第十三章 机械振动作业答案(1)
一. 选择题:
[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴
正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为
(A) T /12． (B)
T /8． (C) T /6． (D) T /4．
【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3t π
ω=，所以对应的时间为
()332/6
T
t T ππωπ=
== .
[ B ] 2. （基础训练8） 图中所画的是两个简谐
振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
(A) π2
3． (B) π．
(C) π2
1． (D) 0．
【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为
2
A
,初相位为π.
[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第
一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2+
+=αωt A x ． (B) )π21
cos(2-+=αωt A x ． (C) )π2
3
cos(2-+=αωt A x ．
(D) )cos(2π++=αωt A x ．
【提示】由旋转矢量图可见，x 2的相位比x 1落后π/2。
[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1
下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为
A/ -·
O
1
A 2
A A 合
(A) g m x m T 122?π= ． (B) g
m x
m T 212?π=． (C) g m x
m T 2121?π=
． (D) g
m m x m T )(2212+π=?．
【提示】对轻弹簧和m 1
构成的弹簧振子，其周期表达式：2T π
= 因为加载另一质量为m 2的物体后弹簧再伸长?x ，显然2m g k x =?，由此得2m g
k x
=?； 代入周期公式，即可求出周期T.
[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为
(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶
2
1
∶2 ． (C) 1∶2∶
2
1
． (D) 1∶2∶1/4 ． 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3； 第一个：111
2 T π
ωω=
=
； 第二个：2121, 22T T ωω==∴= 第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k ，然后并联，总的弹性系数为4k ，所以3131
2, 2
T T ωω=
=∴=； 得：1231::1:2:2T T T =.
[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)2
1
cos(π+
=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：
(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1． 【提示】在t=0时，cos
02πx A ==，势能0p E =，动能21
2
K E E kA ==； t=T/8，cos(
)422
πx A A π
=+=-，势能221124p E kx kA ==，所以动能为
2
14
K p E E E kA =-=
.
图13-24
二 填空题
1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在
0≤t ≤
T 4
1
范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等． 【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，在0≤t ≤T 4
1
范围内，0A x ≤≤；依题意，动
能和势能相等，为总能量的一半，即
22111222kx kA ??
= ???
，2x A =
，所以4t πω=，48
T
t πω=
=.
2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半
时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长?l ，这一振动系统的周期为g
l
?π
2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2A x =±
，2211284
P E E kx kA ===， 3
4
k P E E E E E -==； 当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =? ，mg k l =
?
，222T πω∴===
3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
)2
15cos(10621π+?=-t x (SI) ， )5c o s
(10222t x -π?=- (SI)
它们的合振动的振辐为210()m -，初相为101108.4323
tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。由图可见：
11
2
22
2
143
.1083
12622)
(10102=+=+=?=+=---tg tg m A A A ππ
?
或用公式计算：
221212210cos(5) , 2, , A 0.06m, A 0.02m; x t πφπφπ-=?-====
210
1
122
1122
10()
sin sin (3)108.43
cos cos A m A A tg tg A A φφφφπφφ--∴=
=+=∴=+-=+
4、（自测提高8）在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机以加速度g a 2
1
=
竖直下降时，摆的振动周期02T ． 【提示】当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为1
2
g a g -=；所以，单
摆的周期变为02T == 5．（自测提高13）一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤
向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？
【提示】钟摆周期的相对误差=?T /T 钟的相对误差t /t ?，
等效单摆的周期2T =这里g 不变，则有
12dT dl
T l
=， 得：1302220.995 2.99246060
T t l l l mm T t ???===?=??
