全等三角形单元测试与练习(word解析版)

全等三角形单元测试与练习（word 解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；

④//FG AC ；⑤EF FG ．其中正确的结论是______．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则

∠C=12

∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

【详解】

∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，

故①正确；

若∠EBC=∠C ，则∠C=

12

∠ABC ， ∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，

故②错误；

∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，

∴∠ABF=∠EBD ，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，

又∵∠BAD=∠C ，

∴∠AFE=∠AEF ，

∴AF=AE ，

故③正确；

∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，

∴AN ⊥BE ，FN=EN ，

在△ABN 与△GBN 中，

∵

90

ABN GBN

BN BN

ANB GNB

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠=?

?

，

∴△ABN≌△GBN（ASA），

∴AN=GN，

又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，

∴△ANE≌△GNF（SAS），

∴∠NAE=∠NGF，

∴GF∥AE，即GF∥AC，

故④正确；

∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不一定是等边三角形，

∴EF不一定等于AE，

∴EF不一定等于FG，

故⑤错误．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

3．如图，在等边ABC

?中取点P使得PA，PB，PC的长分别为3， 4， 5，则APC APB

S S

??

+=_________．

【答案】

93

6

【解析】

【分析】

把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知

△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90?，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边

3

S

△ADP

＋S△BPD＝

34×32＋12×3×4＝9364

+． 【详解】

将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD

∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?，

又∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ，

∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，

∴∠DAB ＝∠PAC ，

又AB=AC,AD=AP

∴△ADB ≌△APC

∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?，

∴△ADP 为等边三角形，

在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，

∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，

∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，

∵△ADB ≌△APC ，

∴S △ADB ＝S △APC ，

∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝3×32＋12×3×4＝936+． 故答案为：936+．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．

4．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．

【答案】16

【解析】

【分析】

利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ?的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．

【详解】

解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，

10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ?=++=++=+=+=

故答案为：16．

【点睛】

本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．

5．如图，在ABC ?中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=?，50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10?

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠=

∴BE BF =， 70DBF ?∠=

∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=

故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

6．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：

①AE=CF ；

②△EPF 是等腰直角三角形；

③EF=AB ；

④12

ABC AEPF S S ?=

四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).

【答案】①②④

试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，

∴∠APE=∠CPF ，

∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，

∴AP=CP ，

∴∠PAE=∠PCF ，

在△APE 与△CPF 中，

{?PAE PCF

AP CP

EPA FPC ∠=∠=∠=∠

，

∴△APE ≌△CPF （ASA ），

同理可证△APF ≌△BPE ，

∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =

12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12

BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．

故始终正确的是①②④．

故选D ．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．

7．如图，将ABC ?沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ，还原纸片后，再将ADE ?沿着过AD 中点1D 的直线折叠，使点A 落在DE 边上的2A 处，称为第2次操作，折痕11D E 到BC 的距离记为2h ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ，若11h =，则2020h 的值为______．

【答案】2019122-

【解析】

根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ?=DB,从而可得∠ADA ?=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA ?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线，证得

AA ?⊥BC,AA ?=2，由此发现规律：0

1 2122h =-=-?同理21122h =-3211122222

h =-?=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离1122

n n h -=-

，据此求得2020h 的值． 【详解】 解：如图连接AA ?,由折叠的性质可得：AA ?⊥DE, DA= DA ? ,A ?、A ?…均在AA ?上

又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,

∵DB= DA ? ,

∴∠BA ?D=∠B ,

∴∠ADA ?=∠B +∠BA ?D=2∠B,

又∵∠ADA ? =2∠ADE ,

∴∠ADE=∠B

∵DE//BC,

∴AA ?⊥BC ,

∵h ?=1

∴AA ? =2,

∴01

2122h =-=-? 同理：21

122h =-； 3211122222

h =-?=-； …

∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=-

∴20202019122h =-

【点睛】

本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.

【详解】

解：如图：连接BE

∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，

∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠F+∠CEF＝90°，

∵∠AED＝∠FEC，

∴∠A＝∠F＝30°，

∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，

∴∠CBE＝∠F，

∴BE＝EF，

在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，

∴EF＝2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.

9．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.

【答案】

1702n -? 【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.

【详解】

在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°

可得：∠1BAA =∠1BA A =70°

在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2

可得：∠112A B A =∠121A A B

根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B

∴∠112A B A =∠121A A B =

702? 同理可得：∠232A A B =

2702? ∠343A A B =

3702? …….

以此类推：∠A n =

1702n -? 故答案为：

1702

n -?. 【点睛】

本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..

10．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30?，CF=

4

3

，则DH=______．【答案】

2

3

【解析】

连接AF.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.

∵DE=DC，∠EDC=30°，

∴∠DEC=∠DCE=75°，

∴∠ACF=75°-60°=15°.

