考研高数知识总结

考研数学讲座（1）

考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。

在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。

你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

阳春三月风光好，抓好基础正当时。

考研数学讲座（2）笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”

发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。

考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。

动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑

如何迈出第一步。

或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；

或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

“连续函数与不连续函数的和会怎样？”

写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

如果，“连续A + 不连续B = 连续C”移项，则“连续C －连续A = 不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就

在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，

题面上有已知条件 f ′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出

h趋于0时， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0

然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。

又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移项写成

（A－λE）α= 0，α≠ 0，

这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。

数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得

到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。

车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。

路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。

对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。

《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特

征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。

《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的

问题，选择一个分块变形就明白了。

《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。

要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。

我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题

该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。

多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。

考研数学讲座（3）极限概念要体

极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”

近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x0 ；一类是x →∞，

“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数a为函数的极限。

“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；

回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x →0+ 时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x →∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y = sinx的图形是典型的波动。我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x = 0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。在x = 0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是

“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 总有f（x）＞0 ”

*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”

这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值恒小于1

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点x0 ，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1

（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1 ）

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。

考研数学讲座（4）“存在”与否全面看

定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1．海涅定理

观察x 趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：

定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。

这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x 逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：

“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”

唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2．用左右极限来描述的等价条件

用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：

定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。

（3）突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：

定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。

从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0

如果记α = f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：

f（x）= A + α（无穷小）

考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。

例1 x 趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。

分析在原点x = 0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以

x 从左侧趋于0 时，指数1/x 始终是负数，故左极限 f（0－0）= 0 ，

x 从右侧趋于0 时，函数趋向+∞，

由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0 时，exp（1/x）是无穷大

但是，在这种情形下，函数图形在点x = 0有竖直渐近线 x = 0

例2 x 趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。

分析用海涅定理证明其等价问题，“x 趋于+∞时，sinx 不存在极限。”

分别取x = nπ及 x = 2nπ两个数列，n 趋于+∞时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在极限。

例3 x 趋于∞时，函数 y = arctgx 不存在极限。

分析把∞视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，

x 趋于 +∞时，函数极限为π/2 ，x 趋于－∞时，函数极限为－π/2 ，

故，函数y = arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即

－∞方向有水平渐近线 y = －π/2 ； +∞方向则有有y =π/2

例4当x → 1时，函数 f (x) = (exp (1/(x－1)) )( x平方－1)∕(x－1) 的极限

（A）等于2 （B）等于0 （C）为∞（D）不存在但不为∞

分析考查 x → 1 时函数的极限，通常认为 x 不取 1 ；而x≠1 时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为 f (x) = (x+1)exp (1/(x－1))

左极限f（1－0）= 0 ，x从右侧趋于1时，函数趋向+∞，（选（D））

（画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。）

例5 f（x）=（2 + exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+ sinx ∕∣x∣ , 求x趋于0时函数的极限。

分析绝对值函数y = | x | 是典型的分段函数。x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上

x → 0- 时， lim f（x）=（2+0）/（1+ 0）－1 = 1

x → 0+ 时， exp（1/x）→ +∞，前项的分子分母同除以 exp（4/x）再取极限

lim f（x）=（0+0）/（0+1）+1 = 1

由定理（2）得 x → 0 时， lim f（x）= 1

例6 曲线 y = exp(1/x平方) arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有

（A）1条．（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B）

分析先观察x趋于∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1 和－2；对于每个零点x0 ，直线x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有

x →∞时，lim y =π/4 ，曲线有水平渐近线y =π/4

其中，x →∞时， lim exp(1/x平方) = 1

lim（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））= 1 （分子分母同除以“x平方”）

考查“嫌疑点” 1和－2时，注意运用“典型不存在3”，

f（1－0）= －eπ/2 ； f（1+0）= eπ/2 ， x = 1 不是曲线的竖直渐近线。

类似可以算得 x = －2不是曲线的竖直渐近线。

x → 0 时，前因式趋向+∞；后因式有极限 arctg（－1/2），x = 0 是曲线的竖直渐近线。

啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？

*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：

定理（4）夹逼定理——若在点x0 邻近（或 | x |充分大时）恒有g (x) ≤ f (x) ≤h (x) ，且x →x 0 ( 或x →∞) 时lim g (x) = lim h (x) = A 则必有 lim f (x) = A

定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）

加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。

考研数学讲座（5）无穷小与无穷大

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。

1. 概念

在某一过程中，函数f（x）的极限为0 ，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。

为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。

无穷小是个变量，不是0 ； y = 0 视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有一点意义。通常被排除在讨论之外。