6、（自测提高14）两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如
图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =4:3．
【提示】νx ：νy = y 方向的交点数：x 方向的交点数 = 4：3
三 计算题
1、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？
解：（１）对于木板：由已知条件：振幅A=12cm ；并且当x=6cm 时，v=24cm/s ，
根据机械能守恒，有：
222
111222
kA kx mv =+， 将已知数据代入得：222
(12)624k k m =+，解出2
216
(/)3
k rad s m ω=
= 在最大位移处，加速度也达到最大值，22/64s cm A a m ==ω
（２）对于物块：水平方向的合力为静摩擦力。在最大位移处，摩擦力为最大静摩擦力，故
图13-27
m ma mg f ==μ，065.08
.964.0===
∴g a m μ
2、（基础训练20）一质点作简谐振动，其振动方程为 )4
1
31cos(10
0.62
π-π?=-t x (SI)
(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述
位置所需最短时间为多少？
解：（1）系统的势能为212P E kx =
，系统的总能量为21
2
E kA =， 依题意 12P E E =
所以
2
212
x A =
得 210()2
x A m -=±=±
（2）由旋转矢量图可见，质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间满足：
)(433
4
4,4
s t t ===
∴=
ππωππ
ω
3. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位)如下：
??? ?
?
+=??? ??+=ππ4110cos 06.04310cos 05.021t x t x ，
(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动)10cos(
07.03φ
+=t x ，问
φ为何值时，31x x +的振幅为最大；φ为何值时，32x x +的振幅为最小。
解：（1）由旋转矢量图可见，合振动的振幅为
0.078()A m ==
初相位为
1
101025
84.84
46
A tg
tg A π
π?--=
+=+= 或
1100310.05sin 0.06sin 44tan tan 1184.831
0.05cos 0.06cos 44
ππ?ππ--?
?
+ ?===
? ?+??
(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，要使31x x +振幅最大，则31x x 和同相，即
102, 012n n φ?π=+=±±??，，，取0n =，得103
4
φ?π==；
为了使32x x +的振幅最小，则x 2和x 3反相，即
2021, 0,1,2n n φ?π+=±±??=+（），取0n =，得2054
π
φ?π=+=
.
4. （基础训练24） 有一轻弹簧，下悬质量为1.0克的物体时，伸长量为4.9厘米；用这个弹簧和一个质量为8.0克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0厘米后，给予向上的初速度0.50=v 厘米/秒。试求小球的振动周期及振动的表式。
解：(1)m ’=1.0g ，Δx=4.9cm ，'k x m g ?=，得：2'0.0019.8
0.24.910
m g N k m x -?=
==??; （2）设m=8.0g ，则s
rad m k /51082
.03
=?==
-ω；)(4.0522s T ππωπ===∴； （3）设小球的振动表达式为：)cos(0?ω+=t A x ；
由初始条件：t=0时，0000cos 1.0, sin 5.0/x A cm v A cm s ?ω?===-=- 得：)(10222
20
2
m v x A -?=+
=
ω
， 0
000
1,4
v tg x π
??ω=-
=∴=
所以，小球的振动表达式为： )4
5cos(1022π
+
?=-t x （m ）
5、（自测提高16）一简谐振动的振动曲线如图13-28所示，求该谐振动的振动周期和初相。
解：设简谐振动的表达式为()0cos x A t ω?=+，由图中可见，
0t =时，00cos 2
A
x A ?==
，且00v <，故初相位为03
π?=
. 2t s =时，2cos 203x A πω?
?=+= ???，且20v >，
故此时的相位为
32π，即3232ππω+=，712πω=，得24
()7
T s =
【或者，画出旋转矢量图求解。】
图13-28
(s)
【附加题】
1．（自测提高20）一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．
证明：对滑轮和物体做受力分析，如图。
平衡位置：k
mg
x kx g ==00m 处，得，
以此作为原点，向下为x 轴正方向建立坐标系（如图）。 设物体由平衡位置向下拉伸x ，则有
11220 (1) (2) (3)() (4)
mg T ma T R T R J a
R T k x x ββ-=??-=??
?=??=+?? 联立解出x J mR kR a +-=2
2，又22dt
x
d a = 所以,022
22=++
x J
mR kR dt x d 这是典型的谐振方程，所以物体作谐振。
并且J
mR kR +=2
2
ω.
