2.函数中的二次求导

导数中的二次求导题型

1.（2010年全国卷1理科20）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .

（1）若1)(2++≤'ax x x f x ，求a 的取值范围；

（2）证明：0)()1(≥-x f x .

2.（2010年新课标全国卷1理科20）设函数21)(ax x e x f x ---=.

（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；

（2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求a 的取值范围.

3.（2013年河北省石家庄一模理科21）设函数)1ln()(2++=x a x x f .

（1）若函数)(x f y =在区间[)+∞,1上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；

（2）若函数)(x f y =有两个极值点1x ，2x 且21x x <求证：2ln 21)(012+-<<

x x f .

4.（2013年山西省太原市一模理科21）已知函数 1()(2)(1)21,()(,x f x a x nx g x xe a R e -=---=∈为自然对数的底数）.

（1）若不等式 ()0f x >对于一切1(0,)2

x ∈恒成立，求a 的最小值；

（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.

5.（辽宁省五校第一联合体2013届高三年级考试理科21）已知函数()01ln )(>+=a x a x f .

（1）当0>x 时，求证：)11(1)(x a x f -≥-；

（2）在区间()e ,1上x x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）当21=

a 时，求证：()()*112)1()3()2(N n n n n f f f ∈+-+>++++ .

6.（山西省晋中名校2013届高三联合测试）已知函数()R a e ax x f x ∈-=2)(.

（1）当1=a 时，试判断)(x f 的单调性并给予证明；

（2）若)(x f 有两个极值点1x ，2x ()21x x <.

（i ）求实数a 的取值范围；

（ii ）证明：1)(21-<<-

x f e .（注：e 是自然对数的底数）

7.设函数2ln )(2+-=x x x x f .

（1）求)(x f 的单调区间；

（2）若存在区间[]??????+∞?,21,b a ，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[])2(),2(++b k a k ，求k 的取值范围.

隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。解令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

隐函数求导公式

第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2 教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2）公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F

由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。解设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函

专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)

求函数的导函数或某一点处的导数秒杀题型一：求导函数秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则' 1()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则' 1()f x x =。导数运算法则: ①[]' ' ' ()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()(' '' x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[] ' ''2 ()()()()() ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。快速求导法则： [] [] )()()(''x f x f e x f e x x +=； [] [] )()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 【解析】：()12 110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。 2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：= ' y 21 cos x 。 3.(母题)求tan x y e x =的导数。

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西汉中 723000）指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[] ()y f g x =

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

隐函数的求导方法总结

百度文库- 让每个人平等地提升自我河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪 2016年05月27日

摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。解令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

复合函数求导法-教案

1 2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数教学内容：一、复习提问： 1、导数的基本公式 2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。二、复合函数的求导法则 1、比如求函数x y 2sin =的导数。错误解答：x y 2cos =' 正确解答：()()() x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-=' ='=' 对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。x u dx du du dy dx dy y 2cos 22cos =?=?== ' 1、求复合函数的导数可分两步：第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。第二步：逐一分步求导。复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ?=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ?=在点x 处可导，且有 ()()dy f u x dx ?''=? 或 dy dy du dx du dx =? 证明设变量x 有改变量x ?，相应地，变量u 有改变量u ?，从而y 有改变量y ?. 由于u 可导，所以 0lim 0 =?→?u x ，即 x u x u y y '?'='. 现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。推论设函数()y f u =，()u v ?=，()v x ψ=都是可导函数，则复合函数{[()]}y f x ?ψ=也可导，且 ()()()u v x dy f u v x y u v dx ?ψ''''''=??=?? 或 dy dy du dv dx du dv dx =?? 注意： {[()]}f x ?'表示复合函数y 对自变量x 的导数，如 2 [sin(1)]y x '=+=2 2cos(1)x x +

专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)

1 求函数的导函数或某一点处的导数秒杀题型一：求导函数秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则' 1 ()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则'1 ()f x x =。导数运算法则: ①[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[]' ''2()()()()() ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。快速求导法则： [][])()()(''x f x f e x f e x x +=； [][])()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 【解析】：()12 110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。 2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：='y 21 cos x 。 3.(母题)求tan x y e x =的导数。

数学：1.2.2复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则（2）推论：[]' ' ()() cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()() y f g x f g x g x ''''==?????三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－ 31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 | 12714 31|++-＝22716 ．

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

函数的求导法则

第二节函数的求导法则教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则； 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。证明：0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000) ()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。证明：0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =00000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()() (lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→

隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪 2016年05月27日

摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。解令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1

高等数学--隐函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-．说明：1）定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??，由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2）若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个

单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==．解设(,)sin e 1x F x y y x y =+--，则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?．说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =，得(,,(,))0F x y f x y ≡，

隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪 2016年05月27日

摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究复合函数的导数求解法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。例2：求下列函数的导数（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．