5.2 三角函数的概念(解析版).docx
5.2 三角函数的概念
A 组-[应知应会]
1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ??
? ???
,则
cos α=（ ）
A ．
1
2
B C D ．12
±
【参考答案】B
【解析】由于1,r OP x ===
,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ．
2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
【参考答案】C
【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ
0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C.
3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+
C ．cos tan αα-
D ．sin tan αα-
【参考答案】B
【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项.
【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B.
4．若角α的终边经过点()()
sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ）
A B ．
12
C D ．1
【参考答案】C
【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.
【解析】因为(
)sin 780sin 236060sin 60?=??+?=?=()(
)cos 330cos 36030cos30-?=-?+?=?=,
所以22P ? ??
,
所以sin α=故选C. 5．（2019·江苏崇川·
南通一中高一期中）已知()P y 为角β的终边上的一点,
且sin β=则2
22
2sin sin cos βββ=-（ ） A ．1
2
± B ．211
-
C
D ．2±
【参考答案】B
【分析】利用三角函数的定义列方程,解方程求得y 的值,进而求得tan β的值,将所求表达式转化为只含tan β的形式,由此求得表达式的值.
【解析】因为r =
=解得12y =或1
2
y (舍去),
所以
1
tan 6β==-,
所以
2
222
22222sin 2tan 2sin cos tan 1111
βββββ?? ??===---?- ??
,
故选B. 6．已知
1sin 1cos 3x x +=-,则cos sin 1
x
x -的值为（ ）
A ．
13 B ．13
-
C ．3
D ．3-
【参考答案】A
【分析】令
cos sin 1x t x =-,利用1sin sin 11cos cos x x x x +-?=-列方程,解方程求得t 的值,也即求得cos sin 1
x
x -的值.
【解析】令cos sin 1x t x =-,则1sin sin 1111cos cos 33x x x x t t +-?=-?=-,∴22
sin 11
cos 3x x t
-=-,∴113t =,∴13t =.故选A. 7．（2019·涟水县第一中学高一月考）下列说法中正确的有（ ） A ．正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零
B ．若三角形的两内角,αβ满足sin cos 0αβ?<,则此三角形必为钝角三角形
C ．对任意的角α,都有sin cos sin cos αααα+=+
D ．对任意角,2k k Z παα??
≠
∈ ??
?
,都有11tan tan tan tan αααα+=+ 【参考答案】BD
【分析】对于选项A,利用正角和负角的正弦值都可正、可负判断得解；对于选项B,分析得到cos 0β<,得到三角形是钝角三角形；对于选项C, 当sin α,cos α异号时,等式不成立；对于选项D,根据tan α,
1
tan α
的符号相同判断得解. 【解析】对于A,正角和负角的正弦值都可正、可负,故A 错误；
对于B,∵sin cos 0αβ?<,(),0,αβπ∈,∴sin 0α>,cos 0β<,即,2πβπ??
∈
???
,∴三角形必为钝角三角形,故B 正确； 对于C,当sin α,cos α异号时,等式不成立,故C 错误；
对于D,∵tan α,
1
tan α
的符号相同,∴11tan tan tan tan αααα+
=+,故D 正确.因此正确的有B,D. 故选BD
8．已知1sin 4α=
,且,2παπ??
∈ ???
,则2sin 2cos αα-=________. 【参考答案】138
-
【分析】先利用同角三角函数的基本关系式求得cos α的值,进而求得表达式的值.
【解析】由已知得cos 4α==-,
所以2
2113sin 2cos 248αα?-=-?=- ??
. 故填：13
8
-
. 9．化简
（α为第二象限角）=_________.
【参考答案】tan α
【分析】利用同角三角函数的基本关系式,结合角α终边所在象限进行化简.
【解析】原式=11sin cos cos α
αα
+=
+-
tan α=.
故填：tan α.
10．已知cos cos θθ=-且0tan θ<,则代数式()sin cos lg θθ-_______0.（填“＞”“＜”） 【参考答案】>
【分析】根据题目已知条件判断出θ终边所在现象,由此求得sin cos 1θθ->,进而判断出所填写的不等号. 【解析】由|cos |cos θθ=-,得0cos θ≤,又∵tan 0θ<,角θ的终边在第二象限,即
π2ππ2π2k k θ+<<+,ππ3π
2π2π444
k k θ+<-<+,
∴(
πsin cos 4θθθ?
?-=-∈ ??
?,∴lg(sin cos )0θθ->. 故填：>.
