初中数学有理数及其运算单元综合培优测试题(附答案)
初中数学有理数及其运算单元综合培优测试题（附答案）
1．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|a﹣1|﹣2a的结果为（）
A．-1 B．-2 C．2a-1 D．1-2a
2．武汉轨道交通7号线一期工程，线路全长31公里，全部地下线，总投资达321亿元，将321亿元用科学记数法可以表示（）
A．0.321×1010元B．3.21×108元
C．3.21×109元D．3.21×1010元
3．地球绕太阳的公转速度是110 000 000m/h，用科学记数法记为（）
A．11×107B．1.1×108C．1.1×109D．110×106 4．+1在下列哪两个连续自然数之间（）
A．2和3B．3 和4C．4 和5D．5 和6
5．在下列各数中，绝对值最大的数是( )
A．－2 B．1 C．1
2
D．－
1
3
6．一个数除以它的倒数，商为1，这个数是( )
A．1 B．2 C．－1 D．－1或1
7．若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中不成立的是（）
A．a＞﹣b B．b﹣a＜0 C．a＞b D．a+b＜0 8．下列说法不正确的是( )
A．0既不是正数，也不是负数B．0的绝对值是0
C．一个有理数不是整数就是分数D．0除以任何一个数都等于0
9．为了响应中央号召，2012年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计约达到53000万元，其中53000万元（保留三位有效数字）用科学记数法可表示为（）A．5.3×107元B．5.30×107元C．530×108元D．5.30×108元10．下列说法正确的有( ).
①－5是有理数②7
3
是有理数③0.3不是有理数④－2是偶数
A．①②③B．①②③④C．②③④D．①②④11．3﹣|x﹣1|的最大值是_____．
12．若|x|=5，则x=_____．
13．计算下列各题：
（1）
___________； （2）
___________； （3）
___________； （4）___________；
14．将数字302000用科学记数法表示为______．
15．﹣8的绝对值是_____．
16．计算：1111112612203042
-----=________． 17．如果中午12点钟记作0时，下午3点钟记作+3时，那么上午11点钟记作_________。 18．计算：﹣22÷（﹣14
）=_____． 19．有理数a 和b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：
（1）a -b ＞0
（2）ab ＞0 （3）-a ＜b ＜0
（4）-a ＜-b ＜a
（5）|a |+|b |=|a -b |
其中正确的是______（把所有正确结论的序号都选上）
20．如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．
21．若a 、b 都是有理数,且210ab a -+-=,
求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)
ab a b a b a b ++++++++++的值。 22．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）
+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7
（1）到晚上6时，出租车在什么位置．
（2）若汽车每千米耗0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？
23．计算：()2016525111[2)3 2.5147????-?---÷-- ? ????
?；()()231234|2|6-?--÷- 24．计算： (1)－21＋(－14)－(－18)－15; (2)－3.5÷7
8×|－34
|； (3)－14－(23－16)×13
×[2－(－3)2]2. 25．计算：
（1）()()1251617-++---； （2）25.3＋（－7.3）＋（－13.7）＋7.7. 26．已知：有理数 a 、b 、c 满足 abc ＜0，且 a ＋b ＋c ＞0，当 x =a
b
c
a b c ++，
y =ab
bc
ca
ab bc ca ++，求代数式12
x - 2(x -13y 2 ) + (-32x + 13y 2 ) 的值. 27．已知：数轴上A 、B 两点表示的有理数分别为a 、b ，且2(a 1)b 20-++=，
()1求2015(a b)+的值．
()2数轴上的点C 与A 、B 两点的距离的和为7，求点C 在数轴上表示的数c 的值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及1-a 的符号，再代入原式进行化简即可．
【详解】
由a 在数轴上的位置可知：0 ∴a-1<0， ∴|a ﹣1|， 故选D 【点睛】 本题考查了绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身． 2．D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中110a ≤<， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【详解】 解：321亿元=32100000000元， 32100000000元这个数用科学记数法可以表示为3.21×1010元. 故选D ． 【点睛】 考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 3．B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时用 原数的整数位数减1，由此即可解答． 