2、（自测提高21）质量为0m 的圆盘挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m 的物体，从距圆盘为h 的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。
解：设系统的振动方程为0cos()x A t ω?=+ (1)
以下确定三个特征量。
（1）依题意，系统由轻弹簧（k ）和圆盘（0m ）及物体（m ）构成，
图13-30
所以系统振动的角频率为
ω=
（2）
（2）圆盘（0m ）挂在劲度系数为k 的轻弹簧下处于静止状态时，弹簧拉伸了1l ，01m g
l k
=
； 物体（m ）从h 的高度下落并粘在盘（0m ）上，系统平衡时，弹簧拉伸了2l ，()02m m g l k
+=
；
取系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标x 轴的正方向，则0t =时，系统的初始位移为 ()021mg
x l l k
=--=-
......（3） 系统的振动初速度0v 即为m 与0m 碰撞后的速度。根据动量守恒，得
00()m m v =+，
00v =
(4)
根据初始条件（方程（3）和（4）），可求得振幅A 和初相位0?
A =
= (5)
000tan v x ?ω=-=
（6） 考虑到00x <，00v >，所以在旋转矢量图上此初相位在第三象限，故
0?π= (7)
将三个特征量（方程（2）、（5）和（7））代入振动表达式（1），得
x t π??= ? ???
＋.
第一单元机械振动1
第一单元机械振动 高考要求：1、理解简谐运动的概念，并能利用其特点分析力学问题； 2、理解单摆的摆动特点，会应用周期分工测量重力加速度； 3、理解简谐运动的振动图象； 4、知道什么是自由振动和受迫振动； 5、知道什么是共振及共振的条件；知道如何应用共振和防止共振； 6、知道振动中的能量转化关系。 知识要点： 一、机械振动 1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置（平衡位置）两侧所做的往复运动，叫 机械振动。 2、条件：物体受到回复力作用，阻尼足够小。 3、回复力：使振动物体返回平衡位置的力叫做回复力。是效果力。回复力可以是振动物体 所受的合外力——如弹簧振子的回复力。也可以是某个力的分力——如单摆振动中，回复力为重力在圆弧切线方向上的分力。 4、特点：往复性的变速运动。 二、简谐运动 1、定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用 下的振动，叫做简谐运动。 2、特点： 1）受力特征：F＝－kx。x为偏离平衡位置的位移。 2）运动特征：加速度a＝－kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动
是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度 为零，加速度最大。在简谐运动中位移、速度、加速度、动量很有成效都随时间按 正弦（或余弦）规律作周期性变化，且各量的变化周期相同。 判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征。 3）振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。 3、描述简谐运动的物理量 1）位移x：由平衡位置指向振子所在处的有向线段。其最大值等于振幅。单位是m。 平衡位置：是指振动方向上合力为零的位置，不是泛指合力为零的位置。如单摆振动，是找不到合力为零的位置的在摆球以过最低点时，沿水平方向的合 力为零，这是单摆在该方向上振动的平衡位置，但在竖直方向有秘上的 向上的向心力，合力不为零。 2）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，它反应振动的强弱和振动的空间范围。 是标量。单位是m。 3）周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，单位是s。 4）频率f：单位时间内完成的全振动次数，单位是Hz， 周期和频率是反映振动快慢的物理量，与振幅无关，由振动系统本身的性质所决定，从而对应出固有周期或固有频率。 4、在简谐运动中各量的变化情况： 1）凡离开平衡位置的过程中，v、E k均减小，x、F、a、E P均增大；凡向玩意儿位置移动时，v、E k均增大，x、F、a、E P均减小。 2）在平衡位置时，x、F、a为零，E P最小，v、E k最大；当x＝A时，F、a、E P最大，
15机械振动习题解答
第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )
NO1机械振动答案
· Word 资料 《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动 一、选择题： 1．假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m ，摆长为l ) 。若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F 。则此单摆在该电梯室作小角度摆动的周期为： [ C ] (A) Fm l π2 (B) Fl m π2 (C) F ml π 2 (D) ml F π 2 解： 2．图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω2（ω为固有角频率）值之比为 [ B ] (A) 2∶1∶ 2 1 (B) 1∶2∶4 (C) 2∶2∶1 (D) 1 ∶1∶2 解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2 k ，k ，k 2 则由m k = 2 ω可得三个振动系统的ω2（ω为固有角频率）值之比为： m k 2 ：m k ：m k 2，即1∶2∶4 3．两个同周期简谐振动曲线如图所示。则x [ A ] (A) 超前π/2 (C) 落后π 解：由振动曲线画出旋转矢量图可知 x 1的相位比x 2的相位超前π/2 4．一物体作简谐振动，振动方程为)2 1 cos(π+=t A x ω。则该物体在t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为： (b) (c)
[ B ] (A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1 解：由简谐振动系统的动能公式：)2 1(sin 2122πω+= t kA E k 有t = 0时刻的动能为：22221)2102(sin 21kA T kA =+?ππ t = T /8时刻的动能为：2224 1 )2182(sin 21kA T T kA =+?ππ， 则在t = T /8时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：1:2
