第2讲 分段函数及函数的单调性
第二讲 分段函数及函数的单调性
一.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 常见的命题类型有：
(1)分段函数的函数求值问题； (2)分段函数的自变量求值问题；
(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 二.函数的单调性 1.单调性的定义
自左向右看图象是
__________
自左向右看图象是_________
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)_______，区间D 叫做函数y ＝f (x )的___________. 2．函数的最值 题型一分段函数的函数求值（域）问题
1.已知函数f (x )＝?
????
log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ????f ????14的值是________． 2. 若函数f (x )= x 2+1,x ≤1lg x ,x >1，则f (f (10))=（ ）
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
3.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=???-+)]
18([13
n f f n ),2000(),2000(>≤n n
试求f （2002）的值.
4.设函数f (x )＝?????
1x ， x >1，
－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．
题型二 分段函数的自变量求值问题
1．已知f (x )＝??
?
x 1
2
，x ∈[0，＋∞)，
|sin x |，x ∈???
?－π2，0，若f (a )＝1
2
，则a ＝________.
2.已知函数f (x )＝?
????
2x －2，x ≤0，
－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )
A ．－log 37
B ．－34
C ．－5
4
D ．－7
4
3.已知函数f (x )＝?
????
(a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝1
2，则f (3)＝________.
题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题．
1.已知函数f (x )＝?????
x 2
＋2ax ，x ≥2，
2x ＋1，x <2，
若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．
2.已知函数f （x ）=??
?<-≥-),
2(2
),
2(2
x x x 则f （lg30－lg3）=___________________；
不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________. 题型四.常见函数的单调性
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。
题型五.判定函数的调性
1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)的单调区间
2.判断下列函数的单调性
(1)y =x +
x
1
（x>0）；(对勾函数) (2) 设函数f （x ）＝b
x a
x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间
上的单调性.（真分数的性质）
(3) 讨论函数f （x ）=1
2-x ax
（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.(分类讨论)
(4) 指出函数y =log 3（x 2
＋2x －3）的单调区间，指出函数y ＝? ??
?
?13-2
23+1
x
x 的单调区间。
题型六 函数单调性的简单应用
1.函数f (x )＝?????
1x ，x ≥1，
－x 2＋2，x <1
的最大值为________．
2.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ???
?－1
2，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系是_______________. 3.已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f(x-2) 4. 已知函数f (x )＝? ???? (a －2)x －1，x ≤1， log a x ，x >1，若f (x )在R 上单调递增，则实数a 的取值区间为 ________． 函数单调性的应用 (1)求函数值域、最值； (2)比较大小； 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 分段函数单调性 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 4．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（） A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1] 5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围 是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 6．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（） A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞）D． 7．设a＞0且a≠1，若f（x）=为一分段函数，且在R上为增函 数，则实数a的取值范围． 8．若函数y=，则函数的单调增区间为． 分段函数单调性答案 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 【解答】解：由题意知，f（a）=a； 当a≥0时，有，解得a=﹣2，（不满足条件，舍去）； 当a＜0时，有，解得a=1（不满足条件，舍去）或a=﹣1． 所以实数a 的值是：a=﹣1． 故选B． 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 【解答】解：因为f（x）是定义域R上的单调函数，所以a应满足： ，解得：1＜a≤2，故选D． 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 专题30、分段函数单调性 【例1】已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤?=?>?，若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则实数的取值范围是_________ 【答案】(2,3] 【解析】若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则在R 上任取12x x <，均有12()()f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调 递增的，由此可得 201a a ->??>? ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有12()()f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值，代入1x =，有左段右端，即21log 103a a a --≤=?≤，综上所述可得(2,3]a ∈。 【例2】已知函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围 是（ ） .,2e A ??-∞ ??? .,3e B ??+∞???? .,32e e C ?????? .(,)32e e D 【答案】C 【解析】由于函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，2a e a ≥-，解得 a ≤ 【例6】已知函数()1()1,22 x f x x =?- 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 分段函数单调性及其应用 基本理论 函数???>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2 1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增； （2） ).()(21a f a f ≤ 数学应用 1.(直接应用）已知???≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________. 变式拓展：1.1若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 1.2已知函数.,1)(2R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值. 2（从反方向角度考查） 设???>-≤+-=, 1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围. 3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7, ,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈?? ?<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________. 4.（从“间断点”处回归函数考查） 已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈?????<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围. 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13 【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1 1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝267,0,100,, x x x x x ++<≥????? ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 1110 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数||x y x x =+的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -? 