含参不等式恒成立问题
不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立
00?且a ；
（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
（1）当0>a 时，]
,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
??
???>>-?????<-?0)(2020)(2βββαααf a
b
a b f a b 或或，
],[0)(βα∈ ? ?< )(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0)(βαf f ],[0)(βα∈ ???<>-?????<- ?0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： α α>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切α α>?∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类 型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ? ??<>?>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时， 0)( ?<<-0 )2(0 )2(f f 即???? ?<---<----0 )12()1(20)12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)2 31, 2 71( + + -∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需???<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC 中，已知2 |)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2<-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4 ( sin sin 4)(2 ∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ， ]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ， 即???+<->2 )(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函] 4 3,4[4 ),4 sin(2cos sin π ππ π - ∈-- = ->x x x x a ，显然函数 有最大值2，2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 , 0(4,cos sin π π ∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值 范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求 实数a 的取值范围。 解析：由x x a x a x x f <-<-=2 12 1)(22，得，在同一直角坐标系中做出两 个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 1 2 2 2 1)1(2 11-=- -=- a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数 x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 12在区间)1,1(-∈x 中 恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 12- =x y 在区间 ) 1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证，而 2 110≥ < 1 [ ∈a 。 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来 解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。 例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤≤--c B 、1212+≤≤-c C 、12--≤c D 、12-≥c 解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右 侧并与它相离或相切。121 1 1|10|01022-≥ ∴??? ??≥+++>++∴c c c ，故选D 。 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。 练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。][2 2 b a c +> 2、设]1,(7 932lg lg -∞++=在a y x x x 上有意义， 求实数a 的取值范围.),9 5 [+∞。 3、当1||)3,3 1 (<∈x Log x a 时，恒成立，则实数a 的范围是____。 )],3[]3 1 ,0[(+∞ 4、已知不等式： 3 2)1(12 11 (2) 11 1+ ->++ +++ +a Log n n n n a 对一切大于 1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。)]2 5 1,1([+∈a 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????0 0a ; 2） 0)( x ∈恒成立.00 ? ?? 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(2 2 <--=?a a 解得3 11> - 所以实数a 的取值范围为),3 1 ()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的 取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。 解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或 而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。 例4．函数),1[,2)(2 +∞∈++= x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成 立，求实数a 的取值范围。 解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立， 即对),1[+∞∈x ，02)(2 >++= x a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2 )(++ =x a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最 小值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 实际上，上题就可利用此法解决。 略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22-->在 ),1[+∞∈x 时恒成立。 而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 解： 将问题转化为x x x a 2 4-< 对]4,0(∈x 恒成立。 令x x x x g 2 4)(-=，则min )(x g a < 由1 44)(2 -= -= x x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故 0)4()(min ==g x g ∴0 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。 解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。 当2≠x 时，应有?? ?>->0 )1(0 )1(f f 解之得31> 故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的 充要条件为?? ?>>0 )(0 )(βαf f 。 四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。 例7．设x x x f 4)(2 --= , a x x g -+= 13 4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立, 求实数a 的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的图象 如图所示，)(x f 的图象是半圆)0(4)2(22≥=++y y x )(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 。 要使)()(x g x f ≤恒成立， 则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离 满足 2 5338≥-+-= a d 解得3 55≥-≤a a 或（舍去) 由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、 分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ? ? =+ - ??? ，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试 确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ? ?=--+ ?? ? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()m a x g x ，则()()m a x f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()m i n g x ，则()()m i n f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即 可。 ()2 2 21 1111124t f t t t t t +?? ??==+=+- ? ??? ?? 11,2 t ?? ∈ +∞???? ()()m in 324f t f ∴== 2 34a a ∴-< 132 2 a ∴-< < 二、 分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当2 2a - <-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤ 又4a >所 以a 不存在； （2） 当22 2a -≤ ≤即：44a -≤≤时，()2 m in 3024a a f x f a ?? =-=--≥ ??? 62 a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ （3） 当2 2 a - > 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又 4a <-74 a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤ 三、 确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知 数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()22 21210 2020 21210x x f f x x ?