立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角

知识点：

一．异面直线所成角：平移法

二．线面角

1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否

有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离 sinA=d/PA

三．求二面角的方法

1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；

2、三垂线法找二面角的平面角.

例一：如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到引

用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。、

错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是______90______.

考向二线面角

例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，

AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

N

M

B1

A1

C1 D1

B

D C A

练

习

：

如图

，

在

三棱锥

P ABC

-中，

PA ⊥底面

,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=，

点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；

（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC.

又90BCA ?

∠=，∴AC ⊥BC.

∴BC ⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，

∴1

2

DE BC =

， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.

∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=AB ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴2

AD AB =

， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ?

∠=，∴1

2

BC AB =

. ∴在Rt △ADE 中，2

sin 24

DE BC DAE AD AD ∠=

==，

考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角

例三：.定义法（2011广东理18）

如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，2PA PD ==,PB=2,

E,F 分别是BC,PC 的中点．

（1） 证明：AD ⊥平面DEF;

（2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。

因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为等

边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥

又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥平

面DEF 。

（2）,PG AD BG AD ⊥⊥Q ，

PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，

在

2227,4Rt PAG PG PA AG ?=-=

中

在

3Rt ABG ???中,BG=AB sin60

2

2

2

734

21

44cos 2773

2PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-

???

法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥

又,60,AB AD DAB ABD =∠=??为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平

面PBG 。 延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ?平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ?= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD

的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11

(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).

22P m G n A n D n -则

3||||sin 602GB AB =?=

u u u r u u u r

Q

333131(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+

+++

由于

33(0,1,0),(()

22n m AD DE FE ===+-u u u r u u u r u u u r 得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ?=?=⊥⊥?=u u u r u u u r u u u r u u u r

AD ∴⊥平面DEF 。

（2）13(,,),()

22PA n m PB n m =--=+-u u u r u u u r Q

22221332,()2,1,42m n n m m n ++

=++===解之得

取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-

设平面PAD 的法向量

2(,,)

n a b c =

由22330,0,0,0,

2222b b

PA n a c PD n a c ?=--=?=+-=u u u r u u u r 得由 取

23n =

123

212cos ,77

14n n ∴<>=

=-?

2、三垂线定理法

例四．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体

1111

ABCD A B C D -中，

11

AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．

（1）证明：

11D E A D

⊥；

（2）当E 点为AB 的中点时，求点E 到平面

1

ACD 的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D

--的大小为4π

？

18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接

1D B

，依题意有：在长方形

11

A ADD 中，

11

AD AA ==，

1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E

D E AD B AD AB A ?

⊥?

?⊥?

?⊥?⊥?⊥????

?=?

I 四边形平面又平面平面．……… 4分

∴点E 到平面1

ACD 的距离为1

3． ………………………………………………… 8分 （3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面

角

1D EC D

--的平面角．

∴

14DFD π

∠=

，

12D DF π

∠=

，111D D DF =?=． ……………………… 10分

1sin 26DF DCF DCF DC π∠=

=?∠=，∴3BCF π

∠=．…………………… 12分

∴

tan

33

BE

BE BC π

=

?=23AE AB BE =-=-．

故23AE =-时，二面角1D EC D

--的平面角为4π

．…………………………… 14分

练习. 如图，在四面体A BCD -中，2,2,1AB AD BD DC ====,且BD DC ⊥，二

面角A BD C --大小为60o

．

(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；

(2)求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．

17．解：(1)在四面体A BCD -中，取BD BC 、中点分别为 M N 、，连接MN ，则//MN DC BD DC ⊥Q ,则MN BD ⊥ 又2AD AB ==

则AM BD ⊥

AMN ∴∠中，1

1,2

AM MN == 60AMN ∠=o ,

可知90ANM ∠=o

又BD ⊥面AMN ,则BD AN ⊥

AN ∴和两相交直线BD 及MN 均垂直，从而AN ⊥面BDC

又面ABC 经过直线AN ，故面ABC ⊥面BCD …………………………(6分)

(2)由(1)可知平面ABC ⊥平面BDC

过D 向BC 作垂线于足H ，从而DH ⊥面ABC

过Rt BDC V 中，2,1BD DC ==，则5

DH = 于是DC 与平面ABC 所成角即DCH ∠ 25

sin 5

DCH ∴∠=

= 因此直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为25

5

.…………………………(12分)