依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。比如

x 从右侧趋于0时，lim lnx = －∞；x 从左侧趋于π/2 时，lim tgx = +∞

(潜台词：仅仅表明它其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。)

无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。

y = tgx（在x →π/2左側时）是无穷大。在（0，π/2）内y = tgx 是无界变量

x 趋于0 时，函数y =（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。

不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E 。

2. 运算与比较

有限个无穷小量的线性组合是无穷小；“∞－∞”则结果不确定。

乘积的极限有三类可以确定：

有界变量·无穷小 = 无穷小无穷小·无穷小 = （高阶）无穷小

无穷大·无穷大 = （高阶）无穷大

其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。

例10 作数列x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -

y = 0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -

两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界·无界 = 有界

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。

无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。

x 趋于0 时，α = xsin（1/x）和β = x都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但是，它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。

回到基本初等函数，我们看到

x 趋于 +∞时，y = x 的μ次方，指数μ＞0 的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ阶无穷大。

（潜台词：这多象汽车的1档，2档，--- 啊。）

x 趋于 +∞时，底数大于 1 的指数函数都是无穷大；底数小于 1 的都是无穷小。

x 趋于 +∞或 x 趋于0+ 时，对数函数是无穷大。

x 趋于∞时，sinx 及cosx 都没有极限。正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。

请体验一个很重要也很有趣的事实。

（1） x → +∞时， lim （x的n次方）∕exp（x）= 0 ，这表明：

“x 趋于 +∞时，指数函数 exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x 趋于 +∞时，函数 exp（－x）是任意高阶的无穷小。”

（2） x → +∞时， lim ln x∕（x的δ次方）= 0；δ是任意取定的一个很小的正数。这表明：“对数函数 lnx 是比x 的δ次方都还要低阶的无穷大。”

在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（－x）为“速降函数”。

只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。

例11 函数f (x) = xsinx （A）当x →∞时为无穷大。（B）在（－∞，+∞）内有界。

（C）在（－∞，+∞）内无界。（D）在x→∞时有有限极限。

分析这和 y =（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。（选（C））

例12 设有数列Xn，具体取值为

若n为奇数，Xn =（n平方 + √n ）∕n ；若n为偶数，Xn = 1∕n

则当n →∞时，Xn 是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量

分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））

请与“典型不存在1”对比。本质相同。

例13已知数列Xn 和Yn 满足n →∞时，lim Xn Yn = 0 ，则

（A）若数列Xn 发散，数列Yn 必定也发散。

（B）若数列Xn 无界，数列Yn 必定也无界。

（C）若数列Xn 有界，数列Yn 必定也有界。

（D）若变量1∕Xn 为无穷小量，则变量Yn 必定也是无穷小量。

分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证lim Xn Yn = 0

无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn 为无穷大。要保证lim Xn Yn = 0 ，Yn必须为无穷小量。应选答案（D）。

考研数学指导（6）微观分析始连续

微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。

大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。

微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。

1．函数的连续性

定义——设函数f (x) 在点x0 的邻近有定义。当x 趋于x0 时，如果函数有极限，且极限值等于函数值f (x0)，就称函数f 在点x0 连续。否则，称函数f 在点x0 间断。x0 是它的间断点。

“函数 f 在点x0 的邻近有定义”意味着，如果函数在点x0 没有定义，那x0 只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。y = 1/x在原点就是这样的。

“有极限”意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”

函数在一点连续的定义等式，“左极限 = 右极限 = 中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。

如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。

最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。

“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。

介值定理——如果数c 能被夹在连续函数的两个值之间，则 c 一定属于此函数的值域。

请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。

介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x)=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。

例16试证明，如果函数 f 在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。

分析函数f在闭区间上连续，f 必有最大值M = f（x1），最小值m = f（x2），闭区间 [m ，M] 内的任一数c ，自然就夹在f 的两个最值之间，因而属于f 的值域。即 f 的值域就是这个闭区间。

例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。

（潜台词：没有零点的连续函数定号。）

分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。

（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）

例18函数f在闭区间 [a，b]上连续，其值域恰好也是 [a，b]，试证方程 f (x) = x 在区间 [a，b]上有解。分析作F = f (x)－x ，它显然在已知闭区间上连续。且有F(a)≥0 而F(b)≤0

如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。

（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）

2．间断点分类

连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。

若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。

若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。

第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。

对于第二类间断，我们只学了两个特例。即

x = 0 是震荡因子y = sin（1/x) 的震荡间断点。（画外音：请联想“典型不存在（2）”）

x = 0 是函数y = exp(1/x) 的无穷间断点。（画外音：请联想“典型不存在（1）”）

只要函数在x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。x = x0 是图形的竖直渐近线。

考题中经常把问题平移到别的点去讨论。

例 19确定y = e1/x arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。

分析函数的解析表达式中，分母有零点 0，1 （潜台词：两个嫌疑犯啊。）

在点0 ，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0 点是无穷间断点.

