回归性方程

回归方程是根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量（因变量）对另一个或一组变量（自变量）的回归关系的数学表达式。回归直线方程用得比较多，可以用最小二乘法求回归直线方程中的a,b，从而得到回归直线方程。

原理

对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。

指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。

回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。

离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.

总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。

线性回归方程的公式为：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nxy）/（x1+x2+…xnNX）。

线性回归方程是数理统计中使用回归分析来确定两个或多个变量之间定量关系的统计分析方法之一。

线性回归方程

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＝x －1 ＝x ＋1 ＝88＋1 2 x ＝176 解析因为x －＝174＋176＋176＋176＋178 5＝176， y －＝ 175＋175＋176＋177＋177 5 ＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的 n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y － ) 解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析小李这5天的平均投篮命中率 y －＝错误!＝，

线性回归方程分析

环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：学员编号：年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：闫建斌课题线性回归方程授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标线性回归方程基础重点、难点教学内容 1、本周错题讲解 2、知识点梳理 1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法 1 221 n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧ -⎪ ⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； ②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3．线形回归模型： ⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。随机误差a bx y e i i i --= ⑵残差e ˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e i i i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。 ⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 2 2 1 2 1 ˆ()1() n i i i n i i i y y R y y ==-=- -∑∑ (2 R 的表达式中2 1 )(∑=-n i i y y 确定) 注：①2 R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； ②2 R 越接近于1，，则回归效果越好。 4．独立性检验（分类变量关系）： (1)分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。 (3)对于22⨯列联表：2 K 的观测值) )()()(()(2 d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。 (4)临界值0k 表： ) (02k k P ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。 (5)反证法与独立性检验原理的比较：反证法原理在假设0H 下，如果推出矛盾，就证明了0H 不成立。

回归方程公式

回归方程公式回归方程又称回归模型，是统计学中用来研究变量之间关系的重要理论工具，可以用来解释一个变量如何影响另一个变量的变化的。一般来说，回归方程包括一个或多个自变量，而这些自变量代表被影响的变量（即因变量）。回归方程一般有两种形式，一种是线性回归方程，也可以称为一元线性回归方程，这种方程式具有形式：Y=ax+b，其中a和b分别代表斜率和截距，Y代表因变量，x代表自变量。这种方程式代表了因变量Y与自变量x的线性关系，其中a代表因变量Y随自变量x单位增加而变化的幅度，b代表X取零时的因变量Y的值。另一种是多元线性回归方程，它可以用以下形式表示：Y=a1x1+a2x2+…+anxn+b，其中Y代表因变量，x1, x2, , xn和b分别代表n个自变量和一个截距，a1, a2,, an分别代表n个自变量的回归系数。回归方程的应用很广，可以用来解释实际中数据的变化，也可以用来预测未来数据的发展趋势。它还可以用于挖掘数据中潜在的模式、规律和联系，从而提出有效的策略，协助企业更加清晰地理解市场状况，获得成功。如果要使用回归方程来分析一定的数据，首先应该考虑的是如何对这些数据进行处理，将其转换为有意义的变量。其次，需要验证这些变量之间的统计关系，以及回归方程的拟合度，以确保获得的结果是有效的。最后，要注意回归方程的收敛性和非线性特性，以确保计算精度。

当运用回归方程进行分析时，有以下几点需要注意：首先，要确定数据集的变量，以及它们之间的关系，因为这是计算回归方程的基础；其次，要根据一元线性回归方程或多元线性回归方程，确定回归系数和截距；最后，要计算模型的拟合度，以确定模型的可靠性。以上就是回归方程的具体内容，回归方程是一个重要的统计学理论工具，有了它，能够更好地分析变量之间的关系及模型的拟合程度，从而有助于我们更有效地完成工作。

回归方程的公式

回归方程的公式回归方程是数理统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的关系模型。其公式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε，其中Y是因变量，X1、X2、…、Xk是自变量，β0、β1、β2、…、βk是回归系数，ε是误差项。在回归方程中，回归系数β用于衡量自变量对因变量的影响程度。其中，β0是截距项，表示当自变量都取0时，因变量的值。而β1、β2、…、βk则分别表示当对应的自变量增加1单位时，因变量增加的值。这些系数可以通过最小二乘法来估计。回归方程可以建立线性和非线性关系模型。线性回归方程是指因变量和自变量之间呈现线性关系的模型，其回归方程为Y = β0 + β1X1 + ε。非线性回归方程则是指因变量和自变量之间呈现非线性关系的模型，其回归方程为Y = β0 + β1f(X1) + ε，其中f(X1)是非线性的函数。回归方程的建立需要满足一些假设条件。首先，因变量和自变量之间要呈现一定的相关性。其次，误差项必须满足独立同分布的假设条件。最后，自变量之间不能存在多重共线性，即自变量之间不能存在高度的相关性。在实际应用中，回归方程可以用于预测和控制因变量的值。例如，在销售预测中，可以根据历史数据建立回归方程，预测未来的销售