【详解】 地球绕太阳的公转速度是110 000 000m/h，用科学记数法记为1.1×108， 故选B． 【点睛】 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．B 【解析】 【分析】 先估算出的范围，即可得出答案． 【详解】 ∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， ∴+1在3和4之间， 故选B． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 5．A 【解析】 分析：先求出各数的绝对值，再比较大小，即可解答． 详解： ∵|-2|=2，|1|=1，|1 2 |= 1 2 ,|- 1 3 |= 1 3 ∴2>1>11 23 . 故选A. 点睛：考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记有理数大小比较．6．D 【解析】 【分析】 根据1的倒数是1,-1的倒数是-1,可得一个数除以它的倒数,商为1,这个数是1或-1. 【详解】 因为1的倒数是1,-1的倒数是-1, 所以一个数除以它的倒数,商为1,这个数是1或-1. 故选D. 【点睛】 本题主要考查有理数除法法则和倒数的概念,解决本题关键是要熟练掌握有理数除法法则和倒数概念. 7．D 【解析】 【分析】 从数轴上可以看出a、b的绝对值和数值的大小关系，从而比较大小. 【详解】 从数轴上可以看出b为负数，a为正数；并且b到原点的距离小于a到原点的距离，即a的绝对值大于b的绝对值，a＞﹣b，b﹣a＜0，a＞b，ABC三个选项都成立，a+b 0,D选项不成立，故正确答案选D. 【点睛】 本题要求学会利用数轴比较数的大小. 8．D 【解析】 【分析】 1、观察题目，回想有理数的概念及分类； 2、根据选项做出判断即可. 【详解】 A、有理数按照大小可以分为正有理数、0和负有理数，所以0既不是正数，也不是负数，说法正确，故本选项不符合题意； B、0的绝对值是0，说法正确，故本选项不符合题意； C、有理数按照定义可以分为整数和分数，所以一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故本选项不符合题意； D 、0除以任何一个数都等于0，因为0÷0是不可能的,0是不能做除数的，所以错误. 故选D. 【点睛】 本题考查的是有理数的有关定义及分类，熟练掌握这一点是解题的关键. 9．D 【解析】 试题解析：53000万元(保留三位有效数字)用科学记数法可表示为85.3010? 元， 故选D. 点睛：科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中110a ≤<，n 为整数． 10．D 【解析】 【分析】 根据有理数的定义及偶数的定义解答即可. 【详解】 ∵①－5是有理数；②73 是有理数；③0.3是有理数； ④－2是偶数. ∴说法正确的是①②④. 故选D. 【点睛】 本题考查了有理数的定义及偶数的定义,熟知有理数的定义及偶数的定义是解决问题的关键. 11．3 【解析】 【分析】 利用表示数轴上的3减去x 到1的距离，求得它的最大值即可. 【详解】 解：∵|x-1|表示数轴上的 x 到1的距离， 要使31x --最大,就要让|x-1|最小, 当x=1时，31x --取得最大值，最大值等于3， 故答案为3. 此题主要考查了此种类型的最值的求法，对于此种最值可以分析其几何意义，然后再求得最值. 12．±5． 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质，由绝对值为5的数是到原点的距离等于5的数求解即可. 【详解】 因为|x|=5 所以x=±5. 故答案为±5. 【点睛】 此题主要考查了绝对值的应用，关键是要掌握一个数的绝对值就是求这个数到原点的距离. 13．2,5,-16, 【解析】 【分析】 （1）根据加法法则计算可得； （2）先计算乘方，再计算乘法即可得； （3）除法转化为乘法，再计算乘法即可得 (4)根据合并同类项的法则进行合并即可． 【详解】 (1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 故答案为：(1). 2, (2). 5, (3). -16, (4). 【点睛】 考查有理数的混合运算以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键. 14．5 3.0210 科学记数法的表示形式为a × 10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解：302000用科学记数法表示为：53.0210?． 故答案为：53.0210?． 15．8 【解析】 【分析】 根据数a 的绝对值是指数轴上表示数a 的点与原点的距离进行求解即可得. 【详解】 数轴上表示-8的点到原点的距离是8， 所以-8的绝对值是8， 故答案为8. 【点睛】 本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键. 16．17 【解析】 【分析】 通过逆用分数减法法则,将式中各分数转化成两个数之差,使得中间项可以互相抵消,从而达到简化计算的目的. 【详解】 原式= 11111111111111111()()261220304222334455667-++++=--+-+-+-+- =17 .. 故答案为:17. 【点睛】 本题考查了分数减法的逆运算.主要是运用了同分母的分数相加的运算法则的逆运算进行对一个分数的拆分进而得出答案. 17．-1时 【分析】 中午12点钟记作0时，下午用正数表示，那么上午用负数表示. 【详解】 上午11点钟与12点钟相差一个小时，记作﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】 本题主要考查正负数的应用. 18．16 【解析】 -?-=16．故答案为16． 解：原式=4(4) 19．