美元指数与黄金价格之间的关联性研究

学校代码 10126 学号 00908117 分类号密级

本科毕业论文（设计）

学院(系) 数学科学学院

专业名称数学基地

年级2009

学生姓名宋天琪

指导教师王镁

2013年4月29日

美元指数的变化对黄金价格影响的实证分析

摘要

黄金价格在金本位时期非常稳定，自从黄金与美元脱钩和固定汇率制的垮台，黄金价格开始呈现大幅的下降态势。自2002年开始，美元指数总体呈持续下降状态，同时，黄金价格在历经近十几年的低谷以来，开始了持续上涨的过程。美元指数的升降究竟是否会引起黄金价格的变化，这就需要我们对黄金价格的波动和走势进行分析，并采用客观的方法进行评估。

本文主要研究美元指数的变化对黄金价格是否有影响以及有怎样的影响。文中采用时间序列分析的方法，分别对美元指数下降前后黄金价格的收益序列建立合适的模型，然后对美元指数下降前后黄金价格的统计特性进行分析，观察美元指数下降前后黄金价格风险水平的变化。

关键词美元指数黄金价格 ARMA模型 GARCH模型

Analysis the influence of gold price in the changes of U.S.

dollar index

Author:Songtianqi

Tutor:wangmei

Abstract

The price of gold in the gold standard period is very stable, the price of gold began to show a substantial downward trend since the gold and the dollar were pegged and a fixed exchange rate system were collapsed. And since 2002, the overall of U.S. dollar index were continuing to decline, and at the same time, the price of gold began rising after the trough of the last ten years. The rise and fall of the U.S. dollar index whether it would change the price of gold, which we need to analysis the fluctuations and the trend in the price of gold, and take some objective methods to evaluate.

This paper mainly studies the dollar index changes whether it will affect the price of gold as well as what kind of influence. The paper use time series analysis methods to establish an appropriate model for the gains series of gold prices respectively before and after the decline of the U.S. dollar index, then analysis the statistical characteristics of the gold prices before and after the decline of the U.S. dollar index, and observe the gold price risk level of before and after the decline of the U.S. dollar index .

Key Word U.S. dollar index gold price ARMA model ARCH model

目录

第一章绪论 (1)

(1)

1.1 课题背景

1.1.1 美元指数和黄金关系的历史背景 (1)

1.1.2国内外在该方向的研究现状及分析 (1)

1.1.3本文主要研究内容 (2)

第二章数学理论方法 (3)

(3)

2.1时间序列分析

2.2 时间序列的应用 (3)

2.2.1白噪声 (3)

2.2.2滑动平均过程 (3)

2.2.3自回归过程 (4)

2.2.4自回归滑动平均过程 (5)

2.2.5 模型的定阶方法 (6)

2.2.6 波动率模型 (6)

2.2.7 GARCH模型 (9)

2.2.8回归模型 (10)

2.2.9格兰杰因果关系检验 (11)

2.3 本章小结 (11)

第三章黄金价格变化的风险评估 (12)

3.1 评估步骤 (12)

3.2 美元指数下降前后黄金价格变化的评估 (12)

3.2.1 美元指数下降前黄金价格模型的建立 (12)

3.2.2 美元指数下降后黄金价格模型的风险评估 (20)

3.2.3美元指数变化前后黄金价格变化的风险评估 (24)

3.3美元指数与黄金价格相关性的研究 (26)

3.4本章小结 (29)

结论 (30)

致谢 (31)

参考文献 (32)

第一章绪论

1.1 课题背景

1.1.1 美元指数和黄金关系的历史背景

1944年,布雷顿森林体系建立，规定由美元标价黄金。1968年，实行黄金双价制，官方兑换和市场兑换分离。1971年，美国的黄金储备大量外流，随后即停止美元对黄金的兑换，黄金的价格不再受管制，自此大幅上升。1973年3月，黄金价格再次由于美元指数下降的诱导，很多欧洲国家决定趋利避害，选择抛售美元购黄金。在这个市场浪潮冲击下，导致日本外汇市场不得不关闭了17天。因此很多西方国家放弃了固定汇率制度，大都实行浮动汇率制。从根本上说，布雷顿森林体系所以崩溃，是由于世界经济的迅速发展，经济规模的不断扩大，这一制度根本不能适应生产力的发展。在同一时期，美国和其他国家的通胀率再次急剧升高。加上美元黄金市场的建立和发展，投资者分析这会刺激对黄金的需求，故而选择大举买进。自此黄金价格仍然不断攀升，黄金的最高价格不断被刷新。