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动 4.1基本要求 1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义 4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 4.2基本概念 1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+ 2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1 T ν = 5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为 22T π ωπν= =
6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位? 7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 弹性势能22 2p 11cos ()22E kx kA t ω?= =+ 动能[]2 2222k 111sin()sin ()222 E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v 弹簧振子系统的机械能为222k p 11 22 E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。 9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。 4.3基本规律 1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0?=）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
机械振动基础试卷3答案
（共计15分） 故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共 计15分） 解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系 统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ） k m 1 m 2 . k . m, m 2 3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设 I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分） 解：取1, 2为系 统的广义坐标， 系统的动能为 E T I 1 12 212 22 11 （ 12 22） 振动分析与实验基础课程考试 3答案 1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂, 且k 2 2k 〔 ， k g k 〔 o 解: 等效刚度二一1— 1 1 (-—) k 1 k 2 k 3 永1 5k 1 k m 3m 解得 x x 0cos n t —°sin n t n T 乙2 n
2). 1 2 1 2 1 2 U 尹i (r J 2 步(「! r 2)2 尹(「2)2 系统的特征方程为: 在频率比/ n = , 2时，恒有X A 2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在 / n > 2 , X/A 随 E 增大而增大 (共计15分) 证明：1).因—<1 (2 / n )2|H() A^ 1 故当 / n = 2 时， |H(W )| .—. V 1 (2 J 2)2 所以，X 1 (2 2 )2 1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A A ；1 (2 厨 (2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2 / n )2 (1 ( / n )2)2 (2 / n )2'2 系统的势能为 从而可得 k 1r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 3r 2 2kr 2 kr 2 kr 2 4kr 2 得 W 12 (3 .2)牛 (3 其振型分别为：U 1 u 2 4. H( )| 1 (2 / n )2, |H( )| 1/ . 1-( / n ) 2 2 (2 / n )2 证明: 1).无论阻尼比E 取何值,
机械振动基础试卷
机械振动基础试卷 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
振动分析与实验基础课程考试试卷 1 1. 设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图1所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为： 2）它们串联时的总刚度eq k 为： (共计15分) 2. 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静 伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 (共计15分) 3. 求如图2所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘， 质量分别为1m ,2m 。(共计15分) 4. 试证明：对数衰减率也可用下式表示 n n x x l n 01=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。 并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。(共计15分) 5. 如图3所示的扭振系统，设, 221I I =12t t K K = 1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。 2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 (共计15分) 6. 证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商 满足221)(n x R ωω≤≤
这里[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(共计15分) 7. 求整流正弦波 T tπ A x(t) 2 sin =的均值，均方值和方差。(共计10分)
机械振动学习题解答大全
机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???
