弹性力学 第四章 应力和应变关系
第四章应力和应变关系知识点
应变能原理
应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体
正交各向异性弹性体本构关系弹性常数
各向同性弹性体应变能格林公式
广义胡克定理
一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系
一、内容介绍
前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点
1、应变能函数和格林公式；
2、广义胡克定律的一般表达式；
3、具
有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；
5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理
学习思路:
弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。
1、应变能
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则
d W=d W1+d W2
其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,
d W1+d W2=d E - d Q
因为
将上式代入功能关系公式，则
2、格林公式
如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。绝热过程中，d Q=0，故有
d W1+d W2=d E
对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得
即
设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分
对上式积分，可得U0=U0（ ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得
以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
3、应变能原理
如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程。设等温过程中，输入物体的单位体积热量为d Q，熵的增量为d S，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有
因为，d Q=TdS，所以，Q=TS。上式中，T 为绝对温度，TS为输入单位体积的热能。代入公式可得
所以
上式中，E0为物体单位体积的内能，TS为输入的热能，即U0=E0 - TS 。所以在等温条件下，功能公式仍然成立。
上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和材料的性质的限制。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此根据齐次函数的欧拉定理，可得
即
用张量表示，写作
设物体的体积为V，整个物体的应变能为。
§4.2 广义胡克定义
学习思路:
根据弹性体的应变能函数，可以确定本构方程的能量表达形式。本节的任务是利用应变能函数推导应力和应变的一般关系。
如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式。对于小变形问题，这个一般表达式可以展开为泰勒级数。
对于各向同性材料，根据应力与应变的性质，可以得到具有36个常数的广义胡克定理。
学习要点：
1、应力应变关系的一般表达式；
2、广义胡克定理。
1、应力应变关系的一般表达式
由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的一般表达式为
这里的函数f i（i=1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。
这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小变形问题。
对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
例如将的第一式展开，可得
上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
2、广义胡克定理
根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f 1对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数C mn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，C mn是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是C mn 为弹性常数。
§4.3 各向异性弹性体的本构关系
学习思路：
本节应用应变能函数推导各向异性材料的本构关系。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，
对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
学习要点：
1、完全各向异性弹性体；
2、有一个弹性对称面的弹性体；
3、有一
个弹性对称面的弹性体本构关系；4、正交各向异性弹性体；5、正交
各向异性弹性体本构关系。
1、完全各向异性弹性体
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。
根据格林公式和广义胡克定律，有
对于上式，如果对切应变 xy求偏导数，有
同理，有
对于上式，如果对正应变 x求偏导数，有
因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C mn=C nm。
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为
2、具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
将x轴绕动z 轴转动π 角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。
新旧坐标系之间的关系为
x y z x'l1=-1m1=0n1=0
y'l2=-1m2=0n2=0
z'l3=-1m3=0n3=0
根据弹性对称性质，关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不
变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以
σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =τxy，τy'z' =τyz，τz'x' =τzx
εx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =γxy，γy'z' =γyz，γz'x' =γzx
根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。
3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式
代入广义胡克定理，可得
将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有
C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0
这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
4、正交各向异性弹性体
若物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。以下根据完全
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程
推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。设xz 平面也是弹性对称面，即y 轴也是弹性主方向。在具有一个弹性对称面的基础上，将y轴绕动z轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,如图所示
根据弹性对称性质。关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =-τxy，τy'z' =-τyz，τz'x' =τzx