1977年，黄金价格再次出现剧烈的反弹状态，此时的通胀率已经达到了一个很高的点，黄金价格在1978年超越了前次的峰值。但当黄金价格创造新高的价格后，便出现了逆转性的大幅回落。

黄金价格的起落周期大约为二十年，自2002年到2008年，黄金价格始终保持波动性上升，当然在黄金市场中，某些政治性的因素对黄金价格的波动也有很大的影响，比如说2001年发生在美国的“9·11”事件导致美元指数下滑，进而也整体推动了黄金价格走出了低谷。同时也由于黄金的特殊性质和功能，再加上政治局势的不稳定性，黄金的特殊作用显现，导致黄金价格的一路飙升，直到2011年黄金价格更为突飞猛进达到了1500美元/盎司的高峰。

1.1.2国内外在该方向的研究现状及分析

金融收益率时间序列数据一般表现出“波动聚集，高峰厚尾，持久记忆”等特征。想要描述此类数据，需采用特殊的模型，普通时间序列模型已经不能较好刻画这样的时间数据。于是Engle在1982年提出条件异方差模型，即用ARCH模型来描述误差项的条件方差随时间变化的某些特征。ARCH模型刻画了金融时间序列波动性聚类的特点，但它在

实际应用中却存在一些缺点。Bollerslev在1986年对ARCH模型进行推广，提出广义自回归条件异方差模型。自此模型产生至今,已经在金融领域中已经获得了广泛的应用。

曹晶与李博在《线性与非线性单方程时间序列建模在黄金现货价格预测分析中的实证研究》[1]中，基于ARMA模型以及GARCH模型族对伦敦黄金现货价格的信息特性以及对冲击的反应做了一系列相应的研究。潘贵豪与胡乃联等人在《基于ARMA-GARCH模型的黄金价格实证分析》[2]中，利用时间序列的分析方法，对黄金价格的时间序列建立了ARCH-GARCH模型，描述了黄金价格的形成过程，并进行了实证分析。

1.1.3本文主要研究内容

本文总共分为四个部分：第一部分主要讲本文的研究背景以及国内外的研究现状；第二部分主要讲本文要用到的数学理论方法；第三部分也是本文的重点内容，主要对美元指数的变化对黄金价格是否有影响以及有怎样的影响进行研究。文中采用时间序列分析的方法，分别对美元指数下降前后黄金价格的收益序列建立合适的模型，然后对美元指数下降前后黄金价格的统计特性进行分析，观察美元指数下降前后黄金价格风险水平的变化。第四部分是结论，主要本文的主要内容以及所得结果进行总结。

第二章 数学理论方法

2.1时间序列分析

时间序列分析可以利用过去的数据对未来进行预测。为了对时间序列进行了解，首先引入随机过程的概念。我们首先介绍随机过程的概念。

设T 是实数集合(,)R =-∞+∞的子集，对于任意固定的t T ∈,t Y 是随机变量，t T ∈的全体{;}t Y t T ∈是一个随机过程，记为{}t Y [3]根据定义，我们对每个固定的t ，由于t Y 是随机变量，当t 取遍整个集合T 时，我们就得到了随机过程。当T 对应的是时间连续的情况时，T 为随机过程。当T 对应的是时间离散的情况是，T 为随机序列。本文涉及到的是对离散时间连续取值的随机过程的统计特征和建模。

如果随机序列的二阶矩有界，并且满足以下条件： （1）对任意整数t ，(),t E Y μμ=为常数；

（2）对任意整数t 和s ，自协方差函数ts γ仅与t-s 有关，即ts t s k γγγ-==[3]。 称为宽平稳随机序列。本文中所提到平稳随机过程都为宽平稳随机过程。 2.2 时间序列的应用 2.2.1白噪声

它是宽平稳过程的一个特例。它是构造经济时间序列许多复杂过程的基石。 如果随机过程{}t ε，满足下面的条件

（1）()0t E ε= (2)22()t E εσ=，对于所有的t （3）()0,t s E t s εε=≠ 则该过程为弱白噪声随机过程，简称白噪声。 2.2.2滑动平均过程

