高中常见数列的公式及经典例题
高中常见数列的公式及经典例题
等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
2．等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))
3．有几种方法可以计算公差d 4．① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m
n a a m
n -- 4．等差中项：,,2
b a b
a A ?+=
成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式
6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=
（2）2
)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d
a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2
d
a (n 2d S 12n -+=
二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n
a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(1≠??=-q a q
a a m
n m n 3．｛n a ｝成等比数列?
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性：
当q>1, 1a >0或0
等比数列的前n 项和公式：
∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②
当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3
a a a =， 即)8()2(112
1d a a d a +=+d a d 12
=?
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=??+
…………② 由①②得：5
3
1=
a ，53=d
∴n n a n 5
3
53)1(53=?-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式??
?≥???????-=????????????????=-2
1
11n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-21
1n S S n S a n n
n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列
{}n a 的通项公式。P24（styyj ）
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(112
1+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分
别
令
)1(,,3,2,1-??????=n n ，
代
入
上
式
得
)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
所以n a a n 111-
=- 2
1
1=a ，n n a n 1231121-=-+=∴
类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1
___n a ?=?
? 12
n n =≥ P24（styyj ） 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。 解：由条件知
1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 又321=
a ，n
a n 32=∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：
由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，
简记为111
))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0
1
=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3） 递推式：()n f pa a n n +=+1 解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 例5．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由
1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
例6．已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=
3437
52633134
8531n n n n n --=
????=---。
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 (2006.重庆.14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =
P24（styyj ）
例7. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为
)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321
-=+n n a .
类型4 递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-?+，1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； P25（styyj ）
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+?=++ 引入辅助数列{}n b （其中n
n n q
a b =），得：q b q p b n n 1
1+=+再应用类型3的方法解决。 例8. 已知数列{}n a 中，6
5
1=
a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2
211+?=?++n n n n a a
令n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )32
(23-= 所以n n n
n n b a )31(2)21(32-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++
其中s ，t 满足?
??-==+q st p
t s ，再应用前面类型3的方法求解。
（2006.福建.理.22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式； P26（styyj ）
例9. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。 解：由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12
)(???
????
-==+?3132st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 这里不妨选用??
???-==311t s （当然也可选用????
?
=-
=131t s ，大家可以试一试），则
)(3
1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31
-的等比数列,所以
11)3
1
(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，
即2101)3
1()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=-n
又11=a ，所以1)3
1
(4347---=n n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)
解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 进行求解。
(2006.陕西.20) (本小题满分12分)
已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n P24（styyj ）
例10. 已知数列{}n a 前n 项和2
2
14--
-=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2
2
14--
-=n n n a S 得：1
112
14-++-
-=n n n a S
于是)21
2
1()(1
2
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S
所以1
1121
-+++
-=n n n n a a a n n n a a 2
1211
+=?+. （2）应用类型4的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：222
11
+=++n n n n a a
由12
1412
1111=?-
-==-a a S a .于是数列{}n n
a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12
-=?n n n
a
类型7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例11. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3
1
11--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，
求n a ,n b . 解：因=
+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3
1
11--+n n b a 11--+=n n b a 所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a …………………………………………（1） 又因为=
-n n b a -+--)2(3
111n n b a )2(3111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=
-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31
(111b a n -=-
1)31(-=n .即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3
1
(1[211--=n n b
四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1
-p q
，从而得等比数列{a n +k }。
例12、数列{a n }满足a 1=1，a n =
2
1
a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2
1
（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，
∴数列{ a n －2}是以21
为公比，－1为首项的等比数列
∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2
1
）1-n
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。 例13、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
解：由0731=-++n n a a 得3
7
3
11+
-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得3
73=--k k 解得47
-=k
∴{47-n a }是以31-为公比，以43
471471-=-=-a 为首项的等比数列
∴1)3
1(4347--?-=-n n a 1)31
(4347--?-=?n n a
例14．已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．
解：设)(31t a t a n n +=++，则1231=?+=+t t a a n n ，
?
+=++)1(311n n a a {}
1+n a 是以
)1(1+a 为首项,以
3为公比的等比数列
???=?+=+--111323)1(1n n n a a 1321-?=-n n a
点评：求递推式形如q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列
)1(11p
q
a p p q a n n -+=-++来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
例15．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n
n a a )2(≥n ，求n a ．
解：将123-+=n n n a a 两边同除n 3，得
n n n n a a 32131-+=?1
1
33213
--+=n n n n a a 设n n n a b 3
=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--?t b b n n 31
321+=-
?3=t ．条件可化成)3(3
231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32
为公比的等比数
列．1)32
(383-?-=-n n b ．因n n n a b 3
=,
)3)3
2
(38(331+?-==∴-n n n n n b a ?2123++-=n n n a ．
点评：递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1
+n q ，得 111+?=++n n n n q a q p q a ，令n
n
n q
a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型． 2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。这种方法适用于n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得
q h k p k h =-=+,，可解得k h ,。
（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
例16、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。
分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。 解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a 即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a ∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列
∴1123-+?=-n n n a a
利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++ =223232
3021
+?++?+?-- n n
=2)1222
(321
+++++?-- n n
=22
1213+--?
n
=123-?n ∴1231-?=-n n a
例17、数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式。
解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k
若取3
1,1-==h k ，则有)(31
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴11)3
1
(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1()31()31()31(232++-+-++-+--- n n
=1311)31(11
++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n
说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3
1
31112+=++++即得
}31{1n n a a ++为常数列,n n a a 311++ 13
1
-+=n n a a 1231a a +==
3
7
312=+=故可转化为例13。
例18．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++求n a ．
解：设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++?
n n n sta a t s a -+=++12)(???
