63、矩阵、行列式的运算及性质
第62课矩阵、行列式的运算及性质
【教学目标】
1. 理解矩阵的概念,掌握矩阵的算法,会利用矩阵解线性方程组。
2. 理解行列式的概念,掌握行列式的算法,会利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况,了解三阶行列式的性质并能运用于计算。
【教学难点】
1. 会利用矩阵解线性方程组
2. 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。
【教学重点】
1.用矩阵表示实际问题中的相关量,运用矩阵的运算解决实际问题。
2.二阶(三阶)行列式的算法, 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情 况。
【知识整理】
1．矩阵是一个数表,可以用来表示块状数据；
2．矩阵的运算，如：加法、减法、数乘、乘法等； 3．矩阵的基本变换。
４．行列式是表示特定算式的记号，其结果是一个数；
５．对于给定的方程组，能正确找出D 、x D 、y D ，并根据它们的值判断方程组解的情况，或写出方程组的解。
【例题解析】
【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算
【题目】已知矩阵2
793
1
5A ??=
?--??
，3
14
026B -?? ?= ? ?-?
?，641
1103C -??
?
= ? ?-?
?
，计算： （1）()A B C +； （2）()B C A +； （3）B A C A +；
（4）从上述计算结果中你能得到什么结论？
【解答】（1）11
110()24
13A B C ??
+=
?-??
；（2）15
1842()23
46101311
33B C A ---??
?+=-- ? ?---?
?
；（3）15
184223
46101311
33BA CA ---??
?+=-- ? ?---?
?
；
（4）矩阵运算不满足交换率，但满足分配率。
【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算
【题目】一家水果店出售5种水果，它们的单价和利润如表1所示。该家水果店的经理要在计算
每笔生意营业额的同时，计算该笔生意的利润额。假设现有3位顾客购买水果，他们的购买量如表2所示。试计算每笔生意的营业额和利润额。 表1：
表2：
【解答】设10
58.5320155 2.551510
10
8
7.5A ??
?
= ? ??
?
，36.54.558B ?? ?
?
?
= ?
? ???，0.51.511.21.3C ??
? ?
?
= ? ? ???
；
AB =131.75172.5255??
?
? ???，即三位顾客的营业额分别为
131.75元，172.5元和225元，共计559.25元；
27.23751.85AC ?? ?= ?
???
，即三位顾客的利润分别为27.2元，37元和51.85元，共计116.55元。
【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，数学探究与创新能力
【题目】用矩阵变换方法解下列问题：
（1）若方程组2
(1)(1)4x y k x k y +=??-++=?
的解x 与y 相等，求k 的值。
（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的 天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
【解答】
（1）112112
1
12
1
1
40
2
620
1
3k k k k ????????→??→
? ?
?-+--??????1
010
1
3k k -??
??→
?-??
解得13x k y k
=-??
=-?，由题意知：13k k -=-求得：2
k =。
（2）设黑球和白球的质量各为x 、y 千克，则由题意知：25310
x y x y +=??
+=? 通过矩阵变换1251
251
251
033
1
100
5
50
1
101
1????????
??
→??
→??→
? ? ? ?--????????
解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，运算 【题目】展开下列行列式，并化简： （1）
1093
7
--； （2）
121
m m m
m +++； （3）
sin cos sin cos ααβ
β
-
【解答】（1）97； （2）1； （3）sin()αβ-+。
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，分析问题解决问题
第一次称量
第二次称量
【题目】关于,,x y z 的方程组212x y z x y m z m x z m ++=??
++=??+=?
有唯一解，求m 满足的条件，并求出唯
一解。 【解答】
2
2
1111
1101
1D m m ==-≠，1m ≠±，方程组有唯一解的条件是1m ≠±；
2
3
2
1
111231(1)(221)201x
D
m m m m m m m m ==-+=-+-，
23
2
2
1
111221(1)(21)121
y
D
m m m m m m m m m ==-++-=--+-，
1
1
111
11
2z D m m m
==-，方程组的解为22
221211
(
,,)111
m m m m m m m +-+-+++。 【课堂反馈】
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算 【题目】已知111
1A ??= ?--??，1111B
-??= ?-??
，则A B = ，BA =； 。
【解答】000
0??
???222
2?? ?--??
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算
【题目】已知矩阵x 满足10413
23
1x ????
= ? ?????
，则x = 。 【解答】 2.50.51.50.5??
???