在点 1 ，前因子连续非零，后因子的左极限是－π/2，右极限为π/2，第一类间断。

三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。

例20 设函数f (x) = x∕(a + e bx)在(－∞, －∞)内连续，且 x →－∞时，极限 lim f (x) = 0 ；

则常数 a ，b 满足（A）a < 0，b < 0 （B）a > 0，b > 0 （C）a≤0，b > 0 （D）a≥0，b < 0

分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。已知函数连续，则其分母不能为0，而指数函数e bx 的值域为(－∞, +∞)，故a≥ 0

又，x →－∞时，极限 lim f (x) = 0 表明， f (x) 分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数 e bx 为无穷大，只有 b < 0，应选（D）。

（画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）

*例21 已知函数f (x)在区间 [a，b]上处处有定义，且单调。若f (x)有间断点，则只能是第一类间断点。分析（构造法）不仿设f (x)在区间 [a，b]上单增，但是有间断点x0 ；我们得证明f在点x0的左右极限都存在。

已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有

x → x0－时，f单增，显然 f (b) 是它的一个上界。故左极限存在。

x → x0+ 时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然f (a) 是其一个下界。右极限也存在。

构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。

考研数学指导（7）导数定义是重点

选定一个中心点x0 ，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在x0 点邻近，如果自变量x 有一个增量Δx，则函数相应该有增量Δy = f（x0+Δx）－ f（x0），我们如何表述，研究及估计这个Δy 呢？

最自然的第一考虑是“变化率”。中国人把除法称为“归一法”。无论Δx的绝对值是多少，Δy／Δx总表示，“当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。”

定义令Δx 趋于零，如果增量商Δy／Δx 的极限存在，就称函数在点 x0 可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为

Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)

或Δx → 0 ， lim (（f（x0+Δx）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)

或 x →x0， lim (（f（x）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)

理解1你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Δy 研究好了，在x0 邻近，f（x）= f（x0）+ Δy ，函数就有了一个新的表述方式。

回头用“增量”语言说连续，则

“函数在点x0 连续”等价于“Δx趋于0时，相应的函数增量Δy一定趋于0”

理解2要是以产量为自变量x ，生产成本为函数 y ，则Δy／Δx 表示，在已经生产 x0 件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。导数则是点 x0 处的“边际成本”。

（画外音：“生产”过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。）

如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在 x0 状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果Δx 趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y 对x 的弹性。

理解3 如果函数f在区间的每一点处可导，就称f 在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f 的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。

用定义算得各个基本初等函数的导数，称为“求导公式”。添上“和，差，积，商求导法则”与“复合函数求导法则”，我们就可以计算初等函数的导数。

例24设函数 f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 2 n ）), 讨论函数f(x) 的间断点，其结论为

（A）不存在间断点（B）存在间断点x = 1 （C）存在间断点x = 0 （C）存在间断点x = －1

分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。

任意给定一点x ，(视为不变。) 此时，把分母中的x2n 项看成是（x2）n，这是自变量为n 的指数函数。令n →∞求极限计算相应的函数值。

鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x 给定在不同区间所可能的影响。

（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得

－1＜x＜1 时，f(x) = 1 + x ；f(1)=1 ； f(－1) = 0

而 x＜－1 或x ＞1 时，恒有f(x) = 0 ，观察得x →1 时， lim f(x) = 2 ；应选（B）。

理解4运用定理（2），“极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。”则

“函数在点x0可导”等价于“左，右导数存在且相等”。

讨论分段函数在定义分界点x0 处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0 两側算左导数，右导数。

例25

（1）h 趋于 0+ 时，lim( f(h)－f(0）)/h 存在不等价于函数在 0 点可导，因为它只是右导数。

（2）h 趋于 0 时，lim (f(2h)－f（h））/h 存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。

请对比: 如果 f（x）函数在 0 点可导，则h→0 时，

lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h

= 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h － lim (f（h）－f(0))/ h

= 2 f′(0)－f′(0) = f′(0)

（画外音：我把上述恒等变形技术称为“添零项获得增量”。考试中心认为你一定会这个小技术。

（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在 0 点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在 = 存在”的可能性。）