εx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =-γxy，γy'z' =-γyz，γz'x' =γzx
将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有
C15= C25= C35= C64=0
5、正交各向异性弹性体本构关系
这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，如图所示，其弹性常数由13个将减少为9个。于是其应力应变关系简化为
假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，z轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。
因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，则第三个必为弹性对称面。
二个弹性对称面的弹性体本构方程表明：如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。
§4.4 各向同性弹性体
学习思路:
各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任
意变换方位也无关。根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, ν, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：
1、各向同性弹性体；
2、各向同性弹性体的应力和应变关系；
3、应
变表示的本构关系；4、弹性常数与应力表示的本构关系。
1、各向同性弹性体
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。因此
C11=C22=C33, C12=C23=C31, C44=C55=C66
于是其应力应变关系简化为
其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度? 。新旧坐标系之间的关系如下所示
x y z x'l1=cos?m1=sin?n1=0
y' l2=-sin?m2=cos ?n2=0
z'l3=0m3=0n3=1
2、各向同性弹性体的应力和应变关系
根据应力分量转轴公式，可得
根据应变分量转轴公式
将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则
因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。其应力和应变关系为
其中，。
3、应变表示的本构关系
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
则同性材料的本构关系公式可以简化为
或写作张量表达式
上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，λ，μ称为拉梅（Lamé）弹性常数。
如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应力分量均应为零。根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分量也为零。
根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方向是一致的。因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。
设体积应力为,将拉梅公式的前三式相加，可得
上式称为体积应变的胡克定理。
4、弹性常数与应力表示的本构关系
如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数E，ν，G 表示胡克定律，有
这里E为弹性模量，又称为杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变形系数，简称泊松比。
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为
由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此
各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。
4.5 各向同性弹性体的应变能
学习思路:
本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。
由于泊松比 恒小于1，所以应变能函数是恒大于零的。这就是说，单位体积的应变能总是正的。
学习要点：1、各向同性弹性体应变能。
1、各向同性弹性体应变能
弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
根据应变能函数表达式
对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能，将本构关系表达式
代入上式，则可以写作应变分量表达的应变能函数
或者利用本构方程
，
写作应力分量表达的应变能函数
由于 恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知U0恒大于零。这就是说，单位体积的应变能总是正的。
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
应力与应变关系
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
各向异性弹性体的应力和应变关系
各向异性弹性体的应力和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发,用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式,如果对切应变γxy求偏导数，有。 同理,有;对 于上式,如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，Ｃ1４＝C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析,则Ｃmn＝Cｎｍ 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程,推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动ｚ轴转动π 角度,成为新的Ｏx'ｙ'ｚ'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z ｘ'l =-1m1=0n1=0 １ ｙ＇l =-1ｍ2＝0n2=0 ２ z'l3=-1m３=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以σx'=σx，σy'＝σy,σz＇＝σz，τｘ'y' =τxy，τy'z'＝τyz，τz'ｘ' =τｚx εx＇=εx，εｙ' =εy,εz' =εz,γx'y' =γxy，γｙ＇ｚ＇＝γyz,γz'x' ＝γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时,本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C１4=C16=C24＝Ｃ26=C３４=C3６=C54=C５6=０ 这样,对于具有一个弹性对称面的弹性体,其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
应力应变关系
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小
各向异性弹性体的应力和应变关系
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果对 切应变γxy求偏导数，有。 同理，有；对于上 式，如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C mn=C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l1=-1m1=0n1=0 y'l2=-1m2=0n2=0 z'l3=-1m3=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =τxy，τy'z' =τyz，τz'x' =τzx εx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =γxy，γy'z' =γyz，γz'x' =γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
