Chapter4-工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法

在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。

1.1 变量的内生性

如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。导致解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。

模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。根据OLS 估计量：

11111?(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+β

X X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：

1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。 (1.2)

又由Slustky 定理，

111Plim(')N ---=X X A 1?Plim E(')-=+≠β

βA X u β (1.3)

1.2 工具变量估计

1.2.1 工具变量

在如下模型中，

y = X

+ u

第i 个解释变量x i 为内生解释变量。如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0 相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) 0，也称为识别约束条件。

那么，z 被称作x i 的工具变量。

1.2.2 工具变量估计

设回归模型为：

y =X β+u (1.4) 其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×K ）。Z 作为工具变量满足正交条件和识

别约束条件。在正规方程组?'()-=X y X β

0中，用Z 替换X ， ?'()-=Z y X β

0 (1.5)

解此方程组，可得IV 估计量为：

1?(')'-=β

Z X Z y (1.6) 将y =X β+u 带入估计量中，可得

11?(')'()(')'--=+=+β

Z X Z X βu βZ X Z u 可以证明，

1?E()(')'E()-=+=β

βZ X Z u β 1121121

?Var()E[(')''(')](')'(')(')

σσ-----==≠β

Z X Z uu Z X Z Z X Z Z X Z X X

即IV 估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由

111111?Plim()Plim[(')(')]Plim(')Plim(')E()n n n i i n N N N N ---→∞

→∞

--→∞-→∞

=+===β

βZ X Z u Z X A

Z u Z u 0

可知，IV 估计量是一致的。

1.3 两阶段最小二乘法

设模型中存在K 个内生解释变量，存在L=K 个工具变量。每个工具变量都必须满足正交条件和相关条件。如果L=K ，称为恰好识别；如果L>K ，称为过度识别。即利用其中不同的K 个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。因此，现在的问题是如何在这L 个工具变量中找到K 个工具变量使其估计量最有效。这即是两阶段最小二乘法。

1.3.1 TSLS 估计

设模型为：

=+y X βu (1.7)

其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×L ）。用Z 作为工具变量，Z 满足正交条件和识别约束条件。首先回归模型

=+X Z Πv (1.8)

可得1?(')-=ΠZ Z ZX ，并提取拟合值1??(')-==X Z ΠZ Z Z ZX 。令1(')'-=Z P Z Z Z Z ，P Z 为对称幂等矩阵，则?=Z

X P X 。然后，利用?X 做为工具变量回归模型，可得IV 估计量为： 11???(')'(')(')--==Z Z

βX X X y X P X X P y (1.9) 而

???''''()''====Z Z Z Z Z

X X X P X X P P X P X P X X X 。 由此可得：

11??????(')'(')'--==β

X X X y X X X y (1.10) 而1???(')'-X X X y 是y 对?X 的OLS 回归估计量。因此，利用?X

作为工具变量作IV 回归与利用?X 替换X 作LS 回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。

Step1：利用X 对Z 作OLS 回归：=+X Z Πv ；提取拟合值?X

。

Step2：用?X

替换X ，直接作OLS 回归。 1.3.2 2SLS 的渐进特征

假定1：令X 表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L 个工具变量构成的（1×L ）向量Z ，满足E(Z 'u )=0。Z 包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z 必须包含模型以外的外生变量。

假定2：（A ）Rank(Z 'Z )=L ；（B ）Rank(Z 'X )=K 。（A ）条件是指L 个向量Z 不存在完全的线性关系；条件（B ）是指Z 与X 充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。条件（B ）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L ≥K 。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。

由X =Z

+v （其中，

为L ×K 矩阵），两侧同时乘Z 并求期望可得：

1'''E(')E(')[E(')]E(')

-=+?=?=Z X Z Z ΠZ v Z X Z Z ΠΠZ Z Z X (1.11)

令X *=Z

= Z[E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )。在X β+u =y 两边同时乘以X *可得，

X *'X β + X *'u = X *'y (1.12)

求期望可得：

E(X *'X )β= E(X *'y ) (1.13)

而

X *'X = X *'Z

+ X *'v ， E(X *'X ) = E(X *'Z )

+ E(X *'v ) = E(X *'Z )

E(X *'Z )= E[(X -v ) 'Z ] = E[X 'Z - v 'Z ] = E(X 'Z )

将

= [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )带入上两个式子中，可得：

E(X *'X ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )

= E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X ) (1.14) E(X *'y ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 Z ' y

注意，上式中Z 是（1×L ）阶，X 是（1×K ）阶。因此， X 'Z 是（K ×L ）阶，Z 'Z 是（L ×L ）阶，Z 'X 是（L ×K ）阶。如果要估计出β，E(X *'X )必须是非奇异的，当且仅当E(Z 'X )的秩为

K 。将其带入β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )，可得

β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )

= {E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )} -1{E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1Z 'y} (1.15)

β的TSLS 估计量为：

{}{}-1112?'(')(')'(')'SLS

--=βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z y (1.16) 1．一致性

由2SLS 估计量可得：

1-1121-111111-11111?['(')(')]['(')'()]

['(')(')]['(')']

[(')(')(')][(')(')(')]