第十三章 机械振动及隔振
第十三章机械振动及隔振 基本要求：要求掌握机械振动的基本概念和回转机械的横向振动、扭转振动临界转速初步计算方法、熟悉机械的动力模型建立的基本方法和机械振动隔离技术。 §13－1 概述 一、机械中的振动问题 早期的机械原理中，把物体看作刚体，机械动力学问题相对比较简单。实际上，由于考虑构件具有弹性和机械中具有弹性元件(如弹簧等)，使在机械运转速度较高和对机械工作精度要求较高的场合下，必须考虑机械的弹性振动问题。近年来考虑构件有弹性的机械动力学研究已有迅速发展，如齿轮机构动力学、凸轮机构动力学、弹性连杆机构动力学和机械系统动力学等等。弹性构件机械动力学是研究机械振动特性的一个重要学科分文，它的基础是机械振动理论。 二、机械振动的类别 1．回转机械振动的种类 1）转轴的横向振动：转轴的弯曲所产生的振动，即垂直于轴线方向的振动。 2）转轴的扭转振动：转轴的扭转所产生的振动，亦即绕轴线的振动。 3）转轴的纵向振动：转轴沿轴线方向的振动，这类振动往往较少产生。 2．按机械振动系统的自由度分类 1）单自由度振动系统：确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标的振动。 2）多自由度振动系统：确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立参数。3．按产生机械振动的原因分类 1）自由振动：当系统的平衡被破坏，只靠其弹性恢复力来维持的振动。它的频率为系统的固有频率。自由振动按阻尼存在与否分为有阻尼自由振动和无阻尼自由振动。 2）受迫振动：在外界激振力的持续作用下，系统被迫产生的振动。它的频率为外界激振力的频率。 三、引起机械振动的原因 1．运转机械的不平衡 从运动特点，机械一般可分为回转式和非回转式。对于回转机械，如泵、电机的静、动平衡比较容易做到。对于非回转式机械，如内燃机、冲压机等的完全平衡是比较困难的。因此使机器运转时由于不平衡引起周期性于扰力，其引起的机械振动的频率常等于机械的转数或其倍数。 2．作用在机械上的外载荷的变化 作用在机械的某些构件上的外力或外转矩的不均匀会引起横向振动或扭转振动。 3．高副机构高副形状误差引起的 齿轮的齿形误差引起变化的动力，引起扭转振动。凸轮表面的误差也会引起附加动力变化、引起机构的振动。 4．机器周围的冲压设备引起的冲击力振动 由于冲压设备，如冲床、锻床产生的冲击力使机器引起振动。
机械振动的概念 (1)
第一章绪论 1-1 机械振动的概念 振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。 振动在大多数情况下是有害的。由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。 任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。 例如图1-1（a）所示的安装在混凝土基 础上的机器，为了隔振的目的，在基础下面一 般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统在铅垂 方向的振动，在振动过程中弹性衬垫起着弹簧 作用，机器与基础可看作一个刚体，起着质量 的作用，衬垫本身的内摩擦以及基础与周围约 束之间的摩擦起着阻尼的作用（阻尼用阻尼器 表示，阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。 活塞上下运动时，油液从间隙中挤过，从而造 成一定的阻尼）。这样图1-1（a）所示的系统 可简化为1-1（b）所示的力学模型。又如图1-2中假想线表示的是一辆汽车，若研究的问题是汽车沿道路行驶时车体的上下运动与俯仰运动，则可简化为图中实线所示的刚性杆的平面运动这样一个力学模型。其中弹簧代表轮胎及其悬挂系统的弹性，车体的惯性简化为平移质量及绕质心的转动惯量，轮胎及其悬挂系统的内摩擦以及地面的摩擦等起着阻尼作用，用阻尼器表示。
(完整版)浙江大学《机械振动基础》期末试卷
诚信考试沉着应考杜绝违纪 浙江大学2013–2014学年夏学期 《机械振动基础》课程期末考试试卷A卷 开课学院：化工系，考试形式：闭卷，允许带 1张A4纸的笔记入场 考试时间： 2014 年 7 月 2 日, 下午14:00~16:00 ，所需时间： 120 分钟 考生姓名： __学号：专业：过程装备与控制工程 . 注意事项： (1)、考试形式为闭卷，允许带1页A4纸大小的参考资料、计算器和尺子。不允许带 PPT课件打印稿、作业本、笔记本草稿纸等纸质材料，不允许带计算机、IPad等智能电子设备。 (2)、第一、二大题答题内容写在试卷上，第三大题答题内容写在试卷所附答题纸上。试题（三个大题，共100分）： 一、判断题(每题2分，共18分) 1.1 杆的纵向振动、弦的横向振动和轴的扭转振动虽然在运动表现形式上并不相同， 但它们的运动微分方程是同类的，都属于一维波动方程。() 1.2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率 及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关. () 1.3 在受到激励开始振动的初始阶段，振动系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠 加。即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生。() 1.4 为减轻钢丝绳突然被卡住时引起的动张力，应适当减小升降系统的刚度。() 1.5 汽轮机等高速旋转机械在开、停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统会发生 剧烈振动，此为转子系统的临界转速，即转子横向振动的固有频率。() 1.6 谐波分析法是将非周期激励通过傅立叶变换表示成了一系列频率为基频整数倍的 简谐激励的叠加，从而完成系统响应分析。 () 1.7阻尼自由振动的周期小于无阻尼自由振动的周期。 () 1.8叠加原理可用于线性和非线性振动系统。 () 1.9若将激振力 F(t) 看作一系列单元脉冲力的叠加，则线性振动系统对任意激振力的 响应等于激振力作用时间内各个单元脉冲响应的总和。 ()
