提高中学生数学解题能力的途径

本科毕业设计（论文）
( 2014 届 )
题 目： 提高中学生数学解题能力的途径
（
学 院：
数理信息工程学院
专 业：
数学与应用数学
学生姓名： 胡彬星
学号：
指导教师： 沈炎峰
职称： 讲师
合作导师：
职称：
完成时间：
201 4 年 4 月 30 日
—
成
绩：

提高中学生数学解题能力的途径
{
目录
摘要................................................................................................................................................... 2
}
一 巩固数学基本知识，夯实解题基石.......................................................................................3 巩固数学基本知识的重要性 ..................................................................................................... 3 巩固数学基本知识的方法 ......................................................................................................... 4 深刻理解数学知识的内涵和外延，明确其适用范围 ......................................................... 4 网络化系统化知识点，形成结构化知识 ............................................................................. 4 经常运用所学知识做到熟能生巧 ......................................................................................... 5 例子：正弦定理的证明 ......................................................................................................... 5
二 加强审题能力培养，提高解题效率.......................................................................................8
】
培养学生认真审题的习惯 ......................................................................................................... 8 提高学生审题能力的策略 ......................................................................................................... 8 训练学生审题过程的规范性 ..................................................................................................... 9 三 掌握数学思想方法，提高解题技能.....................................................................................10 中学常用数学思想...................................................................................................................10 中学常用数学方法...................................................................................................................11 四 培养解题反思习惯，提高解题能力.....................................................................................13 五 结论 ........................................................................................................................................14
…
六 参考文献 ................................................................................................................................15

(
提高中学生数学解题能力的途径
。
数理与信息学院 数学与应用数学专业 胡彬星（）
指导老师：沈炎峰（讲师）
摘要：数学家哈尔冥斯指出：“数学的真正组成部分是问题和解”。他认为“数学家存在 的主要理由就是解决问题”。美国著名数学家波利亚说过：“掌握数学意味着什么那就是善于 解题。”可见，解题是数学的核心，也是教学活动的基本形式和主要内容。要善于解题，就 要具有较强的解题能力。数学中的解题能力就是综合运用数学础知识、基本思想方法和技能 以及逻辑思维规律，整体发挥数学基本能力进行分析和解决数学问题的能力。显然，解题能 力是一种综合性能力。而在当前，学生普遍存在上课听得懂，下课做作业无从下手的现象， 并且在几个学科中数学的平均分基本上都是最低的，说明了大部分的学生的解题能力不尽人 意，因此，培养学生的解题能力，是搞好中学数学教学，实现课程目标必不可少的重要环节。 为此，本文就提高学生解题能力的途径谈一些个人看法。
关键字：解题能力；审题；数学思想方法；反思
Ways to Improve the Ability of Solving Math Problems in Middle School Students
Mathematics and Applied Mathematics, Zhejiang Normal University
Hu Binxing ()
:
Director: Shen Yanfeng (Lecturer)
Abstract：The mathematician Hal Ming, said: "the real component of mathematics is problem of reconciliation". He believes that "the main reason for the problem is to solve the mathematician". America famous mathematician Polya said: "what it means to grasp of mathematics that is good at solving problems." Visible, problem solving is the mathematical core, basic form and teaching activities and the main content of. Be good at problem solving, it has