（1）、（3）、（4）、（5） 【解析】 【分析】 根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，根据绝对值的意义，判断即可． 【详解】 解：由数轴上点的位置关系，得a＞0＞b，|a|＞|b|． （1）a-b＞0，正确； （2）ab＜0，错误； （3）-a＜b＜0，正确； （4）-a＜-b＜a，正确， （5）|a|+|b|=|a-b|，正确； 故答案为（1），（3），（4），（5）． 【点睛】 本题考查了有理数的大小比较，利用数轴确定a、b的大小即|a|与|b|的大小是解题关键．20．A和C． 【解析】 【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 解：由题意得：点A 表示的数为：2，点B 表示的数为：1，点C 表示的数为：-2，点D 表示的数为：-3， 则A 与C 互为相反数， 故答案为：A 和C ． 【点睛】 本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数的定义即可． 21．20182019 【解析】 【分析】 根据非负数的性质求得a 、b 的值，再代入计算即可求解. 【详解】 ∵210ab a -+-=, ∴ab-2=0，a-1=0， ∴a=1，b=2. ∴()()()()()()1111112220172017ab a b a b a b ++++++++++ = 1111 (12233420182019) ++++???? =11111111 (2233420182019) -+-+-++- =112019 - =20182019. 【点睛】 本题考查的知识点是非负数的性质及有理数的混合运算，熟知 111(1)1 n n n n =-++是解决问题的关键． 22．（1）在停车场东边16千米；（2）13.2升. 【解析】 【分析】 （1）把行驶记录的所有数据相加，然后根据有理数的加法运算进行计算，结果如果是正数，则在停车场东边，是负数，则在停车场西边；（2）把所有数据的绝对值相加，求出行驶的总路程，然后乘以0.2即可求解． 【详解】 （1）（+10）+（﹣3）+（+4）+（+2）+（+8）+（+5）+（﹣2）+（﹣8）+（+12）+（﹣5）+（﹣7） =10﹣3+4+2+8+5﹣2﹣8+12﹣5﹣7 =41﹣25 =16（千米）． ∴到晚上6时，出租车在停车场东边16千米； （2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|﹣2|+|﹣8|+|+12|+|﹣5|+|﹣7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 =66（千米）， 0.2×66=13.2（升）． 答：出租车共耗油13.2升. 【点睛】 本题考查了正负数的意义及有理数的加法运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，解决第（2）问时要注意是把所有数据的绝对值相加．23．(1)36;(2)-1. 【解析】 【分析】 根据有理数混合运算法则，进行计算；先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【详解】 解：()1原式 55 1329 22 ?? =-?--+- ? ?? 55 329 22 =+--415 =- ()2原式()19486 =-?--÷ 3122 =-+ 1=-． 【点睛】 本题考核知识点：有理数混合运算. 解题关键点：熟记有理数运算法则. 24．(1)-32;(2)-3;(3)556 - . 【解析】 分析：（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）原式先计算绝对值运算，再从左到右依次计算即可得到结果； （3）先乘方，再算括号里面的，最后得结果. 详解：（1）原式=-21-14+18-15=-32； （2）原式=783274 - ??=-3； （3）原式=-1-114923??=-556. 点睛：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． 25．（1）-6；（2）12； 【解析】 【分析】（1）根据加法交换律和结合律进行计算比较方便；（2）正负数分开加比较方便. 【详解】解：（1）()()1251617-++--- =-12+5-16+17 =-12-16+5+17 =-28+22 =-6； （2）25.3＋（－7.3）＋（－13.7）＋7.7. =25.3+7.7+[（－7.3）＋（－13.7）] =33+(-21) 【点睛】本题考核知识点：有理数的加减运算.解题关键点：灵活运用加法交换律和结合律. 26．-2. 【解析】 【分析】 由abc＜0，且a＋b＋c＞0可判断出a、b、c 中有一个负数，两个正数，进而可求出x、y 的值，代入代数式求值即可. 【详解】 ∵abc＜0， ∴a、b、c 中只有一个负数或三个都是负数， ∵a＋b＋c＞0， ∴a、b、c 中只有一个负数，其它两个是正数， ∴ab、ac、bc中有两个负数， ∴x =a b c a b c ++=1+1-1=1；y = ab bc ca ab bc ca ++=1-1-1=-1. ∴1 2 x - 2(x - 1 3 y 2 ) + (- 3 2 x + 1 3 y 2 )= 1 2 -2（1- 1 3 ）+（ 3 2 -+ 1 3 ）=-2. 【点睛】 本题考查的是绝对值的性质，根据已知条件确定a、b、c中的负数个数是解题关键. 27．（1）-1（2）-4或3 【解析】 【分析】 （1）根据（a﹣1）2+|b+2|=0，可以求得a、b的值，从而可以得到（a+b）2015的值； （2）由第（1）问中求得的a的值和数轴上的点C与A、B两点的距离的和为7，可知点C 可能在点B的左侧或点C可能在点A的右侧两种情况，然后进行计算即可解答本题． 