复变函数经典例题
第一章例题
例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线?
(1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧;
(2)倾角的直线;
(3)双曲线。
解设,则
因此
(1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。
(3)因,故,在平面上对应的图形为:直线
。
例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0.
证因在点连续,则,只要,就有
特别,取,则由上面的不等式得
因此,在邻域内就恒不为0。
例1.3设
试证在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点,则
从而(沿正实轴)
而沿第一象限的平分角线,时,。
故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。
第二章例题
例2.1在平面上处处不可微
证易知该函数在平面上处处连续。但
当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。
例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。
证因。故
但
在时无极限,这是因让沿射线随
而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。
例2.3讨论的解析性
解因, 故
要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性
解因, 故
要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。
例2.5讨论的可微性和解析性,并求。
解因, 而
在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且
。
例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求
之值。
解设,则
由代入得
解得:,从而
。
例2.7设则
且的主值为。
例2.8考查下列二函数有哪些支点
(a)
(b)
解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即
从而
故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。
任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简
单闭曲线,则
故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。
最后不是的支点。因若设含0,1的简单闭曲线,则
故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。
(b)可能的支点是0,1,。设分别是含0但不含1,含1但不含0,和既含0又含1的简单闭曲线,则
结果的终值较初值均发生了变化。故0,1,都是支点,此外别无支点。
例2.9试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出
在点取负值的那个分支在的值
解易知的支点是。因此,将平面沿正实轴从0到1割开,再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上,能分出三个解析分支。
现取一条从到的有向曲线(不穿过支割线),则
于是
又由题设,可取。故得
。
(3)关于对数函数的已给单值解析分支,我们可以借助下面的公式来计算它的终值:
即
其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线;是满足条件那一支在起点之值的虚部,是一个确定的值。
例2.10试说明在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。
解的支点为。这是因
当变点单绕一周时,
故的值增加了,的值未改变,从而,的值增加了,
从一支变成另一支。故是支点,同理也都是支点,此外无其它支点。故
在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。
现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则
故
这就是所要求之值。
例2.11求反正弦。
解
例2.12求
解
。
第三章例题
例3.1命表连接点及的任一曲线,试证
(1)(2)
