最新浙江高考理科数学试题及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学（理科）

选择题部分（共50分）

参考公式：

如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式

()()()P A B P A P B +=+ V sh =

如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

()()()P A B P A P B ?=? 锥体的体积公式 13

V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0(),0

x x f x x x -≤?=?>?，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2

（2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +?=

（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3

（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

（4）下列命题中错误．．

的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ?=，那么l ⊥平面γ

（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->??+->??≥≥?

，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是

（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19

（6）若02π

α<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=

，cos ()423πβ-=，则cos ()2

βα+= （A

）3 （B

）3-（C

）9 （D

）9

- （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a

>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（8）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 2

22:14

y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则

（A ）2132a = （B ）2a =13 （C ）212

b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并排摆放到书架

的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是

（A ）15 （B ）25 （C ）53 （D ）45

（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++。记集合

{|()0,},{|()0,}.S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．

的是 （A ）||1S = 且 ||0T = （B ）||1S = 且 ||1T =

（C ）||2S = 且 ||2T = （D ）||2S = 且 ||3T =

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。 （12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为

（13）若二项式6()(0)x a x

->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 。

（14）若平面向量,αβ满足1,

1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12

，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 （15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该

毕业生得到面试的公司个数。若1(0)12P X ==

，则随机变量X 的数学期望()E X = . 16.设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 .

17.设12,F F 分别为椭圆2

213

x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知

()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214

ac b =. （Ⅰ）当5,14

p b ==时，求,a c 的值； (Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。

（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，11a ，21a ，4

1a 成等比数列。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；

（Ⅱ） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +1

21-n a ，当n ≥2时，试比较n A 与

n B 的大小。

（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D

为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，

PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2

（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；

（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直

二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

（21）（本题满分15分）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22

(4)1x y +-=的圆心为点M 。 （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆

2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线

l 垂足于AB ，求直线l 的方程.

（22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2

()ln x a x -，a ∈R

（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立.

注：e 为自然对数的底数。

2011年浙江省高考数学理科参考答案

1、

解析：此题考察分段函数求值问题，直接代入计算即可，属简单题，选B 。 2、

解析：此题考察复数的运算以及共轭复数的定义，属简单题。选A 。 3、

解析：考察三视图还原直观图，由正视图排除A 、B ，由俯视图可排除C ，故选D 。简单题。 4、 解析：考察线面的平行与垂直关系，紧扣线面平行与垂直的判定与性质，不难选出D 错。属简单

题。

5、 解析：考察线性规划及最值问题，与一般求值问题不同的是要注意定义域的取值范围，X 与Y 均

取整数，画出区域，不难看出在（4，1）处取到最小值。故选B 。属中档题。

6、 解析：考察三角函数求值，和差化积公式的运用。在这里先将2βα+拆成()4πα+- ()42πβ-，再利用不等式的性质求出()4πα+、()42πβ-角的范围进而求出sin()4πα+、sin()42πβ

-的值，最后余弦的和差化积公式计算出结果C 。属中档题。

7、 解析：考察充分必要性，由01ab ＜＜知a 、b 同号且均不为0，同正可得1a b ＜，同负可得1b a

＞，故充分性成立；而由1

1a b b a

＜或＞并不能推出a b 、同号，故必要性不能成立，选A.属中档题。 8、 解析 ：考察圆锥曲线相关综合知识，考察学生的分析能力和计算能力。首先画出示意图，由已

知条件可知2a -2

b =5，以双曲线的一条渐进线y=2x 为例，由图形的对称性可知y=2x 与椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=＞＞、圆222x y a +=在第一象限的交点横坐标之比为1:3，即

1:3=，求出2112a =，故212

b =，选C 。属中档题。 9、 解析：考察排列组合的限制条件排列问题，此类问题可用先分类后再排的方法解决。以1A 、2

A 表示语文，1

B 、2B 表示数学，

C 表示物理，第一类：先排1A 、2A ，有2

2A 种，C 排1A 、2A 中

间，这样有4个空位可以插入1B 、2B ，有24A 种，故有22A 24A =24种；第二类，先排1A 、2A ，有2

2A 种，C 不排1A 、2A 中间，1A 、2A 中间只能排1B 或2B ，剩下两个可以排在一起或排在两

端，有12C 22A （22A +12C 22A ）=24种，故概率为（24+24）/55A =2/5,选B 。属较难题。 10、 解析：此题属于分类讨论型的题目，可采用逐个检验法进行排除。A 在a=b=0，c ≥0下成立；B

在a ≠0，240b c -<下成立；C 在a ≠0，240b c -=下成立；D 必须在240b c -=和2

40

b c ->同时成立下才成立，故不可能。选D 。属难题。

11、 解析：考察偶函数的判定。利用()f x = ()f x -即可得a=0；或由偶+偶=偶也可得。属简单题。

12、 解析：考察程序框图的循环与判断，属简单题，k=5。

13、 解析：考察二项式展开的通式36621662(1)(1)r

r r

r r r r r r r

a T C x C x a x --+=-=-，由题意知r=4时是r=2

时的4倍，得a=2。属简单题。

14、 解析：考察平行四边形的面积公式与解三角不等式以及向量夹角的范围0θπ≤≤，

由S=|α||β|sin θ=12，|α|≤1，|β|≤1可得12≤sin θ≤1，故566

ππθ≤≤。属简单题。 15、 解析：考察相互独立事件的概率计算及离散型随机变量的概率分布列和期望的计算公式。由

11(0)(1)(1)312P X p p ==?--=得p=12，故212211(1)(1)(1)333

P X p C p p ==-+?-=，122215(2)(1)3312P X C p p p ==?-+=，221(3)36

P X p ===， 所以()E X =151512+3=31263

?+??。属简单题。 16、 解析1：设2x+y=t ，则y=t-2x 代入22

41x y xy ++=中有226310x tx t -+-= 将它看作一个关于x 的二次方程，则由判别式大于等于0，可得

22(3)46(1)0t t ?=-??-≥

解得t ≤≤2x+y

解析2：2222233214(2)(2)(2)()222

x y x y xy x y x y x y +=++=+-?≥+- 可解得2x+y

。（利用不等式） 17、 解析：考察圆锥曲线的坐标运算。可设A(,A A x y )，B （,B B x y ）, 1F

（，0），

2F

，0），由125F A F B =，可得B x

=5A x +，B y =5

A y ，将A 、

B 代入2213x y +=解得A x =0，故(0,1)A ±.属中档题。