【详解】 （1）∵（a﹣1）2+|b+2|=0，∴a﹣1=0，b+2=0，解得：a=1，b=﹣2，∴（a+b）2015=（1﹣2）2015=（﹣1）2015=﹣1； （2）∵a=1，b=﹣2，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，数轴上的点C与A、B 两点的距离的和为7，∴点C可能在点B的左侧或点C可能在点A的右侧． ①当点C在点B的左侧时，1﹣c﹣2﹣c=7，解得：c=﹣4； ②当点C在点A的右侧时，c﹣1+c﹣（﹣2）=7，解得：c=3． 综上所述：点C在数轴上表示的数c的值是﹣4或3． 【点睛】 本题考查了数轴、非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 《有理数及其运算》全章复习【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类：（2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数 表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 0C 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若 有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a · (b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积 的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为 偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒 π--a 1 b 2 (3)9-=3 (3)27-=- 九年级数学练习题 一、填空题： 1、 5 的绝对值是 ____________； 2、2010 年我国粮食产量将达到540 000 000 000 千克，用科学记数法可表示为___________ 千克。 3、已知反比例函数y k 的图像过点 (6 ， 1 ) ，则 k=__________ ；x 3 4、函数 y= 1 3x 中，自变量x的取值范围是______________； 5、已知数据3，2，1， 1， 2， a 的中位数是1，则 a=__________； 6、不等式组2x 4 的解集是 __________； 1 x 3 7、圆锥底面的半径为5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积为_______cm2。 8、两圆的半径分别为 5 和 8，若两圆内切，则圆心距等于________。 9、同时抛两枚 1 元硬币，出现两个正面的概率为1 ，其中“ 1 ”含义为 __________ 4 4 _______________________________________________________________ ； 10、把多项式 x4y+2x 2y3 5xy 4+6 3x3y2按 x 的升幂排列是 _______________________________ ； 11、如图是 4 张一样大小的矩形纸片拼成的图形。请利用图形写 a 出一个有关多项式分解因式的等式_____________________ ； b 12、观察下列图形的排列规律（其中△是三角形， □是正方形，○是圆）， □△○□□△○□□△○□□△○□ 若第一个图形是正方形，则第 2006 个图形是 ______( 填图形名称 ) 二、选择题 13、下列运算正确的是( ) A、 a2+a2=a4 B、 4a22a2=2 C、 a8÷ a2=a4 D、a2a3=a5 14、小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案 第二章 有理数及其运算（一） 一、选择题 1.数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（ ） .A 6或6- .B 6 .C 6- .D 3或3- 2.某地区生产总值达到8600000万元,用科学记数法表示应记作（ ） .A 58610?万元 .B 58.610?万元 .C 68.610?万元 .D 78.610?万元 3.下列式子正确的是( ) .A 33--= .B 01020= .C 201611-=- .D ()201611-=- 4.下列四个数中，最小的数是（ ） .A 0 .B 2 .C ()06- .D 5- 5.若3a =，则a 的值是（ ） .A 3 .B 3- .C 3± .D 13- 6.已知a b 、是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示，把a a b b --、、、按照从小到大的顺序排列 ( ) 0b a .A b a a b -<-<< .B a b a b -<-<< .C b a a b -<<-< .D b b a a -<<-< 7.在数023 1.2,,-,-中，属于负正数的是（ ） .A 0 .B 2 .C 3- .D 1.2 8.若320a b a b =,=,-<,则a b +=( ) .A 1或5 .B 1或5- .C 1-或5- .D 1-或5 9.如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ） .A 3 .B 3- .C 13 .D 13 - 10.定义一种运算规则为11a b a b ?= +，根据这个规则，则34? 的值是（ ） .A 712 .B 17 .C 7 .D 12 二、填空题 11.计算()()127482-?-+÷-是结果是 12.从数61352-,,-,,-中任取二个数相乘，其积最小的是 . 13.若有理数a b 、满足()2 3120a b ++-＝，则a b -的值为 ． 14.1231??--- ??? 的相反数是 . 15.若x 是2的相反数，3y =，则x y -= . 