证(1)因,故
,即
(2)因,选则得
,
但我们又可选,则得
由定理3.1,可知积分存在,因而的极限存在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等。今
,
所以。
注当为闭曲线时,
例 3.2(重要的常用例子)
这里表示以为心,为半径的圆周。(注意,积分值与,均无关)。
证的参数方程为:。故
;
当为整数且时
例3.3试证。积分路径是连接和的直线段
证的参数方程为
即
沿,连续,且
而之长为2 ,故由定理3.2 ,。
例 3.4计算积分
其中积分路径为:
(1)连接由点到点的直线段;
(2)连接由点到点1的直线段及连接由点1到点的直线段所组成的折线。解(1)连接及的直线段的参数方程为:
(),
故。
(2)连接与1的直线段的参数方程:
。
连接点1与的直线段的参数方程为:
,
即,
故
由此例可以看出,积分路径不同,积分结果可以不同。
例3.5计算积分
解在单连通区域:内,函数的一个原函数,且
在内解析,故由牛顿—莱布尼兹公式有
例3.6计算下列积分
(1),
(2),其中为右半圆周,,,起点为,终点为;(3)那一支。
解(1)因为的支点为,所以它在闭圆上单值解析。于是由柯西积分定理3.9
(2)因为上解析
故。
(3)因为的支点为,其单值分支在圆内解析,并连续到边界
,所以由柯西积分定理3.9
。
例3.7设为围线内部一点,则
证以为圆心画圆周,使全含于的内部,则由复围线的柯西积分定理得
再由例3.2即得要证明的结论。
例3.8计算积分
解因在闭圆上解析,由柯西积分公式得
定理3.11的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理。
例3.9设在上解析。如果存在,使当时
而且
试证:在圆内至少有一个零点。
证反证法,设在内无零点,而由题设在上也无零点。于是
在闭圆上解析。由解析函数的平均值定理,
又由题设,
,
从而,矛盾。故在圆
内至少有一个零点。
例3.10计算积分
其中是绕一周的围线。
解因为在平面上解析,应用公式(3.5)于,我们得
。
例3.11应用刘维尔定理证明代数学基本原理。在平面上,次多项式
至少有一个零点。
证反证法,设在平面上无零点。由于在平面上是解析的,在平面上也必解析。
下面我们证明在平面上有界。由于
,
故存在充分大的正整数,使当时,,又因在闭圆上连续,故可设
从而,在平面上
于是,在平面上是解析且有界。由刘维尔定理,必为常数,即必为常数。这与定理的假设矛盾。故定理得证。
例3.12如果为一整函数,且有使
的实数存在,试证为常数。
证令为整函数。又在平面上
故有界,由刘维尔定理可见是常数,因此也是常数。
例3.13设是整函数,是整数,试证当
时,至多是次多项式。
证只须证得对任何的,。
由
可知,对任给的,存在,只要时就有
。
在平面上任取一点,再取以为心,以为半径的圆周,使圆周
全含于其内部。于是有。这时对于,必,因而
。
由柯西不等式可得
因为是任意的,所以
。
故至多是次多项式。
例3.14验证是平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使合。
解因在平面上任一点
故在平面上为调和函数。
法一
故
要合,必,故。
法二先由条件中的一个得
,
故,
再由条件中的另一个得
,
故
因此。(下同法一)
例3.15验证在右半角平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。
解
于是
故在右半平面内,是调和函数。
两端对求导
,所以,从而(任意常数),
故
它在右半平面内单值解析。
第四章例题
例4.1考察级数的敛散性。
解因发散,故虽收敛,我们仍断定原级数发散。
例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。
(1)
解。
(2)。
解因,
故。
(3)。
解因,
故。
(4)
解应当是平方数时,其他情形。因此,相应有,于是数列{}的聚点是0和1,从而。
例4.3将在展开成幂级数。
解因在内解析,故展开后的幂级数在内收敛。已经知道:
,
在时将两式相乘得(按对角线方法)
。
例4.4求的展开式。
解因的支点为及,故其指定分支在内单值解析。
,
其一般表达式为:当时
。
例4.5将及展为的幂级数。
解因,同理
。
两式相加除以2得
,,
两式相减除以得
。
例4.6试将函数
按的幂展开,并指明其收敛范围。
解
例4.7考察函数
在原点的性质。
解显然在解析,且。
由,或由
知为的三级零点。
例4.8求的全部零点,并指出它们的级。
解在平面上解析。由得
即
故,这就是在平面上的全部零点。显然
故
都是函数的二级零点。
例4.9设(1)及在区域内解析;
(2)在内,
试证:在内或。
证若有使。因在点连续,故由例1.28知,存在的邻域,使在内恒不为零。而由题设
,
故必.
