广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试题

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学试题

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1．命题“2,x x R e x ?∈>”的否定是（ ）

A ．2,x x R e x ?∈≤

B ．0200,x

x R e x ?∈> C ．0200,x x R e x ?∈≤ D ．2,x x R e x ?∈<

2．若椭圆的右焦点为F ，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P ，Q 两

点，则的周长为（ ） A ．

B ．

C ．6

D ．8

3．不等式260x x -++<的解集是（ ）

A ．{}23x x -<<

B ．1123x x ??-<<-????

C ．{3x x >或}2x <-

D ．1

3x x ?>-??

或12x ?<-??

4．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b c >>>，则c c a b

< C ．若0a b <<，则2

a a

b <

D ．若0a b <<，则

11a b

< 5．在?ABC 中，已知45A =?，30B =?，c =a =（ ） A ． B C 1

D 1

6．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =

'F 60C PQF △

A ．55

B ．11

C ．50

D ．60

7．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若

2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）． A ．92米 B ．83米 C ．74米

D ．65米

8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2

D ．5

二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分． 9．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“

1

1a

<”的充分不必要条件 B ．在?ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件 C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件

2

9

2

2±10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1ab ≥

B ．2a b +≤

C ．lg lg 0a b +≤

D ．

11

2a b

+≤ 11．数列{}n a 满足11,121

n

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??

????是等差数列

B ．数列1n a ??

????

的前n 项和2n S n =

C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-

D ．数列{}

n a 为递减数列

12．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，且2AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．为等腰直角三角形 C ．直线AB 的斜率

为

D ．线段AB 的长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13．抛物线的准线方程为__________________.

14．220x ax ax ?∈+-

15．已知1F 、2F 是椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的两个焦点，点A 在椭圆E 上，且1260F AF ∠=?，

122AF AF =，则椭圆离心率是___________．

16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有?ABC ，6AC =

，sin C A =，则当?ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.

2:4E y x =90CFD ?∠=CMD △24y x =

四、解答题：本题共6小题，共70 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．( 本小题满分10分）

已知命题:p 实数m 满足22

540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135

x y

m m +=--表示双曲

线.

（1）当1a =时，若命题p 为真，且命题q 为真，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.

18．( 本小题满分12分）

在①

222b c a =+-②2cos 2a C b c =-，

()22sin 12A B C +=+，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．

在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设?ABC 的面积为S ， 已知_______.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） （1）求角A 的大小；

（2）已知2b =，4c =，点D 在边BC 上，且AD 为BAC ∠的平分线，求ABD △的面积．

19．( 本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5.

（1）求C 的方程；

（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.

20．( 本小题满分12分）2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会。据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）.

（1）求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.

21．( 本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <；

22．( 本小题满分12分）已知定点()1,0M -，圆()2

2:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，

线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；

（2）过点M与N作平行直线1l和2l，分别交曲线C于点A、B和点D、E，求四边形ABDE 面积的最大值.

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学试题答案

一、单选题 CBCB AADB

二、多选题 AD BC ABD ACD

三、填空题 13. 14．(]8,0-

16

．6 四、解答题

17．由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<，...........1分 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a << ................2分

由方程22

135

x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：

35m <<.....3分

（1）若1a =，则命题p ：14m << ，

因为命题p 和q 均为真命题，所以14

35

m m <

所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4)................5分 （注：先将1a =代入求解的给相应分数）

（2）由p 是q 的必要不充分条件，则有：q p ?但

p

q ，

所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<.........7分

所以345

a a ≤??≥?，解得534a ≤≤........8分

经检验54

a =

和3a =满足条件........9分 所以实数a 的取值范围是5

[,3]4........10分

161-

=y

18．解：（1）若选①：

22243

S b c a =+-， 则14sin 32cos 2bc A bc A ?=?，...........2分

化简得tan 3A =，...........3分 0A π<<..........5分 ∴π

3

A =．.......6分

若选②：2cos 2a C b c =-，则由正弦定理得()2sin cos 2sin sin A C A C C =+-，........1分 即2sin cos sin 0C A C -=，...........2分 ∵sin 0C ≠，.............3分

0A π<<.........4分 ∴1cos 2

A =

，...........5分 则π

3A =．............6分

若选③：()2

3sin 2sin

12

A

B C +=+，则有3sin 1cos 1A A =-+，......2分 化简得π2sin 26A ??+= ???，πsin 16A ?

?+= ???