例26若函数f（x）满足条件f（1+x）= a f（x），且f ′(0) = b ，数a≠0，b≠0 ，则

（A）f（x）在x = 1 不可导。（B）f ′(1) = a （C）f ′(1) = b （D）f ′(1) =a b

分析将已知 f ′(0) = b 还原为定义 lim (f(0+h)－f（0））/ h = b ,

要算 f ′(1) ，考查 lim (f(1+h)－f（1））/ h

如何向 f ′(0) 的定义式转化？！只能在已知恒等式上功夫。

显然f(1+h) = a f（h）；而 f（1）= f（1+0）= a f（0）

lim (f(1+h)－f（1））/ h = lim a (f(h)－f（0））/ h = ab 应选（D）。

*理解5可导的定义式，是两个无穷小的商求极限，自然也就是两个无穷小的比较。于是可以说，

连续函数f（x）在点 x0 可导的充分必要条件是， x →x0 时，函数增量Δy 是与Δx 同阶，或较Δx 高阶的无穷小。

考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为“双特殊情形”。这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x ，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，“双特殊情形”下函数在原点可导，等价于x 趋于 0 时，函数是与自变量x 同阶或比x 高阶的无穷小。

如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。

例27设函数f（x）在点x = 0 的某邻域内有定义，且恒满足∣f (x)∣≤x 平方，则点x = 0 必是f (x)的（A）间断点。（B）连续而不可导点。（C）可导点，且 f ′(0) = 0 （D）可导点，且 f ′(0) ≠0

分析本题中实际上有夹逼关系0≤∣f(x)∣≤x2，在x=0的某邻域内成立。这就表明

f（0）=0，且∣f(x)/x∣≤∣x∣由夹逼定理得，f′(0)=0，应选（C）。

例28 设有如下定义的分段函数f (x)，x ＞ 0时，f (x) = (1－cosx)∕√x ，x ≤ 0时，f (x)= x 2g(x)

其中，g(x)为有界函数，则 f (x)在点x = 0 （A）不存在极限（B）存在极限，但不连续。

（C）连续但不可导。（D）可导。分析由定义得中心点函数值 f（0）= 0 ；本题在“双特殊情形”下讨论。

x ＞0 时，显然 f (x)是比x 高阶的无穷小。右导数为0

x ≤ 0 时，f (x)/ x = xg(x) ，用夹逼法可判定左导数为0 ；应选（D）。

*理解6 运用定理（3），若f（x）函数在点 x0 可导，即有已知极限

Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)

于是Δy／Δx = f ′(x0) + α(x)（无穷小）；即Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx

由此即可证明，函数在点 x0 可导，则一定在x0 连续。

“如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。”经济类的考生可以这样来体验“可导一定连续”。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。

把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。

不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。

考研数学讲座（8）求导熟练过大关

函数在一点x0 可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是“函数光滑”。

1 典型的不可导

可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。

最简单也最实用的反例是绝对值函数y =∣x∣。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点 x = 0 两侧分别用定义计算，易算得右导数为 1 ，左导数是－1

进一步的反例是y =∣sinx∣在点 x = 0 和 y =∣lnx∣在点 x = 1 连续而不可导。

从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。

连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x 轴上方。

y =sinx 在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是 y =∣sinx∣的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。

这是否是一个普遍规律？不是！比如y = x3 与y = | x3 | 在x = 0 点都可导。

函数y = x3 的图形叫“立方抛物线”。在点x = 0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x = 0是立方函数的重零点。

综合上述,在f (x)恒为正或恒为负的区间上，曲线 y = | f (x) | 和曲线 y = f (x) 的光滑性是一致的。

只有在f (x) 的零点处，才可能出现曲线 y = f (x) 光滑而曲线 y = | f (x) | 不光滑的状况。

数学三的考巻上有过这样的 4 分选择题。

例31 f (x) 在点x = a 可导，则 | f (x) | 在x = a 不可导若函数的充分必要条件是

（A） f (a) = 0且 f ′(a) = 0 （B） f (a) = 0 且 f ′(a) ≠ 0

（C） f (a) > 0 且 f ′(a) > 0 （D） f (a) > 0 且 f ′(a) ＜ 0

分析如果没有思路，首先联想 y = x 与 y = | x | 即可排除（A）；

俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。（画外音：如果用代数语言，f (x) 可导，f (a) = 0，而 f ′(a) ≠ 0，则点 a 是f (x) 的单零点。这道题该算擦边题。）

2．讨论深化

我在讲座（2）中举例，“连续A + 不连续B = ？”

如果，“连续A + 不连续B = 连续C”则“连续C －连续A = 不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

推理的关键在于，逆运算减法可行。

自然类似有：可导A + 不可导B = 不可导C 。比如y = x +∣sinx∣在点 x = 0 不可导。

例32函数f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可导点是（？）

分析函数为“和”结构。无论是∣sin x∣的不可导点或∣cos x∣的不可导点，都是f的不可导点。即x = kπ 与x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…

更深化的问题是：可导A × (连续)不可导B ，是可导还是不可导？

比如 y = x ∣x∣在点0可导吗？

与“和”的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A≠0 时，才有 C/A = B 所以

结论1，若f（x）在点x0 可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则积函数y= f（x）g（x）在点x0一定不可导。

结论2（*例33）已知函数 f (x) 在点x = a 可导，函数g (x) 在点x = a 连续而不可导，试证明

函数F（x）= f（x）g（x）在点x = a 可导的充分必要条件是 f (a) = 0.