11
．若sin 2cos αα-=
,则2tan 1α-=________.
【参考答案】3
4
-
【分析】将sin 2cos αα-=
,由此求得tan α的值,进而求得所求表达式的值.
【解析】将sin 2cos αα-=
()
2222
sin 4sin cos 4cos 5sin cos αααααα-+=+,所以224sin 4sin cos cos 0αααα++=,所以
2
4tan 4tan 10αα++=,所以2
(2tan 1)0α+=,解得1tan 2α=-,所以2
213tan 1124α??
-=--=- ???
.
故填：34
-
. 12．已知3,44ππα??∈
?
?
?,
4=,则sin cos 2sin cos αααα-=+_______. 【参考答案】
1
5
【分析】根据同角三角函数基本关系,先得到
sin cos sin cos 4cos αααα
α
++-=,结合题中条件,进而得到sin 2cos αα=,代入所求式子,即可得出结果.
【解析】()212sin cos sin cos αααα+=+,()2
12sin cos sin cos αααα-=-
,
cos sin αα=+
sin cos αα=-.
又
3,44
ππα??
∈
???
,sin cos 0αα∴+>,sin cos 0αα->. 由题意,得
()()sin cos sin cos 4cos ααααα
++-=,
sin 2cos αα∴=.
sin cos 2cos cos 1
2sin cos 4cos cos 5
αααααααα--∴
==++.
故参考答案为
15
13．已知tan α＝－
12,求2212sin cos sin cos αααα
+-的值． 【分析】由sin tan αcos α
α
=
,及22sin ?1cos αα+=,将要求的式子分子分母同时除以cos α即可. 【解析】原式＝
()2
22sin cos sin cos αααα
+-＝sin cos sin cos αααα+-＝tan 1tan 1αα+-＝11
2112
-+--＝－13.
14．已知
11
|sin |sin αα
=-,且lg(cos )α有意义.
（1）试判断角α所在的象限；
（2）若角α的终边上一点3
,5M m ?? ???
,且||1OM = (O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.
【分析】（1）由条件可分别判断sin ,cos αα的正负,即可判断α所在的象限；
（2）由||1OM =可得2
2315m ??+= ???
,再由α是第四象限角可判断0m <,即可求出m ,根据定义可求出sin α. 【解析】（1）由
11
|sin |sin αα
=-,得sin 0α<,
由lg(cos )α有意义,可知cos 0α>, 所以α
是第四象限角；
（2）因为||1OM =,所以2
2315m ??+= ???
,解得45m =±, 又因为α是第四象限角,所以0m <, 从而4
5
m =-
, 4
45sin ||15
y m r OM α-
====-
.
15．（2019·安徽金安·六安一中高一月考）sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,,02πα??
∈-
???
,求m 及α的值.
【分析】由sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,得sin cos m αα+=,21sin cos 4m αα-=
,利用三角函数的基本关系式,得到m =进而得到sin cos αα+,即可求解m 及α的值.
【解析】sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根
2
210m m ∴-+≥且sin cos m αα+=,21
sin cos 4
m αα-=
,
代入()2
sin cos 12sin ?cos αααα+=+,得m =
,
又,02πα??∈- ???.21sin ?cos 04m αα-∴=<,1sin cos 2m αα+==,
sin α=∴,1cos 2α=,
又,02πα??
∈-
???,3πα∴=-,12
m ∴=,3πα=-.
16．已知角α的终边经过点(,P x ,（0x ≠）,且cos x α=
,求cos sin sin ααα+
的值
【分析】根据三角函数的定义以及cos 6
x α=
可解得x ,再根据三角函数的定义求出正弦值,代入可得.
【解析】∵(,P x （0x ≠）,∴点P 到坐标原点的距离r =
.
又cos
x α=
,x =,∵0x ≠,210x =,∴x r ==
当x =时,点P 的坐标为
,
由三角函数的定义,得cos sin sin ααα=
===
∴cos sin sin 66
ααα+
=-=-
；
当x =时,同理,可求得cos sin sin 6
ααα+
=
.
综上,cos sin sin ααα+
的值为
17．求证： （1）
2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x
x x x
；
（2）2222tan sin tan sin αααα-=；
（3）22(cos 1)sin 22cos βββ-+=-；
（4）4422sin cos 12sin cos x x x x +=-.
【分析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明. 【解析】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得
2212sin cos cos sin x x x x ()2222sin cos 2sin cos cos sin x x x x
x x
+-=-2(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x x x x -=+- cos sin 1tan cos sin 1tan x x x
x x x
--=
=++
而右边1tan 1tan x
x
-=
+
所以原式得证.