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

在△ABF和△CBF中，

AB BC

ABF CBF

BF BF

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF，

∴∠FAC=∠ACF=15°，

∴∠AFH=15°+15°=30°.

∵AH⊥CD，

∴AH=

1

2

AF=

1

2

CF=

2

3

.

∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，

∴∠BDE=75°-60°=15°，

∴∠ADH=15°+30°=45°，

∴∠DAH=∠ADH=45°， ∴DH=AH=23. 故答案为23

. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )

A ．3

B ．33

C ．32

D ．不能确定

【答案】B

【解析】

已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC ?AH =12AB ?PD+12BC?PE +12

AC ?PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12

×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332

．故选B.

点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．

12．已知40MON ∠=?，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ?的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )

A ．40?

B ．50?

C ．100?

D ．140?

【答案】C

【解析】

【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ?周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．

【详解】

分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ?周长的最小值等于P P '''．

由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，

224080P OP MON ∴∠'''=∠=??=?，

(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=?-?÷=?，

又50BPO OP B ∠=∠''=?，50APO AP O ∠=∠'=?，

100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=?．

故选：C ．

【点睛】

此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.

13．如图，△ABC 、△CDE 都是等腰三角形，且CA ＝CB , CD ＝CE ,∠ACB ＝∠DCE ＝α,AD ,BE 相交于点O ，点M ,N 分别是线段AD ,BE 的中点，以下4个结论:①AD ＝BE ;②∠DOB ＝180°－α;③△CMN 是等边三角形；④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE （SAS ），由全等三角形的性质得到AD=BE ；故①正确；

②设CD 与BE 交于F ，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ，得到

∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．

【详解】

解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，

∴∠ACD=∠BCE ，

在△ACD 和△BCE 中

AC BC ACD BCE CD CE ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），

∴AD=BE ；故①正确；

②设CD 与BE 交于F ，

∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠ADC=∠BEC ，

∵∠CFE=∠DFO ，

∴∠DOE=∠DCE=α，

∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；

③∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC

又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，

∴AM=

12AD ，BN=12

BE ， ∴AM=BN ，

在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），

∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，

又∠ACB=α，

∴∠ACM+∠MCB=α，

∴∠BCN+∠MCB=α，

∴∠MCN=α，

∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，

∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，

∴△CGE≌△CHD（AAS），

∴CH=CG，

∴OC平分∠AOE，故④正确，

故选：B．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．

14．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）

A．4 B．24

5

C．5 D．6

【答案】C

【解析】

试题解析：如图，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴点B关于AD的对称点B′在AC上，

过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，

由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，

∵AC=10，S△ABC=25，

∴1

2

×10?BE=25，

解得BE=5，

∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，

∴AB=AB′，

∴△ABB′是等腰三角形，

∴B′N=BE=5，

即BM+MN的最小值是5．

故选C．

15．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.

故选B.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.

16．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.

又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，

故本题应选B.

点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰

△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.

17．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）

A．110°B．120°C．140°D．150°

【解析】

【分析】

根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出

∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

【详解】

作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为

△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=120°，

∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故选B．

【点睛】

此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．

18．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )

A．1 B．3C．3D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.

将△AMD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AM ’D ’，MD=M’D’，易得到△ADD ’和△AMM ’均为等边三角形，

∴AM=MM ’，

∴MA+MD+ME=D ’M+MM ’+ME ，

∴D ′M 、MM′、ME 共线时最短，

由于点E 也为动点，

∴当D’E ⊥BC 时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，

∴MA+MD+ME 的最小值为4+33．

故选B ．

【点睛】

本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

19．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：

①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】D

分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出

∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC 的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出

∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．

详解：∵60

BAC

∠=?，

∴18060120

ABC ACB

∠+∠=?-?=?，

∵BE、CE分别为ABC

∠、ACB

∠的平分线，

∴

1

2

EBC ABC

∠=∠，

1

2

ECB ACB

∠=∠，

∴

11

()12060

22

EBC ECB ABC ACB

∠+∠=∠+∠=??=?，

∴180()18060120

BEC EBC ECB

∠=?-∠+∠=?-?=?，

故①正确．

如图，过点D作DF AB

⊥于F，DG AC

⊥的延长线于G，

∵BE、CE分别为ABC

∠、ACB

∠的平分线，

∴AD为BAC

∠的平分线，

∴DF DG

=，

∴36090260120

FDG

∠=?-??-?=?，

又∵120

BDC

∠=?，

∴120

BDF CDF

∠+∠=?，120

CDG CDF

∠+∠=?．

∴BDF CDG

∠=∠，

∵在BDF和CDG

△中，

90

BFD CGD

DF DG

BDF CDG

∠=∠=?

?

?

=

?

?∠=∠

?

，