函数的单调性 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 x 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 第二讲 分段函数及函数的单调性 一.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 常见的命题类型有： (1)分段函数的函数求值问题； (2)分段函数的自变量求值问题； (3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 二.函数的单调性 1.单调性的定义 自左向右看图象是 __________ 自左向右看图象是_________ 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)_______，区间D 叫做函数y ＝f (x )的___________. 2．函数的最值 题型一分段函数的函数求值（域）问题 1.已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ????f ????14的值是________． 2. 若函数f (x )= x 2+1,x ≤1lg x ,x >1，则f (f (10))=（ ） A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0 3.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=???-+)] 18([13 n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值. 4.设函数f (x )＝????? 1x ， x >1， －x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________． 题型二 分段函数的自变量求值问题 1．已知f (x )＝?? ? x 1 2 ，x ∈[0，＋∞)， |sin x |，x ∈??? ?－π2，0，若f (a )＝1 2 ，则a ＝________. 2.已知函数f (x )＝? ???? 2x －2，x ≤0， －log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( ) A ．－log 37 B ．－34 C ．－5 4 D ．－7 4 3.已知函数f (x )＝? ???? (a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝1 2，则f (3)＝________. 题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 1.已知函数f (x )＝????? x 2 ＋2ax ，x ≥2， 2x ＋1，x <2， 若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 2.已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3）=___________________； 不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________. 题型四.常见函数的单调性 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。 题型五.判定函数的调性 1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)的单调区间 §2.2.1 函数的单调性 一、教学目标 1、通过对函数概念的认识，了解函数的单调性、单调区间的概念 2、使学生能用自己的语言来表述函数单调性的概念，并能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间 3、运用函数的单调性定义来证明一些简单函数的单调性 二、课型：新课程 三、课时：（略） 四、教学工具与教学方法 使用多媒体辅助教学工具；采用自主学习、合作探究的教学方法。 五、教学重点 函数单调性的概念 六、教学难点 利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性 七、教学过程 （一）知识导入 第2.1.1节开头的第三问题中，气温θ是关于时间t 的函数，记)(t f =θ。观察这个气温变化图（如图所示），问： （1）从图中你能得出什么信息？ （2）说出在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？ （3）怎样用数字语言刻画上述时段内“随时间的增加 气温逐渐升高”这一特征？ 讨论并与观察下例图象： -2 -1 引出：什么是函数的单调性？单调区间？ （二）定义 设)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?。 如果对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f < 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 c /θh t /o 14 4 9 24 12)^1(--=x y x y 1 y x o 1 2+=x y 若对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f > 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 如果)(x f y =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性；单调增区间和单调减区间统称为单调区间 （三）例题讲解 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）22 +-=x y （2）)0(1 ≠= x x y 解：（1）函数图象如图（1）所示，单调曾区间为]0,(-∞，单调减区间为),0[+∞ （2）函数图象如图（2）所示，)0,(-∞和),0(+∞是两个单调区间 注：先让学生练习，然后再讲解 例2：求证：函数11 )(--=x x f 在区间)0,(-∞上是单调曾函数 证：设 x x 2 1 ,为区间)0,(-∞上的任意两个值，且x x 2 1 <，则 0,0212 1 ><-x x x x 因为 )11 ()11 ()()( 2 1 21----- =-x x x x f f x x 2 1 1 1 - = x x x x 2 1 21 -= 2 o x y (1) -1 1 -1 1 x y (2) 高一函数单调性完整版 Prepared on 22 November 2020 函数的单调性 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． ,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。 （1 ）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 1. 2. 3.会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f= ) (，2 ) (x x f= 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f= ) (的图象是_________的， 2 ) (x x f=的图象在y轴左侧是______的，2 ) (x x f=的图象在y轴右侧是_______的. (2). x x f= ) (在) , (+∞ -∞上，f（x）随着x的增大而___________;2 ) (x x f=在]0, (-∞上，f（x）随着x的增大而_______;2 ) (x x f=在) ,0(+∞上，f（x）随着x的增大而________. 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 ()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 ※ 增函数、减函数的定义 2（1判断下列函数的单调区间：21x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在 ],[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性 相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ． 增函数: )()(2121x f x f x x ?< 分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x （一）函数的单调性 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是 【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： 11 2 2() ()()() n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=? ∈??∈?K K ，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈? ?=∈?K K .注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合. 6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总. 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2 当x 1 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 分段函数练习题 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝ ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． C ． 3 D ． 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为 C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 267,0,100,, x x x x x ++<≥?????71101110||x y x x = + 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -?---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x分段函数的单调性1(含答案)
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