导数计算公式(最新整理)
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
导数计算公式
导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′＝12x 112 －＝ 12x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式
二、导数运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1 x . 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1 x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1 x ＋Δx －? ? ???x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ) ， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?? ????1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1 x 2. 问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 3.??????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2 1log =； (4)y ＝4 x 3；(5)12cos 2sin 2 -??? ?? +=x x y . [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝ 1 x ln 10；
基本求导公式
这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[n X^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。） (X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10～12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'＝secx*tanx。 (secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx 13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。
常见导数公式
常见导数公式： ① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)； ③ (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx ⑤ (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 另外就是复合函数的求导： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解， (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 1、x→0，sin(x)／x →1 2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e x→∞ ，（1 + 1／x）^（1/x）→ 1 （其中e≈2.7182818... 是一个无理数）
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
导数计算公式
、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1) y = f(x) = c ； (2) y = f(x) = x ； (3) y = f(x) = x 2 ；⑷ y = 1 f(x)二x ； (5) y 二f(x)二：'x. 1 提示：：(2)( x)'二 1 ? x 1 —1 , (3)(x 2 )'二 2 ? x 2— 1 , (5)( x)z 二(x 2 ) 1_ -1 1 2 -2x 1 a a — 1 基本初等函数的导数公式 提示：(1) V △ y f x +△ —f △ x — △ x 0. 2)( x)'二 1, 3( x 2 ) '=2x , 1 ⑷x 函数 ⑵(3)(5) 均可表示为y = a , x ( a x c — c , △ y —=U = °，二y =吹不 ，一 1 (5)( &)衣 € Q *)的形式，其导数有何规 律? 问题：上述函数的导数是什么?
、导数运算法则 1 已知 f(x) = X , g(x)=-. 入 问题1： f(x), g(x)的导数分别是什么? 问题2：试求Q(x) = x + -, H(x) = x — 1的导数. x x 提示： 1 1 —A x ???△ y = (x +A x) + X +A x — x + x =A x + x x +A x , fx 二 1 - x x +A x ， ?- Q (X)二吹0 lx 二吹0 =1 —1 同理 H'(x) = 1+1 x / X 问题3: qx), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系? 提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f (x), g(x)导数的差. 1 x x +A x
常用的基本求导公式
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1 ； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
导数运算公式的逆用
1.已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数,且5()(5),()'()02 f x f x x f x =--< 若1212,5x x x x <+<,则下列结论中正确的是 （ ） A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x > C ．12()()0f x f x +
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。
基本函数求导公式
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(0 0y x P 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(0 =y x F ，, ),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(0 y x 的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件) (00 x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求 导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 ))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(0 ≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个
16导数公式及四则运算
导数公式及四则运算 【使用说明及学法指导】 1.自学课本P14-P21，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA 完成所有题目，BB 完成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目。 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 3.预习指导：理解幂函数导数的推导过程，熟记常用初等函数的导函数，并能应用导数的四则运算法则求导。 【学习目标】 1．理解并记忆基本初等函数的导函数，掌握导数的运算法则; 2．自主学习、合作交流，归纳出求导公式应用的规律与方法； 3．激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质。 一、课前预习 问题1.结合函数3)(x x f =的求导过程总结求导导函数的步骤.. 设 3)(x x f y ==， Θ △y= )()(x f x x f -?+=3)(x x ?+-3x =322 )()(33x x x x x ?+??+?? ∴ x y ??=2 2)(33x x x x ?+??+ ∴x y x ??→?0lim =2 3x 即2'3)(x x f =. 问题2：什么样的函数是幂函数? 由2 ' 33)(x x =，x x 2)(' 2=，Λ 2 '1)(---=x x 归纳幂函数的导数表达式是怎 样的？ 问题3.结合课本p17“基本初等函数导数公式表”书写出这组导数公式并分析特点，这组公式可分为几类？如何记忆？秀秀你的高招. 问题4. 两个函数和、差、积、商的导数是否等于这两个函数导数的和、差、积、商？写出函数求导的四则运算法则并分析这组公式的特点，看看谁记忆地既准又快！ 问题5.当 ()1≡x f 时，你能否运用商的求导法则确定函数 ()x g x f )(即() x g 1 的导数？ 二、学始于疑---我思考、我收获 1.判断正误：(1))()(])()([x g x f x g x f ''='. (2)c 是常数，则)()]([''x f c x f c ?=? . 2.(1) 若x e x f =)(，则)('x f = . (2) 若 x x f ln )(=，则)('x f = . 3.求下列函数的导数： (1)=++-+='222 3 y e x x x y x （2）x y x lg 2-= ='y 我的疑问：（请将预习中未能解决的问题和疑惑写下来，以便课堂解决）
基本导数公式
基本导数公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= 微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式 Revised by Petrel at 2021
1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则⑴四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1）?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2）C x dx x +=?||ln 1；C e dx e x x +=?；)1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 6、线性代数 特殊矩阵的概念
导数计算公式
导数计算公式 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么 提示：（1）∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －fx Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′＝12 x 112 －＝ 12x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式
已知f (x )＝x ，g (x )＝1 x . 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么 问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1 x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋ 1x ＋Δx －? ???? x ＋1x ＝Δx ＋－Δx xx ＋Δx ， ∴Δy Δx ＝1－1xx ＋Δx ，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??????1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1 x 2. 问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ′＝ f ′xgx －fx g ′x [gx ]2 (g (x )≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2 1log =； (4)y ＝4 x 3；(5)12cos 2sin 2 -??? ? ? +=x x y .