SLS N N N N N N ------------=+ =+ =+βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z X βu βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.17)

由大数定律和Slustky 定理，可得：2?Plim SLS =ββ。即2SLS 估计量具有一致性。

2．渐进正态性

根据1Plim(')E(')i i N -==Z u Z u 0，并由中心极限定理，1/2'~(,)N Normal -Z u 0B 。同方差假定下，22E(')E(')i i i i u σ==B Z Z Z Z ，2=var()i u σ。

根据Slutsky 定理，

1111-11111/22?)[(')(')(')][(')(')(')]SLS N N N N N N

---------=ββX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.18) 定理：在假定1、2以及同方差假定下，

2?)SLS -ββ渐进服从正态分布，均值为0，方差

矩阵为

{}-1

21E(')E(')E(')σ-X Z Z Z Z X (1.19)

其中，1E(')E(')E(')-X Z Z Z Z X 可以用样本进行估计，2σ的估计量公式为：

2121??()N

i i N K u σ

-==-∑ 其中，2??i i i SLS u y =-x β，而不是第二阶段的残差项。

2?SLS β的渐进方差估计量为：

1

2212121????????var()(')(')(')N SLS i i i A σσσ---=??===??

∑Z

βx x X X X P X (1.20) 3．渐进有效性

在假定1、2以及同方差假定下，利用工具变量z 的所有IV 估计量中，2SLS 估计量是最有效的。（证明请参见Wooldridge ，2000，p96）

1.3.3 2SLS 中的假设检验

设模型为：

y = X 1β1 + X 2β2 + u (1.21)

原假设和备择假设分别为：

H 0：β2 =0； H 1：β2 ≠0。

定义无约束模型和受约束模型分别为：

无约束模型：y = X 1β1 + X 2β2 + u (1.22) 受约束模型为：y = X 1β1 + u (1.23) F 检验的具体检验步骤为如下。

设工具变量为Z 。（X 1和X 2都可以包括内生变量）

Step1：用Z 作为工具变量，利用TSLS 估计模型（9.32），计其残差平方和为SSR U ；

Step2：利用OLS 方法用X 1对Z 回归，令1

?X 表示得到的拟合值（N ×K 1）；用X 2对Z 回归，令2

?X 表示得到的拟合值（N ×K 2）； Step3：利用OLS 方法用y 对1?X 、2?X 回归，令·U SSR 表示其残差平方和；用y 对1

?X 回归，令·R SSR

表示其残差平方和。 Step4：构建统计量：

··()

22~()R U

U N SSR

SSR SSR K χ-

··()

2

22/~(,)/()

R

U U SSR SSR K F F K N K SSR N K -=

--

也可以通过类似OLS 方法来构建LM 统计量

Step1：用X 1对Z 进行OLS 回归，令1

?X 表示得到的拟合值（N ×K 1）；用X 2对Z 进行OLS 回归，令2

?X 表示得到的拟合值（N ×K 2）。 Step2：用y 对1

?X 回归，令u %表示其残差。 Step3：用u %对1?X 、2?X 回归，记其未中心化的可决系数为2uc

R 。 Step4：构建LM 统计量

2

22

Asy uc K LM NR χ=??→ (1.24) 1.3.4 异方差稳健推断

如果只有假定1、2成立，模型中存在异方差时，2?SLS β的渐进方差估计量为：

12121????????var()(')(')(')N SLS i i i

i A u --=??=??

∑βX X x x X X 。 (1.25) 可以用作构建异方差稳健t 统计量。

存在异方差时，对参数约束的稳健LM 检验。

Step1：用Z 作为工具变量，利用TSLS 用y 对X 1回归，计残差项为u %； Step2：用X 2中每一个变量对X 1中的所有变量进行OLS 回归，提取残差项?r

； Step3：利用OLS 方法回归方程()?1u

v =+%αr ，计其回归平方和为SSR 。 Step4：稳健LM 统计量为22()~()N SSR K χ-，其中K 2表示X 2中变量的个数。

1.3.5内生变量的显著性检验

1．单个内生变量的显著性检验

在stata中，单个内生解释变量的显著性检验可以通过condivreg实现。Condivreg利用2SLS或LIML方法回归线性模型，并利用条件似然比（conditional likelihood ratio，简写为CLR) 方法（Moreira (2003)，Andrews, Moreira, and Stock (2006)）计算内生变量参数估计量的置信区间和概率值。Andrews, Moreira, and Stock (2004)证明，CLR检验是渐进最优的，明显地优于Anderson and Rubin (1949) 检验和由Kleibergen (2002) 及Moreira (2001)提出的LM检验。

例：

. condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3), liml interval

. condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3 z4), ar lm test(0.1)

2．多个内生变量的显著性检验

结构方程中内生解释变量显著性检验的Anderson-Rubin统计量（注意，不要与Anderson-Rubin过度识别检验混淆）。原假设为：所有内生解释变量的参数都等于0。对其检验等价于对简化方程中工具变量Z的联合显著性检验。

Anderson-Rubin 卡方统计量~卡方分布（自由度为L2=被排除的工具变量个数）Anderson-Rubin对于弱工具变量是稳健的。