（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得
2
2
tan sin αα-222sin sin cos ααα=-()
222sin 1cos cos ααα
-=22
tan sin αα=? 而右边22tan sin αα=? 原式得证.
（3）证明: 22
(cos 1)sin ββ-+22cos 2cos 1sin βββ=-++22cos β=-
而右边22cos β=-
原式得证
（4）证明:由同角三角函数关系式可知
44sin cos x x +442222sin cos 2sin cos 2sin cos x x x x x x =++-
()2
2222sin cos 2sin cos x x x x =+-2212sin cos x x =-
而右边2212sin cos x x =- 原式得证
18．已知
34πθπ<<,110tan .tan θ3
θ+=- （1）求tan θ的值；
三角函数知识点汇总
三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan =
考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图
三角函数基本概念
三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
高中文科数学三角函数知识点总结
三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
高中部分三角函数知识点总结
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）
三角角的概念及任意角的三角函数
三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?<
上海教材三角函数的概念、性质和图象
三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 “任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法． 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 题组一 一、 选择题 1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理） 已知3cos( )||,tan 222ππ ???-=<且则等于 （ ） A ． B C D 答案 D. 2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大 值是 （ ） A B C ．2 D ．1 答案 A. 3.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2 ,2(,3 1sin π πθθ-∈-=，则)2 3sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、 9 2 2 B 、922- C 、91- D 、91 答案 B. 4．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数 ,cos 2 x x π的值介于0到 1 2 之间的概率为 （ ） A ．1 3 B ． 2 π C ． 1 2 D ． 23 答案 D. 5. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2 π θθπ+<->下列不等式中必成立的是( ) A.tan cot 2 2 θ θ > B.sin cos 2 2 θ θ > C.tan cot 2 2 θ θ < D.sin cos 2 2 θ θ < 答案 A. 6．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π? ? =- ?? ? 的图像为C,如下结论中正确的是 （ ） A ．图像C 关于直线6 x π = 对称 B ．图像 C 关于点,06π?? ??? 对称 C ．函数()f x 在区间5,1212ππ?? - ??? 内是增函数 D ．由3sin 2y x =的图像向右平移 3 π 个单位长度可以得到图像C 。 答案 C. 7. （河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则 tan α= A.12- B.2 C.1 2 D.-2 答案 B. 8. （北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知，则 等于（ ） A ．7 B ． C ． D ． 答案 C. 9.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[π π-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4 3π =x 对称； ⑤当??????-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43??????- 其中正确的命题为 （ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④ 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 第七章 函数及其有关概念 一、角的概念： 1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。 2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。 3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {} Z k k ∈+?=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ。 4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。 5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ 6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 7、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：l R α= 角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α2 2 12 1r r l =? 任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义： 三角函数 定义域 =)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈| =)(x f tanx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 =)(x f secx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cscx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 （二）三角函数在各象限内的符号规律： 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系： ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360± +=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝ π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745 （rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在 α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \COS 1、 2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域16. 几个重要结论: 实用文档 §4.2三角函数的基本概念 【复习目标】 1． 掌握任意角三角函数的定义，能写出各三角函数的定义域，能判断三角函数的符号； 2． 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【重点难点】 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【课前预习】 1. 已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===． 2. 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在)2,0[π内的α的取值范围 为 。 3. 已知,αβ均为第二象限角，且sin sin αβ>，则必有 （ ） A ．αβ< B ．tan tan αβ> C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ< 4. 填空： (1) 不等式x cos 22+≤0的解集是____________________________． (2) 函数1tan += x y 的定义域是______________________________． 【典型例题】 例1 已知角α终边上一点),3(y P -，且 y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值． 实用文档 例2（1）若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ） (A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限 （2）若α是第二象限角，用2cos |2cos |α α-=，则2α是 （ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限期 （D ）第四象限 例3 已知锐角α终边上一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求α的弧度数． 【巩固练习】 1. 已知cos sin 1αα-<-，则α是第 象限角。 5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值. 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O （3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<任意角三角函数的概念教学设计
三角函数的概念
初中三角函数知识点总结(中考复习)
三角函数知识点汇总
第七章 三角函数及其有关概念
高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)
高一三角函数知识点整理
2,三角函数的基本概念
5.2 三角函数的概念(解析版).docx
高一三角函数知识点梳理总结
三角函数基本概念和表示
三角函数知识点归纳