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，分析问题解决问
题 【题目】把
2211113
3
3
3
2
2
2
3
a b a b a b a b a b a b +-表示成三阶行列式 。
【解答】
11223
3
1
23
a b a b a b --
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】若关于,x y 的方程组1
2m x y m x m y m +=+??+=?
无解，则实数m
的值为 。
【解答】-1 【课堂小结】
主要方法：
1．将实际问题中的数据用矩阵表示；
2．运用矩阵的运算对实际问题中的数据进行分析、处理； 3．运用矩阵的基本变换解线性方程组。
４．行列式的算法：①按对角线展开，②按某行（列）展开的算法；
５．运用行列式解方程组时，应把方程组化为标准形式，以便得到正确的D 、x D 、y D ， 然后在理解方程组解得几种情况的基础上给出正确解答。
【课后作业】
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算
【题目】12x A y
??=
???和43m
B n ??= ???
，若A B =时，则log m
n y x += . 【解答】由1
423
x m y n ????
=
? ?????
，得1m =，2n =，3y =，4x = ∴1
2log 3log 45m n y x +=+=
评注：矩阵相等必须满足行数和列数分别相等，而且对应位置的元素也要相等.
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，难，分析问题解决问题
【题目】已知矩阵0
11
0A -??
=
?-??
，则向量(2,3)经过矩阵A 变换后所得的向量为 ，矩阵A 对向量(2,3)产生的变换是 .
【解答】∵011
0A -??
=
?-??
是一个22?的矩阵，而向量可以看成是12?的矩阵 ∴向量(2,3)经过矩阵A 变换可以写成01(2
3)(32)1
0-??
=-- ?-??
可知(3,2)--与(2,3)关于直线y x =-对称.
评注：向量(2,3)为行向量的形式，因此用矩阵0110A -??
=
?-??
右乘(23). 如果向量(2,3)
写作列向量23??
???
的形式，则用矩阵0
110A -??=
?-??要左乘23?? ???，即0
1231032--??????
= ? ? ?--??????
，
同样可以得到(3,2)--与(2,3)关于直线y x =-对称. 【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算 【题目】若()X x
y =，()1
2C c c =，且二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=??
+=?可以写成矩阵形式X A C =，则矩阵A = .
【解答】由XA C =，得()()12x
y A c c =，
∴1
21
2a a A b b ??=
???
评注：矩阵1
212a a A b b ??=
???实际上是系数矩阵的转置. 二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=??+=?还可以写成矩阵形式1
112
22a b c x a b c y ????
??=
? ? ???????，()x y 与x y ??
???
互为转置，()1
2c c 与1
2c c ??
???
互为转置. 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算 【题目】满足条件
03
4
312≤++x x 的x 的值是_____________)(N x ∈。
【解答】0或1
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算
【题目】若3=d
c
b a ，且
1-=f
e
b a ，则
=++f
d e
c b a 2233_______________。
【解答】３
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，数学探究与创新能力
【题目】分别编写一个二元一次方程组，使它们满足：
（1）0===y x D D D ： ；
（2）0,0==≠y x D D D ： ；
（3）0,0,0≠≠≠y x D D D ： 。 【解答】略
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，分析问题解决问
题【题目】已知甲、乙、丙三种合金中，铜、金、铬的含量如下表：
如果要配置23千克的合金，且含铬149克，含金30克，那么三种合金各需多少千克？（不计损耗）
【解答】据题意设合金中甲x 克，乙y 克，丙z 克，得：??
???=++=++=++304.16.021********
z y x z y x z y x 。
4.54.16.025
10
8
111-==D ，2.164.16.0305
10
14911
23
-==x D ，274
.1302
5
149
8123
1
-==y D ，8130
6.021*******
1
1
-==z D ，
∴方程组的解为??
?
??===1553z y x 。答：合金中需要甲3克，乙5克，丙15克。
【题目资源】
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算
【题目】已知7
541213
12,1
1154111
1A B ????
? ?
== ? ? ? ?-????
，则2A B += ，3A B -= ；
【解答】15
1297
3599
3?? ? ? ??
?4
1102181
2-?? ?-- ? ?-?
?
