大一高等数学教材2-1
高等数学 第二章 极限和导数2-1导数的概念
2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0
《高数II-1》教学大纲
《高数II-1》教学大纲I先修课程先修课程：《高中数学》II本课程的课时分配情况课时分配：III课程性质、目的和任务《高等II-1》是高等学校网络教育考试最重要的一门必修课。
本课程的特点是理论性强，用处广，是一门重要的基础学科。
设立本门课程的目的是让学生掌握数学中的微积分方法，为学好后续课程打基础。
通过本课程的学习，使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性；使学生对极限的思想和方法有初步认识；使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，为学习其他课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。
为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。
IV本课程的要求和内容第一章函数一、学习要求通过本章的学习，要求理解函数的概念，理解函数的概念，了解分段函数，函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)，复合函数、初等函数的概念、会进行函数的复合与分解；能熟练地求函数的定义域和函数值，六类基本初等函数的解析式、定义域、主要性质和图形；会列简单应用问题的函数关系式。
二、课程内容1.1 集合1.2 实数集1.3 函数关系1.4 函数表示法1.5 建立函数关系的例题1.6 函数的几种简单性质1.7 反函数，复合函数1.8 初等函数(1) 理解函数的概念。
掌握函数的表示法，会求函数的定义域。
(2) 了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。
(3) 了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
(4) 掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。
第二章极限与连续一、学习要求通过本章的学习，要求理解数列及函数极限的概念，无穷小和无穷大的概念，了解极限的有关性质（惟一性，有界性），函数在一点处极限存在的充分必要条件，高阶、同阶、等价无穷小的概念，复合函数、反函数和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)；掌握极限的四则运算法则，用两个重要极限求极限的方法，连续函数的四则运算法则，会求函数的极限（含左极限、右极限）。
2-1高等数学 A类 课件 完整典藏版(适用于自学、考研)
或 ∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀n > N : xn − a < ε .
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
18/40
注意1： 1） ε（> 0）必须可以任意小。 (ε 的两重性：任意性和相对固定性) 2）N与 ε 有关。 3）若N(ε )存在，则必不唯一。 4）几何解释：
a−ε
2ε
a
a+ε
−3
故取 N = 1000, 则∀n > N , 就有 xn − 1 < ε 2 ;
1 给定 ε 3 = 10 , 要使 xn − 1 = < 10− 4 , 即 n > 104 , n
−4
故取 N = 10 , 则∀n > N , 就有 xn − 1 < ε 3 ;
4
为刻划这个无限的检验 过程，引进一个任意 接近指标，即任意正数 ε > 0(它包括一切需要 检验的接近程度 )，即
4/40
两种关注的数列
1. 有界数列
设数列{ xn }, 若∃M > 0, ∀n ∈ N : xn ≤ M
则称 { xn }为有界数列。
类似地，可分别考虑有 上(下)界数列。
2. 单调数列 设数列{ xn }, 若∀n ∈ N : xn ≤ xn+1 (或xn ≥ xn+1 )
则称 { xn }为单调增(或单调减 )数列。
A1 , A2 , A3 ,
, An ,
S
8/40
2. 求由曲线 y = x , x = 1和 x轴所围成曲边三 y 角形面积S。
2
将[0,1]n等分，每个小区间上
小曲边梯形面积用小矩 形近似 替代，即
k 21 ΔS ≈ ( ) , ( k = 0,1, n n
高等数学1和2的教材一样吗
高等数学1和2的教材一样吗高等数学是大学数学中的重要学科，对于理工科和相关专业的学生来说至关重要。
高等数学主要分为高等数学1和高等数学2两个部分。
那么，高等数学1和2的教材是否完全一样呢？本文将从教材内容和学习目标两个方面来探讨这个问题。
一、教材内容高等数学1和高等数学2的教材内容在很大程度上是相似的。
两个部分都包括了微积分、数学分析、线性代数等基础知识。
它们都强调数学的逻辑性和严谨性，并且都涉及到了数学的基本概念、原理、定理和应用。
具体来说，高等数学1的教材主要包括以下内容：1. 极限与连续2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数应用4. 不定积分5. 定积分与积分应用而高等数学2的教材则在高等数学1的基础上进一步拓展和深化了一些内容，主要包括以下部分：1. 广义积分与应用2. 多元函数微分学与应用3. 重积分与应用4. 曲线与曲面积分5. 常微分方程虽然高等数学1和2的教材内容有一些区别，但是整体而言，它们都是建立在基本数学概念与原理之上，并且都旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
二、学习目标高等数学1和高等数学2的学习目标也是相似的。
无论是高等数学1还是高等数学2，都旨在培养学生的数学思维和逻辑推理能力，帮助学生建立起扎实的数学基础。
通过学习这两门课程，学生可以掌握数学的基本概念、原理和定理，并能够运用数学方法解决实际问题。
高等数学1主要着重培养学生的微分学思维和基本的积分学能力，使学生能够理解和运用微积分的基本概念和方法。
而高等数学2则进一步加深学生对多元函数微分学、重积分和曲线曲面积分等内容的理解，并培养学生解决实际问题的能力。
总体来看，高等数学1和高等数学2的教材可能有一些内容上的差异，但它们的学习目标和培养学生的数学思维能力的目的都是相同的。
结论：虽然高等数学1和高等数学2的教材在内容上可能会有所不同，但它们的学习目标和培养学生的数学思维能力的目的是一致的。
因此，我们可以说高等数学1和高等数学2的教材在整体上是相似的，都是为了帮助学生建立起扎实的数学基础，掌握基本的数学概念、原理和方法，以便能够应对后续更深入的数学学习和实际问题的解决。
高等数学2-1
(1) y ( x 1) x2 x 2 不可导点个数（ ）
外：非零点 内：零点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）y cos x sin 2x 的不可导点是（ ）
（A）
4
（B）
2
外：非零点
（C） （D）3
2
内：零点
③抽象函数求极限 大思路：洛必达法则或导数定义 细节：不能超越题目条件书写符号！
lim
h0
h
存在，其值一定为 f ( x)
双侧 真导数定义！
动点
lim f ( x 2h) f ( x h) 存在，其值未必 f ( x)
h0
h
双侧 假导数定义！
【注解】真假导数的极限有下面关系
真
假
lim f ( x h) f ( x) A
h0
h
lim f ( x 2h) f ( x h) A
【注解1】上述结论的图形解读
纯绝对值
y x a : （书上重点例题）
在 x a 处连续但不可导
( x )（绝对值外）
y (x a) x a :
在 x a 处连续 且可导！
y y xa
oa
x
y
oa
x
【注解2】利用上结论可快速判断某些带
绝对值 函数在 x a 处的可导性。
【练习】
1， 2 2 处不可导！
lim y x0 x
研究 y 的近似计算—— 微分
y ？
幂低
（1）微分定义： 线性主部！ 幂高 若函数增量 y A( x ) x o( x ), 称 y 在 x 处可微。记 dy A( x )x 为微分。即 y dy o(x), y dy
【注解】若 y 是自变量时，
高等数学课件2-1数列的极限
3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a > 0 , 取
( 0) , ( 0) .
推论1:
推论2: 若数列从某项起
( 0) . (用反证法证明)
( 0)