机械振动习题及答案
第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动
5、 什么就是线性振动？什么就是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？ 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π=
机械振动基础习题
机械振动分析与应用习题 第一部分问答题 1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。 3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ 5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。 6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。 第二部分计算题 1．求图2-1所示两系统的等效刚度。 图2-1 图2-2 图2-3 2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。) 5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。 6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。 7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。 8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。
大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分 别为： 1122 P k x P k x =??=? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++
1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+
1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&
机械振动基础
第十三章 机械振动基础 一、目的要求 1、掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、受迫振动）微分方程的方法及其解的表达式。理解恢复力、阻尼力和干扰力的概念。 2、对各种类型振动规律有清晰的理解，会计算有关的物理量。 深刻理解自由振动的固有频率（或周期）、振幅、初相位角的概念。会应用各种方法特别是能量法，求固有频率。 了解阻尼对自由振动的干扰、幅频曲线、共振和放大系数的概念。 3、懂得如何利用振动现象，以及消振和隔振的原理与方法。 二、基本内容 1．基本概念 单自由度系统的自由振动，计算固有频率的能量法；单自由度系统的有阻尼自由振动；单自由度系统的无阻尼受迫振动；单自由度系统的有阻尼强迫振动；转子的临界转速；隔振。 2．主要公式 （1）单自由度系统无阻尼自由振动微分方程 02=+x x n ω m k n /2 =ω 单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的解 )sin(?ω+=t A x n 2202 n x x A ω + = 0 0x x tg n ω?= n ω是系统的固有（圆）频率，A 为自由振动的振幅，?为初相位。 n T ωπ 2= 是系统的自由振动的周期。 T f 1 = 是系统自由振动的频率。 能量法求单自由度系统无阻尼自由振动的固有频率 max max V T =（注意：计算最大势能max V 时，取系统的静平衡位置为势能零点。 ）
（2）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程 022 =++x x n x n ω m c n = 2 其中式c 是系统的粘滞阻尼系数。 小阻尼情况下（n n ω<）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程的解 )sin(d d nt t Ae x ?ω+=- 2 220020 )(n nx x x A n -++= ω ， 2 221ξωωω-=-=n n d n 002 2 0nx x n x tg n d +-= ω? n n ωξ2= 为系统的阻尼比。 有阻尼自由振动的周期 2 2 12n T n -= ωπ 减幅系数11 nT i i e A A == +η 对数减幅系数11 1ln ln ln nT e A A nT i i ====+ηδ （3）单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程 t h x x n ωωsin 2 =+ m F h 0 = 0F 为激振力的力幅 单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程的解 t h t A x n n ωωω?ωsin )sin(2 2-+ += 稳态解 t h x n ωωωsin 2 2-= 共振的条件 n ωω≈
(完整版)机械振动单元测试题(1)