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算
【题目】在三阶行列式1
11
2
223
3
3
a b c a b c a b c 中，元素2b 的代数余子式是 【解答】
113
3
a c a c
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算
【题目】将代数式xy ab -表示成行列式 ；
【解答】
x a b
y
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算
【题目】
sin cos sin cos ααβ
β
-＝
【解答】sin()αβ-+
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，运算 【题目】
函数3
4
cos sin -=
x x y 在]2
,
0[π
∈x 上的值域为 （ ）
（A ）]5,5[- （B ）]5,0[ （C ）]5,3[ （D ）]5,4[
【解答】Ｄ
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，分析问题解决问题
【题目】ABC ?中，角B A 、和边b a 、满足行列式
0cos cos =A
B
b a ，
则ABC ?是 （ ） （A ）等腰三角形 （C ）直角三角形
（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【解答】Ｄ
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，分析问题解决问题
【题目】设二元一次方程组???=+=+222111c y b x a c y b x a 恰有一组解),(βα，则方程组???=+=+222
1
11325325c y b x a c y b x a 的解
=),(y x （ ）
（A ）(），（βα23
5
3
（B ）
），（2
5β
α
（C ）），（βα33 （D ）），（βα615 【解答】Ａ
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，易，分析问题解决问题
【题目】若关于y x ,的二元一次方程组??
?=++=+m
my x m y mx 21无解，则m 的值为 （ ）
（A ）1± （B ）1 （C ）1- （D ）不存在 【解答】Ｃ
【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算 【题目】已知112
3A -??=
???
，则1
A -= ；
【解答】0.6
0.20.4
0.2??
?-??
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，数学探究与创
新能力
【题目】把6
4
317
92
315
9
2642
-+--表示成一个三阶行列式： 。
【解答】
9
2
7
645312-
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，运算
【题目】
记b
a
c
a c b
c
b a
c b a f =),,(，则)0,sin ,(cos θθf 的值为 （ ） （A ）0 （B ）θ3sin - （C ）θ3cos - （D ）θ
θ
3
3cos sin --
【解答】Ｄ
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】设c b a ,,表示ABC ?三边的长，
（1）若0=b a c a c b
c
b a
，则ABC ?的形状为 ； （2）若01
11
2
2
2
=c
b
a
c b a
，则ABC ?的形状为 。
【解答】（1）正三角形；（2）等腰三角形
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，运算
【题目】 解关于x 的不等式：
04
1
11lg 23lg
2
≤-x x 。
【解答】
0)2(lg lg 5lg 10lg
5lg 12lg
lg 2lg 44
1
11lg 23lg
2
2
2
2
≤+-=--=--+-=-x x x x x x x x x x ，
lg ≥x ，或2lg -≤x ，解得：1≥x ，或100
10≤ 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】关于z y x 、、的方程组??? ??=++=++=++0 00333 222111z c y b x a z c y b x a z c y b x a 有非零解的充要条件是 。 【解答】．03 3 3 222 111==c b a c b a c b a D 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，难，分析问题解决问 题 【题目】已知d c b a 、、、依次成等比数列，公比为q 。 （1）求 d b c a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，讨论二元一次方程组???-=+=+. 23dy bx cy ax ，何时无解，何时有无穷多解。 【解答】（1） 0=-=bc ad d b c a 。 （2）0== d b c a D ，)32(232 3q c c d d c D x +=+=-= ，)32(322 3q a b a b a D y +-=--=-= 。 ① 当32-=q 时，0===y x D D D ，故原方程组有无穷多解； ② 当3 2- ≠q 时，0=D ，但0≠x D ，故原方程组无解。 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，运算 【解答】 0)1cos sin cos )(sin cos (sin cos sin 1 cos sin 11 112 2 =--+-=x x x x x x x x x x 。 若0cos sin =-x x ，又∵2 0π ≤ ≤x ，∴4 π = x 。 若01cos sin cos sin =--+x x x x ，令t x x =+cos sin ，则2 1cos sin 2 -=t x x ，解得：1=t 。 ∴1cos sin =+x x ，又∵2 0π ≤ ≤x ，∴0=x ，或 2 π 综上：原方程的解为2 , 4, 0π π 。 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，难，分析问题解决问题 【题目】若我们定义矩阵的方幂：设A 是一个n n ?矩阵，定义11k k A A A A A +?=??=???（k *∈N ）.试求 cos sin sin cos n α ααα-?? ??? . 【解答】2 cos sin cos sin cos sin cos 2sin 2sin cos sin cos sin cos sin 2cos 2α αα αα αα αααα ααααα----???????? == ? ? ? ????????? 3 2 cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos 2sin 2cos sin cos 3sin 3sin 2cos 2sin cos sin 3cos 3ααα αα αα αααααα αα αα ααααααα---?????? =? ? ? ? ?????? ---?????? ?= ? ? ? ?????? ＝ 4 3 cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos 3sin 3cos sin cos 4sin 4sin 3cos 3sin cos sin 4cos 4ααα αα αα αα αααα αα αα αα αα αα α---?????? =? ? ? ? ?????? ---?????? ?= ? ? ? ?????? ＝ 猜测：cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n n α αα αααα α--????= ? ????? 对n * ∈N 均成立. 下面用数学归纳法证明.（略） 评注：与自然数有关的命题，先写出有限的几项是必要的，再从已经算出的有限的几项猜测出通项，最后用数学归纳法证明猜测的正确性. 