各向异性弹性体的应力和应变关系精编版
各向异性弹性体的应力 和应变关系 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果 对切应变xy 求偏导数，有 。 同理，有 ；对于上 式，如果对正应变x 求偏导数，有 。 因此，C 14=C 41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则 C mn =C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体? 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动 z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l 1=-1 m 1 =0 n 1 =0 y'l 2=-1 m 2 =0 n 2 =0 z'l 3=-1 m 3 =0 n 3 =0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C 14=C 16 =C 24 =C 26 =C 34 =C 36 =C 54 =C 56 =0
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 习题解答 8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D 之间的应力。 、 、 。 解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面 、 、 ，对整体 取为隔离体 为拉应力 取为隔离体 为压应力
取为隔 离体 为拉应力 8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。若CD 杆内的应力不得超过 ，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。 解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。 由 得 8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横 截面等于且杨氏模量为 的钢杆，铝杆内允许最大应力为 ，钢杆内允许最大应力为。不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解： 钢杆能承受的最大拉力： 铝杆能承受的最大拉力： 杆下端能承担的最大负荷为。 由胡克定律： 8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。最大负载极限5.5KN。每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 。 解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)
当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律： 因为：， 所以钢索拉力为： 该力与绳索内力相等即： 8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。求证杆体积的相对改变为。表示原体积，V表示变形后的体积。 （2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。 （1 ）、解：设杆原长，经过拉伸后变为 两者之间关系分别为： 由纵向应变公式：，
弹性力学 第四章 应力和应变关系
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
应力应变关系
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
弹性体的应力和应变
369 第八章弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为42 5.010m -?，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和 C 、 D 之间的应力.4 1F 610N =?， 42F 810N =?，43F 510N =? ，44F 310N =?。 [解 答] 建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处， BC 间G 处，CD 间H 处. 42 123s s s 5.010m -===? 以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力 1 2 3 4 F=F F F F +++∑ X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程 81 11 F ?1.210 n s σ=- =? 由于1σ与X 轴同向，82 11.210(N /m )σ∴=?为拉应力。 在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得： 8220.410(N /m )σ∴=-?为压应力 最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得： 8230.610(N /m )σ∴=?为拉应力。 8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过 7max 1610Pa σ=?.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答] 以杆AB 为隔离体。受力F,T ，建立坐标系 A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑，在z 轴方向投影方程为： 1.6F 1.0T 0-= 得到F=0.39T 对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=?故2 max max T r σπ= y 1.0m 0.6m
第四章应力应变关系
4 应力应变关系 4.1弹性变形时应力和应变的关系 当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即 1()1() 1() 111222x x y z y y x z z z x y xy xy yz yz zx zx E E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ?=--?? ?=--???=--???===? ，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足() 21E G ν=+关系。 由上式可得 11212()()33m x y z x y z m E E νν εεεεσσσσ--=++= ++= （4.2） 于是 11 ()'2x m x m x E G νεεσσσ+-= -= 或 1112''22x m x x m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 类似地可以得到 1112''22y m y y m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 1112''22z m z z m G G E ν εεσσσ-=+=+ 于是，方程（4.1）可写成如下形式 121 2'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-?????? ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ????? ?? 即 '1122ij ij m ij ij m G E ν εεεσδσ-'=+= + （4.3）