由唯一性定理(推论4.21)。
例4.10试用最大模原理证明例3.9。即证:“设在闭圆上解析,如果存在,使当时
,
而且
,
则在圆内,至少有一个零点。”
证如果在内,无零点。而由题设在上,且在
上解析。故
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].;平面上的何种曲线? (1) 以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2) 倾角 二的直线; (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别,取 - ,则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此, f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北)= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时,其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ )二倆,呛J ) = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 (沿正实轴。一 H ) 当I: 「时,极限不存在。因 二取实数趋于O 时,起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件,但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 计算下列复数 (1 (2 答案 (1 (2)(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()() z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有 对于复数 ,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:
复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,50 75100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3
7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= (2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 1.3计算下列复数 (1 (2 答案 (1) (2)(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部. 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 1.7 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题: 1.叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1)(,)u x y ,(,)v x y 在D 内可微, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1),,,x y x y u u v v 在D 内连续, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内连续,若闭曲线C 及内部包含于D ,则()0C f z dz =? 。 (3分) 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内每一点a ,都能展成x a -的幂级数。(3分) 2.叙述刘维尔定理:复平面上的有界整函数必为常数。(3分) 3、方程2z e i =+的解为:11ln 5arctan 222 i k i π++,其中k 为整数。(3分) 4、设()2010sin z f z z +=,则()0Re z s f z ==2010。(3分) 二、验证计算题(共16分)。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数,并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。(8分) 解:(1)22u x x ?=+?,222u x ?=?;2u y y ?=-?,222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??,所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。(4分) (2)因为()f z 为解析函数,则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程,则有 22v u x y x ??==+??,所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ,所以 ()0C x '=,即()C x 为常数。 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题(每小题2分) 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α 1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、选择题: 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π= -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 32 1+ - (D )i 2 12 3+ - 3.复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为( ) A .44-3(cos isin )5 5 ππ+ B . 443(cos isin )55ππ- C . 443(cos isin )5 5 ππ+ D .44-3(cos isin )5 5 ππ- 4.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1.设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5.=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题: 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线? (1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2)倾角的直线; (3)双曲线。 解设,则 因此 (1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。 (3)因,故,在平面上对应的图形为:直线 。 例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续,则,只要,就有 特别,取,则由上面的不等式得 因此,在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限,从而在原点不连续。 证令变点,则 从而(沿正实轴) 而沿第一象限的平分角线,时,。 故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。 证因。故 但 在时无极限,这是因让沿射线随 而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性,并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求 之值。 解设,则 由代入得 解得:,从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100 z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C ) z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨 迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原 向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 基本要求 1. 正确理解复变函数积分的概念;01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2. 掌握复变函数积分的一般计算法;()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3. 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分; ()0C f z d z =? ,10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4. 掌握闭路变形定理、复合闭路定理,并能运用其计算积分; 1()()C C f z dz f z dz =?? ,1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5. 掌握并能熟练运用柯西积分公式;00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6. 掌握解析函数的高阶导数公式,理解解析函数的导数仍是解析函数,会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1.2||122z dz z z ==++? ( ) ; 2.22|1|111z z dz z -=+=-? ( ) ; 3.2||1cos ()z z dz z π==-? ( ) ; 4.设()f z 在单连通域D 内解析且不为零,C 为D 内任一条简单闭曲线,则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? ( ); 5.解析函数()f z 的导函数仍为( ),且()()n f z =( )。 二、计算下列各题 1.计算积分2(2)C iz dz +?,C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段; 111.33 i -+ 2.计算积分22z C e dz z z +? ,:||2C z =; 22(1).i e π-- 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=(a, b ),Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=(C ) A (ac+bd, a ) B (ac-bd, b) C (ac-bd, ac+bd ) D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0,则N (∞,R )={ z :(D )} A |z| 分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解: 3、写出复数 的代数式。 解: 4、求根式 的值。 解: ππ4 5 |11| arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 π π2 3 sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 2 12312 1 21)1()1)(1()1(11--=--+-=?-+ +-+= -+ -i i i i -+-113 27 -)27arg(3 273π =-= . .. . . 资料. 习题一答案 1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1)1 32i +(2)(1)(2)i i i -- (3)131i i i --(4)821 4i i i -+- 解:(1)1323213i z i -== +, 因此:32 Re , Im 1313z z ==-, (2)3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---, 因此,31 Re , Im 1010z z =-=, (3)133335122 i i i z i i i --=-=-+= -, 因此,35 Re , Im 32z z ==-, (4)821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re 1, Im 3z z =-=, 2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2 )1-+(3)(sin cos )r i θθ+ (4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解:(1)2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= (2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3. 求下列各式的值: (1 )5)i -(2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--(4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- (5 = (6 ) =4. 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-,所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+, 5. 解下列方程: (1)5 () 1z i +=(2)440 (0)z a a +=> 解:(1 )z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-,(0,1,2,3,4)k = (2 )z ==复变函数课后习题答案全
第一章复变函数习题及解答
复变函数练习题及答案
复变函数期末考试题大全(东北师大)
复变函数习题集(1-4)
复变函数经典例题
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
复变函数测试试题库
复变函数测试题及答案
复变函数积分(练习题)
复变函数习题总汇与参考答案
复变函数课后习题答案全