四川省2017年普通高校职教师资和高职班对口招生统一考试数学试卷(含答案)

机密★启封并使用完毕前

四川省2017年普通高校职教师资和高职班对口招生统一考试 数

学

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1~2页，第Ⅱ卷第3~4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1。选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2。第I 卷共1个大题，15个小题。每个小题4分，共60分。

一、选择题：(每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合A ={0,1｝,B ={—1，0}，则A ∪B = （ ） A 。∅ B.｛0｝ C 。｛-1，0,1} D.{0，1}

2。函数f (x ）=1+x 的定义域是 （ )A.（1，+∞) B.[1，+∞) C 。(-1，+∞） D 。［—1,+∞）

3。cos 3

2π

=

（ ）

A 。23

B 。—23

C 。21 D.—2

1

4。函数y =2

1

sin x cos x 的最小正周期是 ( ）

A 。π2

B 。π

C 。2π

D 。4

π

5.已知平面向量a =（1，0），b =(-1，1)，则a +2b = （ ）

A.(1，1） B 。（3，—2） C 。(3，-1） D 。（-1,2） 6.过点(1,2）且y 轴平行的直线的方程是 （ ）A 。y =1 B 。y =2 C 。x =1 D 。x =2

7。不等式|x —2｜≤5的整数解有 ( )

A 。11个 B.10个 C 。9个 D 。7个 8。抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 （ ） A.（1,0)

B 。（2,0） C.（0，1） D 。(0,2)

9。某班的6位同学与数学老师共7人站成一排照相。如果老师站在正中间，且甲同学与老师相邻，那么不同的排法共有 （ )

A.120种 B 。240种 C.360种 D.720种

10.设x =m 2log ,y=n

2log ，其中m ,n 是正实数，则mn = ( ） A 。y x +2 B.xy 2 C 。y x -2 D.x 2+y 2 11。设某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N

(如右图所示）,设主动轮M 的直径为150mm ，从动轮N 的 直径为300mm 。若主动轮M 顺时针旋转2

π，则从动轮N 逆时

针旋转 （ ） A.8

π B.4

π C 。2

π D 。π

12.已知函数y =f (x ）的图像如右图所示，则函数y =f (-x ）-2的图像是 （ ）

A B C D 13。已知a ,b ,c ∈R ，则“ac=b 2"是“a ，b ，c 成等比数列”的 （ ) A.充要条件 B 。既不充分也不必要条件 C.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 14.设α，β为两个平面，l ,m ，n 为三条直线，则下列命题中的真命题是 ( ) A.如果l ⊥m ，l ⊥n ,m ，n ⊂α,那么l ⊥α。 B.如果l ∥m ，m ⊂α，那么l ∥α。 C 。如果α⊥β，l ⊂α，那么l ⊥β。 D.如果α∥β，l ⊂α，那么l ∥β。

15.函数f （x ）在定义域（—∞，+∞）上是增函数，且对任意的实数x 恒有f (f （x )—x 3-x +1）=2成立，则f （—1）= （ ) A.-1 B.—2 C.—3 D 。-4

-3 y 。 o 2 1 -3

x y 。 o -2 1

x -3 y 。 -2 1 y

-1

x 。 o 3 2 o y

。 x

3 o

-1 -2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项:

1。非选择题必须使用0。5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0。5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效。

2.第Ⅱ卷共2个大题,11个小题，共90分. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分,共20分）

16。已知函数f (x )=⎩

⎨⎧≥-<-,0,1,

0,1x x x ，则f (2）= 。（用数字作答）

17。二项式（x +1）5的展开式中含有x 3项的系数是 。

18.已知平面向量a =(1,m ）,b =（-2，1），且a ⊥b ，则m = 。 19。点

P (0，

2

3

)到椭圆14

22

=+y x 上的点的最远距离是 。

20。某公司为落实供给侧改革，决定增加高科技产品的生产.已知该公司2016年生产的高科技产品的产值占总产值的20％，计划2017年的总产值比上一年增长10%，且使2017年的高科技产品的产值占总产值的24％,则该公司2017年生产的高科技产品的产值应比2016年生产的高科技产品的产值增长 。（用百分数表示）

