【关于生命系统熵势函数的建立及应用】生命是熵减

摘要：依据非平衡非线性系统理论的广义势函数，建立了可描述生命系统的熵势及其表达式，作为应用，分析了生命系统的相变和生命机体内部的熵力。关键词：生命系统；熵势；非平衡相变；熵力

：Q111；0415.3

：A

：1007-7847(xx)01-0016-05

自然界的实际系统千差万别，它们可以是物理系统、化学系统、生物系统等，它们在平衡态和近平衡态已归入一个广泛的统计热力学的理论体系．这个理论的普遍性的一个重要原因是存在着广泛定义的势函数，如平衡系统的熵、自由能或线性非平衡系统的熵产生、超熵等等，生命系统是个远离平衡的非线性系统，非平衡理论告诉我们，远离平衡的非线性系统中存在一个广义势函数．这个势函数是个Lyapunov函数，满足Lvapunov稳定性准则，因此生命系统是个相对稳定的系统，本文依据非平衡系统理论的广义势函数，建立了可以描

述生命演化的势函数――熵势，经过对生命系统的分析，发现有一个尖拐型突变函数正好对应于熵势，并把它作为生命系统的特性函数加以应用，即用熵势来研究生命系统的相变特点和生命机体内部的作用力，得出了有意义的结论，为从整体上认识生命系统提供一种较科学的方法。

1 生命系统的特性函数――熵势

生命系统是远离平衡的非线性系统，其熵势可以通过非平衡系

统理论的广义势函数建立起来，非平衡系统既可用确定性演化方程描述也可用随机性演化方程描述，下面首先从随机层次建立广义势函数，再推广到生命系统的熵势，并根据生命系统的特点寻找能描述生命进化的熵势表达式。

1.1 非平衡系统的广义势函数

描述远离平衡的非线性复杂系统的这种随机性常用含多变量的郎之万方程(LE)，即

(6)中的首项不仅在弱噪声情况下确定了FPE的定态性质，而且支配相应的确定性系统的Lyapunov性质，称其为非平衡系统的广义势函数，

1.2 生命系统熵势的建立

爱因斯坦关系为：

如果(2)式从统计的角度描述一个非平衡系统的演化过程，那么相应的热力学方程为

满足后，这种演化过程才停止，可见这一规律正好符合生命的演化，当生命机体的熵势取最小值时，机体处于宏观上的稳定状态，这时机体的各项功能正常发挥，从热力学和统计学的角度证明熵势可以描述生命的演化。

作为宏观系统的Lyapunov函数，在非平衡态中所起的作用与熵在平衡态中所起的作用完全相同，进一步研究证明，和平衡态势函数密切联系，如果连续的改变某些控制参数，使系统从非平衡态过渡到近平衡和平衡态，那么势函数就回到我们熟知的势函数如超熵、熵等。

1.3 生命系统的熵势表达式

下面根据生命系统的演化特点给出生命系统的熵势函数并分析其生物学意义，为简单起见只讨论一维情形(可以推广至多维)。

从(12)式可以看出熵势与概率密度之间存在一个相互制约的关系，就是熵势越小的状态对应的概率密度最大，那么是否存在一个具体的表达式来表征这种关系呢?

我们知道对于任意一个系统，它处于稳定状态或势最小的可能性最大，否则它将失去存在演化的意义，而又由于随机涨落力的存在，其稳定态可能受到放大了的涨落力的影响而失去原来的稳定性，到达另一个稳态．但不管怎么演化，其最终将处于势的最小处，对应于状态出现概率最大的位置，所以根据生命系统的特点及其演化过程，在一个生命机体的一生中处于健康稳定状态(可用一些指标参数来描述)的时间最长，概率最大，那么此时它的熵势也应该最小，但是在生命系统的演化过程中也在出现偶尔的突变现象，由于一些随机涨落力的影响，熵势可能出现两个或两个以上的极值，这时系统将面临选择，哪个稳态更有益于生存，它将选择那个稳态，这就是生命进化．基于这样的定性分析，下面的势函数正好能反映生命进化这一现象，于是我们可以把它作为生命系统的熵势来做具体分析

其中x为描述机体健康状态的变量，α为控制变量，β为一常系数。

那么根据(12)式熵势曲线和相应的概率密度曲线可以绘制如下(实线为熵势曲线，虚线为概率密度曲线)

a)图对应于α>0，β>0，此时平衡位置(x=0)是稳定的，概率曲线表明，在这一点机体所处的状态概率最大，健康状况良好，随着偏离平衡位置距离的增加，概率减小，表现为机体的免疫力下降，处于病疾状态，这时就应想办法治疗使机体向稳态转化。

b)图对应于α0，此时原来的平衡位置(x=0)失稳，变成不稳定平衡点，代之出现的是两个新的稳定的平衡点，相应的，处将成为机体非正常状态，它出现的机率也将减小，而在两个新的稳定态出现的机率增大，如果没有随机力，机体处于两个势谷的机率相等，但由于随机涨落力的存在，将促使机体向更加利于生存的状态推进，可以说

这是旧结构让位于新结构，如果一种稳态代表一种有序结构，那么稳态的改变，加之随机力的作用，势必导致机体越来越有序。

这里的状态变量可以是任何能反映生命机体演化的变量，如DNA 的数量、机体的某种蛋白质含量、脑细胞的发育程度、机体内部某种激素的含量等等中的一种，如果是其中的两种，那么方程将是二维的，其熵势和概率密度将是个极限环，即曲线绕纵轴旋转180度，同样可推广到多维情况。

可见，这个势函数虽然是一般尖拐型突变势函数，但它的演化特点正好符合于生命系统，而且具有很重要的生物学意义，系统演化的结果就使系统稳定在某一特定状态或结构上，即新物种一旦形成，就会通过遗传作用使他的已有特性、状态结构稳固下来，不会轻易改变，以保持物种的相对稳定性，不然系统就会不断从一种状态或结构跃变到另一种状态或结构，是新物种的长期存在变得不可能．因此势谷的平缓与涨落的放大以及势谷的加深与涨落的缩小，对于系统的演化或新结构、新物种的形成与发展有十分重要的作用．这两个过程的相互交替、相辅相成使得生物界的演化、进化成为可能，可见熵势越小，系统就越稳定，系统的总熵就越小，系统的自组织能力就越强．例如人类，由于智能的发展，无时无刻不在与外界进行物质与能量的交换，最大限度地吸收负熵，从而使自身体内尽可能的保持熵最小、自