推论3: (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 定理: Note: 则判断原数列发散的方法 .
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积S. 依次作圆内接正
设 A n 表示内接正 3 2 边形的面积
n
于是得到一列数
A 0 , A1 , A 2 , A 3
3 2
n1
r sin2Fra bibliotek3 2
n1
当 n 无限增大时,
称数列 A n 以 S 为极限 (当 n 时 )
无限逼近 S
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, x 满足的不等式 n a b ba ba a b ba 3 a b 2 xn b 2 xn n ba a x 3 22 2 2 2
xn
ab 2
例4. 证明数列 证: 用反证法.
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn
n
ab 2
同理, 因 lim x n b ,故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
从而
矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
2. 收敛数列一定有界.
高数大一习题2-1答案
高数大一习题2-1答案高数（高等数学）是大学一年级的必修课程之一，对于很多学生来说，高数是一门难以逾越的学科。
而习题是学习高数的重要环节，通过解答习题可以巩固知识，提高解题能力。
本文将为大家提供高数大一习题2-1的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
2-1习题是高数中的基础部分，主要涉及到函数的概念、性质和运算。
下面将逐题进行解答。
1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值。
解答：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
所以f(1)的值为5。
2. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(-1)的值。
解答：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8。
所以f(-1)的值为8。
3. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15。
所以f(2)的值为15。
4. 设函数f(x) = x^3 - x，求f(0)的值。
解答：将x = 0代入函数f(x)中，得到f(0) = (0)^3 - 0 = 0。
所以f(0)的值为0。
5. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
解答：将x = -2代入函数f(x)中，得到f(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
所以f(-2)的值为3。
6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(3)的值。
解答：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = (3)^2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。
所以f(3)的值为16。
通过以上六道题目的解答，我们可以看到，求函数在某一点的值，只需要将该点的横坐标代入函数中，进行计算即可。
高等数学2-1
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
高
等
数 学
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.（唯一性） 证：设 lim xn a, 又 lim xn b,
n n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
电
子 教 案
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
电
子 教 案
因为 lim xn a,
a 取 , 则存在正整数N , 当n N时，有 2
n
xn 0
a a 3 xn a , 即0 xn a 2 2 2
高
等 4、子数列的收敛性 定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 数 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到 学 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 电
n
电
子 教 案
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
高
等
数 学
证 yn a,
zn a ,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
2. N与任意给定的正数有关.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
1
－1/π
0
1/π
x
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x 0 例8 讨论函数 f ( x ) , x 0, x0 在x 0处的连续性与可导性 .
lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
关于导数的说明：
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★
如果函数 y f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. s ds v ( t ) lim . t 0 t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
例如,
y
y 3 x 1
f ( x ) 3 x 1,
在 x 1处不可导.
0
1
x
3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y
1 x sin , f ( x) x 0,
在x 0处不可导.
x0 , x0
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
( e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.解y lim
log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x
五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
则 f ( x ) 在点x 0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
1 (log a x ) log a e . x
即
1 (ln x ) . x
例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N T
C
o
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim x sin 0 x 0 x
f ( x )在x 0处连续. x 0 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x f ( x )在x 0处不可导.
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x )的角点.
2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim , x 0 x x 0 x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
y
y f ( x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ( x0 ) f ( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .