典型例题强化训练

一、选择题

1、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）A A. 2

12x y = B.2

12y x = C.2

4x y = D.2

6x y = 2、若圆0422

=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2

,则a 的值为（）C A ．-2或2

B ．2

321或

C ．2或0

D ．-2或0

3、设F 1、F 2为曲线C 1： x 2

6 + y 2

2 =1的焦点，P 是曲线2C ：

=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（）C (A) 1

(B) 1 (C) 2 (D) 2 2

4、经过抛物线x y 22

=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（）A A.0346=--y x B. 0323=--y x C.0232=-+y x D. 0132=-+y x

5、若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） D A ．2- B ．2 C ．4- D ．4

6、如图，过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点

C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）

B A ．x y 232

B ．x y 32

C ．x y 2

D ．x y 92

7、以14

122

2=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）D

A ．

1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.11642

2=+y x 8、已知双曲线192

22=-y a

x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D

A. 54

B. 55558

C. 4

D. 774

二、解答题

）

1、已知椭圆2

21(01)y x b b

+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C

三点作

P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．

(1) 若椭圆的离心率2

e =，求P 的方程；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．

2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F 与点B 的距离

为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率0≠k 的直线l ：2-=kx y ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点N

M ,满足||||AM =，若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，说明理由。

3、已知椭圆E 的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 双曲线122

22=-b

y a x 的两条渐近线为1l 和

2l ，过椭圆E 的右焦点F 作直线l ，使得2l l ⊥于点C ，又l 与1l 交于点P ，l 与椭圆E 的两个交点从上到下依次为B A ,（如图）. (1)当直线1l 的倾斜角为?30，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

(2)设BF PB AF PA 21,λλ==，证明：21λλ+为常数.

：

4、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c,0）（c>0）的准线（准线

方程x=c a 2

±,其中a 为长半轴，c 为半焦距）与x 轴交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直

线与椭圆相交于点P 、Q 。

（1）求椭圆方程；（2）求椭圆的离心率；

（3）若0=?OQ OP ，求直线PQ 的方程。

5、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 依次满足).(2

,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；

（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的

距离为

，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程.

、

6、若椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径

为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(2

2=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；（Ⅲ）求OB OA ?的最大值与最小值.

7、已知A 、B 分别是椭圆122

22=+b

y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在

椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；

（2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求sin sin sin A B

+的值。

：

8、已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为2

=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中

111=

x ．

（1）求n x 与1+n x 的关系式；（2）求证：{

21+-n x }是等比数列；

（3）求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n

。

)

9、已知点()1, 0F -和直线l ：2x =-，动点M 到点F 的距离与到直线l

的距离之比为2

．（I ）求动点M 的轨迹方程；

（II ）设过点F 的直线交动点M 的轨迹于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线

0x y +=上，求直线AB 的方程．

10、设椭圆22

2:1(0)2

x y C a a +

=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且2120AF F F ?=，坐标原点O 到直线1AF 的距离为11

OF ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点M ，若

2MQ QF =，求直线l 的斜率．

]

11、已知动圆过定点()1,0A ，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；

(2) 是否存在直线l ，使l 过点(0,1)B ，并与轨迹C 交于,P Q 两点，

(

且满足0OP OQ ?=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

12、设1F 、2F 分别是椭圆14

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF →

·2PF →

的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，求直线l 的斜率k 的取值范围.

祥细答案 1、解：（1

）当e =

时，∵1a =

，∴c =

∴222

31144b a c =-=-

=，b =12，点1

(0,)2

,(2F -，(1,0)C ---------2分 {

设

P 的方程为222()()x m y n r -+-=

由

P 过点F,B,C 得 ∴222

1()2

m n r +-=-----------------①

22()2

m n r +

+=-----------------② 222(1)m n r -+=-------------------③----------------------------5分

由①②③联立解得

m =

，n =，2

54r =-----------------------7分

∴所求的P 的方程为225

((4

x y +=-------------8分（2）∵

P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12

x -=--------④----------------------9分

∵BC 的中点为1(,)22

，BC k b =-

∴BC 的垂直平分线方程为11

()22

b y x b -=------⑤---------------------10分

由④⑤得21,22c b c x y b --==，即21,22c b c

m n b

--==----------------11分】

∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c

--+=?(1)()0b b c +-= ∵10b +> ∴b c =由2

1b c =-得2

b = ∴

椭

圆

的

方

程

为

2221x y +=--------------------------------------------------------------14分

2、解：（1）依题意，设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，则其右焦点坐标为

22,)0,(b a c c F -= ， ………… 2分

由=||FB 22=，

即2

(24c -+=，解得22=c 。 ………… 4分

又 ∵2=b ，∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为14

1222=+y x 。 ……5分（2）由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，

由?????=+

-=14

122

2y x kx y 消去y 得12)2(322=-+kx x 即012)31(2

2=-+kx x k （*） ………… 7分

（

由0≠k ，得方程（*）的0144)12(2

>=-=?k k ，即方程（*）有两个不相等的实数根。

…………8分

设),(11y x M 、),(22y x N ，线段MN 的中点),(00y x P ，则2

213112k

x x +=

+，∴22103162k k x x x +=+=， ∴ 22220031231)31(262k k k k kx y +-=++-=-=，即)312,316(2

k k P +-+ ……… 10分 0≠k ，∴直线AP 的斜率为k k k k k k 6)31(223162312

21+--=+-+-=

，……11分由AP MN ⊥，得

16)

31(222-=?+--k k

k ， …… 12分 ∴ 66222

=++k ，解得：33±

=k ，即3

3tan ±=α， …… 13分又πα<≤0，故 6

α=

，或6

5πα=

， ∴ 存在直线l 满足题意，其倾斜角6

α=，或6

5π

α=

。…… 14分 3、解：（1）

由已知，

22,163

b a b a =+=，…………………2分 -

解得:22

12,4a b ==， …………………4分

所以椭圆E 的方程是:

1124

x y +=. …………………5分

（2）解法1：设1122(,),(,)A x y B x y 由题意得: 直线1l 的方程为: b y x a =,直线2l 的方程为: b

y x a

=-,………………7分则直线l 的方程为: ()a

y x c b

-,其中点F 的坐标为(,0)c ; ………………………8分由 ()b y x a

y x c b

==-得:

a x c ab

y c

,则点2

(,)a ab P c c ; ………9分

由 22

221()

x y a b a

y x c b +==-消y 得:222

22()0x cx c a -+-=,则221212,2c a x x c x x -+==; 10分

由1PA AF λ=得:2112()a x c x c λ-=-,则:2

111()

cx a c c x λ-=-, 同理由2PB BF λ=得:2

222()

cx a c c x λ-=-, …………………………………………………12分

22221212211112122

12121212()()()()

()()()()

()()22()()20

()()()()

cx a cx a cx a c x cx a c x c c x c c x c c x c x c a x x cx x ca c a c c c a ca

c c x c x c c x c x λλ----+--∴+=+=

----++--+---=

==----

故120λλ+=为常数. ……………………………………………………………………14分

解法2：过P 作x 轴的垂线m ，过B A ,分别作m 的垂线，垂足分别为11,A B ，…6分由题意得: 直线1l 的方程为: b y x a =,直线2l 的方程为: b

y x a

=-,………………8分则直线l 的方程为: ()a

y x c b

-,其中点F 的坐标为(,0)c ; ………………………9分由 ()b y x a

y x c b

==-得:

a x c a

b y c

,则直线m 为椭圆E 的右准线; ………10分则:

PA PA PB PB AF

e AA BF

e BB =

,其中e 的离心率; …………………………12分

12,,

PA PB PA PB AF

λλ=

故120λλ+=为常数. ………………………………………………………………14分

4、解：（1）由已知得22()a b c c c ==-，解得：22

4,6c a ==……………………2分

所求椭圆方程为22

162

x y +=

………………………………………………4分（

2）因2a c =

=，得3c e a =

……………………………………7分（3）因点2

(,0)a A c

即A （3，0），设直线PQ 方程为(3)y k x =-………………8分

则由方程组22

(3)2612

y k x x y =-??