熵的应用和意义

浅谈熵的意义及其应用摘要：介绍了熵这个概念产生的原因，以及克劳修斯对熵变的定义式；介绍了玻尔兹曼从微观角度对熵的定义及玻尔兹曼研究工作的重要意义；熵在信息、生命和社会等领域的作用；从熵的角度理解人类文明和社会发展与环境的关系。关键词：克劳修斯熵玻尔兹曼熵信息熵生命熵社会熵 0 前言：熵是热力学中一个非常重要的物理量，其概念最早是由德国物理学家克劳修斯（R.Clausius）于1854年提出，用以定量阐明热力学第二定律，其表达式为 dS=(δQ/T)rev。但克劳修斯给出的定义既狭隘又抽象。1877年，玻尔兹曼（L.Boltzmann）运用几率方法，论证了熵S与热力学状态的几率W之间的关系，并由普朗克于1900给出微观表达式S=k logW,其中k为玻尔兹曼常数。玻尔兹曼对熵的描述开启了人们对熵赋予新的含义的大门，人们开始应用熵对诸多领域的概念予以定量化描述，促成了广义熵在当今自然及社会科学领域的广泛应用【1】【2】。 1 熵的定义及其意义由其表达式可知，克劳修克劳修斯所提出的熵变的定义式为dS=(δQ/T)rev ，斯用过程量来定义状态函数熵，表达式积分得到的也只是初末状态的熵变，并没有熵的直接表达式，这给解释“什么是熵”带来了困难。【1】直到玻尔兹曼从微观角度理解熵的物理意义，才用统计方法得到了熵的微观表达式：S=k logW。这一公式对应微观态等概出现的平衡态体系。若一个系统有W个微观状态数，且出现的概率相等，即每一个微观态出现的概率都是p=1/W，则玻尔兹曼的微观表达式还可写为：S=-k∑plogp。玻尔兹曼工作的杰出之处不仅在于它引入了概率方法，为体系熵的绝对值计算提供了一种可行的方案，而且更在于他通过这种计算揭示了熵概念的一般性的创造意义和价值：上面所描述的并不是体系的一般性质量和能量的存在方式和状态，而是这些质量和能量的组构、匹配、分布的方式和状态。玻尔兹曼的工作揭示了正是从熵概念的引入起始，科学的视野开始从对一般物的质量、能量的研究转入对一般物的结构和关系的研究，另外，玻尔兹曼的工作还为熵概念和熵理论的广义化发展提供了科学依据。正是玻尔兹曼开拓性的研究，促使熵概念与信息、负熵等概念联姻，广泛渗透，跨越了众多学科，并促

熵增加原理在组织系统中的科学应用

熵增加原理在组织系统中的科学应用［摘要］论文将广义熵增加原理应用于组织系统，分析了热熵和信息熵的博弈关系，并根据组织运行的实际情况提出了降低组织系统熵值的途径，这对于有效降低组织系统的不确定度和无序度有积极的意义。［关键词］组织热熵信息熵熵增加博弈组织膨胀是现代社会的一个普遍现象。人们一般比较关注组织的人员、物质、能量等，而很少去关注组织系统的熵增加问题。实际上，对于一个组织系统来说，熵值越大，无序度（混乱度）就越大，内耗加剧，绩效就会越低，进而影响组织的生存与发展。目前有不少专家、学者研究了组织系统的熵值，主要集中于管理熵，组织架构对于熵值的影响等。例如，马扬等（2004）从熵理论的基本原理出发，探讨了科研组织管理熵的内涵与特征，分析了影响科研组织管理熵流的基本因素，建立了相应的计量模型，对科研组织的管理工作提出了新的理论思考[1]；高璇等（2004）以复杂系统中的“熵定律”来阐述企业组织的一些结构特征及行为规律，并以此理论为基础探讨企业的可持续发展之路[2]；张言彩（2003）把熵理论的时效熵和质量熵概念应用于组织结构的优化设计，从量化的角度，以通用电气集团公司和国际商用机器公司的组织结构为例，比较两公司组织结构的时效熵和质量熵，得出通用电气集团公司的组织结构有序度优于国际商用机器公司组织结构有序度的结论[3]；辛志红等（2006）分析了开放系统中子系统信息与系统信息之间的关系，建立了企业组织系统演进的熵模型[4]；艾新波等（2005）分析了组织结构对组织内部信息流的影响，从信息流的时效性和准确度两方面构建了组织结构的有序度评价模型，通过引入信息流的时效和质量的概念，对比分析塔式结构和扁平化结构的有序度，得出扁平化结构有序度优于塔式结构有序度的结论[5]。本文试图将广义熵增加原理应用于组织系统，通过分析热熵和信息熵对组织运行的影响，进而探究降低组织系统熵值的措施，开辟一条从新的角度、新的视野去研究组织系统得以有序运行的途径。 1.广义熵增加原理[6-10] 熵（克劳修斯称之为“entropy”）是组成系统的微观粒子的无序性（或混乱度）的量度。一般认为，熵有热力学熵和信息熵两种形式。 1.1热力学熵（Energetic Entropy）。熵在物理学中用S表示，它是热力学几率W的函数，即S=f(W)。克劳修斯从宏观角度论述了热力学熵增加原理，他指出：当热力学系统从一个平衡态I（Initial）经过绝热过程到达另一个平衡态T

【关于生命系统熵势函数的建立及应用】生命是熵减

【关于生命系统熵势函数的建立及应用】生命是熵减摘要：依据非平衡非线性系统理论的广义势函数，建立了可描述生命系统的熵势及其表达式，作为应用，分析了生命系统的相变和生命机体内部的熵力。关键词：生命系统；熵势；非平衡相变；熵力：Q111；0415.3 ：A ：1007-7847(xx)01-0016-05 自然界的实际系统千差万别，它们可以是物理系统、化学系统、生物系统等，它们在平衡态和近平衡态已归入一个广泛的统计热力学的理论体系．这个理论的普遍性的一个重要原因是存在着广泛定义的势函数，如平衡系统的熵、自由能或线性非平衡系统的熵产生、超熵等等，生命系统是个远离平衡的非线性系统，非平衡理论告诉我们，远离平衡的非线性系统中存在一个广义势函数．这个势函数是个Lyapunov函数，满足Lvapunov稳定性准则，因此生命系统是个相对稳定的系统，本文依据非平衡系统理论的广义势函数，建立了可以描