16.有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,……，请你探索第2016次输出的结果是 ． 三、解答题 17.计算:()()111212362????-÷-+-?- ? ????? 1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人 ?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 越来越大 2019年初中数学中考复习试题（含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）m ＜ 14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1 4 ，且m ≠0 2．若变量y 与x 成正比例，变量x 又与z 成反比例，则y 与z 的关系是（ ） A ．成反比例 B ．成正比例 C ．y 与2z 成正比例 D ．y 与2 z 成反比例 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是 【 ▲ 】 A ．ab ＜0 B ．ac ＜0 C ．当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小 D ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根 4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 【 ▲ 】 A B C D 5．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件 大约只占0.000 000 7 (平方毫米)，这个数用科学记数法表示为 【 ▲ 】 A ．6 107-? B ．6 107.0-? C ．7 107-? D ．8 1070-? 初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)- -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析) 一．选择题（共13小题） 1．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（） A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 2．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C． D． 3．若关于x的不等式3﹣x＞a的解集为x＜4，则关于m的不等式2m+3a＜1的解为（） A．m＜2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．m＜﹣1 4．关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 5．不等式组的最小整数解是（） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 6．已知点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，则a的取值范围是（） A．a＜﹣3 B．a＞C．﹣＜a＜3 D．﹣3＜a＜ 7．不等式组的整数解的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．无数个 8．已知且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为（） A．﹣1＜k＜﹣B．＜k＜1 C．0＜k＜1 D．0＜k＜ 9．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 10．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（） A．x2 B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜ 11．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是（）A．39 B．36 C．35 D．34 12．“一方有难，八方支援”，雅安芦山4?20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（） A．60 B．70 C．80 D．90 13．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 二．填空题（共12小题） 14．不等式组的解集是． 15．不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是． 16．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．17．若不等式x＜2的解集都能使关于x的一次不等式（a﹣3）x＜a+5成立，则a的取值范围是． 18．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．19．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是． 七年级（上）第二章复习 有理数及其运算 一、有理数的意义 1.有理数的分类 知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 18 1 或 2.数轴 知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数 3. 相反数 知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。 