strong ability of solving problems. In mathematics problem solving ability is the comprehensive use of mathematics basic knowledge, basic methods and skills and logical thinking pattern, the whole play basic mathematical ability of the ability to solve mathematical problems. Obviously, problem solving ability is a comprehensive ability. At present, most students are in class understand, do homework after class phenomenon not start, and mathematics in several disciplines in the average basically is the lowest, that most of the students' ability of solving problems is unsatisfactory, therefore, the cultivation of students' ability of solving problems, is to do a good job of middle school mathematics teaching, the essential link to realize the curriculum target. Therefore, in this paper, the way to improve the students' ability of solving problems about some personal views.
Key Words：The ability of solving problems; Examines the topic； their mathematical thinking; reflection
一 巩固数学基本知识，夯实解题基石
巩固数学基本知识的重要性
,
数学基础知识是解题的基本要素。所谓数学基础知识，是指数学教学大纲中要求掌握的 基本概念、定理、公式、定义、性质、法则等，它们是进行数学演算、推理、解题、论证的 重要依据。如果把解题当作是修建房子的话，那么修建房子的最基本的原材料砖头就是基本 数学知识，没有了最基本的数学知识的积累，正所谓巧妇难为无米之炊，解题就成为无本之 源。如同一间房子的高度取决于砖头的数量和它的摆放方式，解题能力的高低，也取决于数 学知识这块原材料的多少和怎样去运用它。学生只有掌握好数学基础知识，才能正确思考， 理清题目思路，找到解决问题的突破口；只有掌握好数学基础知识，才能灵活运用所学的知 识解决新问题。反之。学生如果没有掌握好数学基础知识，就会概念不清，思路混乱，问题 难以得到解决。可见．如果没有基本的概念和科学的理论为前提，学生是无法进行推理论证 的。如果没有基本的概念和科学的理论为支撑，学生的数学解题能力就无法得到提高。因此， 培养学生的解题能力，一定要从数学基本知识的教学抓起，完善学生的知识结构。
巩固数学基本知识的方法
1.2.1 深刻理解数学知识的内涵和外延，明确其适用范围
(1)很多数学知识是从抽象中概括出来的，它也往往只适用于一定的条件和范围。例
如．在均值不等式 a 2 b2 2ab 中，取等号的前提是 a 和 b 必须同时相等。因此在
数学概念、定义、公式的教学中，作为教师我们不仅要讲清概念的内涵和外延，弄清概念与 概念之间的区别与联系，还要引导学生从正反几方面提出问题来加深他们对概念的理解。对 于概念的掌握，要对学生提出明确的要求：(1)要求他们懂，要理解得准确、透彻；(2)要求 他们会讲，能用正确的数学语言来叙述这些概念，能用自己的话来通俗地解释这些概念，有 些重要的定义、定理要一字不差地背下来；(3)要求他们会用，运用得熟练。基础知识掌握 好了，解题就有了依赖的基础。只有向学生阐明每条数学规律适用于什么场合，不适用于什 么场合，才可以有效防止学生将相对真理绝对化，将局部经验扩大化。有助于防止学生张冠 李戴。牢记在什么条件下, 在什么背景下可以用到这些知识。这是知识转化为能力的一个重

要办法。
1.2.2 网络化系统化知识点，形成结构化知识
心理学研究发现，只有结构化的知识才是有用的知识。知识的系统化，首先要求教师在 教学每个知识点时，应当把它们放在一个大的结构框架中，重视对教材内容进行结构分析， 使学生对所学知识有良好的整体感。为使学生头脑里的知识形成良好的结构， 还应加强知 识间的比较和类比，揭示不同知识的共同性和相似知识的差异性。同时，教师应在课堂上注 意提出需要广泛联想、需要多个知识点加以联系和概括的问题。另外，综合性习题和一题多 解的训练是促进不同知识相互沟通的好方法，利用多个知识点和多种方法求解同一问题，可 以使学生学到的知识纵横联系、相互贯通，从而使头脑中的知识结构得到优化和改善。最后， 学生要做到下面三个系统化：
单元知识系统化，就是把相对独立的每个教学单元和知识内容加入归纳，总结使之系统 化，教科书后面的单元小结，应很好的利用。专题知识系统化，主要是指在复习中，打破教 科书的章节体系，把同一性质，同一类别的知识归纳在一起，使之成为一个系统，如把初中 数学中的一次方程，二次方程，分式方程都可以归类到方程这一个大系统中去。学科知识系 统化，总是从总体上把握学科的知识结构，即把一个学科看做一个系统，这一系统由几个子 系统组成，每个子系统两分成几个更小的子系统……直至充分地涵盖这一学科的所有知识。 如高中数学，可以分为代数和几何，就几何而言又分为立体几何和解析几何，而立体几何和 解析几何又分为若干个知识点。通过学科知识的系统化我们可以深刻知道各个知识系统之间 的内在联系，有助于做题时举一反三，触类旁通。
;
1.2.3 经常运用所学知识做到熟能生巧
俗话说“熟能生巧”。一个人如果对所学的知识比较生疏，在应用时就会缺乏灵活性。 反之，如果一个人通过训练对知识的各个方面都熟练掌握并紧密结合，达到自动化的程度， 则会使解决问题的思维更加流畅。
现代教学心理学对专家解题的研究表明，问题解决能否成功或快速，往往取决于主体的 头脑中是否有相应的或类似的知识。
1.2.4 例子：正弦定理的证明 1 利用三角形的高证明正弦定理
（1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函C数的定义，有
CD asinB ,CD b sin A 。
b
a
由此，得
a sin A
b sinB
同理可得 ，
c sinC
b sin B
，
故有
a
b
sinA sinB
c
A
sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.
…
D
B
（2）当 ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D，根据锐
角 三 角 函 数 的 定 义 ， 有 CD asinCBD asinABC ， CD b sin A 。 由 此 ， 得
a
b
sin A sin ABC
同理可得 ，
c sinC
b sin ABC ,
故有
a
b
sin A sin ABC
c sinC .
C
b
a
￥
BD
A

