高斯公式的应用

1、高斯公式在普通物理中的应用

数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它建立了空间某一区域v 上的体积分与其边界曲面S 上的面积分之间的关系，即

）（1?????++=????

????+??+??s

y Rdxdy

Qdzdx pdydz dxdydz z R y Q x P 在物理学中，常用它的矢量形式：??????=s

s d F dv F div

v

式中k R j i

++=Q P F

在普通物理学中，应用高斯公式可以简洁明了地证明某些重要的结论。下面我们就用它来推证著名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。 （1）高斯公式推证阿基米德浮力定律

在普通物理的教科书中，一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明，仅对它作一个说明。但是我们可以根据重力场中静止流体的压强分布，应用高斯公式给出一个证明。

一物体浮在液面上，液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面S 分为两部分

1S 和2S ，也把整个浮体分为两部分。其中浮在液面上的那部分为1V ，浸没在液体中的那部分为2V 。建立坐标系，取液体表面为x o y 平面，Z 轴的方向取为竖直向下。作用在曲面1S 上的压强就是大气压0P ，而作用在曲面2S 上的压强则为

gz P P ρ+=0

式中P 为液体的密度，z 为曲面2S 上某点处位于液面下的深度。作用在物体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生的，我们来具体计算一下。

因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量n

方向相反，所以有：

(

)

???????????????????-?-?-=??-??-??-=?++?-=??-=-=s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

d k p k s d j p j s d i p i ds P k ds P j ds P i ds

k x j i P n

ds P s Pd F

)()()(cos cos cos cos cos cos γ

βαγβα浮 式中αβγ为n

与三个坐标轴的夹角，应用在高斯公式，上式可化 为体积分：

k

g v dv k g dv gz P dv P Pdv

Pdv dv

P dv

k z j y i x dv

z k dv y j dv x i dv

k p k dv j p j dv i p i F v v v v v v

v v v v v

v

v

200022

1

2

1

0)()()()()(ρρρρρρρρ

ρ-=-=+?-?-=?-?-=?-=??+??+??-=??-??-??-=??-??-??-=???????????????????????????????????????浮

上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式，它表 明：浸在液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。

（2）高斯公式推证静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理：∑??=?=Φ)

(0e 1

内S

i s

q s d E ε

在一般的普通物理教科书中，对高斯定理都不作严格的证明，而是利用电力线的概念加以说明，也有少数书中是采用引进“立体角”的概念来证明的。其实，应用高斯公式可以很简洁地证明高斯定理，而且不需要引进“立体角”的概念。

我们先讨论单个点电荷的情况。在闭合曲面S 内有一点电荷q ，它所产生的

场强为304r r

q E πε =，则穿出S 的电通量为?????=?=Φs s e r s d r q ds E 304 πε 注意，现在我们还不能利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分。 因为

高斯公式成立的条件要求E

??在闭合曲面S 所包围的区域V 内是连续函数。但

显然304r

r

q E ??=

??πε在区域V 内r=0处（即点电荷q 处）不连续。我们可在闭曲面S 内作一个以点电荷q 为中心，以R 为半径的小球面'S 的方向和S 一样都取

为外法线方向。那么，在闭合曲面 S 和'

S 之间的区域Ω中，0≠r ，E ??满足连续的条件，于是我们可利用高斯公式来计算通过区域Ω的边界曲面的电通量。

????????ΩΩ??=??=∑

?=∑Φdv r r

q dv E s d E e 304 πε

由直接计算可得，03=??r

r

)0(≠r ，所以0=∑Φe 。

在面积分??∑

?s d E

，曲面∑的外法线方向在曲面S 处与S 的外法线方向相

同，而在'S 曲面处则与'S 的外法线方向相反。于是有

0'=∑Φ=?=?=∑

???????e s s s d E s d E s d E

所以?????=?'

s s

s d E s d E

这说明通过包含点电荷的任意闭合曲面的电通量都与通过以该点电荷为中心的任一球面的电通量相等。而通过球面的电通量很容易算出：

02

2

0'

20'30'4444εππεπεπεq R R q ds R q s d r r q s s e =?==?=Φ???? 所以0

εq

e =

Φ

当点电荷q 不在闭合曲面S 内时，则在S 所包含的V 区域内，0≠r ，可直

接利用高斯公式求出：

0430=??=??=?=Φ????????v v

s e dv r r

q dv E s d E πε 对于由一组点电荷n q q q 21所组成的带电体系来说，它们在空 间所产生

的总场强E

是各点电荷单独存在时所产生的场强的迭加：

n E E E E

+++=21

那么通过任意闭合曲面的电通量为：

n

e e e s

n s

s

s

s

d E s d E s d E s d E Φ++Φ+Φ=?++?+?=?=Φ???????? 2121

式中n e e e ΦΦΦ 21、是各个点电荷的电场通过闭合曲面S 的电通量。由上述关于单个点电荷的结论可知： 当i g 在S 内时 0

εi

e q i =

Φ

当i g 在S 外时 0=Φi e

所以∑∑=

Φ=Φ)

(01

内S

i

e e q i ε

这样就证明了高斯定理。

2、高斯公式与散度

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，若函数P( x ，y ，z)，Q( x ，y ，z)与R( x ，y ，z) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度公式）：

?????Ω

∑

++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z

Q

y Q x P )(

（∑

是Ω的整个边界曲面的外

侧）

在日常生活中，我们经常见到如图1用榔头钉钉子，图2灯

泡或太阳向四周辐射光线，图3点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这 些现象进行对比观察，发现都具向四周散射的效果。

我们不妨对钉子受力会被钉进桌面的现象进行受力分析，如 图4，钉子受到榔头的力A=(P ，Q ，R) 作用，P ，Q ，R 分别是 力A 在x ，y ，z 三个坐标轴方向上的分力，力A 的作用效果（变 化率）等效于分力P ，Q ，R 在坐标轴方向上的作用效果（变化 率），从而我们可用度量A 的（散射）作用效果，并称之为散度。因此，我们可以把高斯公式理解成：向量场（包含力场）A=(P ，Q ，R) 通过闭曲面流向外侧的

通量（流量或辐射量）??∑

++Rdxdy Qdzdx Pdydz ，等于A 的散度z

R y Q x P ??+??+??在闭曲面所围闭区域上的积分。

图1 图

2

图3 图4