双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2

课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养

教学重点：双曲线的渐近线、离心率

教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 1．范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方

向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭

圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -

特殊点：()b B b B -,0),,0(21

实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长

虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线

过双曲线122

22=-b

y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的

平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a

b

y ±

=（

0=±b

y

a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e

x

y

Q B 1

B 2A 1A 2N M

O

等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上

5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±

=)0(>±=k x ka

kb

，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2

2

22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x

6．双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 二、讲解新课： 7．离心率

概念：双曲线的焦距与实轴长的比a

c

a c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e

双曲线形状与e 的关系：

1122

222-=-=-==e a

c a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约

利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点 8．离心率相同的双曲线

(1)计算双曲线19

42

2=-y x 的离心率0e ； (2)离心离为0e 的双曲线一定是19

42

2=-y x 吗？举例说明 如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为

2

13

的双曲线有多少条？ 分析：2222)(1)(1ka

kb

a b a b a a c e +=+=+==的关系式，并从中发现只要实现半轴

和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k ：1(k>0)的双曲线，其离心率e 都是

2

13 9．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲

线的共轭双曲线 如

191622=-y x 与116

92

2=-x y 注意的区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同

通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意

1） 性质：共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

3） 共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为

)0(12

2

2≠=-λλk y x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上 三、讲解范例：

例1求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

解：把方程化为标准方程13

422

22=-x y

由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．

5342222=+=+=b a c

焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)． 离心率4

5

==

a c e 渐近线方程为y x 43±

=，即x y 3

4

±= 例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最

小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．

B '

C 'C B

A

25

12

13A 'x

O

y

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

x

y

O

解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x 轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．

设双曲线的方程为122

22=-b

y a x )0,0(>>b a

令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B 、C 在双曲线上，所以

1)55(12252

222=--b

y ① 且1121322

22=-b y ② 解方程组，得

12

5b

y =

（负值舍去）

代入方程①，得1)55125(

1225

22

22

=--b

b

化简得

19b 2

＋275b －18150＝0 ③ 解方程③(使用计算器计算)，得 b≈25(m)．

所以所求双曲线方程为

1625

1442

2=-y x 点评： 这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来． 四、课堂练习：

1 .方程mx 2＋ny 2

＋mn=0(m

(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2

-x 23=1

(C)y 2

-x 23=1和x 2

-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -3

2y =1

3 .与双曲线

116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C )

（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1

4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( A )

（A ）1322

=-y x （B ）1322

=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13

222=-y x 5 .双曲线kx 2

+4y 2

=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C )

（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1) 6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5

7 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2

的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C ) (A)arcsin α (B)

αcos b

a

(C)αsec (D)tg2α 8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162±

=x (B)5162±=y (C)592±=x (D)5

9

2±=y 10 .与双曲线x m y n 22

+=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)-+=x m y n 221 (B)x m y n 221-= (C)x m y n 221-=- (D)x m y n

22

1+=- 五、小结 ：解例2这类应用题时，首先要解决以下两个问题：（1）选择适当的坐标系（通常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上，特殊点放在原点）；（2）将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表达出来（如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来） 六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：