2018年四川省高考数学一模试卷

2018年四川省高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1.已知复数，则的共轭复数是（ ） A ． B ． C ． D ．

2.设是等差数列的前项和，，，则（ ）

A ．-2

B ．0

C ．3

D ．6

3.已知向量，，，则“”是“”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4.设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）

A ．

B ． C. D ． 5.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A ．

B ． C.20 D ．40 6.已知满足条件，若目标函数的最大值为8，则（ ）

A ．-16

B ．-6 C. D ．6 7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则

21i z i

=+z 1i -1i +i i -n S {}n a n 12a =533a a =3a =(1,2)a =- (3,)b m = m R ∈6m =-//()a a b + 2()log f x x =(0,5)x ()2f x <1525354

5

203403

,x y 020x y x x y k ≥??≤??++≤?

3z x y =+k =83

-*a b S

的值为（ ）

A ．

B ． C.4 D ．6 8.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（ ）

A ．①③

B ．③④ C. ①② D ．②③④

9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ）

A ．-2

B ． C. 1 D ．2 10.已知是边长为

为的外接圆的一条直径，为

的边上的动点，则的最大值为（ ）

A ．3

B ．4 C.5 D ．6 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，1(lg9lg2)294100*(log 8log -?131692

S ABCD -,,E M N ,,BC CD SC P MN EP AC ⊥//EP BD //EP SBD EP ⊥SAC 212y x e =

ln y a x =(,)P s t a =12

ABC ?EF ABC ?O M ABC ?ME FM ?22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>1(,0)F c -2(,0)F c ,A B

是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）

A

D ． 12.若对，有，

求的最大值与最小值之和是（ ）

A ．4

B ．6 C.8 D ．10

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．） 13．若复数z=（x 2﹣2x ﹣3）+（

x +1）i 为纯虚数，则实数x 的值为 ． 14．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ．

15．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f （x ）=e x （x ＞0）的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．

16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2﹣a ﹣2b ﹣2c=0且a +2b ﹣2c +3=0．则△ABC 中最大角的度数是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n +1=λS n +1（λ是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和．

18．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

222

()4x c y c ++=C x 12//F A F B C ,m n R ?∈()()()3g m n g m g n +=+-()()f x g x =

（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．

（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；

（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

20．已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|﹣

|=4．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

（1）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号．

22．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|?|MB|的值．

选做题

23．设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．

（Ⅰ）求集合M；

（Ⅱ）若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x+2y﹣3z|≤．

2017年四川省数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1-5:AAADB 6-10:BAACA 11、12：CB

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．）13．若复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x+1）i为纯虚数，则实数x的值为3．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求得x值．

【解答】解：∵z=（x2﹣2x﹣3）+（x+1）i为纯虚数，

∴，解得：x=3．

故答案为：3．

14．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是﹣3．

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．

【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15

少输入90，

而=3

∴平均数少3，

∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．

故答案为：﹣3．

15．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动

点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．

【解答】解：设切点坐标为（m，e m）

∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）

令x=0，解得y=（1﹣m）e m

过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）

令x=0，解得y=e m+me﹣m

∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）e m+me﹣m]

t'= [﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1

当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0

∴当m=1时t取最大值

故答案为：

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2﹣a﹣2b﹣2c=0且a+2b﹣2c+3=0．则△ABC中最大角的度数是120°．

【考点】余弦定理．

【分析】根据条件可得b=，c=，显然c＞b，假设c=＞a，

解得a＜1或a＞3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．

【解答】解：把a2﹣a﹣2b﹣2c=0和a+2b﹣2c+3=0联立可得，b=，c=，显然c＞b．

比较c与a的大小．

因为b=＞0，解得a＞3，（a＜﹣1的情况很明显为负数舍弃了）

假设c=＞a，解得a＜1或a＞3，刚好符合，

所以c＞a，所以最大边为c．

由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab?cosC，

即（）2=a2+[]2﹣2a cosC，

解得cosC=﹣，

∴C=120°，

故答案为：120°．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．S n为数列{a n}的前n项和，已知S n

+1

=λS n+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=λS n﹣1+1．与原递推式作差

可得a n

+1

=λa n，即n≥2时．验证a2=λa1，可得数列{a n}是等比数列．结合已知求得λ值，则数列{a n}的通项公式可求；

（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=na n，整理后利用错位相减法求数列{b n}的前n项和．

【解答】解：（Ⅰ）由S n

+1=λS n+1可知当n≥2时，S n=λS n

﹣1

+1．

作差可得a n

+1

=λa n，即n≥2时．又a1=1，故a2=λa1．