????
-==+?3132st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 则条件可以化为)(3
1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31
-的等比数列,所以
11)31(-+-=-n n n a a ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1)3
1
(4347---=n n a ．
点评：递推式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）时，可以设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其待定常数s 、t 由p t s =+,q st -=求出，从而化归为上述已知题型．
五、特征根法
1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。作出一个方程
,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比
数列，即01111,x a b c b b n n -==-.
例19．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.2
3,2310-=--
=x x x 则 当41=a 时，.2
11
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以3
1
-
为公比的等比数列.于是
.N ,)3
1
(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当
21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和
2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）
。 例20：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23?-=-a b a a ，
234)3
2
()(?-=-a b a a ，
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=
-。 a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：
02532=+-x x 。
3
2,121=
=x x , ∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 故1)3
2)((323--+-=n n b a a b a
3、如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，
且r h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q
px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ????-??
是等差数列;当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时，则12n n a x a x ??
-??-??
是等比数列。
(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求数列}{n a 的通项公式. 解：由已知，得125168n n n a a a ++=
-，其特征方程为25168x x x +=-，解之，得15
24
x x ==或
116()122168n n n a a a +-∴-=-，15
12()544168n n n
a a a +-∴-=- 1111
12255244n n n n a a a a ++-
-∴=--
，111111422()552244n n n n a a a a ---
∴=?=--- 125
24
n n n a -+=+。 P26 (styyj)
例21、已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----?-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)5(24
)5(∈-+--=n a n
n n
例22．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=
+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
解：作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)
1(11 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=
+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n
∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8
1
51)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得
N ,1
13
51∈--=
n n n a 且n ≥2. ∴当1
13
51--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在.
于是知：当1a 在集合3{-或,:113
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.
说明：形如:)(11b a k ma a n n n +=
--递推式，考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n +=-?
m
k a k a n n +?=-111令n n a b 1
=则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型。(取倒数法)
例23：1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
解：取倒数：
1
111
3131---+
=+?=n n n n a a a a ?
?????∴n a 1是等差数列，3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231
-=
?n a n 六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助
模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构
造法往往给人耳目一新的感觉.
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例24： 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422
=+成立，
求{}n a 的通项an.
解：n n n S a a 422
=+?112
142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(422112
12=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的等差数列，且
24211121=?=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+=
例25： 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .
解：∵
1
21111=?-==a a S a 当n ≥2时，
[]12
1
2)1(221111+=
?++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2121-=-?-n n a a
令2-=n n a b ，则12
1
-=
n n b b ，且1211-=-=b {}n b 是以21为公比的等比数列，11)21()21(1---=?-=n n n b
∴1)2
1
(2--=n n a .
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例26： 设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*），求数列的通项公式an. 解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 例27： 数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12+-+=++，（n ∈N*），求通项公式n a . 解： =-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n +++=-++-+-+=-（n ∈N*） 3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例28： 数列{}n a 中，211=
a ，前n 项的和n n a n S 2
=，求1+n a . 解：12
21221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a
1
1
1+-=?-n n a a n n ，
∴11
2211a a a
a a a a a n n n n n ??=--- )1(12131211+=?-?+-=n n n n n n ∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例29： 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a
a
，)1(log 21log 122+=+-n n a
a
，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b
{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .
11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n
，12
log 12-=-n a n ， ∴1
212
--=n n a
例30： 已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33
711+-=
--n n n a a a ，求通项公式.
解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得
4
3
11111+-=--n n a a . 可化为等差数列关系式.
∴1
35
3++=n n a n
高中数学数列基础知识与典型例题
数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
数列常见题型总结经典(超级经典)
数列常见题型总结经典(超 级经典) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
高中数列经典题型-大全教学教材
高中数列经典题型-大 全
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++，求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
高中数学必修5 数列经典例题集锦
高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式．
1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a += -，* N n ∈.
求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 （二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.
2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3 4）1a +求数列a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a
（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 1a = （4 （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a
2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a （1 （2 （六）求周期 16 （1） 121,41n n n a a a a ++==-，求数列2004a
高中数列经典习题(含答案)讲解学习
高中数列经典习题(含 答案)
1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.
高中数列经典题型 大全
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
精品高考数列经典大题
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
高一数学《数列》经典练习题-附答案
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
数列经典例题(裂项相消法)
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；
高中一年级数学数列部分经典习题及答案
.数 列 一．数列的概念： （1）已知* 2()156n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125 ）； （2）数列}{n a 的通项为1 += bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，数λ的取值围（答：3λ>-）； 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 (1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值围是______（答： 8 33 d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+ ≥∈，32n a =，前n 项和15 2 n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ （答：27） （2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则
高中数列经典题型大全
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{ 1+n n a a 的前100项和为() A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011002．数列,) 1(1+= n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A ．－10B ．－9C ．10D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{ n b 的前n 项和．4．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)令,)1(1n n a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 11*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ．6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令),(1 1*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．7．在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+ ==+．(Ⅰ)求}{n a 的通项公式；(Ⅱ)令,2 11n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ；
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 １．前ｎ项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2 12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122 -=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T 练习： １、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。答案：???=-12 2n n a )2() 1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n n a 32?= 3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2 2n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式. 4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2 *12333()3 n n a a a a n N +++= ∈n-1 …+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法) （１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。 （２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ，证明2 1 3-=n n a 例2．已知数列{}n a 的首项为1，且* 12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。 3。形如 )(1 n f a a n n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1 1-?n q a 。 (2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n 练习： 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2 +=n n a n ２、求数列)2(1 232,111 ≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4。形如s ra pa a n n n += --11 型（取倒数法) 例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1 211 ≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
高中数列题型大全
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高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。