(完整版)机械振动单元测试题(1) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 3．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m的A、B两物体，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，则下列说法中正确的是（） A．细线剪断瞬间A的加速度为0 B．A运动到最高点时弹簧弹力为mg C．A运动到最高点时，A的加速度为g D．A振动的振幅为2mg k 4．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k、物块和木板之间滑动摩擦因数为μ，
A ．若t 时刻和()t t +?时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则t ?一定等于2 T 的整数倍 B ．若2 T t ?= ，则在t 时刻和()t t +?时刻弹簧的长度一定相同 C ．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D ．当整体离开平衡位置的位移为x 时，物块与木板间的摩擦力大小等于 m kx m M + 5．如图所示，固定的光滑圆弧形轨道半径R ＝0.2m ，B 是轨道的最低点，在轨道上的A 点（弧AB 所对的圆心角小于10°）和轨道的圆心O 处各有一可视为质点的静止小球，若将它们同时由静止开始释放，则（ ） A ．两小球同时到达 B 点 B ．A 点释放的小球先到达B 点 C ．O 点释放的小球先到达B 点 D ．不能确定 6．如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a 、b 两点时的速度相同，且从a 到b 历时0.2s ，从b 再回到a 的最短时间为0.4s ，aO bO =，c 、d 为振子最大位移处，则该振子的振动频率为（ ） A ．1Hz B ．1.25Hz C ．2Hz D ．2.5Hz 7．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点
机械振动基础经验
机械振动基础复习提纲 难得自己写份复习提纲，虽然是门选修课，但下周一下考3门还是压力很大的说，因此老师大发慈悲地提了些要点，因为是看完试卷后说的，故可信度应该比较高吧。 总体上看，考试共考3章，特别提醒，绪论的一些小知识是会出现在填空题中的，下面也会提到。 分值比重： 第一章：40%不到一点，重点：1.2、1.4、1.5、1.6、1.10；1.8及1.10的傅里叶、拉格朗日变换法不考。 第二章：40%多一点，重点：2.1、2.2、2.3、2.4；2.6不考。 第三章：20%，重点：3.1，3.2、3.3以概念、简单技巧性的题目为主；3.4、3.5及以后部分均不考。 下面是基本要点，原则上均要求理解掌握： 1、组成振动系统的三个基本元件：质量、弹簧、阻尼。 振动现象（简谐运动）三要素：振幅、频率、初相位。其中强调频率为0并不代表振动函数为0，只是表示其未振动，没有振荡特性，图线是一根直线而已。(P9) 2、振动问题分类：已知系统模型、外载荷、求系统响应，称为响应计算或正问题;已知外载荷响应，求系统特性，称为系统识别或参数识别，也称为第一类逆问题；已知系统特性响应求载荷称为载荷识别，也称为第二类逆问题。（P3-P4） 3、单（多）自由度线性振动系统运动方程由二阶常系数微分方程（组）表示，且自由振动问题由齐次方程表示，受迫振动问题的运动方程为非齐次方程。（P8） 4、弹簧刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需要施加的力。在振动系统中通常假定弹簧质量为0；线性振动（微幅振动）的范围内，通常认为弹簧总在线性变形的范围内；两弹簧串联后等效弹簧刚度如何计算？并联？（P12）对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是：使弹簧产生单位角位移所需要施加的力矩。（P14） 5、粘性阻尼系数的特点：阻尼器产生的阻尼力与阻尼器两端的相对速度成正比。（P32 -34) 6、什么是二阶线性常系数齐次微分方程的通解？非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。（P20） 7、求解无阻尼单自由度系统的自由振动响应，就是确定求系统在给定的初始位移、初始速度下，系统运动方程的一个特解和通解的系数。 8、无阻尼单自由度系统的固有频率，仅取决于系统的刚度、质量，而与系统初始条件、所受外激励无关，是系统的固有属性。系统的质量越小，刚度越大，固有频率越高。要求掌握弧度制单位和频率之间的换算关系。（P10）
机械振动基础试卷
一、 填空题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 ) 1、 简谐振动的三要素是 振幅 、 频率 和 初相位 。 2、 不论隔力还是隔幅，当频率比λ满足 λ> 3、 单自由度系统欠阻尼振动频率d ω，阻尼比ζ和固有频率n ω的关系为 d ωω= 4、 多自由度系统中加速度频响函数矩阵的元素()i j H ω表示的物理意义是指： 幅值是指 在系统的第j 个自由度上施加单位幅值正弦激励后系统第i 个自由度上的加速度稳态响应幅值；幅角是指上述加速度响应滞后（超前）激励的相位角 。 5、 直梁的自由端 剪力 和 弯矩 为零。 二、 判断题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 ) 1、 叠加原理适用于线性和非线性系统。（×） 2、 旋转机械中，不平衡质量会引起系统产生振动。（√） 3、 单自由度系统共振时系统呈阻尼特性。（√） 4、 瑞利阻尼是比例阻尼。（√） 5、 无限自由度系统的振动方程是一个常微分方程。（×） 三、 解答题 ( 本大题共4小题，共60分 ) 1、 图示系统中不计刚性杆的质量，试建立系统的振动 微分方程，并求系统的固有频率。（10分） 解：取广义坐标为θ，顺时针为正方向，取质量块m 进行受力分析 根据动量矩定理得： sin ,cos 1θθθ≈≈，化简得到系统运动微 对于微振动，分方程