显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正比，即 12m m E νεσ-= （4.4） 后者与偏差应力分量成正比，即 ''12''12''1211 1222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zx G G G εεεσεεεσεεεσετετετ? =-=?=-=??=-=??=== ? ，， 或简写为 2ij ij G σε''= （4.5） 此即为广义Hooke 定律。 4.2塑性变形时应力和应变的关系 弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。 塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。 4.2.1增量理论 在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a ）。因此，当材料发生塑性 图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 本章引言：前面学习了质点力学、刚体力学→实际情况两类 物体的大小形变不能忽略 举例 物理现象本身是形变引起 声现象 →研究物体在力的作用下的形变规律必不可少 →连续体 的形状体积的变化均能消失 充满空间的连续媒质 弹性体：能发生弹性形变的物体 均匀弹性体 均匀、各向同性的弹性体 模型意义 弹性体的四种形变 拉伸、压缩 剪切 两种基本形式 扭转 弯曲 可视为前两种形变组成 §8.1 弹性体的拉伸和压缩 研究连续体力学的方法：不再视为一个“离散的质点，而是取‘质元’”→dv dm ρ= 力不是作用在一个个离散质点上，而是看成作用在质元的表面上→引入“应力”概念 一、外力、内力、应力 1．外力：外界作用在弹性体上的力，作用：使弹性体发生形变→导致弹性恢复力 2．内力：通过弹性体内部一假想平面，弹性体两部分间的相互作用 特例：若两端为拉伸力，内力表现为相互拉力（见P 240 图（8.1）a ） 若两端为压缩力，内力表现为压缩力（见P 240 图（8.1）b ） 3．应力：通过单位面积物体中各部分之间相互作用内力→被动力→大小方向取决于外力，一般而言：取S ?假想截面，将物体分为两部分1，2 两部分间相互作用为f ?及f ?-则： ds f d s f S =??=→?0lim σ —→ 正应力：ds dF n =⊥σ或s F n I =σ?????<>⊥⊥⊥ ⊥反向压缩应力 与方向一致拉伸应力与n n ?,0?,0 σσσσ 本教材：σσ→⊥ 剪切应力σ∥ 即σ的切向分量 本教材 σ∥ →τ 由于S ?取向任意f ?一般不与s ?垂直，可以分解：
弹性力学课件：第四章应力应变关系
第四章应力应变关系静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系
目录 §4.1广义胡克定理 §4.2拉梅常量与工程弹性常数§4.3弹性体的应变能函数
§4.1广义胡克定义 ?应力应变关系属于材料性能 ?称为物理方程或者本构方程 ?单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定 ?复杂应力状态难以通过实验确定
?广义胡克定理——材料应力应变一般关系 xz yz xy z y x xz xz yz xy z y x yz xz yz xy z y x xy xz yz xy z y x z xz yz xy z y x y xz yz xy z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=?工程材料，应力应变关系受到一定的限制 ?一般金属材料为各向同性材料 ?复合材料在工程中的应用日益广泛
弹性体变形过程的功与能 ?能量守恒是一个物理学重要原理 ?利用能量原理可以使得问题分析简化 ?能量原理的推导是多样的，本节使用热力 学原理推导。 外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化
我所认识的应力应变关系讲解
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。 一应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点， J ?为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中二=E ；, 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段， CDE 为强化阶段，应变 强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载， 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、?邓* zx 只有一个不为零, 六个应变分量 1-
例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' II OA其中 00'为塑性应变；p，DG为弹性应变；e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，Cs'.为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，、二s . - ；「s_，而在强化阶段DOD'，匚_，称为Bauschinger效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：
弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为42 5.010m -?，所受轴向外力如图所示，试 计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力.4 1F 610N =?， 42F 810N =?，43F 510N =? ，44F 310N =?。 [解 答] 建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面 123s ,s ,s 于AB 间E 处，BC 间G 处，CD 间H 处. 42123s s s 5.010m -===? 以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F v v v v 杆所受合力1234F=F F F F +++∑v v v v v X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+=v v v 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F v ，1s 面外侧对它的应力1σv 根据平衡方程 8111 F ?1.210n s σ=-=?v v 由于1σv 与X 轴同向，82 1 1.210(N /m )σ∴=?为拉应力。 在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得： 8220.410(N /m )σ∴=-?为压应力 最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得： 8230.610(N /m )σ∴=?为拉应力。 8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力 不得超过7 max 1610Pa σ=?.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答]
以杆AB 为隔离体。受力F,T v v ，建 立坐标系A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑v ，在z 轴方向投影方程为： 1.6F 1.0T 0 -= 得到F=0.39T 对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=?故2 max max T r σπ= 所以 4 max max F 0.39T 1.9610(N)==? 8.1.3图中上半段为横截面等于-42 4.010m ?且杨氏模量为106.910Pa ?的铝制杆，下半段是横截面为42 1.010m -?且杨氏模量为10 19.610Pa ?的钢杆，又知铝杆内允许最大 应力为7 7.810Pa ?，钢杆内允许的最大 应力为7 13.710Pa ?.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及 在此负荷下杆的总伸长量. [解 答] 对于铅杆允许最大内力为 4max1max11F s 3.1210(N)σ==? 对于钢杆允许最大内力为 4max 2max 22F s 1.3710(N)σ==? 所以杆的最大承受能力是：4 1.3710(N)? 根据胡克定律。在力4 F 1.3710(N)=?的作用下铅杆伸长量为1V l 11111111F F Y s s Y ==V l l Q V l l 故 y
弹性力学 第十一章 弹性力学的变分原理
第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹
性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示
寮规