----<- <--- 2 2 x << 四、 利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ?????，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。 例5、当1 ,33 x ?? ∈ ???时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。 解：1log 1a x -<< （1） 当1a >时， 1x a a <<，则问题转化为 11,3,3a a ???? ? ? ????? 3 113 a a ≥?? ∴?≤?? 3a ∴≥ （2） 当 01 a <<时， 1a x a << ，则问题转化为 11,3,3a a ????? ? ?????13 1 3a a ?≤ ??∴? ?≥??103a ∴<≤ 综上所得：103 a <≤ 或3a ≥ 五、 数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ?? ∈ ?? ? 内恒成立，求实数a 的取值范围。 解：由题意知：23log a x x <在10,3x ?? ∈ ?? ? 内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数 2 3y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ?? ∈ ?? ? 时， 若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立； 当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33?? ??? 或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 1 27a ∴≥ 1127 a ∴>≥ 综上得：1127 a >≥ 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活 运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。 含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究） 一、教学目标： 理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。 二、教学方法：启发、探究 三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。 例题1：已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。 变式：已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。 例题2：已知不等式2220x ax -+>对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。 变式1：已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 变式2：已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。 例题3：当()1,2x ∈时，不等式()2 1log a x x -<恒成立，求实数a 的取值范围。 练习1：已知函数2 1()ln(2) 2 f x x a x =- ++在区间()1,-+∞上为减函数，求实 数a 的取值范围。 练习2：对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。 思考： 1、若不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围。 2、设504 a <≤ ，若满足不等式||x a b -<的一切实数x ，能使不等式21||2 x a -< 恒成立，求正实数b 的取值范围。 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则?? ?>>-0 )1(0)1(g g ，得13 3133+-<<- -x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知 a ax x x f -++=3)(2 ，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点 在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或??????? ??≥≥--≤->?0 )2(0)2(2 2 f f a 或??????? ??≥≥-≥->?0 )2(0)2(22 f f a ， 即a 的取值范围为[-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2 )(], 2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范 围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意 2 )(],2,2[min ≥-∈x f x .若 2 )(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[min ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-237)2() (2 2 min a f x f a 或?? ? ??? ? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?? ???≥+==>-27)2() (22 min a f x f a ，即a 的取值范围为 ]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >? min )(；m x f <)(恒成立m x f max )(.本题也可以用零点分布策略求解. 4 变量分离策略 例4 已知函数 |54|)(2 --=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于 函数f (x )的上方，求k 的取值范围. 解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于 543],5,1[2 ++->+-∈?x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归 为求函数的最值问题. 对于5 43],5,1[2 ++->+-∈?x x k kx x 恒成立3 542 +++-> ?x x x k 对于 ] 5,1[-∈?x 恒成立,令 ]5,1[,3 542 -∈+++-= x x x x y ,设 ] 8,2[,3∈=+t t x ,则 ],8,2[,10)16(∈++ -=t t t y 4 =∴t 当,即x =1时2 max =y , ∴k 的取值范围是k >2. 变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解. 由题意得，对于5 4) 3(],5,1[2 2 ++->+-∈?x x x k x 恒成立2 2 ) 3(5 4+++-> ? x x x k 对于 ] 5,1[-∈?x 恒成立,令 ] 5,1[,) 3(5 42 2 -∈+++-= x x x x y ,设 ] 8,2[,3∈=+t t x ,则 ,16 9)4 54(110162 2 + --=-+-=t t t y ]8,2[∈t ， 时 即当 5 1,4 54= = ∴x t ,16 9max = y , ∴k 的取值范围是k > 16 9. 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 5 数形结合策略 例5 设函数 x x a x f 4)(2 +-+ -=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤ 成立,试求实 数a 的取值范围. 解析 由题意得 )()(x g x f ≤a ax x x 242 +≤+-?,令 x x y 42 1+-= ①,a ax y 22 +=②. ①可化为) 0,40(4)2(12 12 ≥≤≤=+-y x y x ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上 半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a 为斜率的直线，要使)()(x g x f ≤恒成立，只 需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有 2 1|22|2 =++a a a ，即3 3± =a ，由图可知，要使) ()(x g x f ≤ 恒成立，实数a 的取值范围是3 3≥ a ． 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数， 运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果. 6 消元转化策略 例 6 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若 )()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时 ，若 1 2)(2 +-≤at t x f 对于所有的 ]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为 f (1)=1,则 1 2)(2 +-≤at t x f 对于所有的 ] 1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立 ?1212 +-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022 ≤-t ta 对于所有的] 1,1[-∈a 恒 成立，令2 2)(t ta a g -=，只要?? ?≤≤-0 )1(0)1(g g ，0 22=≥-≤∴t t t 或或． 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决. 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。 不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a 当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 含参不等式专题 一、一元二次不等式含参问题 含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成 是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但 在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不 确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： (1)按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; (2)按判别式?的符号分类，即0,0,0?； (3)按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即2121,x x x x =<； 例题1：解x 的不等式：（1）042 >++ax x 。 (2) )(0122 R a a ax ∈>++ 例题2：解关于x 的不等式：（1）.01)1(2 <++-x a ax （2） )(0)1(2 R k x k kx ∈>-+ 例题3：解不等式（1）)0( 01)1(2≠<++-a x a a x . （2） ） （R a x ax ∈≥++22 2 二、一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0， 它的解集为R 的条件为??? a ＞0Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为R 的条件为??? a ＜0 Δ＜0 ；0 2≥++c bx ax 的解集为R 的条件为?? ?≤?>00a ；02≤++c bx ax 的解集为R 的条件为???≤?<0 a . 2、对于一般恒成立问题： 方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立 m x f ≥?min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大 的大于最大的，小的小于最小的”。 方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图 形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧， 将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取 值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 例题1：若)5lg(2b x x y --=的定义域为R,求b 范围。 例题2：已知关于x 的不等式01)2()2(2≥+---x a x a 恒成立，试求a 的取值范围. 例题3：已知1)(2+-=ax x x f ，求使不等式0)( 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想： 即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥?min （()M x f ≥有解?M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤?m a x （()M x f ≤有解?M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2,0πθ时，有 () ()022s in 2c o s 2 >--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数， 故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数， 从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对?? ? ??∈2,0πθ 设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于( )1,0∈t 恒成立， 在设函数()1222 ++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ， 即21-≥m ，又0 备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题 【高考地位】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】 方法一 判别式法 使用情景：含参数的二次不等式 解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式； 第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论. 例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围 . ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-. 【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立 ????00a ；2）0)( （1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞. （2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴2 31m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞， 考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)( 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题， 也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一 个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a_ f x 恒成立，只须 求出 f X max ，则 a - f X 血；若 ^ f X 恒成立，只须求出 f X min ，则 a 乞 f X 讪， 转化为函数求最值。 例1已知函数f X = lg I X a -2，若对任意x ：= 2川a?恒有f X \ >0，试确定a 的 I x 丿 取值范围。 a 解：根据题意得：x 2 1在x ：= 12,牡阳上恒成立， x 即：a ?-X 2 ? 3x 在 x ：二 2,上恒成立， 设 f x = -x 2 3x ，则 f x - - x- 3 9 I 2丿4 当 X =2时，f X max =2 所以 a 2 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不 等式的两边，即：若 f (a )Z g (x )恒成立，只须求出g (x )max ，则f (a )K g (x )m ax ，然后 解不等式求出参数 a 的取值范围；若f (a )兰g(x)恒成立，只须求出g (x ).,则 f (a )兰g( x m in ，然后解不等式求出参数 a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 t +1 f t p 3 f t min = f 2 — 4 解：令2二t ,二，1丨■ 10,2所以原不等式可化为： 宀亠1 ， 例2、已知x^- ,11时，不等式1 ■ 2X 亠〔a -a 2 4X 0恒成立，求a 的取值范围。 要使上式在t 三i 0,2 1上恒成立，只须求出 在t 0,2 1上的最小值即 可。 t 十1 f t 〒 1 3 a :: 2 2 _a ::- 如何证明含参数的不等式恒成立 题型：已知含参数的函数()f x ，证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立（()g x 不含参数） 解题步骤： 第一步：构造函数()()()F x f x g x =-，将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题，如果这里的()g x 不明显，我们先对含参函数进行讨论，找到合适的()g x 。 第二步：求出'()F x ，令'()0F x =，求出()F x 在区间上的最小值或最大值。 第三步：证明最小值大于0，或最大值小于0。 【例题】 1、（浙江高考）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间. （2）证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->. 思路分析：()20f x a +->中含有绝对值，不方便求导，因此可考虑寻找函数()g x ，使 ()2()0f x a g x +-≥>. 解（1）由题意的' 2 ()122f x x a =- ①当0a ≤时，' ()0f x ≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞. ②当0a >时，' ()12()()f x x x =，此时函数()f x 的单调递增区间为 (,)-∞+∞和，单调递减区间为???. （2）证明：由于01x ≤≤，当2a ≤时，33 ()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时，333 ()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则()2()f x g x ≥，要证()20f x a +->，只要证明 ()0g x >即可。 '2()626(g x x x x =-=- +则有 所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时，32210x x -+>，故3 ()24420f x a x x +-≥-+>，即证。 【练习】 1、已知函数21()2 x f x ae x =- . （1）若()f x 在R 上为增，求a 的取值范围； （2）若1a =，求证0x >时，()1f x x >+。 2、已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-= （1）求函数()f x 的最大值； （2）设0a b <<，证明：0()()2()()ln 22 a b g a g b g b a +<+-<- 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 不等式中恒成立问题的解法 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型： 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2 R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????0 0a ; 2）0)( 破解含参不等式恒成立的5种常用方法 含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。 一 分离参数法 分离参数法是解决含问题的基本思想之一。对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。 例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。 分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。 解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞， 1］上恒成立，即??? ???????? ??+??? ??-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈ x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。于是工的取值范围为4 3-≥a 。 【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。解这类问题时一定要注意区间的端点值。 二 数形结合法 数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。 例2 当)2,1(∈x 时，不等式042>++mx x 恒成立，求的取值范围。 分析：设4)(2++=mx x x f ，问题就等价于函数)(x f 的图象在区间（1，2）上的部分位于轴上方，结合二次函数的图象，根据二次函数的性质就可以列出所满足的不等式关系。 解析：设4)(2++=mx x x f ，因为当)2,1(∈x 时，不等式042>++mx x 恒成立，不等式恒成立问题
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