量。在生产控制中，可以根据回归方程，调整生产计划，以达到最优的生产效益。然而，回归方程也存在一些局限性。首先，回归方程只能建立自变量和因变量之间的关系模型，而不能确定因果关系。其次，回归方程只能建立线性或非线性关系模型，而不能建立其他复杂的关系模型。最后，回归方程建立的结果只是基于样本数据，不能完全代表总体数据，因此需要进行适当的统计推断。回归方程是一种重要的数理统计学方法，可以用于建立自变量和因变量之间的关系模型，进行预测和控制。在实际应用中，需要满足一定的假设条件，并注意其局限性。

线性回归方程系数公式

线性回归方程系数公式回归系数（regression coefficient）在回归方程中表示自变量x 对因变量y 影响大小的参数。回归系数越大表示x 对y 影响越大，正回归系数表示y 随x 增大而增大，负回归系数表示y 随x增大而减小。例如回归方程式Y=bX+a中，斜率b称为回归系数，表示X每变动一单位，平均而言，Y将变动b单位。 1、回归系数：对于回归系数的解释，需要从线性回归模型当中来定义。线性回归模型是一种特殊的线性模型。若变量y与变量的关系表示为，且称f(x)为y对x的回归，f(x)称为回归函数。通常在正态分布情形，若f(x)是x的线性函数，此时称为线性回归，称为回归常数，称为回归系数（regression coefficient）。取y为n个观测，得观测值向量，表示为如下模型：其中1是坐标全为1的向量，为n阶单位阵，记，且假定这个矩阵的秩为p+1，而记这里β，σ2为未知参数，e（n×1）是随机向量。 2、最小二乘估计：

回归系数的最小二乘估计（least square estimator of regression coefficient）简称LS估计。参数估计的一种方法。线性回归模型中，未知参数β的最小二乘估计为满足的β。可知β是方程的解。此方程称为正规方程。由于线性回归模型中，X矩阵列满秩，故β可解除。 3、显著性检验：回归系数显著性检验（significant test of regression coefficient）是检验某些回归系数是否为零的假设检验。考虑线性回归模型。不失一般性，可假定要检验后k个（1≤k≤p）回归系数是否为零，即。一般用F统计量。去检验，这里是上述模型的残差平方和，为假定后k个系数为零时（即少了k个自变量）的模型的残差平方和。用F检验有许多优良性，在这方面，中国统计学家许宝騄早期做了许多工作，后来美籍罗马尼亚数学家瓦尔德（Wald，A.）发展了他的工作。 4、理解：（1）相关系数与回归系数： A 回归系数大于零则相关系数大于零；

最优回归方程

最优回归方程最优回归方程概述回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。在回归分析中，我们尝试找到一个可靠的数学模型来描述因变量和自变量之间的关系。最优回归方程是指具有最小残差平方和（RSS）的回归模型，其中残差是因变量和预测值之间的差异。简单线性回归简单线性回归是一种最基本的回归方法，它只包含一个自变量和一个因变量。简单线性回归模型可以用以下公式表示： $y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon$ 其中，$y$ 是因变量，$x$ 是自变量，$\beta_0$ 和 $\beta_1$ 是常数项和斜率，$\epsilon$ 是误差项。为了找到最优的 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 值，我们需要使用最小二乘

法来拟合数据。最小二乘法是一种通过使残差平方和最小化来估计模型参数的方法。多元线性回归多元线性回归是一种包含两个或多个自变量和一个因变量的回归方法。多元线性回归模型可以用以下公式表示： $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_px_p + \epsilon$ 其中，$y$ 是因变量，$x_1, x_2, ..., x_p$ 是自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$ 是常数项和斜率，$\epsilon$ 是误差项。与简单线性回归类似，我们可以使用最小二乘法来拟合数据并找到最优的模型参数。然而，在多元线性回归中，我们需要注意多重共线性和过度拟合等问题。模型选择为了得到最优的回归方程，我们需要进行模型选择。模型选择是指从所有可能的回归模型中选择一个最佳的模型。我们可以使用以下几种