【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】奥运会足球比赛中国队所在C 组小组赛单循环比赛结果如下： 中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2 巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1 （1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西 兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各 队的得分情况；（排列顺序与（1）相同） （3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2） 两个矩阵确定各队名次。 【解答】（1）03203 01521010 5 1 0--?? ? ? ?- ?--?? ； （2）00013 03330031 0?? ? ? ? ??? ； （3）名次为巴西、比利时、中国、 新西兰。。 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，难，分析问题解决问题 【题目】已知函数2 1 21)(+--=x x e e x f ，其中x 满足 042 13≥---x x ，求函数)(x f 的值域。 【解答】由 5 2010702)4()3(042 132 ≤≤?≤+-?≥+--?≥---x x x x x x x 。 ∵x x e e x f +=2)(在]5,2[上递增，∴)(x f 的值域为],[51024e e e e ++。 矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。 教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开 定义 在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数 第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； 高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y += 矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 . 9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- = 计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：11231232,,,2,,,D αααβαααβ=+- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 . 解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ） 三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 343 3334 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛ=n D 解： n D n c c c c c c +++13121M 4 3 3 1 334313334133331 3Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 1 1312r r r r r r n ---M 1 01000 0103 3313Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解. 第62课矩阵、行列式的运算及性质 【教学目标】 1. 理解矩阵的概念,掌握矩阵的算法,会利用矩阵解线性方程组。 2. 理解行列式的概念,掌握行列式的算法,会利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况,了解三阶行列式的性质并能运用于计算。 【教学难点】 1. 会利用矩阵解线性方程组 2. 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。 【教学重点】 1.用矩阵表示实际问题中的相关量,运用矩阵的运算解决实际问题。 2.二阶(三阶)行列式的算法, 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情 况。 【知识整理】 1．矩阵是一个数表,可以用来表示块状数据； 2．矩阵的运算，如：加法、减法、数乘、乘法等； 3．矩阵的基本变换。 ４．行列式是表示特定算式的记号，其结果是一个数； ５．对于给定的方程组，能正确找出D 、x D 、y D ，并根据它们的值判断方程组解的情况，或写出方程组的解。 【例题解析】 【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算 【题目】已知矩阵2 793 1 5A ??= ?--?? ，3 14 026B -?? ?= ? ?-? ?，641 1103C -?? ? = ? ?-? ? ，计算： （1）()A B C +； （2）()B C A +； （3）B A C A +； （4）从上述计算结果中你能得到什么结论？ 【解答】（1）11 110()24 13A B C ?? += ?-?? ；（2）15 1842()23 46101311 33B C A ---?? ?+=-- ? ?---? ? ；（3）15 184223 46101311 33BA CA ---?? ?+=-- ? ?---? ? ； （4）矩阵运算不满足交换率，但满足分配率。 【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算 【题目】一家水果店出售5种水果，它们的单价和利润如表1所示。该家水果店的经理要在计算 每笔生意营业额的同时，计算该笔生意的利润额。假设现有3位顾客购买水果，他们的购买量如表2所示。试计算每笔生意的营业额和利润额。 表1： 表2： 矩阵的运算及其运算规则 一、矩阵的加法与减法 1、运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 2、运算性质（假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 二、矩阵与数的乘法 1、运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 2、运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 典型例题 例6.5.1已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 三、矩阵与矩阵的乘法 1、运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 典型例题 例6.5.2设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢 是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素． 课堂练习 1、设，，求． 2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B 或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算． 3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？ 4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论． 解： 第1题 ． 第2题 对于 矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 第二节 行列式的性质与计算 § 行列式的性质 考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= - 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 第9章 行列式与矩阵 学习目标 了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算. 理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念. 掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算. §9.1 行列式的概念与计算 9.1.1二阶、三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 212111b x a x a b x a x a （9.1） 当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --= ，21 1222111 212112a a a a b a b a x --= 为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念. 1．