北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13

3．2基本不等式与最大(小)值

●三维目标

1．知识与技能

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．

通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．

3．情感、态度与价值观

通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．

●重点难点

重点：用基本不等式解决简单的最值问题．

难点：用基本不等式求最值的使用条件．

●教学建议

在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．

●教学流程

创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0

(对应学生用书第59页)

已知函数f(x)＝x(1－x)(0

【提示】最大值；能．

∵00，

又∵a＋b

2≥ab，∴ab≤(

a＋b

2)

2，

∴x(1－x)≤(x＋1－x

2)

2＝

1

4，

当且仅当x＝1－x，即x＝1

2时，f(x)有最大值

1

4.

已知x、y都是正数

(对应学生用书第59页)

(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；

(2)已知0

3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．

【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋b

x 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．

【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋

4

x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4

x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.

(2)法一 ∵0

3，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝1

3·3x (1－3x )≤

13[3x ＋（1－3x ）2

]2＝1

12.

当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝1

6时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值1

12.

法二∵0

3，∴

1

3－x>0.

∴y＝x(1－3x)＝3·x(1

3－x)≤3·(

x＋

1

3－x

2)

2

＝1 12，

当且仅当x＝1

3－x，即x＝

1

6时，等号成立．

∴当x＝1

6时，函数取得最大值

1

12.

1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．

2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．

已知x＜5

4，求函数y＝4x－2＋

1

4x－5

的最大值．

【解】∵x＜5

4，∴5－4x＞0，

∴y＝4x－2＋

1

4x－5

＝4x－5＋

1

4x－5

＋3

＝－[(5－4x)＋

1

5－4x

]＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝

1

5－4x

即x＝1时等号成立，

∴当x＝1时，y max＝1.

已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1

a＋

1

b的最小值．

【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1

a＋

1

b看作⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a＋

1

b×1

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解． 思路二：将式子1a ＋1

b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解． 【自主解答】 法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ·1

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a

b ≥3＋22b a ·a

b

＝3＋22，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝

a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．

∴1a ＋1

b 的最小值为3＋2 2.

法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a

b ＋2 ＝3＋2b a ＋a

b ≥3＋22，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝

a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，

∴1a ＋1

b 的最小值为3＋2 2.

1．本题在解答中要注意使1a ＋1

b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．

本例中，如何求ab 的最大值？

【解】 法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋2b 22＝1

8，

当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b

，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值1

8.

法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ）， 即ab ≤

122

，∴ab ≤1

8，

当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1

，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值1

8.

某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．

图3－3－3

(1)试用x 表示S ；

(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．

【思路探究】 根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．

【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －6

3.

S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400

x －16) ＝x －63(5 400

x －16)

＝1 832－(10 800x ＋16x

3)． 即S ＝1 832－(10 800x ＋16x

3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)， 得S ≤1 832－2

10 800x ·16x 3

＝1 832－2×240＝1 352， 当且仅当

10 800x ＝16x

3

时等号成立，此时，x ＝45， 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．

1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．

2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．

北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920v

v 2

＋3v ＋1 600

(v ＞0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)

(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600

＝920

（v ＋1 600

v ）＋3

≤9202

v ·1 600v ＋3

＝920

83，

当且仅当v ＝1 600

v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝920

83≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：

920v

v 2

＋3v ＋1 600

＞10，

整理得v 2－89v ＋1 600＜0，

即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.

∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．

(对应学生用书第61页)

忽视基本不等式的条件致误

求函数y＝1－2x－3

x的值域．

【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．

∵2x＋3

x≥22x·

3

x＝2 6.当且仅当2x＝

3

x，

即x＝±

6

2时取等号．

∴y＝1－(2x＋3

x)≤1－2 6.

∴函数的值域为(－∞，1－26]．

【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．

【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．

【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．

①当x>0时，2x＋3

x≥22x·

3

x＝2 6.

当且仅当2x＝3

x，即x＝

6

2或x＝－

6

2(舍)时等号成立．

∴y＝1－(2x＋3

x)≤1－2 6.

②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．

∵－2x＋(－3

x)≥2（－2x）·（－

3

x）＝26，y≥1＋2 6.

当且仅当－2x＝－3

x时，即x＝

6

2(舍)．若x＝－

6

2时等号成立．

∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．

1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．

(对应学生用书第61页)

1．下列函数中最小值为4的是()

A．y＝x＋4 x

B．y＝sin x＋

4

sin x(0＜x＜π)

C．y＝3x＋4·3－x

D．y＝lg x＋4log x10

【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C

2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()

A.2B．22C．2D．4

【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.

【答案】 D

3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，

∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”． 【答案】 2

4．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1

y ＝1.求x ＋2y 的最小值． 【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1

y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16y

x ≥10＋2

x y ·16y

x ＝18，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，

x y ＝16y x ，

即⎩⎨⎧x ＝12

y ＝3

时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.

(对应学生用书第113页)

一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋

1

a －1

的最小值是( ) A ．2 B ．a C.

2a

a －1

D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋

1a －1＝a －1＋1a －1

＋1≥2

（a －1）·1

a －1＋1＝3.

【答案】 D

2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1

x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1

【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1

x )≤3－23x ·

1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝

1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．

【答案】 C

3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4

y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12

【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4x

y ≥5＋2

y x ·4x

y ＝5＋4＝9.

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3

y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.

【答案】 C

4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )

A ．50

B ．25 3

C ．50 3

D ．100

【解析】 设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 2

2＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 【答案】 A

5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1

b 的最小值是( ) A.1

4 B ．1 C ．4 D ．8

【解析】

由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，

b >0，a ＋b ＝1，

∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a

b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取

等号．

【答案】 C 二、填空题

6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2

x 的最小值是________． 【解析】 x ＋2x ≥2x ·

2

x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．

【答案】 2 2

7．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． 【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.

当且仅当3n ＝m 即n ＝3

3，m ＝3时等号成立． 【答案】 2 3

8．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________． 【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.

由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2， 得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.

【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题

9．当x <32时，求函数y ＝x ＋8

2x －3的最大值．

【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋3

2

＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，

∵当x <3

2时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x

≥2

3－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x

，即x ＝－1

2时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－5

2.

10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？ 【解】 法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，

∴0＜x ＜8.

∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x

2x ＋2

＝(x ＋1)＋

9

x ＋1

－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9

x ＋1

时“＝”

成立，此时x ＝2，y ＝1.

法二 ∵x ＞0，y ＞0，

∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2

， 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．

由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下

关系计算：6x ＋

784

x ＋3

－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)

【解】 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋

784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784

x ＋3

) ＝118－[4(x ＋3)＋

784

x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784

x ＋3

] ≤130－2

4（x ＋3）·784

x ＋3

＝130－112＝18(千元)，

当且仅当4(x ＋3)＝

784

x ＋3

，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．

(教师用书独具)

某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

【思路探究】 审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答

【自主解答】 设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．

∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是

6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． 从而有y 1＝1

x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300

x ＋3x ＋357≥417.

当且仅当300

x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．

即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：

(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．

(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．

(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．

从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．

【解析】 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且1

3≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2

≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．

【答案】 错误!