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

21。（本小题满分10分)

已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 3=1，S 3=9,求数列｛a n ｝的通项公式。

22。（本小题满分10分)

为了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况,随机抽取该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调差结果的数据,得到如下表所示

课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率；

(2）.若每组中各个学生阅读时间用该组的中间值（如0~0.5的中间值）来估计，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间。

23。（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。已知a =4

5c sin A. （1）。求sin C 的值；

(2）。若a =5，b =3，求c 的长。 24。（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为线段BD 的中点. (1）。证明：直线BD ⊥平面AOA 1; （2）。证明：直线A 1O ∥平面B 1CD 1。

25。（本小题满分13分）

过原点O 作圆x 2+y 2—5x -10y +25=0的两条切线,切点分别为P 、Q . (1）。求这两条切线的方程； （2)。求△OPQ 的面积.

26.(本小题满分13分)

已知函数f （x ）=x 2+ax +b （b ＞0），方程f （x ）=x 的两个实数根m ，n 满足0＜m ＜n ＜1。

（1)。求证：a ＜1—2b ;

（2)。若0＜x ＜m ，证明：f (x ）＜m .

D B 1 C

A B A 1

D 1 C 1 O

四川省2017年普通高校职教师资和高职班对口招生统一考试 数学参考答案

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一.选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分。）

1。C 【提示】集合A=｛0，1｝,B={—1,0｝，∴A ∪B=｛—1，0，1｝,选C 项。 2.D 【提示】由x +1≥0得x ≥-1,则函数f (x )的定义域为［1，+∞），选D 项。 3。D 【提示】cos

3

2π

=cos

)3

π

π-（=—cos 3π

=—2

1，选D 项. 4.B 【提示】y=2

1sin x cos x =41

sin2x ，函数的最小正周期T=22π=π，选B 项。

5.D 【提示】a +2b =（1，0）+2（-1，1）=（1-2，0+2）=（-1，2）, 选D 项。

6.C 【提示】与y 轴平行且过点（1， 2)的直线为x =1,选C 项.

7。A 【提示】不等式｜x -2｜≤5的整数解为{-3，—2，-1,0，1,2,3，4，5，6，

7｝，选A 项。

8.A 【提示】抛物线y 2=4x ，焦点坐标为(1,0)，选A 项。

9。B 【提示】N=22A ·5

5A =240（种)，选B 项.

10.A 【提示】由x =m 2log ， y=n

2log 得, m =2x , n =2y ， 则mn =2x ·2y =2x+y ,选A 项。 11.B 【提示】主动轮M 与从动轮N 的半径比为1∶2，则主动轮旋转2

π，从动轮旋转4

π

，选B 项。

12。B 【提示】根据y =f (x )的图象作出y =f （—x )的图象后纵坐标下移2个单位，

得到y =f (—x ）—2的图象,选B 项.

13.C 【提示】“a ,b ，c 成等比数列"可以得出“ac =b 2”，“ac =b 2”时若b =0，则a ，b ，c 不成等比数列,选C 项。

14。D 【提示】A 项l ⊥m ，l ⊥n ,m 、n ⊆α且m 、n 不平行，那么l ⊥α；B 项l ∥m ，m ⊆α，那么l ∥α或l ⊆α；C 项α⊥β，l ⊆α,无法得出l ⊥β，故选D 项 15。B 【提示】∵f (f (x ）—x 3-x +1）=2且f (x )在定义域(—∞，+∞)上是增函数，

∴设f （x ）—x 3—x +1=C （C 为常数）,∴f (x ）=x 3+x +C —1，

∵f （C ）=2，∴C 3+C +C -1=2，∴C 3+2C —3=0,∴C 3—C +3C -3=0，∴(C -1）（C 2+C +3)=0,∴C =1,∴f （x )=x 3+x ,∴f (-1)=—2,选B 项。