二阶行列式的定义 定义9.1 用2 2个数组成的记号 22 21 1211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行 列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列. 利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为 1 12111 22221212121112111221222122 , b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ==== 其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个 第一章 矩阵与行列式 释疑解惑 1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会 把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ?? ??? 写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把 行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。n 阶行列式是2 n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方 阵 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ????? ?=???????? 的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特 定的一个数值， det A 、A 或n D ，即 111 det n ij k k k A A a a A ==== ∑ （如二阶方阵 a d A b c ??= ???所对应的行列式是这样一个新的对象： a d ac bd b c =-）。也正 因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来， 而是 n A A λλ =，等等。 2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵 m n A ?是用数λ乘矩阵m n A ?中每一个元素得到的新的m n ?矩阵；二矩阵相乘与前述这两种 线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。 3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为 A ≠以及关系式 * A A A E =，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素 代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。 4． 关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如(,)~E i j A A ，而不是(,),E i j A A =等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两 行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。 5． 关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，要求会用矩阵的行初等变换法和计算子式法两种方法求可逆方阵的逆阵。 行列式与矩阵从概念到运算的联系与区别 江兵兵 （天水师范学院数学与统计学院甘肃天水74100） 摘要：行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果，是两个完全不同的概念， 那么它们之间有着怎样的联系与区别，本文通过详细举例论证对行列式与矩阵从其概念的定义到有关运算方面的联系与区别做了详细说明，使读者对行列式与矩阵有了进一步的认识，达到灵活熟练的运用相关知识解决有关问题。 关键字：行列式；矩阵；概念；运算；转置 The determinant and the relationship and difference matrix from concept to operation Jiang Bingbing (School of Mathematics and Statistics tianshui Normal University, Tianshui 74100) Abstract:determinant and matrix is basic theory of two relatively independent as a result, are two entirely different concepts, so the relationship and difference between them have how, for example demonstrated in this article, through detailed determinant and matrix from the definition of the concept to the operation made detailed aspects of the relation and distinction between, make readers to have further understanding of the determinant and matrix, to achieve flexible use of related knowledge skilled to solve the problem. Key words: the determinant; Matrix; Concept; Calculations; transpose 实验矩阵与行列式的运算试验目的： 掌握MATLAB基本操作命令 熟悉矩阵与行列式的运算 一、预备知识 (1)矩阵A与B的加减运算：A+B; (2)数k 乘以矩阵A的运算：k*A; (3)矩阵A与B的乘积运算：A*B; (4)矩阵A的转置运算：A’; (5)求矩阵A的逆：inv(A)或A^(-1); (6)求方阵A的n次幂：A^n; (7)解线性方程组AX=b：X=A\b; (8)计算方阵A的行列式：det(A). 二、矩阵相关运算举例 -13 11/21/31 Hilbert 1/21/31/41/31/41/511/613/12,47/60A b A A A A ????=?????? ????=??????例矩阵，向量，求的逆矩阵和 的行列式。 例2 利用magic命令生成3阶幻方矩阵，并利用matlab命令实现下列运算。 (1)生成4阶幻方 A=magic(3) (2)验证A是幻方 验证列和与行和：sum(A) sum(A’)验证主对角元素：sum(diag(A)) 验证副对角元素：sum(diag(fliplr(A))) (3)将A第2列置换为1 A(:,2)=ones(3,1) 例3一制造商生产三种不同的化学产品A、B、C。每一产品必须经过两部机器M，N 的制作，而生产每一吨不同的产品需 要使用两部机器不同的时间 机器产品A产品B产品C M234 N223 机器M每星期最多可使用80小时，而机器N每星期最多可使用60小时。问一周内每一产品须制造多少才能使机器被充分地利 设x 1、x 2、x 3分别表示每周内制造产品A 、B 、C 的吨数。于是机器M 一周内被使用的实际时间为2x 1+3x 2+4x 3，为了充分利用机器，可以令 2x 1+3x 2+4x 3=80 同理，可得:2x 1+2x 2+3x 3=60 ?? ?=++=++60 32280 432321321x x x x x x 求方程组通解矩阵的运算及其运算规则
线性代数行列式算与性质
工程数学教案12行列式的性质与计算
矩阵行列式的概念与运算
线性代数之行列式的性质与计算
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
上海版教材 矩阵与行列式习题(有问题详解)
行列式的计算方法(课堂讲解版)
第一章行列式与矩阵计算练习(含答案)
63、矩阵、行列式的运算及性质
矩阵的运算及其运算规则
矩阵行列式的概念与运算(标准答案)
线性代数之行列式的性质及计算
四阶行列式的计算
矩阵与行列式
矩阵与行列式
行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别 江兵兵
矩阵与行列式的运算