证明先证充分性，设 f (a) = 0 则 F (a) = 0

令 h→0 , F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h

= (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）

= f ′(a) g（a）

再用反证法证必要性。设函数 F (x) 在点x = a 可导而f (a) ≠ 0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x = a 的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。

例34设函数f（x）可导，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），则f（0）= 0是F(x)在x = 0处可导的（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。

（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A））

分析 1+∣sinx∣是可导函数+ 连续不可导函数类型，在在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A）

例35 函数y =（x2－x－2）∣x3－x∣的不可导点的个数是

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

分析函数y具“积”结构。y = f（x）g（x），可导函数f（x）= x2－x－2只有两个零点x = –1，x = 2，

而连续函数g（x）= ∣x3－x∣有不可导点x = 0 ，x = 1 ，x = –1 ；（即x3－x 的三个零点。）其中有两个不是f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。

实际上，x = –1 是积函数的而重零点。

3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）

函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。

求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？

对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：

“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”

对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：

“是对表达式中的哪一个变元求导？”

对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导.

对幂指型函数求导，视y = f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y ′

还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。

没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。

考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟

在考研试题中，条件“f（x）连续，x 趋于0 时，lim (f（x）/x) = 1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？

无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。

1 条件“f（x）连续，x 趋于0 时，lim (f（x）/x) = 1”推理——→

信息（1），自变量x ，当然是x 趋于0 时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0 时，lim f（x）= 0

（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x = 1 + α（无穷小），即，f（x）= x（1 + α））

信息（2），已知f 连续，故f（0）= lim f（x）= 0

信息（3），（潜台词：这是“双特殊情形”啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值 f ′(0) = 1

信息（4），(“符号体念，近朱者赤。”) 商的极限为正数1 ，在0 点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x 同号，左负右正。

最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。

对比：如果把条件中的分母换成“x2”，则后两条信息就不同了。

信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0

信息（4）*，商的极限为正数1 ，在点0 的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x 的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。

再对比：若考题把条件中的分子换成 f（x）－x ，怎么办？

那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）= f（x）－x ，先对 F 写出结论，再写还原讨论f（x）。

比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f（x）= F（x）+ x 也在原点可导。……。

有了高速路，找到匝道就上去了。

例36 已知x →1 时，lim (x2 + b x + c)∕(x－1) = 3 ，求常数 b ，c 的值。

分析平移到点x =1 用基本推理。记f（x）= x2 + b x + c ，f 连续，由已知极限得

x →1 时，lim f（x）= 0 = f（1），实际计算f（1）得方程1+ b + c = 0

再由已知极限与极限定义得f′(1) = 3 ，实际求导即 2 + b =3 ；联解之， b = 1 c = －2

2．程序化的经典题目

在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为：

“求（分段）函数f (x)的导函数，并讨论导函数的连续性。”

这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。

例37设a为实常数，定义函数f(x)如下x＞0时f(x)=x a s i n(1/x2),x≤0时，f(x)=0 回答下列问题，并简单说明理由。

（1）在什么情况下，f (x) 不是连续函数。（2）在什么情况下，f (x) 连续但在点x = 0 不可微？（3）在什么情况下，f (x) 有连续的导函数f ′(x) ？

*（4）在什么情况下，f (x) 可微但f ′(x) 在原点邻近无界？

*（5）在什么情况下，f (x) 可微，f ′(x) 在原点邻近有界，但 f ′(x)不连续？

分析x ≤ 0 时，f (x) 恒为零，故 f (x) 在0 点左连续，且左导数为0 ；讨论的关键在于：

sin（1/x2），cos（1/x2）都是震荡因子。当x →0+ 时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。