述生命演化的势函数――熵势，经过对生命系统的分析，发现有一个尖拐型突变函数正好对应于熵势，并把它作为生命系统的特性函数加以应用，即用熵势来研究生命系统的相变特点和生命机体内部的作用力，得出了有意义的结论，为从整体上认识生命系统提供一种较科学的方法。 1 生命系统的特性函数――熵势生命系统是远离平衡的非线性系统，其熵势可以通过非平衡系统理论的广义势函数建立起来，非平衡系统既可用确定性演化方程描述也可用随机性演化方程描述，下面首先从随机层次建立广义势函数，再推广到生命系统的熵势，并根据生命系统的特点寻找能描述生命进化的熵势表达式。 1.1 非平衡系统的广义势函数

非线性科学和统计物理的研究告诉我们，一个小的随机力不仅仅对原有的确定性方程的结果产生微小的变化，它还能出乎意料的产生重要得多的影响，在一定的非线性条件下它能对系统演化起决定性作用，甚至 __改变宏观系统的命运，另一方面，这种无规的随机干扰并不总是对宏观秩序其消极破坏作用，在一定条件下它的相干运动可能在建立系统的“序”上起到十分积极的创造性作用。描述远离平衡的非线性复杂系统的这种随机性常用含多变量的郎之万方程(LE)，即 (6)中的首项不仅在弱噪声情况下确定了FPE的定态性质，而且支配相应的确定性系统的Lyapunov性质，称其为非平衡系统的广义势函数， 1.2 生命系统熵势的建立爱因斯坦关系为：

三体有感-从熵看文明发展的风险

从熵看文明发展的风险再先进的文明，都有他的弱点，从进化论我们知道，进化本质上是为更好适应环境做出选择，是一种在那种环境下生存繁殖而不得放弃什么和强化什么的选择，任何文明，只要存在进化机制，他们的弱点就是环境变化，在另一个完全不同的环境中，他们已有的进化机制可能不再是优点，不再有利于生存和繁殖，三体也是一样，当他们来到地球，地球人的这种欺骗策略机制是他们祖先早就淘汰的机制（这好比天花病毒，通过人类多代免疫疫苗，天花已经无法在人类中继续传播，这是人类利用科学技术解决环境问题的例子，在天花方面，人类已经不需要这种免疫机制了，1979年10月26日联合国世界卫生组织在肯尼亚首都内罗毕宣布，全世界已经消灭了天花病，并且为此举行了庆祝仪式。目前，世界上有两个戒备森严的实验室里保存着少量的天花病毒，它们被冷冻在-70 ℃的容器里，等待着人类对它们的终审判决。这两个实验室一个在俄罗斯的莫斯科，另一个在美国的亚特兰大。世界卫生组织于1993年制定了销毁全球天花病毒样品的具体时间表，后来这项计划又被推迟。因为病毒学家和公共卫生专家们在如何处理仅存的天花病毒的问题上发生了争论：是彻底消灭，还是无限期冷冻? 但如果环境发生变化，天花再次出现，我们前期的机制将不再有利于我们生存，也就是过度依赖医学技术不一定是好事，好比我们不能过度依赖人工智能一样，过度依赖外在

条件，适应环境变化能力也越弱，这在熵原理已被证实，宇宙中的自然状态是无序化，有序必定是有能量维持，如果没有能量维持，所有事物最终将归结均衡无序，例如万有引力维持星体运行有序，法律警察维持社会有序，打扫卫生维持房间物品有序，食物水维持身体器官机能有序等，越是远离无序，需要的能量越大，现代人类生存环境已经高度有序了，每天吃饭时间规律，睡觉安全规律，情绪也难有较频繁的波动，生活稳定安康，而我们祖先，完全不具备这些保障，而这些有序，是依靠大量能量维持的，我们现代人均消耗各种能源和能量远大于祖先，可以预见，未来人类需要更多的能量维持更有利于自身生存繁殖的有序，这种高度反熵（降熵）机制越进化，适应变化越脆弱，维持能量发生中断，能量传递途径发生变化，有序间存在冲突等都会产生灭亡危机，例如，我们地球上已知的资源以我们目前消耗速度，再过几百年后将消耗完毕，如果那时人类还没有进化出更高效的机制维持熵（降熵），人类将灭亡或采取其他适应机制进化。环境如何变化不是我们所能决定的，这在高等文明中是否有效不得而知（如果能决定那肯定要消耗大量能量维持，宇宙是熵增机制）。随着科学技术进一步发展，我们可以预见人类还会解决更多的疾病，可以在未来，我们也不需要发烧、咳嗽等机制了，目前我们已经不需要脂肪大量储存机制，我们用外在的食物稳定保障概率逐步淘汰自身应对变化的脂肪储存机制。三体随着科学技术发展，欺骗机制已经无法获得利益，所以这种机制就淘汰了，我们人类虽然也进化出

熵函数的来历及统计学意义

熵函数的来历及统计学意义 12级物理学阴爽热力学第一定律就是能量守恒与转换定律，但是它并未涉及能量转换的过程能否自发地进行以及可进行到何种程度。热力学第二定律就是判断自发过程进行的方向和限度的定律，它有不同的表述方法：热量不可能自发地从低温物体传到高温物体；热量不可能从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；不可能从单一热源取出热量使之全部转化为功而不发生其他变化；第二类永动机是不可能造成的。热力学第二定律是人类经验的总结，它不能从其他更普遍的定律推导出来，但是迄今为止没有一个实验事实与之相违背，它是基本的自然法则之一。由于一切热力学变化（包括相变化和化学变化）的方向和限度都可归结为热和功之间的相互转化及其转化限度的问题，那么就一定能找到一个普遍的热力学函数来判别自发过程的方向和限度。可以设想，这种函数是一种状态函数，又是一个判别性函数（有符号差异），它能定量说明自发过程的趋势大小，这种状态函数就是熵函数。如果把任意的可逆循环分割成许多小的卡诺循环，可得出 ∑(δQi/Ti)r=0 (1) 即任意的可逆循环过程的热温商之和为零。其中，δQi为任意无限小可逆循环中系统与环境的热交换量；Ti为任意无限小可逆循环中系统的温度。上式也可写成? ∮(δQr/T)=0 (2) 克劳修斯总结了这一规律，称这个状态函数为“熵”，用S来表示，即 dS=δQr/T (3) 对于不可逆过程，则可得? dS>δQr/T (4) 或 dS－δQr/T>0 (5) 这就是克劳修斯不等式，表明了一个隔离系统在经历了一个微小不可逆变化后，系统的熵变大于过程中的热温商。对于任一过程（包括可逆与不可逆过程），则有? dS－δQ/T≥0 (6)

熵与人体

熵与人体摘要：熵是一个古老而又年轻的概念,虽然教材上内容不多，但它有极强的生命力及非常广的应用。本文首先补充了如耗散结构、负熵等关于熵的一些热力学概念以及从热力学第二定律推导出的应用于生物体的两个公式，然后对熵与人的疾病（如感冒、肿瘤）、衰老、生、死等现象的关系做出了一些浅显的说明。关键字：熵人体熵变 1864年，根据热力学第二定律，法国物理学家克劳修斯在《热之唯动说》一书中，首次提出一个物理量和新的态函数——熵。1877年玻耳兹曼从现微观角度对熵做出了统计解释，首次提出了熵公式 S=klnΩ， 1943年，薛定谔在《生命是什么》一书中首先提出了负熵的概念，指出有机体是依赖负熵为生。从此，生命与熵进入了众多科学家研究的视野。一．熵变概念的拓展： ①耗散结构：对于一个热力学过程,其熵变为ｄＳ=ｄＱ/Ｔ.如果过程是不可逆的,则ｄＳ>0. 在如何阐明生命有机体自身的进化过程时提出了耗散结构的概念。耗散结构是指当体系处于非平衡时，通过体系与外界交换能量和物质而形成和维持的一种稳定化了的宏观体系结构。它突破了热力学定律只适用孤立系统的限制，将其运用到开放系统。一个正常的生命体现可视为一个处于非平衡的开放系统，即是一个耗散结构。在开放系统中, 普利高津（Pringogine）将熵变写成

dS=diS+deS(1) diS表示系统内不可逆过程导致的熵产生,deS表示熵流。热力学第二定律指出,diS恒为正,是熵变的正增量。deS可为正,也可为负。对于孤立系统,des=0,热力学第二定律可写成dS=diS≥0；对于开放系统,当deS为负值(负熵流)且｜deS｜>｜diS｜时,则有 dS=diS+deS≤0，即负熵流可使总熵减少,由相对无序状态向相对有序状态发展；若dS=0,有diS=-deS,系统处于有结构的平衡状态。 ②负熵：Ω是无序的度量，它的倒数1/Ω可以作为有序的一个直接度量，玻尔兹曼的方程式还可以写成这样：-S=kln(1/Ω),即负熵。负熵的来源有两类：一类是“有序来自无序”即有机体吸收外界无序经过加工变为自身有序，这就是所谓“加工成序”，如氧气。另一类是“有序来自有序”即将从外界获得的秩序进行同化变成自身的秩序，这就是所谓“同化成序”，如，碳水化合物、液态水等。有机体生成过程就是从外界吸收这些低熵物质并消耗以满足正常生命活动和脑力活动需要，同时产生大量废渣等高熵物质，如CO2：、尿、汗及其他排泄物，以此来与熵增作斗争。 ③熵具体应用于生物体根据开放系统的热力学理论可以算出,其熵变ΔS=ΔQ/T- μjΔeNj/Ｔ- μjΔiNj/T(2).式中,ΔＱ代表生命系统与外界环境交换的总热量,ΔeNj代表生命系统与外界所交换的第ｊ种组元物质的摩尔数,ΔiNj代表生命系统内部各种生化反应所引起的第ｊ种组元物质摩尔数的增加,μj为第ｊ种组元物质的化学势,Ｔ为生命系统(人)的温度。如果我们用ΔＱ吸表示生命系统从外界吸收的热量,用ΔＱ放表示生命系统向外界放出的热量;用Ｓ0表示生

生命过程与生物熵

生命过程与生物熵作者：马远新安虎雁毛莉萍【摘要】利用耗散结构理论通过生物熵在生命过程的变化分析，建立了正常生命过程的生物熵变数学模型，并对模型的数值变化进行了分析，探讨了生命过程中负熵流与熵增的变化趋势以及原因。【关键词】生物熵；耗散结构；生命过程 1864年法国物理学家克牢修斯提出了一个物理量和新函数——熵，熵是热力学系统的态函数，在绝热系统中熵变永远不会为负。统计物理学研究表明,熵就是混乱度的量度。20 世纪60 年代,比利时普利高津提出了耗散结构理论（把那些在非平衡和开放条件下通过体系内部耗散能量的不可逆过程产生和维持的时-空有序结构称为耗散结构）,将熵推广到了与外界有能量交换的非平衡态热力学体系。熵的内涵不断扩大,逐渐形成了热力学熵,黑洞熵、信息熵等概念［1］。这种广义熵的提出, 阐明了非平衡态与平衡态热力学体系熵的本质是一致的,均受熵定律支配,从而也揭示了物理系统与生命系统的统一性［2］。各生命体的生命活动过程是具有耗散结构特征的、开放的非平衡系统, 生命现象也与熵有着密切关系, 生命体和一切无机物的一个根本区别是它具有高度有序性。根据这一特点用“熵”来描述生命是较

为恰当的。引入广义熵的概念来度量生命活动过程的质量, 称为生物熵。本研究将耗散结构理论用于生命过程的研究,建立了生物熵随年龄正常变化的宏观数学模型, 用以描述生命过程的熵变。 1 生命的自组织过程中的公式模拟一个无序的世界是不可能产生生命的，有生命的世界必然是有序的。生物进化是由单细胞向多细胞、从简单到复杂、从低级向高级进化，也就是说向着更为有序、更为精确的方向进化，这是一个熵减的方向，与孤立系统向熵增大的方向恰好相反，可以说生物进化是熵变为负的过程，即负熵是在生命过程中产生的。但是生命体是"耗散结构"，耗散结构认为一个远离平衡态的开放体系，通过与外界交换物质和能量，在一定条件下，可能从原来的无序状态转变为一种在时间、空间或功能上有序的状态，这个新的有序结构是靠不断耗散物质和能量来维持的。生命体通过不断与外界交换物质、能量、信息和负熵，可使生命系统的总熵值减小,从而有序度不断提高,生命体系才得以动态地发展。生物进化是个熵变为负的过程，即负熵是在生命过程中产生的。一个系统由无序变为有序的自然现象称为自组织现象。自组织现象可以通过下面过程说明：

人生与熵(究竟的开始)

人生与熵（究竟的开始）物理学有一个高度概括的定律，就是关于熵的定理，大意是这样的：任何物体（物质）在没有吸收外界能量的条件下，总是朝熵增加的方向变化。所谓熵，指的就是无序的程度。无序的程度越高，熵值越大。这个熵的定律通俗地解读，就是说，任何物体想提高其有序性，必须吸收更多的能量。之所以说这是一个高度概括的定律，是因为这个定律反映了宇宙界的一个普遍的现象，适合于有机界、无机界，适合于自然界，也适合于社会，适合于生命物质，也适合于非生命物质。与“物质是运动的”，“物质运动具有波动性”诸如此类的哲学例题有点类似，具有高度的概括性和普适性。所以，把关于熵的定律提高到哲学定律的高度也未尝不可。将这个定律换一种说法，就是你想把某个东西变得更高级（更好，更有序），你得对它做功！更为通俗的说法还有：天上不会掉馅饼下来；世上没有免费的午餐；想要收获，必须有付出；天道酬勤；等等。反过来说，你不想对它做功，它会自然向熵增大的方向发展。所以，自然界就存在下面司空见惯的现象：打碎一只碗比烧制一只碗容易得多；把一堆码好的积木踢散比收拢它们并码放整齐容易得多；一个人死去并腐烂只要几天时间，但长成人却要几十年时间；

学好三年，学坏三天；建好一幢大厦要几年，烂毁它只要几秒；搞好一个企业要数十年持之以恒，但搞垮它也许只要几十天。事实上，世界的物质存在两种变化，一种是向有序方向发展，另一种相反。两种变化相互转化。打一个比方：一粒种子可以发芽生长成一棵大树，这是朝着熵变小的方向发展，但有一天开始，这棵树开始枯萎，最后死亡，腐烂成泥，这是朝熵增大的方向发展。这种相互之间的变化周而复始，构成了一个基本的运动周期。那么为什么有的时候或有的物质能够向有序化发展，而有的时候或其它物质却相反呢？物理学家发现，要想使物质朝有序化方向发展，这个物质必须具备一种特殊的结构，即耗散结构：即具备能够吸收外界能量并实现能量有效转化的结构。一个最为简单的耗散结构包括以下几个基本组成部分：入口结点、能量转化功能、出口结点。打一个比方，健康的人个体就是一个耗散结构：嘴为能量入口，体内器官为能量转化功能器，肛门等排泄器官则为出口。一个耗散结构能够实现吸收外界能量，将一部分转化为提高自身能级的能量留在体内，剩余的能量则通过出口排出体外。所以，从熵的定律及耗散结构理论角度来说，生命的本质就是耗散结构。如果耗散结构遭到了破坏，个体无法实吸收外界能量的功能，则意味着生命的终结！

信息熵及其性质和应用

青岛农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号姓名20093992 指导教师吴慧完成时间2012年06月25日 2012 年06月25日

课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。使我们对信息熵有跟深入的了解。资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。发出任务书日期06月15日完成论文日期06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）

信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。关键词；信息熵性质应用 Information entropy and its properties and Application Student majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiang Tutor WuHui Abstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application https://www.360docs.net/doc/2b6352220.html,rmation is a very popular and wi dely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application. Key words:information entropy properties application

生命与熵

生命与熵摘要主要通过对克劳修斯熵和玻耳兹曼熵的讨论，把孤立系统的熵的概念延伸到开放系统，即生命系统中去，并分析生命系统的自然变化及患病变化的过程在本质上与熵的联系。关键词熵；生命过程；生命系统；耗散结构 1 克劳修斯熵与玻耳兹曼熵的讨论 1.1克劳修斯熵根据卡诺循环，可推出克劳修斯不等式，即dS ≥( dQ/T)。由于各种热力学过程其不可逆性都可以归结为热功转换的不可逆性，所以，克劳修斯不等式适用于各类热力学过程的方向及限度的判断。据此，热力学第二定律可归纳为“孤立系统中发生的任意过程总是向着熵增大的方向进行。”显然热力学第二定律对于生命系统来说是不正确的，这是因为生命系统不是一个孤立系统，它与外界既有能量交换也有物质交换。 1.2玻耳兹曼熵玻耳兹曼熵S = k lnΩ，k为玻耳兹曼常数，Ω为热力学概率，即某热力学状态对应的微观状态数，也就是系统处于该状态时混乱度的度量。这从微观上解释了熵增加原理所表示的孤立系统中热力学过程的方向性,相应于系统从热力学概率小的状态向热力学概率大的状态过渡, 直到热力学概率最大的平衡态为止。熵的本质就是系统无序度的量度，这不仅适用于孤立系统，同样适用于生命系统这个开放系统。 2生命系统的耗散结构

