第13讲 反比例函数

第13讲反比例函数

一、 中考知识关键词

考点１．反比例函数的定义：一般地，函数，叫做反比例函数.

考点２．反比例函数的图像及性质：反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称；当k>0时，反比例函数的图像在一、三象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数的图像在二、四象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而增大．

【易错警示】由于反比例函数的图像的不连续性，所以在描述反比例函数的图像的增减性时，一定要先说在“每个象限内”．

考点３　反比例函数图像上的任何一点的纵横坐标的乘积为定值k；过反比例函数图像上任意一点分别向x轴和y轴做垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于定值∣k∣.

二、典型例题

类型一反比例函数的定义

例1 若函数反比例函数，则的值等于（）

A． B 1 C D

解析：根据反比例函数的定义，，则，又因为，所以，故。

例2（2007海南）反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的关系式为 .

解析：

类型二反比例函数图像的性质

例3（2007贵州）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是（）

A． B． C． D．

解析：因为正比例函数过坐标原点，而反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以，另一个交点坐标为，故选A

例4（2007江苏）已知点P在函数 （x＞0）的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为__________.

解析：因为反比例函数可变形为，设P点坐标为（x,y），所以，又因为点P在第一象限，则.所以矩形OAPB的面积为,故填2.

类型三反比例函数的应用

例5（2006年青岛课改卷）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为_______Ω．

例1

解析：此题考查反比例函数和物理学结合的实际应用，结合图形及反比例函数的性质，设反比例函数的解析式为，把（9，4）代入得U=36，所以当I=10A时，R=3．6Ω.

三、小题大做

例6（2006年嘉兴课改卷）已知函数y＝x－5，令x＝、1、、2、、3、、4、、5，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点

P（x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）

A B C D

解析：对于函数y＝x－5，令x＝、1、、2、、3、、4、、5，分别求得对应的函数值是、-4、、-3、、-2、、-1、、0.从这十个点中任意抽取两个点的情况共有种，其中只有点、、、四点分别在同一个反比例函数图像上（纵横坐标的乘积为定值），所以P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是，选B.

评注：此题虽然是一道选择题，但是其考查的知识点却较多，既考查了一次函数的对应求值，又考查了概率的有关知识以及反比例函数的图像上的点的坐标特征，解题时需具有较强的综合能力.

四、借题发挥

例7（2006年旅顺）如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，

观察图象写出y1＞y2时，的取值范围 ．

解：此题考查了一次函数和反比例函数的图像的结合运用，由图像知，只有当-2

评注：利用函数的图像来解决实际问题，是近几年的中考命题热点之一，与上述题目解法类似的实际应用题如：

例8（2006黄冈课改卷）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生的测试路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）

A 乙比甲先到达终点

B 乙测试的速度随时间的增加而增大

C 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇

D 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

解：C.

五、易错点金

例9已知点、、C都在反比例函数的图像上，则（）

A. B.

C. D.

此题容易错选C，根据反比例函数的性质比较，因为反比例函数图像是不连续的，所以要注意点所在的象限，正解：因为函数的图像在第一、三象限，点C在第一象限，所以，而点、在第三象限，所以．当时，在每个象限内ｙ随ｘ的增大减小，所以．故，选Ｄ．

六、今日说法

本节的重点是掌握转化思想、数形结合思想．反比例函数函数可转化变形为，即双曲线上任一点的横纵坐标的乘积为定值，则过双曲线上任一点向x轴或y轴作垂线，垂线段、原点与该点连线及垂足和原点间的线段构成的三角形的面积为定值．而反比例函数的图像及性质是考试的重点．

五、中考在线

（时间30分钟。1~５每题２分，6--14每题３分，15--16题4分，17题６分，11--12题6分，共计50分）

1．（2007 福建泉州）反比例函数的图象在第一象限与第象限．２．（2007 福建宁德）反比例函数图象如图所示，则随的增

x

y

第7题图

O

大而．

3．（2007 鄂尔多斯）如图6，双曲线与直线相交于两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为．

4．（2007南充）已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m的值是＿＿＿＿．

５（2006年广安）如图, 如果函数y=－x与y=的图像交于A、B两点, 过点A作AC垂直于y轴, 垂足为点C, 则△BOC的面积为___________.

６、（2006年南通）如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________．

第６题　

７．（2007 福建厦门）在直角坐标系中，O是坐标原点.点P（m,n）在反比例

函数y=的图象上.若m=k,n=k－2,则k= ；若m+n=k,OP=2,且此反比

例函数y=满足：当x>0时，y随x的增大而减小，则k= .８．（2007 河池）如果反比例函数的图象经过点，那么该函数的图象位于（ ）

Ａ．第一、二象限Ｂ．第一、三象限

Ｃ．第二、四象限Ｄ．第三、四象限

９．（2007贵州）若反比例函数的图象经过点，则的值是（）

A． B．2 C． D．

１０．（2007 山东泰安）已知三点，，都在反比例函数的图象上，若，，则下列式子正确的是（）

A． B． C． D．

１１．（2007江苏淮安）关于函数的图象，下列说法错误的是（）。

A、经过点(1，－1)

B、在第二象限内，y随x的增大而增大

C、是轴对称图形，且对称轴是y轴

D、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点

１２．

（2007湖北荆州）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴, 反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中的阴影部分的面积是( )

A、2

B、4

C、8

D、6

1３．（2007山东滨州）

如图5，点为反比例函数上的一动点，作轴于点，的面积为，则函数的图象为（ ）

图5

A．

B．

C．

D．

1４．（2007山东）反比例函数y=的图象如图3所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=2，则k的值为N

M

x

y

Ａ．2

B．－2

Ｃ．4

Ｄ．－4

15、（2007 资阳）

如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例

函数的图象的两个交点.

图

(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；

(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

1６．（2007湖北荆州）D为反比例函数：图象上一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形DCAE的面积为4，求k的值.

．

１７．（2006年德州课改卷）如图，在中，，点，在直线上运动，设，．

（1）如果，，试确定与之间的函数关系式；

（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由．

Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ａ

Ｄ

参考答案

1、三

2、减小

3、

4、 -3

5、因为反比例函数和正比例函数的图像都是关于原点对称的，所

以，A、B两点的坐标也关于原点对称，则△BOC的面积等于

△AOC的面积等于.

6、20

7、3，2

8、C，9、C，10、D，11、C，12、C，13、A，14、D

15、解：（１）因为函数过点A(-4，2)，所以，解得．所以反比例函数解析式为，又因为点B(n，-4)在上，可求．

因为一次函数过A(-4，2)、B(２，-4)，所以，可得．

所以得到一次函数的解析式为．

（２由图像知：当时，一次函数的值小于反比例函数的值．

16轴交点坐标为（0，2），可得，则一次函数与轴交点A坐标为（2，0）.又因为梯形DCAE的面积为4,而三角形AOC面积为,所以矩形OCDE面积为2，以，又因为双曲线在第二象限，

１７解：（1）在中，，

，

．

又，

．

又，

．

．

．　即，所以．

（2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立．

此时，．又，

．又仍然成立．

从而（1）中函数关系式成立．