1.q -阶滑动平均过程（MA(q)）

若随机过程{}t Y ，满足

11t t t q t q Y μεθεθε--=++++，

其中()0t E ε=，22()t E εσ=，()0,t s E t s εε=≠，称{}t Y 为q-阶滑动平均过程，用MA(q)表示。 2.参数特征

(1)期望：()t E Y μ=

（2）协方差函数：22201(1)q γθθσ=++

+

211

(),1j j j q q j j q γθθθθθσ++=+++≤≤

0,k k q γ=>

（3）自相关函数： 22211

1()/(1),1j j j q q j q j q ρθθθθθσθθ++=++++++≤≤

0,k k q ρ=>

MA(q)的自相关系数若在有限步之后为0，我们称之为截尾，此特点可以对ARMA 模型的阶数进行初步的判断。 2.2.3自回归过程 1.p -阶自回归过程

若随机过程{}t Y ，满足

11t t q t p t Y c Y Y ??ε--=++

++

其中()0t E ε=，22()t E εσ=，()0,t s E t s εε=≠，称{}t Y 为p-阶自回归过程，用AR(p)表示。AR(p)用滞后算子表示为：

1(1)q q t t L L Y ??ε--

-=

令1()1,()q q L L L L ??Φ=--

-Φ是滞后算子多项式。所以()t t L Y c εΦ=+。

2. AR(p)的平稳条件：特征方程110q q z z ??---=的根在单位圆外。

3. AR(p)的参数特征：

（1）期望：1()/(1)t p E Y c μ??==--

-

（2）协方差函数：1122j j j p j p γ?γ?γ?γ---=++

+，1,2,3

j =

201122j j p j p γ?γ?γ?γσ---=++

++，1,2,3

j =

（3）自相关函数： 1122j j j p j p ρ?ρ?ρ?ρ---=++

+，1,2,3

j =

自回归过程的自相关函数的特点是指数衰减，称为拖尾。通过此特点可以对采用哪种随机过程进行初步判断。 2.2.4自回归滑动平均过程 1.ARMA(p ，q)

112211t t t p t p t t q t q Y c Y Y Y ???εθεθε-----=+++

++++

+

其中()0t E ε=，22()t E εσ=，()0,t s E t s εε=≠，称{}t Y 为p 阶自回归-q 阶滑动平均过程，记为ARMA(p ，q)[3]。ARMA(p ，q)用滞后算子表示为

11(1)(1)q q q t t q L L Y L L c ??εθθ--

-=++++

所以()()t t L Y c L εΦ=+Θ。

2. ARMA(p,q)的平稳条件：特征方程110q q z z ??---=的根在单位圆外。平稳性只

与自回归系数有关，与滑动平均系数无关。平稳时的参数

1122j j j p j p γ?γ?γ?γ---=+++，j p > 1122j j j p j p ρ?ρ?ρ?ρ---=++

+，j p >

同AR 过程一样，自相关系数拖尾。

3.三种随机过程自相关函数和偏相关函数的特点

表2.1三种随机过程自相关函数和偏相关函数的特点

2.2.5 模型的定阶方法

1.根据样本自相关函数和样本的偏自相关函数定阶。 （1）计算平稳时间序列的样本自相关函数。 （2）判断样本自相关系数是否为0。 （3）计算样本的偏自相关函数。

2.AIC 准则和SC 准则

对于一个模型来说，如果我们估计的滞后长度和它自身真实的滞后长度一样，那么从理论上来说，此时模型的估计值和观测值的误差会达到最小。但是当模型的解释变量增加了，均方误差就一定会减小。因此这样的模型对数据拟合程度高，但是预测效果不一定会好。AIC 和SC 准则通过对自由度进行调整，让模型对数据的拟合程度更高。它们的形式为：

()()21?,ln 2AIC p q p q T σ

-=++ ()()21?,ln 2ln()SC p q p q T T σ

-=++ 2.2.6 波动率模型

波动率模型是对误差项的方差建立一个模型，它是对原模型的方差进行修正，让它的波动范围减小，以提高参数估计的有效性以及对预测置信区间的精确程度。

波动率模型的特征：

（1） 波动率存在聚类性。波动率可能在一段时间上高，也可能在一段时间上低。 （2） 波动率具有一定的连续性，也就是说波动率的跳跃较少出现。 （3） 波动率不变动范围是有限的。

（4） 以上特征说明波动率是某些元素的函数，而不能简单的假设为常数。 2.2.6.1.ARCH 模型的定义（Engle ）：

t t v ε=，

..t

v i i d

()0t E v =，2()1t E v =

22011t t j t j h ααεαε--=+++，()00,00i i αα>≥>

满足以上过程被称为q-阶自回归条件异方差模型，记为ARCH(q)。 为保证条件方差是正数，要求00,0,1,j j q αα>≥=。

为保证{}

2t ε平稳，要求011q ααα+++<。

2.2.6.2 ()ARCH 1过程

1.过程t ε是()ARCH 1过程，如果满足下式：

t t v ε= 2011t t h ααε-=+

其中01αα和非负。同时要求11α<，以保证其为有限方差的平稳过程。 2.参数特征

（1）无条件期望：()))()0t t t E E v E E v ε===

（2）无条件方差：2222011()()()()()t t t t t t E E h v E h E v E εααε-===+

2201σαασ=+?201/(1)σαα=-

（3

）条件期望：111()))()0t t t t t t E E v E E v ε---=== （4）条件方差：222211011()()()t t t t t t t t E E h v h E v εααε---===+ （5）峰度：()