（潜台词：有界变量·无穷小量= 无穷小量）

解（1）a ≤ 0 时，f (x) 不是连续函数，它在点x = 0 处有第二类间断（振荡间断）。

（2）0 < a ≤1 时，f (x) 连续但在x = 0 处不可导。实际上

x→0+ 时，lim (f（x）/x) = lim x（a－1）sin（1/x2）不存在

这又表明，仅当a > 1时，f (x) 在0 点的右导数为0 ，从而f ′(0) = 0；反之则右导数不存在。

于是，a > 1时，f (x)是可导函数。且f ′(x)有分段表达式：

x≤0 时，f ′(x) = 0 ；x＞0 时，f ′(x) =ax（a－1）sin（1/x2）－2 x（a－3）cos（1/x2）

（3）仅当 a > 3 时，f ′(x)的两项在0点的右极限都存在，且都为 0 ；f ′(x)连续。

（潜台词：存在 + 不存在 = 不存在；1＜a≤3 时，f ′(x)不连续。有振荡间断点0。）

*（4）观察 f ′(x)的结构，当 1＜a≤3 时，它之所以会在原点邻近无界，显然是因为其后项存在有负幂因子。即1＜a＜3 时，f ′(x) 在原点邻近无界。

（5）最后，自然有 a = 3 时， f ′(x) 在原点邻近有界，但f ′(x) 不连续。

分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。

再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。

例 38已知函数 f（x）在 x≥a 时连续，且当 x → +∞时 f（x）有极限 A ，试证明此函数有界。

分析（1）用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣≤ C

（2）想用分析法走一步，有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。（？！）

（3）（试探）随便选一个充分大的数b ，函数在a 与 b 组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢？

（4）需要从数值上体念已知极限：

x → +∞时函数有极限A ，即 x → +∞时函数的绝对值无限靠近数 A 的绝对值。

这就是说，我们可以取到充分大的数b，使x＞b 时，恒有∣f（x）∣≤∣ A∣ + 1

（5）a与b组成的闭区间上函数有最大，最小值。取其绝对值。三个正数相比较，最大的那个数就是我们需要的C

啊，我们“构造”出了函数的一个上界。

考研数学指导（10）微分是个新起点

微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。

线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。

“能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的”线性模型去近似非线性模型。即

非线性模型 = 线性模型 + 尾项（非线性模型－线性模型），

关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。

把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0 邻近，能否有

Δy = AΔx + 尾项，尾项 = Δy－AΔx 能否是比Δx 高阶的无穷小？

如果能，就称函数在点x0 可微分。简称可微。记dy = AΔx ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。

将可微定义等式两端同除以Δx ，令Δx 趋于零取极限即知，若函数在点x0 可微，则

常数 A 就是函数在点x0的导数f ′(x0)；从而

Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx) 表示“比Δx 高阶的无穷小。”

或Δy = dy + ο(Δx) ； dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx

要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx 高阶的无穷小，如果∣Δx∣适当小,那么，绝对誤差也能相应地适当小。

不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式：

f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)

历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

近一步可以证明，可微与可导等价。

例 41设函数f（u）可导，y = f（x2）当自变量x 在点x = －1 取得增量Δx = －0.1 时，相应的函数增量Δy 的线性主部为0.1 ，则 f ′(1) = _______

分析Δy 的线性主部即是微分dy ，而 y′(x) = f′(u)2x , y′(1) = －2f′(1)

故 dy = y′(x) dx 具体为 0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得 f ′(1) = 1/2

函数f（x）在一个区间上可导时，我们记微分dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。

函数可微，且f ′(x0)≠0 时，还可以把可微定义等式变形为

Δy / f ′(x0)Δx = 1 +ο(Δx)∕f ′(x0)Δx 令Δx → 0 取极限，即知Δy 和 dy 是等价无穷小。

为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x → 0 过程中

sinx ～ x ； ln（1+x）～ x ；e x－1 ～ x ；√（1+ x）－1 ～ x∕2

它们都是在原点计算Δy 和 dy 而获得的。最好再记住 1－cosx ～ x 2∕2

两条经验：

（1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在x → 0 过程中，α（x）是无穷小，则

sin α（x）～α（x）； ln（1+ α（x））～α（x）；e α（x）－1 ～α（x）

√（1+ α（x））－1 ～α（x）∕2 ； 1－cos α（x）～α（x）2∕2

（2）等价无穷小的差为高阶无穷小。

例42设当x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x2）是比 xsinx n 高阶的无穷小；而x sinx n是比 exp（x2）－1 高阶的无穷小，则正整数n = ？

分析 x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x2）为4次方级的无穷小；x sinx n 是n+1 次方级；

exp（x2）－1 是 2 次方级，由已知，2＜n+1＜4 ，只有 n = 2

我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。

例43 设在区间 [1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值 f（1），使函数在闭区间上连续。

分析（1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点 1 的左极限。

（2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷－无穷”未定式。

（3）“计算无穷－无穷，能通分时先通分”。通分后化为 0/0 型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。

