人教版高中数学必修3讲义 几何概型

3.3几何概型

3.3.1几何概型

1．理解几何概型的定义及特点．(重点)

2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)

3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)

[基础·初探]

教材整理1几何概型

阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题．

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．

(2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．几何概型的概率公式

P(A)＝

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()

(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()

(3)几何概型的基本事件有无数多个．()

【答案】(1)√(2)×(3)√

2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是

()

【解析】A中奖概率为3

8

，B中奖概率为1

4

，C中奖概率为1

3

，D中奖概率

为1

3

，故选A.

【答案】 A

3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．

【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]

的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2

3.

【答案】2 3

教材整理2均匀分布

阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题．

当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．

X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于()

A．15B．25

C．35 D．45

【解析】由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.

【答案】 D

[小组合作型]

与长度有关的几何概型

某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.

【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5 min之内到达车站，等车时间会超过10 min.

【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．

记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．

∴P(A)＝T1T的长度

T1T2的长度

＝5

15

＝1

3

，

即该乘客等车时间超过10 min的概率是1

3.

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的

区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.

[再练一题]

1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮；

(2)黄灯亮；

(3)不是红灯亮．

【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．

(1)P＝红灯亮的时间

全部时间

＝30

30＋40＋5

＝2

5.

(2)P＝黄灯亮的时间

全部时间

＝5

75

＝1

15.

(3)P＝不是红灯亮的时间

全部时间

＝黄灯亮或绿灯亮的时间

全部时间

＝45

75

＝3

5

，

或P＝1－P(红灯亮)＝1－2

5＝3

5.

与面积有关的几何概型

设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．

【精彩点拨】

当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后

与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小

等边三角形，

当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【尝试解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：

P(A)＝

3

4(23)

2

3

4(43)

2

＝1

4.

几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.

[再练一题]

2．如图3-3-1，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．

图3-3-1

【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，

即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M 的面积为2－π2.

故所求概率为2－π22＝1－π4.

【答案】 1－π4

与体积有关的几何概型

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过

程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．

【精彩点拨】 利用体积之比求概率．

【尝试解答】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：

P ＝1333＝127.

与体积有关的几何概型问题的解决：

(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：

P(A)＝

构成事件A的体积

试验的全部结果构成的体积.

(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.

[再练一题]

3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于

1

3的概率．【解】到A点的距离小于

1

3

的点，在以A为球心，半径为1

3

的球内部，而点又必须在已知正方体内，

则满足题意的A点的区域体积为4

3π×?

?

?

?

?1

3

3×

1

8.

所以P＝

4

3π×?

?

?

?

?1

3

3×

1

8

33

＝π

2×37

.

[探究共研型]

几何概型与古典概型的异同

探究1

【提示】相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．

不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．

探究2P(A)＝0?A是不可能事件，P(A)＝1?A是必然事件是否成立？

【提示】(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．

(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A

的概率P(A)＝1，则A为必然事件．

(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．

(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；

(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．

【精彩点拨】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解．

【尝试解答】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，

共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝13

25.

(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝

π×22＝4π，∴P＝4π

16

＝π

4.

古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.

[再练一题]

4．下列概率模型中，几何概型的个数为()

①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；

②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；

④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．

A．1B．2

C．3D．4

【解析】①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同．

【答案】 B

1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()

【解析】D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A、B、C中要大，故指针指到的概率最大．

【答案】 D

2．一只蚂蚁在如图3-3-2所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是()

图3-3-2

A.1

3 B.

2

3

C.1

4 D.

1

8

【解】从题图中可以得到地板砖总数为12，其中黑色地板砖有4个，由

此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是4

12＝1 3.

【答案】 A

3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()

A.1

π B.

2

π

C.

2

π D.

3

π

【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.

∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝2

π.

【答案】 B

4．函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0

的概率为________．

【解析】 依题意得，?????

－x 20＋2x 0≥0，－1≤x 0≤3，解得0≤x 0≤2，所以任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率P ＝23－(－1)

＝12. 【答案】 12 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．

【解】 如图所示，点M 落在线段AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．

设事件A 为“所作正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm 与9 cm 之间”．

取AC ＝6 cm ，CD ＝3 cm ，则当M 点落在线段CD 上时，事件A 发生．

所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.

学业分层测评(二十) 几何概型

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )

A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性

B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关

C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性

【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.

【答案】 A

2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()

A.1

3 B.

2

3

C.1

4 D.

3

4

【解析】记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不

小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠

AOE＝60°.

当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度

数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝30

90＝1 3.

【答案】 A

3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()

A．0.008 B．0.004

C．0.002 D．0.005

【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为

2

400

＝0.005.

【答案】 D

4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S

4的概

率是()

A.1

4 B.

1

2

C.3

4 D.

2

3

【解析】如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC 与△PBC是等高的，

所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”．

即P ? ??

??△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34. 【答案】 C

5．如图3-3-3，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

图3-3-3

A ．1－2π

B.12－1π

C.2π

D.1π

【解析】 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2

为半径的半圆的公共部分面积为2????

??14π·? ????r 22－12×? ????r 22＝(π－2)r 2

8，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－??????12π? ????r 22×2－(π－2)r 28＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2

814πr

2＝1－2π. 【答案】 A

二、填空题

6．如图3-3-4，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________.

图3-3-4

【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公

式得P(A)＝60°

360°

＝1

6.

【答案】

1

6

7．如图3-3-5，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．

图3-3-5

【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动

的概率P＝

1

6abc

abc

＝1

6.

【答案】

1

6

8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于

1

2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于

1

4，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝

π×? ????

1

4

2

π×12

＝1

16.

记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝

π×? ????

1

2

2

π×12

－P(A)＝1

4

－1

16

＝3

16.

故P(B)＝1－P(B)＝1－3

16

＝13

16.

【答案】

13

16

三、解答题

9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．

【解】如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．

问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．

∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，

S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，

∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概

型的概率公式，得P(A)＝184

600＝23

75≈0.31.

[能力提升]

1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()

A.1

3 B.

1

2

C.1

4 D.

1

6

【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在

△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积

△ABC的面积

＝1

2.

【答案】 B

2．假设你在如图3-3-6所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．

图3-3-6

【解析】设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝

S△ABC

S圆

，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC

＝BC＝2r，所以S△ABC＝1

2AC·BC＝r

2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝r

2

πr2

＝1

π.

【答案】

1

π

3．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家

商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图3-3-7所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影

部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．

图3-3-7

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不

加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R

为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2

360

＝πR2

6.

∴在甲商场中奖的概率为P1＝

πR2

6

πR2

＝1

6.

如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．

摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．

∴在乙商场中奖的概率为P2＝3

15＝1 5.

∵P1

∴顾客在乙商场中奖的可能性大．