一般常用求导公式
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(=' C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arc cot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u ' ±'='±)( （2） u C Cu ' =')(（C 是常数） （3） v u v u uv ' +'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
常用的基本求导公式
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(
基本导数公式
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x dx = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
导数的八个求导公式和四则运算求导(高考复习)
导数的八个求导公式和四则运算求导(高考复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十二单元导数的八个求导公式和四则运算求导 体验高考 1.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则 f′(1)=. 2.(09辽宁文15)若函数 2 () 1 x a f x x + = + 在1 x=处取极值，则a= . 本题是导数部分的基础,考察的知识点是导数的求值,熟练掌握导数的基本求导公式和四则运算法则是求解这类题目的敲门砖.若单独出题，本部分题目以填空、选择的形式出现, 另外，本部分作为一切导数题的必备基础，贯穿出现在所有的导数题型中。 解题基本思路：题1：用换元法求函数解析式——求) ('x f——求)1('f 题2：由题意知：)1('f=0，解a 知识铺垫 一、大纲要求 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如) (b ax f+的复合函数）的导数。 二、知识点回顾 1基本初等函数的导数公式： 2
3 3简单复合函数的求导：函数))((x g f 是复合函数,且)(x f 和)(x g 都可导,则='))((x g f 三、典型例题 4.(山东省实验中学2013届高三适应训练)已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 思路分析：先求)1('f ——则)1('2)0('f f = 解：)1('22)('f x x f += )1('22)1('f f +=∴ 即：2)1('=-f 2)1('-=f 4)1('2)0('-==∴f f 四、方法指导
(完整版)导数公式及四则运算
专题一导数公式及四则运算 1、下列结论不正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2、下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 3、已知,若,则的值为( ) A.-6 B.6 C.±6 D.不确定 4、已知函数的导函数为,且满足关系式, 则的值等于( ) A. B. C. D. 5、已知函数,则等于( ) A. B. C. D. 6、若,则的解集为( )
A. B. C. D. 7、函数的导函数是,则; 8、已知,则____________ 9、对任意实数,都有,,那么. 10、函数在处的导数是. 11、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 12、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 13、设,求. 14、求下列函数的导数. 1.; 2.. 15、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3..
参考答案 1.答案：B 解析：对于B,,故选项B不正确. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 解析：∵,∴, 令,则,即,∴.故选D. 5.答案：C 解析：∵,∴,应注意的是 ,不要忘记负号,故应选C. 6.答案：A 解析：∵, ∴函数的定义域为,则 ,由,得 ,即 7.答案： 解析： 首先对原函数,求导得:,所 以:,所以答案为:. 8.答案： 解析： ∵
∴ 令 得: 解得: 故答案为:. 9.答案： 解析：由可知,中最高次.结合,可设 ,又∵,∴,∴,∴. 10.答案： 解析：, ∴. 11.答案：1. ; 2. ; 3.. 解析：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函 数的模式,如可以写成,等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 12.答案：1. . 2. ∵.
常用的基本求导公式
１.基本求导公式 ⑴ (Ｃ为常数)⑵ ;一般地,。 特别地:,,,。 ⑶ ;一般地,、 ⑷ ;一般地,。 2。求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (ｘ),g (x )均在点ｘ可导,则有:(Ⅰ); (Ⅱ),特别(C 为常数); (Ⅲ),特别。 3.微分 函数在点x 处得微分: 常用得不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (２) ; ; ; (3)(k 为常数) 5、定积分 ⑴ ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (ｘ)在［a ,b ]上具有连续导数,则 6、线性代数
特殊矩阵得概念 (1)、零矩阵(２)、单位矩阵二阶 (3)、对角矩阵(4)、对称矩阵 (5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 (6)、矩阵转置转置后 ６、矩阵运算 7、MＡTLAＢ软件计算题 例6试写出用MＡTLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。解:〉〉ｃlｅａr; 〉>syms x ｙ; 〉〉ｙ=loｇ(sqｒt(x＋x＾2)+eｘp(x)); >>dy=diｆf(ｙ,2) 例:试写出用MＡTLAB软件求函数得一阶导数得命令语句。>＞ｃleaｒ; 〉〉sｙms ｘy; 〉>y＝log(sqrt(ｘ)+exp(x)); 〉〉ｄｙ＝ｄiff(y) 例１1 试写出用MAＴLＡB软件计算定积分得命令语句。解:>＞cleａr; ＞>syms x y; >〉y=(1/ｘ)＊exp(ｘ^3);
>〉int(y,1,２) 例试写出用MATＬAＢ软件计算定积分得命令语句。 解:〉>cｌeａr; ＞>syｍs ｘｙ; >>ｙ＝(1/x)*exp(x^3); >＞iｎt(ｙ) MATLAB软件得函数命令 表1ＭATLAB软件中得函数命令 运算符号 典型例题 例１设某物资要从产地A１,A2,Ａ3调往销地B１,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:吨)与运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表