线性回归方程公式推导

线性回归方程公式推导从现代经济学研究看，线性回归是一种多变量经济分析方法，它能够用来研究变量之间的关系，以便确定哪些变量具有影响性。线性回归模型是描述一个响应变量和一组predictor变量之间关系的线性关系模型。线性回归模型有多种形式，其中最常见的是最小二乘法，即OLS，其核心思想是通过最小化以下损失函数来确定回归系数： S=1/n (yi-i) 其中，yi是实际值，i是预测值，n是数据样本的个数。有了线性回归模型，就可以推导出公式，即OLS回归方程。它表述的意思是，假设回归系数β的值是已知的，即满足公式：β=(XX)^-1XY 其中，X指的是一个有m个变量的矩阵，Y指的是一个有n个观测值的矩阵，X指的是X矩阵的转置矩阵，(XX)^-1指的是求XX的逆矩阵，XY指的是X和Y的点乘积。由此，OLS回归模型就可以用变量yi=b1x1i+b2x2i+…+bpxpi+ εi来表示，其中b1, b2,, bp分别是变量x1i, x2i,, xpi的回归系数，εi是误差项，它以期望值为零的正态分布的形式出现，表示随机噪声。一般来说，OLS即可用来估计参数的可能性，但是，由于它们常常受到多重共线性的影响，因此需要检验其可靠性。 OLS的优点是可以提供一种最优的参数估计法，它能够有效地提高参数估计的准确性。此外，OLS进行变量检验时，也可以有效地识别出具有影响性的变量。

不过，OLS也有其缺点，尤其是当数据存在某些问题时，可能会导致OLS的估计结果出现偏差。主要问题包括多重共线性、异方差性和异常值。对于这些问题，最好的解决方法是对数据进行相关性分析，从而将偏差减少到最小。综上所述，OLS回归方程公式能够有效地描述变量之间的关系，检验其可靠性，以便确定哪些变量具有影响性。为了确保其准确性，应当有效地处理多重共线性等问题，从而使得OLS具有更强的适用性。

多元回归方程

多元回归方程多元回归方程是统计学中常用的一种分析方法，它可以用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。在社会科学、经济学、市场营销等领域，多元回归方程被广泛应用，可以用来解决各种实际问题。本文将从多元回归方程的概念、构建、检验和应用四个方面来介绍这一分析方法。一、多元回归方程的概念多元回归方程是一种基于多个自变量与一个因变量之间关系的统计模型。它可以用来预测因变量的值，同时还可以评估每个自变量对因变量的影响程度。多元回归方程通常采用最小二乘法进行估计，即通过最小化残差平方和来确定模型中各个参数的值。多元回归方程的一般形式为： Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε 其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xk表示自变量，β0、β1、β2、…、βk表示模型中的参数，ε表示误差项。β0表示截距，β1、β2、…、βk表示自变量的系数，ε表示模型中未被解释的随机误差。二、多元回归方程的构建多元回归方程的构建需要通过以下几个步骤： 1.确定自变量和因变量：在构建多元回归方程之前，需要先确定研究的自变量和因变量。自变量应该是可以解释因变量变化的因素，而因变量则是需要被预测或解释的变量。

2.收集数据：收集包括自变量和因变量的数据，并进行数据清洗和处理。如果存在缺失值或异常值，需要进行处理，以保证数据的可靠性。 3.建立模型：通过最小二乘法建立多元回归方程。最小二乘法是一种常用的估计方法，它可以通过最小化残差平方和来确定模型中各个参数的值。 4.检验模型：通过检验模型的拟合度、显著性和稳定性等指标，评估多元回归方程的可靠性和有效性。三、多元回归方程的检验多元回归方程的检验包括拟合度检验、显著性检验和稳定性检验。 1.拟合度检验：拟合度检验用来评估模型对数据的拟合程度。常用的拟合度指标包括决定系数（R2）、调整决定系数（Adjusted R2）、残差平方和等。 2.显著性检验：显著性检验用来评估模型的显著性。常用的显著性检验包括F检验和t检验。 3.稳定性检验：稳定性检验用来评估模型的稳定性和可靠性。常用的稳定性检验包括交叉验证和留一法。四、多元回归方程的应用多元回归方程可以用于各种实际问题的分析和解决，例如： 1.市场营销：多元回归方程可以用来分析市场营销中各种因素对销售量的影响，例如广告投放、价格变化、产品特性等。 2.经济学：多元回归方程可以用来分析经济学中各种因素对经济