第八章 弹性体的应力和应变 8.1弹性体的拉伸和压缩 四种物体的形变：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲 本节从弹性均质直杆的情况出发讨论拉伸、压缩的正应力与形变的关系。 （一）外力、内力和应力： 对于直杆整体来说作用在直杆的拉力（或压力）F '和 F F '''=-是外力，设想在直 杆 上某位置作与轴线垂直的假想 截面AB ，截 面上半部分通过 假想截面对下半部分施以向上 （或向下）的拉（或压）力F -，下半部分通过假想截面对上半部分施以向下（或向下）的拉（或压）力F ，对直杆整体而言， 这对力为内力。 当作用力远大于自重时，可把自重忽略不计， 据平衡条件得出内力和外力大小相等即： F F F '''== 二、直杆的应力： 如果杆的直径比长度小很多，则可认为直杆横向假想截面应力分布均匀的，应力大小为： n F S σ= n F →内力在假想截面外法线方向的投影，S 表示横截面的面积，拉伸应力0σ>，压缩应力0σ<。 F -F (a) F -F (b)
（二）直杆的线应变 以杆的拉伸为例，如图所示，直杆在竖直方向拉力作用下 发生拉伸形变。 设 0l 直杆的原长 l 形变后的长度 0l l l ?=- 0l ?>为绝对伸长 0l ?<为绝对压缩 一、线应变：绝对伸长和压缩之比称相对伸长（或压缩）又叫线应变。 l l ε?= 0ε> 为拉伸 0ε< 为压缩 二、泊松系数： 直杆拉伸压缩时，还产生横向形变。直杆沿轴向拉伸时，则横向收缩，直杆沿轴向压缩时，则横向膨胀。 设想直杆横截面是正方形，每边长为0b ，横向形变后边长为b ，则横向相对形变或应变为： 010b b b b b ε-?== 实验证明，对于大多数教材1ε的绝对值比相对线应变ε的绝对值小3～4倍。横向应 变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数，μ是描写物质弹性特征的物理量。 1εμε = (三)胡克定律 一、内容：对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比。 二、表达式：Y σε= 即0 n F l Y S l ?= 比例系数Y 称为杨氏模量是描写材料本身弹性的物理量。 (四)拉伸和压缩的形变势能
第八章：弹性体的应力与应变
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第八章：弹性体的应力与应变 第八章固体的弹性形变内容： １、应力２、应变３、胡克定律弹性模量４、弹性势能５、扭转和弯曲形变要求： 〈１〉要求明确掌握应力与应变的概念及其相互关系。 〈２〉掌握杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的概念。 〈３〉了解应变势能的意义。 重点与难点： 应力与应变的概念及其相互关系。 杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的概念。 作业： P295 1， 2， 3， 4 第八章固体的弹性形变在前面的章节中，我们把物体当作刚体看待，认为物体受到力的作用后它的形状不会改变。 但实际上物体受外力作用时形状或多或少地会发生变化。 当外力不很大时物体形状变化也不大，如果去掉外力后物体能完全恢复到原来的形状，就称这样的物体为弹性体，物体相应的形变为弹性形变。 如果作用在物体上的外力很大，引起物体的形变也很大，那么除掉外力后物体就不能完全恢复到原样，这种特性称之为物体的塑 1 / 13
性，例如汽车的外壳就是用金属板模压而成的，压完后保持形状不变。 总的来说弹性及塑性都是物质的重要特性，本章主要讨论物体在弹性范围内的形变与外力之间的关系。 物质是由大量的分子组成的，物质的弹性来源于分子间的相互作用力，不过从宏观上看可以把整个物体看成由原子、分子组成的连续媒质，这时只需研究这种连续媒介整体受力与整体形变的关系，而不必考虑物体中每个分子受力的行为。 8.1应力与应变 1) 应力在外力的作用下物体内分子之间的距离会发生变化从而引起物体内分子间相互作用力的变化(也称为物体内力的变化)，这种内力的变化会带来物体体积的变化。 为了从宏观上描述这种内力的变化与物体形状变化之间的关系，假想在物体内部任取一平面（面元的取向可以是任意的），此平面将物体分开为两部份，若分布在此截面两边的内力变化为与，则定义平面上的应力为（参见图8.1.0） 。 （1）在国际单位制中，应力的单位为牛顿/米2，简称为帕。 对实际物体来说，如果受到的是拉力或压力如图8.1.1所示，常把假想平面的法线取为沿外力的方向，而把上式定义的应力称为张应力或正应力，当外力是压力时（F= －F）也称为压应力统一用表示。
弹性体应力应变关系
σx=f1 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy σy=f2 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy σz=f3 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy τyz=f4 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy τxz=f5 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy τxy=f6 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy 或者简写为： σi=f i εj,i,j=1,6 满足小变形假设的弹性体，应力可以表示为应变的线性函数： σi=C ijεj,C ij为常数 弹性体的应变能可以表示为： Vε=vεdV V vε为应变能密度，可以表示为： vε=1 σiεi≥0,i=1,6 且满足： σi=evε i 该式称为格林公式，通过热力学第一定律和第二定律导出。 σ1=evε eε1 =C11ε1+C12ε2+C13ε3+C14ε4+C15ε5+C16ε6 σ5=evε 5 =C51ε1+C52ε2+C53ε3+C54ε4+C55ε5+C56ε6 e2vε eε1eε5 =C15 e2vε eε5eε1 =C51 由于偏导的次序可以交换，因此必满足： C15=C51 说明C ij是对称的，则对于各向异性体，具有6+30/2=21个独立的弹性常数。 下面考虑材料性能对称问题。若材料存在对称面，则材料在与该对称面对称的两个方向上具有相同的弹性，称该对称面为弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向称为弹性主方向。例如：设X轴为材料弹性主方向，则OYZ面为弹性对称面，X轴转动180度后，应力与应变 σi′j′=σij n i′i n j′j εi′j′=εij n i′i n j′j
应力应变关系
我所认识的应力应变关系 一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本 构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 εσ X X E = 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足： 111213x x y z C C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++ 313233z x y z C C C σεεε=++ （2-3） x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有 112233 ==C C C ； y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和 3132 =C C 等 ，则可统一写为： 112233==C C C a =
122113312332=====C C C C C C b = （2-4） 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ? =-+?? ? =-+?? ? =-+?? 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ?=???=???=?? v 泊松比 2(1) E G ν= +剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律 E G σε τγ== 对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。 2 屈服条件 拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线 P A l l l στ=-= BC CD DE ?? ??? ：屈服阶段 ：强化阶段塑性阶段：局部变形阶段