+=?，消去y 得：2222

(13)182760k x k x k +-+-=

设点1122(,),(,)P x y Q x y 则22121222

18276

,1313k k x x x x k k -+==++……………………10分

因0OP OQ =，得12120x x y y +=，

又2222

12121212(3)(3)3()9y y k x x k x x k x x k =--=-++，代入上式得

1212(1)3()90k x x k x x k +-++=，故2222

222

(1)(276)318901

313k k k k k k k

+--+=++

解得：2

1,5k k =

=PQ 方程为3)y x =-……………………14分 5、解：（1）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x +=），

)0,4(=, 则),6(00y x +=+，故)2

,32()(21

00y x +=+=

又解得

故???????=+=++=.2

,232

),,2(00

y y x x y x ??

?=-=.

2200y y x x

代入2)2(||2

020=++=y x 中, 整理得12

2=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.

（2）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.

…

又设椭圆方程为)4(14

222

22>=-+a a y a x ②.

因为直线l ：kx －y +2k =0与圆12

=+y x 相切.故

2|2=+k k ，解得.312

将①代入②整理得，0444)4(2

22222=+-++-+a a k a x k a x a k a ③ 将312

k 代入上式，整理得 044

)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则3

21--=+a a x x ，

由题意有)3(5423

222>?=-a a a ，求得82

=a .经检验，此时③的判别式.0>?

故所求的椭圆方程为.14

2=+y x 6、解：（Ⅰ）由题意得：?????==∴????

?????+===+101533149

22222b a c b a a c b a 所以椭圆的方程为

1101522=+y x （Ⅱ）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA 的斜率一定存在，设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)

又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即

101|68|2

=+-k k 可得9

31==k k 或

【

所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 (Ⅲ)设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则120

1)(

21cos

2cos 2

-=-=-=∠OP OP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP

10200

cos ||||2

∠?=?∴OP AOB OB OA OB OA 7、解：（1）∵点M 是线段PB 的中点 ∴OM 是△PAB 的中位线

又AB OM ⊥∴AB PA ⊥ ----------------------------2分

∴2222222211112,1,12c a b c a b a b c =???

+====???=+?

解得 ---------------------------7分

∴椭圆的标准方程为22

y x +=1 ----------8分（2）∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴

＋

＝

，AB ＝2c ＝

-------------------------10分

在△ABC 中，由正弦定理，

sin sin sin BC AC AB

A B C

-----------12分 ∴

sin sin sin A B C

+＝

2BC AC AB +==分 8、解：（1）过C ：x

y 1

上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ，则

111

11111+-

=?-=--

=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ，

----------------------------3分于

是

有

：

1+=+n n n x x x 即：

1n n

x x +=+

----------------------------4分

（2）记3

21+-=

n n x a ，则 n n n

n n a x x x x a 2)3121(231221312

111-=+--=+-+=+

++， ----------------6分

因为023

121,711111≠-=+-==

x a x 而，因此数

列

{

21+-n x }是等比数列。

----------------------------8分（3）由（2）可知：3

)2(12,)2(-

=-=n n n

n x a 则，

)1(212)1()1(?

--+

?-=-n n n n n x 。

----------------------------9分￥

当n 为偶数时有：=-+---n n n n x x )1()

1(11

n n n n n n n n n n n n 21

212222)

312)(312(223121

3121

111111+

-----------------11分

于是

①在n 为偶数时有：

121212121)1()1()1(432221<+++++<

-++-+-n n n x x x 。

-----------------12分

②在n 为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：

n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+---

1211)3

)2(12(11)1(1<+

-=-

-=-=-+

-----------------13分综

合

①

②

可

知

原

不

等

式

得

证

。

----------------------------14分

9、解：（I ）设动点M 的坐标为(), x y ，由于动点M 到点F 的距离与到直线l 的距离

之比为2

， 2分化简得：2

212

x y +=，这就是动点M 的轨迹方程． 6分、

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠

代入2

212

x y +=，整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= ∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根， 8分

记1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y ，则2

122

4,21k x x k +=-+

2012002212(),(1),22121

k k x x x y k x k k =+=-=+=++

∵线段AB 的中点P 在直线0x y +=上，

∴2002220,2121k k x y k k +=-+=++ ∴0k =，或1

k = 10分

当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上，

∴直线AB 的方程是0y =或210x y -+=． 14分

10、解：（Ⅰ）由题设知12(F F a >其中由于2120AF F F ?=，则有212AF F F ⊥，所以点A 的坐标为2

±……..2分

故1AF 所在直线方程为1

)y a

=±…………3分

所以坐标原点O 到直线1AF

又1OF =2

1a =-解得：2a =………….5分所求椭圆的方程为22

142

x y +=…………7分

（Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线斜率为k

直线l 的方程为(1)y k x =+，则有(0,)M k …………9分设11(,)Q x y ，由于Q 、F 、M 三点共线，且2MQ QF =

根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+解得112x y k =-??=-?或1123

3x k y ?=-

????=??