4. 绝对值 知识点： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。 二、有理数的运算 1. 有理数的加法 知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。 加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c ） 多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。 2. 有理数的减法 知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）。 注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中 是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4y x =- D ．12y x =． （13）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . x y O x y O x y O x y O A B C D 1、立体图形 立体图形分三类，柱体锥体和球体，柱的上下一样粗，大小形状相同的。锥的底面是唯一，一头粗来一头细。柱体锥体真奇怪，根矩底面命名的。球体大家都认识，这里不用说别的。 2、正方体展开图 中间四个一连串，上下各一随便放；二三紧连错一个，三一相连一随便；两两相连各错一，三个两排一对齐。 3、不能围城正方体的展开图： 田不能，凹不能，五连六连都不能，7的形状也不能。 4、有理数加法常用技巧 多数相加要记住，先看有无相反数，正加正来，负加负；再看能否凑整数；易通分的放一处，两数结合添括弧。 5、有理数加减法混合运算 统成加法第一步；加号、括号都省去；再看是否有规律；运用法则值求出。 6、倒数： 两数乘积等于1，互为倒数要牢记；母子颠倒练倒立，没有倒数0自己。 7、乘除混合运算口诀： 乘除混合看负号，奇负偶正积牢靠；小数化分带化假，除法变乘约分掉。 8、乘法分配律：a（b+c）=ab+ac 口诀：分配公平最关键，如果漏乘就完蛋； 乘以正数看加减，乘以负数“和”运算。 乘法分配逆运算，相同因数仔细看； 无中生有是难点，提出因数像亮剑。 9、乘方运算的符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂是正数；奇次幂是负数； 0的任何次幂都是0. 10、规律：1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1；-1的奇次幂是-1； 一个数的偶次幂是非负数。即02 n a 11、10的几次幂，一后面就有几个零。互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。 12、乘方： 乘方运算先看底，指数管底没问题；管谁给谁添括号，否则只能管脚底。 13、科学记数法 科学记数很容易，a ×10的n 次幂；a ，n 取值要牢记；a 大于1小于10； n 的取值更好记，整数位数减去1。米毫微纳千倍差，一亿10的指数8。 14、近似数 四舍五入到哪位，就说精确带哪位；要看精确到哪位，还成原数看末位； 要求精确的范围，海阔天空退一位。 15、有理数的混合运算 混合运算不用慌，加减分段帮你忙。有括号的先括号，有乘方的先乘方； 乘除混合排头算，除法分配太荒唐。 16、“加号”“减号”分段法 先把算式念一遍，夹子剪刀来分段；各段运算同时间，加减放在最后算。 17、代入法口诀 挖去字母换上数，分数、负数带括弧。 初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图） 有理数的混合运算专题训练 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1、12411 ()()()23523+-++-+- 2、4 (81)( 2.25)()169-÷-?-÷ 3、11(22)3(11)+--?- 4、31 (12)()15(1)45 +?--?- 5、2232[3()2]23-?-?-- 6、 33102(4)8-÷-- 7、)]21)21[(122--÷ 8、12 1 )]3()2[(2?-?- 9、)6(]3 2)5.0[(2 2 -?-- 10、23533||()14714-?-÷ 11、—22—(—2)2—23+(—2)3 12、222311 6(1)(3)(1)(3)22 -?---÷-?- 13、199711(1)(10.5)()312----?÷- 14、33514 (1)(8)(3)[(2)5]217 ---?+-÷-+ 15、－10 + 8÷(－2 )2 －(－4 )×(－3 ) 16、－49 + 2×(－3 )2 + (－6 )÷(－9 1 ) 17、－14 + ( 1－0.5 )×31×[2×(－3)2] 18、(－2)2－2×[(－21)2－3×43 ]÷5 1． 19、)8()4()6(52-÷---? 20、0)13 2 ()43(2?+-+- 21、6)12()4365127(÷-?+- 22、22)4()5(25.0)4()85 (-?-?--?- 23、)23 2 32(21)21(2--?+- 24、[][] 332)2(3)5(6)7(4-÷--+÷-?- 25、6－（－12）÷2 )2(- 26、（-48）÷ 8 －（-5）÷2 )2 1(- 27、42×)4 3 ()32(-+-÷ 0.25 28、()23)9181(-÷ - 29、()()33323 2 ÷---?- 30、(－5)×6＋(－125) ÷(－5)3第8讲 有理数及其运算(基础)
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第二章 有理数及其运算(一)
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