（4）公分母为π(1－x）sinπx ,可以考虑在点 1 计算 sinπx 的等价无穷小

因为 sinπ= 0 ,故Δy = sinπx ；而 dy =πconπΔx = －π（x－1）

作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。

学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的 0/0 型未定式极限。作个对比。

例44 设函数f (x) 在x = 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f (0)≠0 ，f ′(0) ≠0，若

a f（h）+

b f（2h）－f（0）在h → 0 时是较h 高阶的无穷小，试确定数 a 和 b 的值。

分析由高阶无穷小的定义得h → 0 时 lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0

记 F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F 连续。于是（用“基本推理”）由极限式与连续性推出F(0)= lim F(h) =（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0

同时（F(h)－F(0)) / h = F(h) / h，再由极限式得 F ′(0)= 0

实际上， F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0

这就有第二个方程 a + 2b = 0 ；联解之，a = －2 ，b = 1

*分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。

设想h 充分靠近0，则f（x）= f（0）+ f ′(0)x +ο(x) （中心点是原点，Δx = x － 0 = x）

故 f（h）= f（0）+ f ′(0)h +ο(h) f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)

从而 a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f ′(0)h +ο

(h)

要它在h → 0 时是比h 高阶的无穷小，常数项和h 项系数必需为0 ，获得两个方程。

考研数学讲座（11）洛尔定理做游戏

洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。

我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。）

1 费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0

分析我们复习一下“构造法”。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。

“老老实实”地写：设函数在区间内一点x0 取得最大值。写出增量商

(f（x）－f（x0）) /（x－x0）

“实实在在”地想：它有什么特点呢？ f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来，增量商在x0 左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0 ）

增量商在x0 右侧恒负。故右极限即右导数非正。

函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0

（画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢。）

2 洛尔定理——若函数f（x）在闭区间 [a，b] 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点ξ处导数为0

分析函数在闭区间 [a，b] 连续→函数必有最大最小值

端值相等→只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。

函数在（a，b）内可导→内部的最值点处导数为0

请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，叙述十分简明。

运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。

例 47 设函数f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数 f "（x）至少有一个零点。

分析“函数有两个零点”，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。

设函数的3个零点由小到大依次为 x1，x2，x3

顺次取区间 [x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，

ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2

ξ1，ξ2 客观存在。它们组成区间 [ξ1，ξ2] ，且 f ′(x) 在此区间上端值相等。

又已知二阶导数f "（x）存在，即 f ′(x) 可导。对函数 f ′(x) 用洛尔定理就得本题结论。

本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。

不要怕“点ξ”，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。

(画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。)

3 “垒宝塔”游戏

如果函数n 阶可导，且函数有n +1 个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？

我们可以象上例那样，先把这n +1 个零点由小到大排序编号，x1，x2，x3 ，……，x n，x n+1

再顺次组成n个区间， [x1，x2]，[x2，x3]，……，[x n，x n+1]

分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n 个零点，且有大小排序

ξ11 ＜ξ12 ＜……＜ξ1n

同理，顺次取区间 [ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，……，[ξ1（n－1），ξ1n]

共计n－1个区间，分别对一阶导函数 f ′(x) 用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记

为

ξ21 ，ξ22 ，……，ξ2（n－1）

…………

再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n 阶导数有 1 个零点。

这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的“杨辉三角形”。

就当是做游戏吧。一个“垒宝塔”游戏。

4 研考典型大题

考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为

“已知……，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立。”

例 48设f（x）在 [0，1] 上连续，在（0，1）内可导，且f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点ξ，使得 f（ξ）+ ξf ′(ξ) = 0

分析（综合法）ξ只是一个特殊点。ξ就是方程 f（x）+ xf ′(x) = 0 的根。

方程的根转化为函数 g（x）= f（x）+ xf ′(x) 的零点讨论。

（潜台词：我们有“介值定理”，“洛尔定理”两件兵器哦。）

由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即 g （x）是某个函数F（x）的导函数？！

再仔细观察g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。

（画外音：求导不熟练，肯定反应慢。）

实际上它的确是积函数 F（x）= xf（x）的导函数，且恰好端值相等。

证明时只需从“作辅助函数F（x）= xf（x），……”说起。

啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。

考研数学讲座（12）中值公式不为算

数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。

中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。

描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。

描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。

微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式：

f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（尾项，比Δx高阶的无穷小）

历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

之所以是“微局部”的描述公式，是因为只有在x0 的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。

比如，在原点邻近，可以有，sinx = x +ο(x)，（请对比sinx ～ x）。

由此近一步有

x － sinx = x －（x +ο（x））=ο（x）（潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。）