一些非生命物质的运动通常会自动趋向于热力学平衡状态，而生命现象，如生长、发育、结构进化等呈现出远离热平衡态。它们从环境中吸取能量，降低自身内部的熵值，获得结构和功能上更高的有序度，维持着耗散结构。作为开放系统的生命体内过程熵变可写作: dS = deS +diS ，其中deS 表示生命体通过代谢活动（与外界交换能量、物质和信息）由外界引入的净熵，其值可正可负；diS 表示生命体内部的熵产生，是由生命体内部各种不可逆过程（异化作用或同化作用）引起的，其值恒为正。生命活动正常与否可由dS =deS +diS 进行讨论,包括以下3种情况: （1）若dS/dt >0, 即diS/dt >-deS/dt ,这时生命体所引入的负熵流不足以抵消内部的熵产生,熵变为正,此时生命体将面临消亡，（2）若dS/dt =0, 即diS/dt =-deS/dt ,此时系统由外界吸取的负熵流抵消了内部熵产生,于是生命体处于正常稳态。（3）若dS/dt <0 ,即diS/dt < -deS/dt ,则系统由外界吸取的负熵流足够大,从而使生命体变得更有序而充满活力,生命体将进行和发展。基于第三种情况，有人提出了负熵的概念，即必须有足够大的负熵流（deS）供给生物体来抵消正的diS。如生物体吸取的食物,通常含有高度有序的低熵高分子，如淀粉、蛋白质等，而排泄出高熵物质，使熵不断流出（deS < 0），抵偿其内部由不可逆过程所产生的正熵（diS > 0）。 3生命过程中的熵变化 0 岁到10岁左右是生命成长发育的过程，生物体的结构从有序发展为更有序，此时dS应小于0，即|deS|< diS，系统得到负熵，熵减少，有序度增加。10岁到20岁作用是生命体基本生长的过程，此过程中系统的熵变由负逐渐趋近于零，

热力学熵及其应用的理解

内蒙古师范大学物理与电子信息学院学年论文姓名：邢阿木古冷学号：20082116014 年级：08级物理蒙班学院：物理与电子信息学院指导老师：松林

热力学熵及其应用的理解邢阿木古冷（20082116014） (内蒙古师范大学物理与电子信息学院，内蒙古呼和浩特 010022) 摘要：热力学熵是表征系统无序度混乱度的态函数。熵函数最初是由克劳修斯提出来的。他认为系统的熵总是自发的朝着系统无序度混乱度增加的方向进行的，这个思是很重要的。因此熵的概念在我们生活中有很高的参考价值。本论文中我想从我了解的方面对熵及其应用价值进行简单的介绍。关键词：熵；应用；熵增加原理 1.引言熵的引出是人们在生活实践，生产实践和科学实验的经验总结，它们既不涉及物质的微观结构，也不能用数学加以推导和证明。但它的正确性已被无数次的实验结果所证实。而且从热力学严格地导出的结论都是非常精确和可靠的。有关该定律的发现和演变历程是本文讨论的重点。熵是有关热和功等能量形式相互转化的方向与限度的规律，进而推广到有关物质变化过程的方向与限度的普遍规律。由于在生活实践中，自发过程的种类极多，熵的应用非常广泛，诸如社会熵概念的引出，熵与生命代谢的关系，熵与肿瘤的关系等。本文做简单介绍。 2.正文 2.1熵概念的引入在19世纪60年代，有人曾十分戏剧性地描绘了“世界末日”的情景：“宇宙越是接近于其熵为一最大值的极限状态，它继续发生变化的可能就越小；当它完全达到这个状态时，就不会再出现进一步的变化了，宇宙将永远处于一种惰性的死寂状态。”这就是轰动一时的“宇宙热寂论”。然而不久，“宇宙热寂论”就被科学证明是错误的。这个错误观点的提出者就是德国科学家克劳修斯，但是由他提出的“熵”的概念和热力学第二定律却是正确的。为了进一步推动热的动力学说，克劳修斯把理论和实验结合起来，进行深入的研究。在研究卡诺热机操作循环过程中，他发现热量在减少的同时，却可以看出有一个量在整个循环的过程中自始至终保持不变。如果是在理想过程中的话，那么这个比值是个常数，而且从不会减少。这也就是说，在密闭系统中，系统的热量和系统的绝对温度的比值在任何过程中都是增长的。这个不小的发现使克劳修斯惊喜不已，他隐约感觉到自己的研究又将出现新的突破。于是，他不断地实验，反复地论证，把所有的精力都倾注在这个“恒量”的研究之中。1854年，克劳修斯把研究的结果以论文的形式予以发表，在文中，他提出了著名的“克劳修斯不等式”，得出了卡诺热机效率的公式，并推广到任何一个可逆的循环之中。1865年，克劳修斯发表了《力学的热理论的主要方程之便于应用的形式》一文，在文中明确表达了“熵”的概念。熵是物质的状态函数，即状态一定时，物质的

熵及熵增加的概念及意义

熵及熵增加的概念及意义摘要：熵是热学中一个及其重要的物理概念。自从克劳修斯于1865年提出熵概念以来，由于各学科之间的相互渗透，它已经超出物理学的范畴。本文从熵的概念出发，简述了熵的概念和意义及熵增加的概念和意义，促进我们对熵的理解。关键词：熵；熵概念和意义；一．熵概念的建立及意义 1.克劳修斯对熵概念的推导最初，克劳修斯引进态函数熵，其本意只是希望用一种新的形式，去表达一个热机在其循环过程所必须的条件。熵的最初定义建立于守恒上，无论循环是否理想，在每次结束时，熵都回到它最初的数值。首先将此过程限于可逆的过程。则有 0d =?T Q 图1-1 闭合的循环过程公式0d =?T Q 的成立，足以说明存在个态函数。因此，对于任意一个平衡态，均可引入态函数——熵：从状态O 到状态A ，S 的变化为 ? =-A O T Q S S d 0S 为一个常数，对应于在状态O 的S 值。对于无限小的过程，可写上式为可逆)d ( d T Q S = 或可逆)d (d Q S T = 在这里的态函数S 克劳修斯将其定义为熵。不管这一系统经历了可逆不可逆的变化过程，具体计算状态A 的熵，必须沿着某一可逆的变化途径。这里不妨以理想气体的自由膨胀为例来说明这一点。 p V