回归方程拟合直线

回归方程拟合直线回归方程是数学中常用的一种拟合方法，它用于描述两个或多个变量之间的关系。在统计学中，回归分析常用于预测和解释因变量与自变量之间的关系。在本文中，我们将介绍回归方程拟合直线的相关知识，并探讨它在实际问题中的应用。回归方程是通过最小二乘法来拟合直线的一个数学模型。最小二乘法是一种常见的数学优化方法，通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合直线。残差是观测值与拟合值之间的差异，残差平方和越小，拟合直线越好。拟合直线的回归方程可以表示为：y = mx + b，其中y是因变量，x 是自变量，m是斜率，b是截距。斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。在实际问题中，回归方程拟合直线可以应用于许多领域。例如，在经济学中，可以使用回归分析来预测销售额与广告投入之间的关系。在医学研究中，可以使用回归分析来探究因素对疾病发生率的影响。在环境科学中，可以使用回归分析来研究污染物排放与空气质量之间的关系。回归方程拟合直线的过程需要进行数据收集和分析。首先，需要收集自变量和因变量的数据。然后，使用统计软件进行回归分析，计算出最佳拟合直线的斜率和截距。最后，可以使用回归方程来进行

预测和解释。回归方程拟合直线的优点之一是简单易懂。通过观察直线的斜率和截距，可以直观地了解自变量和因变量之间的关系。此外，回归方程还可以提供预测能力，当给定自变量的值时，可以通过回归方程计算出相应的因变量值。然而，回归方程拟合直线也存在一些限制。首先，回归分析假设自变量和因变量之间存在线性关系，但在实际问题中，很多关系并非线性。此外，回归分析还需要满足一些统计假设，如数据的独立性和正态性。如果这些假设不满足，回归分析的结果可能不可靠。在实际应用中，我们还需要注意回归方程拟合直线的解释和预测的准确性。解释回归方程时，应该注意自变量与因变量之间的因果关系，避免因果推断的错误。预测回归方程时，应该注意自变量的取值范围和数据的可靠性，避免过度解释和误导。回归方程拟合直线是一种常用的数学模型，可以用于描述和预测自变量和因变量之间的关系。在实际问题中，我们可以通过回归分析来寻找最佳拟合直线，并使用回归方程进行解释和预测。然而，回归方程拟合直线也有一些限制，需要注意数据的可靠性和统计假设的满足。因此，在应用回归分析时，我们应该谨慎选择适当的模型，并对结果进行合理解释和预测。

回归方程

第十章回归方程一、内容提要（一）一元线性回归分析设x ，y 是两个相关的变量,x 的取值是可以精确控制的，称之为普通变量；x 的变化引起y 的变化，但关系不确定，y 是随机变量，当x 取值为x 0时，y 有许多值可取，但又不能事先确定。 1.最小二乘估计当x 取n 个不同的值x 1,x 2,…,x n 时，作n 次独立试验，就得到y 的n 个观测值y 1,y 2,…y n 于是得到观测数据（x 1,y 1）,(x 2,y 2),…(x n ,y n ) (10.1) 以上述n 个二维有序数组为坐标，在直角坐标系中可描出n 个点，称之为平面散点图。若这些点大体上落在某条直线附近，我们就说y 与x 之间大致呈线性关系，此时我们设想： y =β0+β1x+ε (10.2) 其中ε是其它随机因素引起的误差。将观测数据（10.1）代入（10.2）,得到 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧++=⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅++=++=n n n x y x y x y ε ββεββεββ102 2121101 （10.3）称（10.3）式为一元线性回归分析的数学模型，这里假定εi （i =1,2,…,n ）相互独立地服从正态分布N （0，σ2 ）。用最小二乘法确定β0，β1的估计值b 0，b 1，就是要选择b 0，b 1，使残差平方和 []∑∑==+-=-=n i n i i i i i x b b y y y Q 1 1 2102 )()ˆ( 达到最小。记 ∑∑====n i n i i i y n y x n x 11 ,1ˆ,1 ∑∑∑===-=-=n i n i n i i i i xx x n x x x s 11 122 2 ,)(1)( ∑∑∑===-=-=n i n i n i i i i yy y n y y y S 11 122 2 ,)(1)( ∑∑∑∑====-=--=n i n i n i n i i i i i i i xy y x n y x y y x x S 1111 ).)((1))(( 得到β1，β0的最小二乘估计