由(1)(2)可知，在
ABC
中，
a sin A
b sin B
c sinC
成立.
！
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
a sin A
b sin B
c sinC
.
1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点 A，点 B 之间的距｜AB|，可测量角 A 与角 B， 需要定位点 C，即： 在如图△ ABC 中，已知角 A，角 B，｜AB｜＝c， 求边 AC 的长 b 解：过 C 作 CD AB 交 AB 于 D，则
/
AD c cos A
DC
BD tan C
c sin A sin C
c sin Acos C sin C
,
cos C
b AC AD DC c cos A c sin Acos C c(sin C cos A sin AcosC ) c sin B ,
sin C
sin C
sin C
推论： b c , sin B sin C
同理可证： a b c . sin A sin B sin C
2 利用三角形面积证明正弦定理
已 知 △ ABC, 设 BC ＝ a, CA ＝ b,AB ＝ c, 作 AD⊥BC, 垂 足 为 D. 则
中, sin B AD , ∴ AD=AB·sinB=csinB. AB
∴ S△ ABC= 1 a ? AD 1 acsin B . 同理,可证 S△ ABC= 1 absin C 1 bcsin A .
2
2
2
2
—
∴ S△ ABC= 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B . ∴ absinc=bcsinA=acsinB,
2
2
2
在等式两端同除以 ABC,可得 sin C sin A sin B . 即 a b c .
c
a
b
sin A sin B sin C
`
A
Rt△ ADB
C
D
B
3 向量法证明正弦定理
(1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与 AB 的夹角为 90°-A,j 与 CB

的夹角为 90°-C. 由向量的加法原则可得 AC CB AB ,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积
运算,得到 j ? (AC CB) j ? AB ,
（
由分配律可得 AC j ?CB j ? AB .
B
∴ |j| AC Cos90°+|j| CB Cos(90°-C)=|j| AB Cos(90°-A).
j
∴ asinC=csinA. ∴ a c .
A
C
sin A sin C
另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90°+C,j 与 AB 的夹角为 90°+B,
可得 c b . sin C sin B
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 AC 的夹角为 90°-C,j
与 AB 的夹角为 90°-B) ∴ a b c .
sin A sin B sin C
(2)△ ABC 为钝角三角形,不妨设 A＞90°,过点 A 作与 AC 垂直的单位向量 j,则 j 与 AB 的夹
CB 角为 A-90°,j 与
的夹角为 90°-C.
C
·
由 AC CB AB ,得 j·AC +j·CB =j·AB ,
j
即 a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°), ∴ asinC=csinA. ∴ a c , sin A sin C
A
B
另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90°+C,j 与 AB 夹角为 90°+B.
同理,可得 b c . ∴
a b c.
sin B sin C
simA sin B sin C
4 外接圆证明正弦定理
、
在△ ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B′,设
BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠ BAB′=90°，∠ C =∠ B′，∴ sinC=sinB′= sin C sin B c . ∴ c 2R . 2R sin C
同理,可得 a 2R, b 2R . ∴ a b c 2R .
sin A
sin B
sin A sin B sin C

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 a b c . sin A sin B sin C
.
,
(
二 加强审题能力培养，提高解题效率
好的开始是成功的一半，解题的前提首先要明确问题是什么，因此在数学解题过程中我 们要认真审题。审题正确与否是问题能不能解决的关键，那么怎么才能提高审题能力呢
培养学生认真审题的习惯
数学题目都包括已知条件和要解决的问题两个组成部分，这是解题的依据，因此，解题 首先要认真审题，弄清题目的两个组成部分.数学习题教学中应强调审题的重要性并要求学 生养成认真审题的习惯一 般来说，题目中的已知、未知条件比较复杂或者说不明显，审题 时往往要考虑把题目的已知、未知化简，或者把问题转化为简单易解或已有典型解法的问题. 如果题目没有明显给出条件，而且有隐蔽条件，那么就需要根据题外的已知定理、公式或条 件去解决。
；
提高学生审题能力的策略
（1）培养学生的观察能力。如果说审题是解题成败的关键，那么观察则是审题成败的关 键。因此，数学过程中可以通过培养学生的观察能力，引导学生善于抓住题目中数与式的特 征，注意各条件，各量之间关系，提高学生的审题能力，迅速找到简捷合理的问题途径。
（2）培养学生的理解联想能力。任何知识的理解和掌握，智力的提高，能力的培养，都 离不开对概念的深层挖掘，因而概念题也成为高考题中的一个热点，而且常考常新，突破概

