南京大学2005级数学系数学分析2期末(AB卷合一)

南京大学2005级数学系数学分析（二）期末测试

说明：前四道大题共100分，最后一题为附加题。考试时间共120分钟。未特别标明A 、B 卷的题目为公用题。 一、叙述题(20分)

1. 设:n m f → 为多元向量值函数，0n x ∈ .叙述f 在0x 可微的定义.

(10分)

2. （A 卷）叙述正项级数Cauchy 判别法（也叫根值判别法）的条件及结论，并举一

个不能用Cauchy 判别法判别收敛性的例子.

(10分)

（B 卷）叙述正项级数d ’Alembert 判别法（也叫比值判别法）的条件及结论，并举一个不能用d ’Alembert 判别法判别收敛性的例子.

(10分)

二、判断题(20分)：判断下列级数的敛散性并说明理由.

（A 卷）1.1cos n n ∞

=∑

(5分)

2.2

1

1sin

n n

∞

=∑

(5分)

3.2

2

1(ln )

n n n ∞

=∑

(5分)

4.1(1)ln 12n

n n ∞

=??

-+????

∑

(5分)

（B 卷）1.2

1sin n n ∞=∑

(5分)

2.1

n ∞

=-∑ (5分) 3.2

1ln n n n

∞

=∑

(5分)

4.1(1)ln 12n

n n ∞

=??

-+????

∑

(5分)

三、计算题(20分)

1. 方程2232327x y z xy z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =.

求

2

(1,2)z x y

?-??的值. (10分)

2. （A 卷）求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件0x y z ++=，22212x y z ++=下

的极值.

(10分)

（B 卷）求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值.

(10分)

四、证明题(40分)

1. （A 卷）设级数1

n n n a ∞

=?∑收敛.证明：级数1

n n a ∞

=∑也收敛.（提示：Abel 判别法）(10

分)

（B 卷）

设级数1

n n a ∞

=∑收敛.证明：级数1

n n a ∞

=∑也收敛.（提示：Abel 判别法）(10分)

2. （A 卷）

设(0,1)λ∈为固定的实数，:n

f →

为可微的多元函数，且2

1n

j j

f

x λ=??

?≤

? ?

???

∑.证明： i 、

()(),,n

f x f y x y x y λ-≤-?∈

;

ii 、 当1n =时，存在唯一的x ∈ ，使得()f x x =.

(10分)

（B 卷）

设(0,1)λ∈为固定的实数，12(,,,):n

n

n f f f f =→ 为可微映射，

且2

,1n i i j j

f x λ=??

?≤ ? ????

∑.证明：

i 、

()(),,n

f x f y x y x y λ-≤-?∈

;

ii 、 存在唯一的n x ∈ ，使得()f x x =.

(10分)

3. 设1α>，0n a >，记1

n

n i

i S a

==∑，1,2,.n = .证明级数1

n n n

a S α

∞

=∑

总是收敛的.

（提示：可利用积分判别的思想.）

(10分) 4. 设()ij A a =为n 阶实正定对称方阵，(1,2,,)i b i n = 为实数.考虑n

上的函数

12,1

1

(,,,)n

n

n ij

i j i i

i j i f x x x a

x x b x

===

-

∑∑ .证明：

(i) f 在n 上有唯一的最小值点; (ii)

f 的最小值为,1

1

4

n

ij

i j i j a b b =-

∑，这里ij

a 是A 的逆矩阵在ij 位置的元素.

(10分)

五、附加题(10分)

（A 卷）设:n n f → 为可微的一一映射，f 的Jacobi 矩阵非退化，并且f 的逆映射f -1

连续.证明：f -1也是可微的.

（B 卷）设:n f → 为可微的多元函数，且(0,,0)0f = . 证明：存在任意可微次的多元函数:(1,2,,)n i g i n →= ，使得

1212121

(,,,)(,,,),(,,,)n

n

n i

i n n i f x x x x

g x x x x x x ==

??∈∑

.