这就是描述型的思路。它告诉我们，x 趋于0 时，x － sinx 是比 x 高阶的无穷小。

在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。

在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。

（1）对尾项的描述能否更具体？

（2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成

f（x）= 以x0为中心的n次多项式 + 尾项（比Δx的 n 次方高阶的无穷小）

《高等数学》在方向（1）上，讲了“拉格郎日公式”；在方向（2）上则讲带有“拉格郎日型尾项的泰勒公式”。（后者只征对考数学一，二的考生）。

拉格郎日公式若函数在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，

使得 f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）

教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。

定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。）也可以有

f（x）－f（x0）= f ′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间，

即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间，

（画外音：一个x相应有一个ξ，理论上构成一个函数关系。）

这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。带ξ的项是尾项。（拉格朗日尾项）。

思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及ξ所属范围处理尾项。

例51已知f（x）在[0，1]可导，且导函数单增，试将f′(0)，f′(1),f (1)－f（0）三个数按大小排序。

分析导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，f（1）－f（0）= f ′(ξ) ，0＜ξ＜1 ，写出这一步来就啥都明白了。

不要怕ξ，它是区间内客观存在的一点。它的范围有时（如上例）也能导出信息。

例52已知f（x）在某区间可导且导函数有界，试证明f（x）恒满足

∣Δy∣≤ C∣Δx∣

分析不知道已知区间是开区间还是闭区间，反正已知有∣f ′(x)∣≤ M（正常数）

在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式

f（x1）－f（x2）= f ′(ξ) (x1－x2 ) ，x1 ＜ξ＜ x 2

等式两端取绝对值，导函数有界的条件管住了ξ，取C = M ，本题结论成立

多写才能熟悉。最好的基本练习是，把上例中的函数具体取为正弦，余弦，指数函数，反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。

例53已知当x 趋于+∞时，lim f′(x)= e ，求 lim （f（x+1）－f（x））

分析对任意给定的 x ,所求极限的变量式，恰是函数 f（t）在点 x 与 x + 1的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。

（画外音：分层次思维，走一步，写一步，再观察。）

f（x+1）－f（x）= f ′(ξ) ，x ＜ξ＜ x +1 ，实际上ξ= ξ（x）

显然，当x趋于+∞时，必有ξ趋于+∞；故，原极限 = lim f ′(ξ) = e

最后的答案来自唯一性定理。

（潜台词：无论ξ（x）以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。）

例54试证明 x ＞ 0 时，ln（1 + x）＜ x

分析 ln（1+x）= ln（1 + x）－ ln1 = x / ξ＜ x ， 1＜ξ＜ x+1

实际计算步骤为，取函数 y（t）= ln（t），则 y′(t)= 1 / t

进而 y′(ξ) = 1 /ξ , 得到结论只用了ξ＞1 ,

“添零项获得增量”。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。

考研数学讲座（13）图形特征看单调

用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。

1．拉格郎日公式的两个推论

推论（1）可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。

推论（2）设函数f(x)在区间（a，b）内可导，且导函数 f ′(x)＞ 0 ，则f(x) 在此区间上单增。

推论(1)是一个很好的“相对比较”练习题。即任选一点x0，视为不变。再任给一点x ，(潜台词:创造增量形式。)比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式，并联系已知条件得到结论。

由推论（1）得到“证明两个可导函数恒等”的程序：

“在某区间上证明可导函数f(x) ≡g(x) ”

—→作 F（x）= f(x)－g(x)，F（x）可导

—→验证fˊ(x)－gˊ(x) ≡ 0 ，证得f(x)－g(x) = 常数

—→选一个特殊点，计算验证这个常数就是 0

你可以试着证明：arcsin x + arccos x = π/2

为什么推论(2)中，“导函数f ′(x)＞ 0”不是可导函数单增的充分必要条件呢？这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为0 。比如，立方函数单增，而它的导数在原点为0 。

（潜台词：要注意函数单增的定义啊，自变量变大，相应的函数值一定也变大。）

例57 设函数f(x) 在实轴上单增，可导，则

（A）在实轴上恒有fˊ(x)＞0 （B）对任意 x ，fˊ(－x)≤0

（C）函数f(－x)在实轴上单增。（D）函数－f(－x) 在实轴上单增。

分析由已知信息只能推得fˊ(x)≥0，（A）错。

fˊ(－x)是个复合函数。其结构是 y = fˊ(u)，u = －x ，故fˊ(－x) ≥0；（B）错。

f(－x) 的导数为－fˊ(－x)，由此知（C）错。应选（D）。

2. “逐阶说单调”

单调性是函数最重要的图形特征。如果一个连续函数分段单调，那么，单调性改变的分界点，就是函数的极值点。这就自然而然地产生了极值点的“第一判别法”。

一个很好玩的游戏是“逐阶说单调”。