念表面，又以概念为根本，深人考查学生的理解能力和对概念的运用能力。 （3）提高语言转化能力。数学语言包括文字语言，符号语言和图象语言。不同的语言有
不同的功能。将文字语言、符号语言转化成图象语言，有利于用图象的直观性，找到简捷的 解题途径; 将符号语言转换成文字语言有利于弄清其实质，从而找到简捷的解题途径。例如，
已知抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为直线 x=3，且经过点(5，0)，则 a+b+c 的值为（ ）
A、等于 0 B、等于 1 C、等于-1 D、不能确定 此题若从数上考虑，可得-b/2a =3，25a+5b+c=0，用含 a 的代数式表示 b、c 后，代入则
可求解。但若利用函数的图象，非常容易发现点（5，0）关于对称轴 x=3 的对称点为（1，0）， 代入函数解析式，即得 a+b+c=0。
（4）发展直觉思维能力。数学直觉是人脑对数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟， 数学直觉的主要特征是: 非逻辑性，自发性和 “ 不可理解性” ，它能在一瞬间迅速解决 问题。数学直觉以高度省略，简化，浓缩的方式洞察问题的实质，对培养学生的数学思维能 力，增强数学领悟极其可贵，正如爱因斯坦所说: “ 真正可贵的因素是直觉” 。培养学生 的直觉思维能力必须捕捉有关信息，根据解题经验，大胆做出直观判断，从而找到准确、简 捷的解题途径。
训练学生审题过程的规范性
。
一般说来，规范的审题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思 路与方法三部分。
( 1) 条件与目标的分析。所谓条件的分析: 一是找出题目中明确告诉的已知条件，二是 发现题目的隐含条件并加以揭示。所谓目标的分析，主要是明确要求什么或要证明什么;把 复杂的目标转化为简单的目标; 把抽象目标转化为具体的目标; 把不易把握的目标转化为可 把握的目标。
(2) 分析条件与目标的联系。每个数学问题都是由若干条件与目标组成的。解题者在阅 读题目的基础上，需要找一找从条件到目标缺少些什么 或从条件顺推，或从目标分析，或 画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现解题的目标。
(3) 确定解题思路。一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是 由条件通向目标的桥梁。用哪些联系解题，需要根据这些联系所遵循的数学原理确定。解题 的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配。有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过 认真分析才能加以揭示; 有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原 因。综上所述，我认为为适应当今高考需要，消除学生对数学科目的盲目恐惧心理，必须注 重基础知识传授过程中，还应在习题分析过程中注重培养学生的审题能力。
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[
！
;
|
三 掌握数学思想方法，提高解题技能
中学常用数学思想
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动 而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想方法与 数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来 记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数 学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握 数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也 还是对你起作用。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓，就能大大提高学生的解题能力。在 中学阶段，学生要熟练掌握下面几个数学思想：
（1）函数与方程的思想。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和 解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学

模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组） 来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是 高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题； 有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量 的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学 语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中， 通项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
（2）数形结合思想。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联 系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借 助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想 分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、 合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围。
（3）分类讨论思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情 况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法， 是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思 想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性， 能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。进行分类讨论时，我 们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分， 分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的 基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准， 正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行 讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
!
（4）等价转化思想方法。等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问 题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、 规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练 自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把 我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题， 变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或 者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程， 比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过 程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
中学常用数学方法
除了要掌握上面的几个基本数学思想，还要培养学生掌握下列几个中学中常见的数学方 法，才能提高解题的速度与效率。
（1）配方法。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通

过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运 用“裂项”与“添项”“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为、“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未 知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二 次曲线的平移变换等问题。
（2）待定系数法。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定 系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来 解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确 定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求 和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式， 所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
、
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式， 其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所 得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆 锥曲线的方程。 （3）换元法。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问 题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换， 目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、 复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和 推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究 方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知 或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范 围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
、
（4）数学归纳法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法， 在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步这是递推的基 础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立，再证明 n＝k ＋1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或 者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。
一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不