.......3分 7666A πππ<+<.............4分

所以ππ62

A +

=，............5分 故π

3A =．.............6分

（2）∵

1

sin 4

221

2sin 2

ABD

ACD

AB AD BAD

S AB S AC AC AD CAD ??∠====??∠△△，.......8分 且1sin 232ABC S AB AC BAC =???∠=△，......10分 ∴243

3ABD ABC S S ==△△．.......12分

19．（1）抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,

2p

x -

=....1分

由抛物线的定义可知3()52p

--= 解得4=p ……………3分 ∴C 的方程为x y 82=.………

4分

（2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为

，焦点)0,2(F

设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则211

222

88y x y x ?=??=??…………....6分

两式相减。整理得

1

212128

y y x x y y +=

--........8分

∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴直线l 的斜率42

)1(8

812-=?-=+=

y y k AB ……………10分 直线l 的方程为)2(40--=-x y 即084=-+y x ……………12分

法二：由（1）得抛物线C 的方程为x y 82=，焦点)0,2(F 设直线l 的方程为2+=my x ......5分

由282y x x my ?=?=+? 消去x ，得28160y my --=...............7分 设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， ∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴

12(8)

122

y y m +--==- 解得41-=m …………10分 直线l 的方程为24

1

+-=y x 即084=-+y x ……………12分

20．解：（1）每张门票售价定为100元时，销售量为()150.1100-?＝5(万张)，...1分 令每张门票的浮动价格

()05k k >元 则每张门票供货价格为305

k

+(元)，..............2分 故旅游公司所获总利润为5100303503405k k ???

??-+=-= ???????(万元). ∴比例系数10k = (3)

分

∴()1030,150150.1f x x x x N x +?

?=-+<∈ ?-??

且........................5分（不写定义域扣一分） （2）由（1）知 ∴()10100100()3030150120150.1150150f x x x x x x x ???

?=-+=--=--++ ???---????

...8分

∵1500x -> ∴()

10015020150x x -+

≥=-...............9分

当且仅当()100

150140150x x x

-=

=-即（元）时取得“=”号.....................10分

∴()20120100f x ≤-+=， ...............................11分

因此，每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元．.12分 21．（1）1n =时，1112S a a =-=，解得11a =，...............1分

2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---， 整理得

11

2

n n a a -=，.........2分 {}n a ∴是首项为1，公比为12的对比数列， 1

1

11122n n n a --??

??

∴=?= ? ???

??

，...........3分

∵1n n n b b a +=+， ∴1

112n n n b b -+??

-= ?

??

，

则211b b -=，3212b b -=，2

4312b b ??-= ???，……，2

112n n n b b --??

-= ?

??

（2n =，3，…）.将这1n -个

等式相加，..................................................4分

得1

23

2

2

1111111121212222212

n n n n b b ---??

- ?

????

??????

-=++++

+==- ? ? ? ?

????

??

??

-，.....5分

又，11b =，，2

132n n b -??

=- ?

??

；......................................6分

（2）证明：，()1

1322n n n c n b n -??

=-= ?

??

.....................................................7分

，02

2

1

11111223122222n n n T n n --????????

??

??=+?+?+

+-?+??? ? ? ? ?

?

????????

??

???

?

.，

而，23

1

1111112231222222n n

n T n n -????????

??

??=+?+?+

+-?+??? ? ? ? ?

?

??

????????

????

， ，－，得0121

1

1111122222222n n

n T n -????????????

=+++

+-???? ? ? ? ? ???????

??

??????

...........9分

11181842448481222212

n

n n

n n n

n T n n ??

- ?+??????=?-??=--??=- ? ?????-..........11分 ，8n T <；....12分 22．（1）由中垂线的性质得PM PQ =，

42MP NP PQ

NP MN ∴+=+=>=，........1分

所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，........2分

设曲线C 的方程为()22

2210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，

因此，曲线C 的方程为:22

143

x y +

=；........................3分 （2）由题意知直线2l 的斜率不为0，故可设2l 的方程为1x ty =+，

联立方程得()

22

2213469043

1x y t y ty x ty ?+

=??++-=??=+?

，...............4分 设()11,D x y 、(

)22,E x y ，则由根与系数关系有122

122634

934t y y t y y t ?

+=-??+???=-

?+?

，.......5分

所以()22

12134t DE

t +===+，.....6分 同理()22

12134

t AB t +=

+，.........7分 1l 与2l 的距离为d =

........8分

所以，四边形ABDE

的面积为22434

S t =?+，...............9分

令u =，则1u ≥，得

22424

1313u S u u u

=

=

++，...............10分

由双勾函数的单调性可知，函数1

3y u u

=+

在[)1,+∞上为增函数， 所以，函数

2413S u u

=

+

在[)1,+∞上为减函数，.................11分 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6.....12分

（注：能说出对勾函数或者基本不等式不能取等号，最后得到答案都可以给相应步骤分数）