()()

2

0142

11

31113m αααα

+=

--，此式子有两个含义，一是四阶矩是正的，所

以必须有211

3

α<，二是无条件峰度大于3，所以t ε的分布的尾巴比正态分布的尾巴要

厚。条件高斯ARCH 过程比高斯白噪声过程产生更多的异常值。()ARCH 1过程的分布不是正态分布。

2.2.6.3 ARCH 过程的特点

（1）只用很少的参数就能实际数据拟合的很好。 （2）描述了金融时间序列的波动性聚类特点。 （3）有许多变形来拟合波动性的不同特点。 2.2.6.4 ARCH 模型的建立

1.建立收益率序列的计量模型，检验ARCH 效果。

首先选择条件均值的模型，可以是回归模型或为ARMA 模型。然后需要检验过程是否具有异方差性。当计算出残差后，可以利用残差来检验ARCH 效果。可以采用Q-检验法或者拉格朗日检验法。 2.确定阶数。

我们可以通过分析时间序列的自相关函数和偏自相关函数的特点（截尾或拖尾），以及AIC 或SC 准则来综合确定最为合适的阶数。 3.模型的检验。

对于ARCH 模型，把残差标准化/t t t v εσ=，然后可以使用LJUNG-BOX 检验，检验是否存在自相关。以及使用峰度、偏度、Q-Q 图判断分布是否服从正态分布和t 分布。 2.2.7 GARCH 模型

ARCH 模型描述了金融时间序列的波动性聚类的特点。但是它也存在一些不足之处，当 q （模型的阶数）较大时，参数估计存在较大的误差。而且ARCH 模型要求方差为正，但是用实际数据估计出的模型的系数有时候会为负数，这样则不合要求。 2.2.7.1 G ARCH 模型的定义

t t v ε=，

..t

v i i d

()0t E v =，2()1t E v =

2201111t t j t j t p t p h h h ααεαεββ----=++++++

{}t ε被称为广义自回归条件异方差过程，简称 G ARCH 过程，记为(,)t GARCH p q ε。

2.2.7.2 G ARCH 的性质

1.当p=0时，成为ARCH 过程，ARCH 过程是 G ARCH 过程的特例。

2. G ARCH 过程的含义是条件方差t h 是1,t t p h h --和1,

,t t q εε--的函数。

3. {}

2t ε平稳的条件是111q p ααββ+++++<，这时，{}t ε也是宽平稳的。如

果111q p ααββ+

++++=，则{}t ε过程被成为I GARCH -过程。这时条件方差

的特点是，或者说波动性的特点是在一段时间内，具有很强的持续性。

2.2.7.3 GARCH(11)，

1.形式: t t v ε=

201111t t t h h ααεβ--=++

2.性质：

（1）条件方差：t h （2）无条件方差：011/(1)ααβ-- （3）平稳条件：111αβ+< （4）峰度： 如果

()2

2111120ααβ--+>

则有

()

()()()2

411222*********t t E a E a αβααβ??-+??=>--+??

??

可见GARCH(11)，模型，呈现出厚尾的特性。

2.2.7.4几个随机过程性质的比较

2.2.8回归模型

回归分析是处理变量之间相关关系的一种数学方法。若随机变量12,,,p y x x x 与变

量存在统计上的相关关系，则可以建立模型：

12(,,

,)p y f x x x ε=+

式中，y 是因变量，也称为被解释变量；12,,

,p x x x 是自变量，也称为解释变量；

12(,,

,)p f x x x 是回归函数；ε是随机误差，表示由于受到某些不确定性因素的影响，以

致没有观察到的一些因素。

线性回归模型的一般形式为：

01122p p t y x x x ββββε=+++

++

若上式中只含有一个变量，称为一元线性回归模型，其一般形式为：

011t y x ββε=++

2.2.9格兰杰因果关系检验

在经济分析中，经常要分辨谁是因谁是果，要想验证因果关系，可以利用的只有过去的和现在的数据。一个广为使用的检验方法是Granger 意义上的因果检验。该方法由Granger 于1969年提出。准确的说是检验变量1对变量2是否有预测作用，它的定义如下：