…………12分

又Q 在椭圆C 上，故2

(2)()

142k --+=或22

2()()33142

-+=解得0,4k k ==± 综上，直线l 的斜率为0或4±.…………14分

11、解：（1）设M 为动圆圆心，由题意知：||MA =M 到定直线1x =-的距离，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中(1,0)A 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动圆的圆心M 的轨迹C 的方程为：2

4y x = ………………………5分

（2）由题意可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，

由2(1)4x k y y x

=-??=? 得 2

440y ky k -+= 216160k k ∴?=-> ? 1k >或0k < ………………………7分

且124y y k +=，124y y k = …………………………………9分由0OP OQ ?= ? 12120x x y y += …………………………………………11分

?21212(1)(1)0k y y y y --+=?2221212(1)()0k y y k y y k +-++=

?2224(1)40k k k k k +-?+=?4k =-或0k =（舍去） …………………13分

又40k =-<，所以直线l 存在，其方程为：440x y +-= ………………14分

12、解：（Ⅰ）解法一：

易知2,1,a b c ===

所以

())12

,F F …………1分，

设(),P x y ，则(

))2

,,,3PF PF x y x y x y ?=---=+-…………3分

因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?有最小值2-…5分

当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?有最大值1…………7分

解法二：易知2,1,a b c ===

(

))

,F F …………1分，

设(),P x y ，则

1212

121

2121212

cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=??

((22222211232x y x y x y ??=++++-=+-?

???…………3分（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件…………8分，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =+，

联立22

y kx x y =+???+=??，消去y ，整理得：22

14304k x kx ??+++= ???…………9分

由343)4

1(4)4(222-=?+-=?k k k >0得：2

23-

<>k k 或…………12分

高考圆锥曲线典型例题(必考)

椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2 6 ＝1.

题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2 ，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2 ＋y 2 ＝1 4 和圆 (x －4)2＋y 2＝1 4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9. 题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

曲线方程及圆锥曲线典型例题解析一．知识要点 1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：化” （2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐

标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、 B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占八、、的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（） x 1 (D)

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2

【整理】圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，, 由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又

故椭圆标准方程为. 举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），

将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求又双曲线过点，∴ 又∵，∴，故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）. 举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点.

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。

(完整版)高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l

的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点；当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.

怎样学好圆锥曲线

怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于（Ｃ）（A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是（） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为（）．Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D．二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x 专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪 1?直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2?定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3?坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标（x, y ）中的x, y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀 1. _________________________________________________________________________ 已知M （-3,0），N （ 3,0） PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析：Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。故所求轨迹方程是 y 0（x 3）圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 __________________________ 析：???圆O 与圆o 外切于点M （2,0） ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为 x 2 2 2 x y 一 3.已知椭圆 — 亍1（a b 0） ,M 是椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点，贝U 线段MF i a b 的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析：设P （x, y ） M （x °,y °）又F , （ c,0）由中点坐标公式可得: 2 2.已知圆0的方程为x 2 2 y 2，圆0的方程为x 2 y 8x 10 0 ,由动点P 向两

高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)

高考数学圆锥曲线常见习题及解析（经典版）

椭圆一、选择题： 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是（） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a = ，2:b l y x a =-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即121 2 OP F F c ==，即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得222 00()b x x c a +=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ?-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线的离心率2e =，所以选B. 3．已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342 =的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．2 3

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是（ A ）2 3 （B ）二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷）已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等（B ）离心率相等（C ）焦点相同（D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0）的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） ,

圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题： 1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

）直接法：直接利用条件建立之间的关系；和直线的距离之和等于），端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于：和⊙：都外切，则动圆圆心代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而