设总体积为2V 的容器，中间为一界壁所隔开。图1-2 气体的自由膨胀初始状态时，理想气体占据气体为1V 的左室，右室为真空气体2V 。然后，在界壁上钻一孔，气体冲入右室，直到重新达到平衡，气体均匀分布于整个容器为止。膨胀前后，气体温度没有变化，气体的自由膨胀显然是一个不可逆的问题。对于此过程，是无法直接利用公式(1-1)来计算熵的变化的。但为了便于计算，不一定拘泥于实际所经历的路线。不妨设想一个联系初、终状态的可逆过程，气体从体积1V 扩展到2V 得等温膨胀。在此过程中，热量Q 全部转化为功W 。 ??===T W T Q Q T T Q d 1d ??===?V P V V T T W T Q S d 1d 2112ln V V nR = 计算中引用了理想气体状态方程 pV =nRT = NkT 时至今日，科学的发展远远超出了克劳修斯当时引进熵的意图及目标。熵作为基本概念被引入热力学，竟带来了科学的深刻变化，拓展了物理内容，这是克劳修斯所没有预料到的。 2.熵的概念熵，热力学中表征物质状态的参量之一，用符号S 表示，其物理意义是体系混乱程度的度量。 3.熵的性质及意义自然界中所有不可逆的过程不仅不能反向进行，而且在不引起其它条件的变化下，用任何方式也不能回到原来状态，这就表明，自发过程单向性或不可逆性并不由过程进行的方式和路径决定，而是由系统的初、终状态决定。所以，根据态函数的定义，不可逆的过程的单向性或不可逆性具有以上态函数的性质，因而熵就是用来表征这个态函数。熵的单位J/K 。熵具有以下两个性质：（1）熵是一个广延量，具有相加性。体系的总熵等于体系各部分的熵的总和。（2）体系熵的变化可分为两部分：一部分是由体系和外界环境间的相互作用引起的。另一部分是由体系内部的不可逆过程产生的。熵的物理意义可以这样来理解，在孤立的体系中进行不可逆的过程，总包含有非平衡态向平衡态进行的过程，平衡态与非平衡态比较，系统内运动的微观粒子更为有序，因此，系统的熵增加过程与从有序态向无序态转变有联系。熵越大的态，系统内热运动的微观粒子越

生命过程与生物熵(一)

生命过程与生物熵(一) 作者：马远新安虎雁毛莉萍【摘要】利用耗散结构理论通过生物熵在生命过程的变化分析，建立了正常生命过程的生物熵变数学模型，并对模型的数值变化进行了分析，探讨了生命过程中负熵流与熵增的变化趋势以及原因。【关键词】生物熵；耗散结构；生命过程 1864年法国物理学家克牢修斯提出了一个物理量和新函数——熵，熵是热力学系统的态函数，在绝热系统中熵变永远不会为负。统计物理学研究表明,熵就是混乱度的量度。20世纪60年代,比利时普利高津提出了耗散结构理论（把那些在非平衡和开放条件下通过体系内部耗散能量的不可逆过程产生和维持的时-空有序结构称为耗散结构）,将熵推广到了与外界有能量交换的非平衡态热力学体系。熵的内涵不断扩大,逐渐形成了热力学熵,黑洞熵、信息熵等概念〔1〕。这种广义熵的提出,阐明了非平衡态与平衡态热力学体系熵的本质是一致的,均受熵定律支配,从而也揭示了物理系统与生命系统的统一性〔2〕。各生命体的生命活动过程是具有耗散结构特征的、开放的非平衡系统,生命现象也与熵有着密切关系,生命体和一切无机物的一个根本区别是它具有高度有序性。根据这一特点用“熵”来描述生命是较为恰当的。引入广义熵的概念来度量生命活动过程的质量,称为生物熵。本研究将耗散结构理论用于生命过程的研究,建立了生物熵随年龄正常变化的宏观数学模型,用以描述生命过程的熵变。 1生命的自组织过程中的公式模拟一个无序的世界是不可能产生生命的，有生命的世界必然是有序的。生物进化是由单细胞向多细胞、从简单到复杂、从低级向高级进化，也就是说向着更为有序、更为精确的方向进化，这是一个熵减的方向，与孤立系统向熵增大的方向恰好相反，可以说生物进化是熵变为负的过程，即负熵是在生命过程中产生的。但是生命体是"耗散结构"，耗散结构认为一个远离平衡态的开放体系，通过与外界交换物质和能量，在一定条件下，可能从原来的无序状态转变为一种在时间、空间或功能上有序的状态，这个新的有序结构是靠不断耗散物质和能量来维持的。生命体通过不断与外界交换物质、能量、信息和负熵，可使生命系统的总熵值减小,从而有序度不断提高,生命体系才得以动态地发展。生物进化是个熵变为负的过程，即负熵是在生命过程中产生的。一个系统由无序变为有序的自然现象称为自组织现象。自组织现象可以通过下面过程说明：①蛋白质大分子链由几十种类型的成千上万个氨基酸分子按一定的规律排列起来组成。这种有组织的排列决不是随机形成的，而是生命的自组织过程〔4〕。这表明生命体的有序自组织的形成与随物质、能量和信息带进生物体而引起的负熵有关。大的负熵状态,必然有利于有序自组织的形成。而自组织有序度的提高,也必然会导致生物熵的进一步减少。 ②生命的成长过程是生命系统的熵变由负逐渐变化趋于0的过程，可以说随着生命的成长，生物熵是由快速减少到逐渐减少的过程，这个过程中生物组织的总量增加，有序度增加，生物熵总量减少，所以熵增为负。 ③衰老是生命系统的熵的一种长期的缓慢的增加，也就是说随着生命的衰老，生命系统的混乱度增大，原因应该是生命自组织能力的下降造成负熵流的下降，生命系统的生物熵增加，直至极值而死亡，这是一个不可抗拒的自然规律〔5〕。生命过程是一个开放的热力学系统，熵变可以用一个耗散型结果进行描述。 dS=dSi+dSe 式中,dS为微熵即熵变,表示热力学体系在某一状态时的熵变；dSi为系统内不可逆过程产生的熵,dSi≥0；dSe是开放系统与外界环境交换物质、能量产生的熵流,其符号可正可负。根据生命过程可以建立一个简单数学模型描述生命过程的熵变。