t Ω表示t 时期为止的所有相关信息。根据t Ω对11t Y +进行预测，预测误差[]21(1)|t t Y σΩ，

如果满足下面的条件，则12y y 是的原因：

[][]22112(1)|(1)|{|}t t t t s Y Y Y s t σσΩ<Ω-≤，

2{|}t s Y s t Ω-≤表示t Ω去掉2Y 的过去和现在的所有值。

2.3 本章小结

在这一章中我们大体介绍了本文中涉及到的理论知识和专业术语。主要介绍了时间序列分析所常用的各种模型：AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、ARCH 模型、GARCH 模型、IGARCH 模型、一元线性回归模型和异方差性的检验方法，以及格兰杰因果检验。

第三章黄金价格变化的风险评估

3.1 评估步骤

本文的主要目的是验证美元指数的变化是否对黄金价格的变动有影响，我们以2002年1月2日为时间分界点，对美元指数下降前后的黄金价格数据进行分析，分别对这两段时期内的黄金价格数据建立模型，然后作对比分析。

3.2 美元指数下降前后黄金价格变化的评估

3.2.1 美元指数下降前黄金价格模型的建立

我们首先选取从1995年3月8日到2002年1月2日的黄金价格数据，共有1726

图3.1 黄金价格的时间序列分析图

我们对此时间序列的特性进行分析，首先考察它的平稳性，观察它的自相关图：

图3.2 黄金价格的自相关-偏自相关分析图

由图3.2,我们可以看出黄金价格有很强的趋势，所以它现在是不平稳的时间序列，我们将黄金价格对数化，并对其进行一阶差分，我们称其为对数收益率，得到

i P 图3.3 收益率的时间序列分析图

现在要考察经过对数化的黄金价格序列是否为平稳的时间序列，通过分析它的自相关函数分析图（图3.4）

图3.4收益率的自相关-偏自相关函数分析图

由图3.4,可以发现序列的自相关系数很快的趋于零，所以它是平稳的随机过程，可以考虑建立ARMA模型。偏自相关系数在k=4后很快趋于0，即4阶截尾；自相关系数在k=1处显著不为0，当k=3时在2倍标准差的置信带边缘；现在考虑AR(4),AR(3),MA(2),MA(3),ARMA(1,1),ARMA(2,2),ARMA(2,3),ARMA(3,3)模型等。通过AIC信息准则和SC信息准则来选择最优模型。比较结果如表3.1。

表3.1各种ARMA模型的AIC和SC值

根据AIC和SC准则，选择使得AIC值和SC值最小的（p，q）组合，由上表可知，我们选择(2，2)组合，即建立ARMA(2，2)模型。然后对ARMA(2，2)进行模型估计，参见图3.5。

图3.5 ARMA(2，2)模型的参数估计和检验结果

所以由图3.5可知，ARMA(2，2)模型的表达形式为：

t t-1t-2t t-1t-2P 0.000169 0.255698P 0.991654P +0.245458+0.979091εεε=-+--

其中t P 表示黄金价格在t 时刻的对数收益率，t ε表示对应t 时刻的误差项（扰动项）。 模型估计完后，我们需要检验模型估计的精确性以及对数据的拟合性，主要检验模型的残差是否为白噪声过程。若残差不是白噪声过程，则需要进一步改进模型。

图3.7 ARMA(2，2)模型残差序列的自相关-偏自相关函数分析图

分析图3.7，可以发现残差序列的自相关系数都落入随机区间，说明ARMA(2，2)已经将模型的相关关系表达出来了。

图3.8 ARMA(2,2)模型残差平方序列的自相关-偏自相关函数分析图由图3.8,可以发现在时滞为1和4处的自相关系数和偏自相关系数显然不为零，说明此时的残差平方序列还不是平稳的，因此我们对此序列进行ARCH效应拉格朗日乘数检验，检验结果如图3.9：

图3.9滞后阶数为1时的ARCH效应检验结果

由图3.9,我们发现当滞后阶数q=1时，检验的相伴概率p=0.0000，当置信水平为0.05时，检验的相伴概率小于显著性水平，说明残差序列存在ARCH(1)效应。然后，我们进一步对残差序列进行更高阶的检验，发现当q=10的时候，依然存在ARCH效应，所以考虑建立GARCH模型。

我们先确定GARCH模型的阶数，以ARMA(2，2)-GARCH(p，q)来描述对数收益率序列.比较

ARCH(1),ARCH(2),ARCH(3),ARCH(4),GARCH(1,1),GARCH(1,2),GARCH(2,1),