系统固有频率为 2、 试推导单自由度欠阻尼振动系统的单位脉冲响应函数表达式。（10分） 解：受单位脉冲激励的单自由度欠阻尼系统运动方程为 初始条件(0)(0)0u u ==。 设脉冲力的作用时间区间是[0,0]+, 根据冲量定理：1(0)(0)mu mu +=- 所以1 (0)u m += ，因此初始条件变为1(0)0,(0)u u m + +==，所以 因此得到 式中d ωω= 3、 试证明多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交 性。（10分） 证明：对于多自由度无阻尼系统的固有振动，有2()0ω-=K M ?，对应第r 和s 阶模态有 等式两边分别乘以T s ?和T r ?得 式（1）两边转置得到 （3）-（2）得到22()0T r s r s ωω-=M ?? 对于单构系统，22,r s r s ωω≠≠，所以 将（4）代入（2）得到 即，多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交性。 4、 在图示振动系统中，已知：二物体的质量分别为 1m 和2m ，弹簧的刚度系数分别为1k 、2k 、3k 、4k 、5k ，物块的运动阻力不计。试求：（1）写出 系统的动力学方程；（2）假设12m m m ==， 12k k k ==，3451 3 k k k k ===，求出系统的固有频率和相应的振型；（3）假定系统存 在初始条件12(0)2(0)4u u ????=????????，12(0)6(0)2u u ???? =????????，在条件（2）下采用模态叠加法求系统的响应；（4）假定质量块1m 受到激励力为sin f t ω（ω≠系统固有频率），在条件（2）下求系统的稳态响应。（30分）
大学物理机械振动习题解答
习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0d d 2 22=+ξωξt 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为θsin mg -，如题4-1图(b)所示．题 中所述，S ?＜＜R ，
故R S ?= θ→0，所以回复力为θmg -.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 θθ mg t mR -=22d d 令R g = 2ω，则有 0d d 2 22=+ωθt 4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有 1 11x k F x k F -=-=串 222x k F -= 又有 21x x x += 2 211k F k F k F x +== 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为
NO1机械振动规范标准答案
习题版权属物理学院物理系 《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动 一、选择题： 1．假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m ，摆长为l ) 。若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F 。则此单摆在该电梯室内作小角度摆动的周期为： [ C ] (A) Fm l π2 (B) Fl m π2 (C) F ml π 2 (D) ml F π 2 解： 2．图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。(a)、(b)、(c)三个振动系统的2（ 为固有角频率）值之比为 [ B ] (A) 2∶1∶ 2 1 (B) 1∶2∶4 (C) 2∶2∶1 (D) 1∶1∶2 解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2 k ，k ，k 2 则由m k = 2 ω可得三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为： m k 2 ：m k ：m k 2，即1∶2∶4 故 选B 3．两个同周期简谐振动曲线如图所示。则x 1的相位比x 2的相位 [ A ] (A) 超前/2 (B) 落后 (C) 落后 (D) 超前 解：由振动曲线画出旋转矢量图可知 x 1的相位比x 2的相位超前 k m m m k k k k (b) (c) t x O x 1 x 2 x 2 A 1A ω
4．一物体作简谐振动，振动方程为)2 1 cos(π+=t A x ω。则该物体在t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为： [ B ] (A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1 解：由简谐振动系统的动能公式：)2 1(sin 2122πω+= t kA E k 有t = 0时刻的动能为：22221)2102(sin 21kA T kA =+?ππ t = T /8时刻的动能为：2224 1 )2182(sin 21kA T T kA =+?ππ， 则在t = T /8时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：1:2