现代熵理论在社会科学中的应用

现代熵理论在社会科学中的应用摘要：文章简述了热学熵的理论及其统计解释,介绍了熵增原理，最大最小熵原理，对现代熵理论在人类社会，生态环境，致冷技术上的应用作了浅显的说明，使人类意识到加强熵观念以维护良好社会秩序及生态环境的必要性，最后讲解了现代熵理论在社会科学中的应用对我的启发与影响。关键词: 现代熵现代熵理论现代熵与人类社会现代熵与生态环境现代熵与致冷技术制冷技术现代熵理论的应用对我的启发正文：一. 现代熵理论的基本概念 1. 热熵的基本概念克劳修斯引入了状态函数熵，记为 S。他采用宏观分析的方法得出 : 对于一个封闭系统 , 可逆过程的熵变 dS与系统从外界所吸收的热量 dQ和系统的温度 T之间存在如下关系: dS = dQ T 上式称为熵的克劳修斯关系式。由此定义的熵称为热力学熵 (或宏观熵 , 克劳修斯熵 ) 。 2. 统计熵 (或玻尔兹曼熵 )的概念在克劳修斯给出热力学熵的定义以后 ,玻尔兹曼又从微观 (气体动理论 )的角度 , 深入研究了状态函数熵 , 给出了一个统计物理学的解释。在等概率原理的前提下 , 任一给定的宏观状态所包含的微观状态数的数目称为该宏观状态的热力学概率 , 用 Q表示。据此 , 玻尔兹曼对气体分子的运动过程进行了研究 ,将熵 S和热力学概率Ω联系起来得出 S∝ lnΩ的关系 ,在 1900年由普朗克引进比例常数 k而成为 S = klnΩ。这就是统计物理的玻尔兹曼熵关系式 ,其中 k为玻尔兹曼常量。由此定义的熵称为统计熵 (或玻尔兹曼熵 )。二．现代熵理论的原理现代熵理论有熵增加原理，最大最小熵原理等。 1. 熵增原理：处于平衡态的孤立系统的熵增加原理在定义熵的概念以后 ,克劳修斯把热力学第二定律中熵用式中等号对应可逆过程 , 大于号对应不可逆过程。即在绝热过程中熵不可能减少，这就是熵增原理。

熵与生命论文

熵与生命童海港（绍兴文理学院化学化工学院化学061 浙江绍兴 312000）摘要：熵增原理阐述了在封闭系统及与其相对应的环境所组成的孤立系统中，任何自发过程总是朝着使体系越来越混乱、越来越无序的方向演化。但对生命物质来说，其演化过程恰好与上述情况相反。这难道真的是一对矛盾吗？本文将对此进行简单的阐述。关键词：熵生命负熵耗散结构一、熵的概念 1867年，德国物理学家克劳修斯(Clausius)在法兰克福举行的第41届德国自然科学家和医生代表大会上，提出熵的概念和宇宙的热寂说，引起人们的极大关注，从此“什么是熵”在科学史上引起了广泛的讨论．爱因斯坦(Einstein)说：熵理论对于整个科学来说是第一法则。所谓熵，是反映一个系统宏观态所具有的微观态数目或与热力学几率有关的物理量，它是系统无序性的量度。1865年克劳修斯在研究卡诺定理的基础上给出了克劳修斯不等式，从而引入了熵的数学表达式。二、熵与生命过程达尔文的进化论认为，地球上的生物，随着环境的变迁，有一个由低级生命形态向高级生命形态逐渐进化的必然趋势，生物是由单细胞进化到多细胞的，从无序到有序的过程。但是这与克劳修斯提出的熵增加原理：任何过程总是朝着使体系越来越混乱、越来越无序的方向演化的理论岂不是矛盾吗？ 1943年，薛定谔(Schrodinger)在都柏林三一学院讲演中指出：

“一个生命有机体的熵是不可逆地增加的，并趋于接近最大值的危险状态，那就是死亡。生命体作为一个非平衡的开放系统要摆脱死亡，从物理学的观点看，唯一的办法就是从环境中不断汲取负熵来抵消自身的熵增加，有机体是依赖负熵为生的。更确切地说，新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功地消除当自身活着的时候不得不产生的全部的熵，从而使其自身维持在一个稳定而又很低的熵的水平上。”因为熵是无序性的量度，所以负熵是有序性的量度。普利高津在研究不违背热力学第二定律的情况下，如何阐明生命有机体自身的进化过程时提出了耗散结构的概念。耗散结构是指当体系处于非平衡时，通过体系与外界交换能量和物质而形成和维持的一种稳定化了的宏观体系结构。它突破了热力学定律只适用孤立系统的限制，将其运用到开放系统。一个正常的生命体现可视为一个处于非平衡的开放系统，即是一个耗散结构。作为开放系统的生命体内在远过程里熵的改变量可表示为ds=ds i+ds e，其中ds i为生命体内的所有不可逆过程(消化、吸收等过程)产生的熵变，其值恒大于或等于零；ds e 为生命体与外界交换物质与能量而产生的熵变，亦称熵流，其值可正、可负、或为零。对于一个孤立系统其也ds e=0，则ds=ds i≥0，这就是我们所说的熵增加原理。对于生命体这个开放系统，其dS e≠0，若有生命体从外界获得负熵流(ds e<0)，并且有获得的负熵流大于生命体内部产生的熵变，即∣ds e∣>∣ds i∣时，则有生命体的熵变(ds<0，这时系统的熵是减少的，因而系统的有序性增加，这意味着生命从一定的有序结构上升到更高的有序结构，这就是生命体的发育、生长过

熵函数

熵函数方法一： A=-(0.3*log2(0.3)+0.1*log2(0.1)+0.21*log2(0.21)+0.09*log2(0.09) +0.05*log2(0.05)+0.25*log2(0.25)); disp(A) 2.3549 方法二： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=-sum(A.*log2(A)); disp(B) 2.3549 平均互信息方法一： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]; C=A*B D=-sum(C.*log2(C))%H(Y) E=-(B.*log2(B)) F=sum(A*E) %（H（Y|X）） G=D-F %(H(Y)- H（Y|X）) C = 0.1816 0.2915 0.2900 0.2369 D = 1.9755

0.3322 0.4877 0.5288 0.5100 0.4644 0.4644 0.5211 0.5211 0.2435 0.4040 0.4644 0.3127 0.3322 0.5288 0.4644 0.5211 0.3602 0.3322 0.3322 0.3322 0.5211 0.3322 0.5211 0.5211 F = 1.7617 G = 0.2137 方法二： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]; C=-sum((A*B).*log2(A*B))-sum(A*-(B.*log2(B))); disp(C) 0.2137 平均失真度Dmax和Dmin Dmin(先取小再求和) A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25] B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]'%转置 C=min(B) D=A.*C Dmin=sum(D) A = 0.3000 0.1000 0.2100 0.0900 0.0500 0.2500