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题（本大题共5个小题,每小题4分，共20分。） 16.1 【提示】f （2)=2-1=1。

17.10 【提示】二项式（x +1）5展开式中含x 3的项为10x 3。

18。2 【提示】由a ⊥b 得1×（-2）+m ×1=0,解得m =2。

19.7【提示】设距离最远是椭圆上点的坐标为(x 0，y 0），则14

202

0=+y x ,距离 d =2020)23(-+y x =202

0)23(44-+-y y =7)21(320++-y ，

当y 0=-2

1时，距离最远为7。 20.32% 【提示】设2016年总产值为a ,则2016年高科技产品产值为0.2a ，2017年高科技产品产值为0。24×（1+0。1）a =0.264a ,则2017年高科技产品产值较2016年增长

a

a

a 2.02.0264.0-×100％=32％。

三。解答题(本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

21。（本大题满分10分） 解：由题意有⎩⎨

⎧=+==+=,

933,

121313d a S d a a 解得⎩⎨

⎧-==，　

，251d a

因此，数列{a n ｝的通项公式为a n =7—2n . 22。（本大题满分10分)

解:（1)。该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率为 P=

100

10

2030++=0。6。

(2）。 该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间为

1

.02.03.03.01.01

.025.22.075.13.025.13.075.01.025.0++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1。2(小时）。

23.（本大题满分12分） 解:（1）.由a =4

5c sin A 可得

sin C =a

c sin A =A sin c sinA c 4

5

⋅⋅=54

； (2)。由sin C =5

4可得cos C =±5

3

,则c 2=a 2+b 2—2ab cos C=52+32-2×5×3×（±5

3).

解得c=4或c=132。 24。 （本大题满分12分）

证明：(1)。∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中A 1A ⊥平面ABCD , ∴A 1A ⊥BD ，

又∵O 为线段BD 的中点, ∴AO ⊥BD ，

∵A 1A ⊆平面AOA 1，AO ⊆平面AOA 1,A 1A ∩AO=A ， BD ⊈平面AOA 1， ∴直线BD ⊥平面AOA 1. (2)。∵A 1B ∥D 1C ， ∴A 1B ∥平面B 1CD 1， 又∵BO ∥D 1B 1，

∴BO ∥平面B 1CD 1，

∴平面BA 1O ∥平面B 1CD 1， ∴AO ∥平面B 1CD 1。 25.(本大题满分13分）

解：(1）。由已知条件可得圆的标准方程为（x —2

5)2+（y —5)2=

4

25

，切线过原点，假设切线的斜率存在且为0，y =0不符合条件.

假设切线的斜率存在且不为0，设斜率为k ，则切点坐标为（x 0，y 0）满足

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧

-=--==+--+,

15,,0251052

5000002020k x y kx y y x y x 解得 ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

===.3,4,4300y x k

切线方程为y =4

3x 。

假设切线方程斜率不存在,则x =0符合条件。 综上所述切线的方程为x =0,y =4

3x .

（2）.由（1）得P ，Q 的坐标分别为(4,3)，（0,5)，则 PQ =22)53()04(-+-=25， OP =OQ =5,△OPQ 为等腰三角形，

设PQ 中点为E ,则PE =5，OE =22PE OP -=25，

S △OPQ =2

1·PQ ·OE =10。

26。（本大题满分13分)

证明：(1）。由韦达定理可知m+n=—a ,mn=b.

要证a ＜1—2b ，

即证—（m+n ）＜1—2mn ， 即1+m+n ＞2mn 。

∵0＜m ＜n ＜1, ∴(m+n+1)2＞4mn.

即（m —n ）2+2（m+n )+1＞0恒成立, ∴a ＜1—2b 成立，得证。

（2).当0＜x ＜m 时,f （x )单调递减，则f (x )＜f (0）=b =mn 。 ∵0＜m ＜n ＜1，

∴mn ＜m ，f （x )＜m ，得证.