可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 0 且 n∈N）结论都正确”。由这 两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是 n＝k＋1 时命题成立的推证，此步证明要具有目 标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异 逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角 不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
@
（5）反证法。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已 知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明 为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得 了证明。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经 过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之 否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证 题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反 证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒， 才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。 一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或、“至多”“唯 一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；、、或者直接证明 难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
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四 培养解题反思习惯，提高解题能力
美国数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中说过这样一句话：如果没有了反思，他们 就错过了解题的一次重要而有效益的方面。 数学教育家弗莱登塔尔也曾经指出，”“反思是 重要的数学话动，它是数学活动的核心的动力，是一种积极的思维话动和探索行为，是同化， 是探索，是发现，是再创造。”在数学教学中积极指导学生开展解题反思，培养他们的反思 能力，有助于学生对客观事物中所蕴涵的数学模式进行思考，从而帮助他们从题海中解脱出 来，更加清晰地认识问题、理解问题；有利于学生巩固、同化新知识，准确把握新旧知识间

的内在联系；有利于学生选择合理、简捷的解题途径，并发现新的规律加以推广与延伸；有 利于提高学生的数学思维能力、解题能力。
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（1）反思审题过程，确定解题关键，培养挖掘隐蔽条件的能力。 审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何,直接影响到解题的成败。审题的基本要求
是弄清题目的条件和结论。对一些简单的基本题,只要认真审题,一般来说并不困难。然而对 于那些要求综合或灵活运用知识来解答的题目,审题的要求就比较高了。学生把问题解答后， 教师要指导学生反思审题过程，在反思过程中要考虑：这个题求什么知道什么知、求之间有 什么关系学过什么解这样的题目要用到哪些知识有什么样的常规方法有没有特殊的方 法……等等。通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然、有条理了。即使有些学 生刚开始拿到问题无从下手,不能解答，但通过参与审题思路的反思讨论，也能够清楚困难 是什么，如何转化条件，从而解决问题。
（2）反思解题方法，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案。 不少学生觉得自己做了很多题却感到能力没有明显提高，产生这一疑惑的原因在于学生
在解题时往往满足于做出题目，而对于自己的解题方法的优劣，却从来不加以评价，作业中 经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，这 是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现，因此， 教师要有意识地启发、引导学生及时反思自己所选择的解题方法是怎么想到的是否还有其他 解法你选的方法是不是最合理、最简洁、巧妙的你的解法还能不能再作些改进与优化要引导 学生重新审视自己的思维过程，要变换角度寻找、观察题目所独具的基本特征，努力寻找解 决问题的最佳方案。
（3）反思解题结果，剖析错误原因，深刻理解基本概念和基础知识。 学生在解数学题时，有时会因为审题不明、概念不清、忽视条件、套用相近知识、考虑
不周或计算出错等原因，从而产生这样或那样的错误。所以解题后，必须引导学生对解题过 程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。
（4）反思解题策略，总结解题规律，掌握数学基本思想方法。 很多数学问题不是孤立的，有其产生的背景，能体现知识间的相互联系。要想真正减轻 学生负担，使学生从题海中解脱出来，教师就必须要有目的地引导学生对所做的习题进行分 析归类总结，既要掌握一类问题基本的解题规律，又要能够分析具体方法中包含的数学思想 方法，以达到举一反三的目的。这样不仅有利于学生掌握基础知识，而且对当前高考命题中 “源于课本，高于课本”的原则也有一定的针对性。
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（5）反思题目立意，注重拓展推广，培养自主意识和创新精神。 当一道数学题解完以后，如果进一步深入分析题目条件和内涵,探求什么性质不变,掌握
其本质我们就可以将已知的具体题目进行推广。善于进行推广所获得的就不是一道题的解 法，而是一组题、一类题的解法。这有利于培养学生深入研究的习惯，激发他们的创造精神。
五 结论
数学学习的过程可以说就是一个不断解题的过程，因此要提高数学能力关键在于提高解 题能力。只有熟练掌握解题所需的基本知识点，通过解题把相关的知识系统化，养成良好的 审题习惯，在每一次解题后都对自己的思路、解法作认真反思，探讨成功的经验或失败的教 训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括而获得必须的基本数学思想方法，从而

培养学生良好的数学思维品质，使解题能力和思维品质能在更深、更高层次得到有效的提高 和升华；同时也会使学生很好地理解并学会数学，为今后的学习和发展奠定了坚实的基础。
六 参考文献
［1］波利亚.怎样解题（阎育苏译）.北京科学出版社，1982 年 :84-86. ［2］单墫.解题研究.南京师范大学出版社，2002 年:45-55. ［3］欧阳维诚，张垚，肖果能. 初等数学思想方法选讲. 湖南教育出版社，2000 年:125-136. ［4］杨旭.解题后反思，让学生思维继续飞翔 中国教育发展研究杂志，2010，7（2）:164-186.