零点分段法详解
零点分段法:
此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简,化简的结果是随着参数的情况而改变的(绝对值的代数意义),所以需要用零点分段法将参数的情况分类化,然后将每一类化简得出即可。
首先要明确两个词义:
1、零点:是使式子等于0时,未知数的值;如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解:x=1.5,
且一般来说,一个题目中有几个不相同的绝对值,就有几个式子,就对应有几个零点,如|x|+|x+1|应该有两个式子,对应有两个零点,而|x+3|就只有一个式子,只有一个零点。
2、分段:分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出,并且将数轴分割成小段;如
有两个零点时,在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段,一般来说,有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。
一、步骤
通常分三步:
⑴求出所有式子的零点;
⑵将所有求得的零点在数轴上标出来,然后将数轴分段表示出来;
⑶在分出的段中,每一段上讨论原式子的正负形,并将绝对值求出。
例:
(1)化简:|x+1|+|x-1|
分析:首先,在这个题中,应该明确知道有两个式子,对应应该有两个零点,分别将他们求出,得到x+1的零点为x=-1,x-1的零点为x=1;其次,在数轴上标出两个零点,并可以看出它们将数轴分割为3段:
将每一段表示出来:
第一段:x<-1;第二段:-1≤x<1;第三段:1≤x
(注:也可以表示为:第一段:x≤-1;第二段:-1<x≤1;第三段:1<x;分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点,比如上面例题中,在第一段表示出零点x≤-1后,第二段就不可以含有零点,所以第二段若表示成-1≤x<1是错误的。)然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性,然后求出来。
解:由题意,得:
零点为:
①x+1=0 得x=-1;②x-1=0 得x=1;
所以:
①当x<-1时:
原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x
②当-1≤x<1时:
原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2
③当1≤x时:
原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x
(2)化简:|x|+|x+1|+|x-1|
分析:首先,在这个题中,应该明确知道有三个式子,而不是两个,对应应该有三个零点,分别将他们求出,得到x的零点为x=0,x+1的零点为x=-1,x-1的零点为x=1;其次,在数轴上标出三个零点,并可以看出它们将数轴分割为四段。
解:由题意,得:
零点为:
①x=0;②x+1=0 得x=-1;③x-1=0 得x=1;
所以:
①当x<-1时:
原式=(-x)+[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-3x
②当-1≤x<0时:
原式=(-x)+(x+1) +[-(x-1)]= (-x)+x+1+(-x)+1=-x+2
③当0≤x<1时:
原式=x+(x+1) +[-(x-1)]=x+x+1+(-x)+1=x+2
④当1≤x时:
原式= x+(x+1) + (x-1)=x+x+1+x-1=3x
附注:
关于零点分段法结果的检验方法:
因为在分段时,发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的,所以把零点的值代入其左右两段,看结果是否一样,如在例1中,把x=-1代入①与②的化简结果中可以得到结果值都是2,把x=1代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2,所以结果是正确的。
练习:
化简下列式子:
1、|x-1|+|x+5|-|x-3|
2、|x-1|-2|x+3|+3|x+5|
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -,有|x | 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 绝对值的零点分段法 一、教学目标: 1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤; 2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。 二、零点分段法: 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简,化简的结果的随着参数的情况而改变的,所以需要用零点分段法将参数的情况分类化,然后将每一类化简得出即可。 三、词义解释: 1、零点:是使式子等于0时,未知数的值;如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5,且一般来说,一个题目中有几个不相同的绝对值,就对应有几个零点;如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点,分别是0和3,而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点,分别是-1、1和3. 2、分段:分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出,并且将数轴分割成小段:如有两个零点时,在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说,有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。 四、用零点分段法解题的步骤: 通常分三步 (1)求出所有式子的零点; (2)将所有求得的零点在数轴上标出来,然后将数轴分段表示出来; (3)在分出的段中,每一段上讨论原各个式子的正负性,去掉绝对值。 五、例题和练习 题型一:化简 例1、化简∣x∣+∣x-1∣ 练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣ 例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣ 题型二:求最值 例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值. 练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值. 练习1.化简:∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣. .. 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ,有|x | 1 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ,有|x | 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-,有|x | 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[- 1,1],m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x + 21)<f (1 1-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时,x + 21∈[-1,1],1 1-x ∈[-1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方 零点分段法: 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简,化简的结果是随着参数的情况而改变的(绝对值的代数意义),所以需要用零点分段法将参数的情况分类化,然后将每一类化简得出即可。 首先要明确两个词义: 1、零点:是使式子等于0时,未知数的值;如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解:x=1.5, 且一般来说,一个题目中有几个不相同的绝对值,就有几个式子,就对应有几个零点,如|x|+|x+1|应该有两个式子,对应有两个零点,而|x+3|就只有一个式子,只有一个零点。 2、分段:分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出,并且将数轴分割成小段;如 有两个零点时,在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段,一般来说,有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。 一、步骤 通常分三步: ⑴求出所有式子的零点; ⑵将所有求得的零点在数轴上标出来,然后将数轴分段表示出来; ⑶在分出的段中,每一段上讨论原式子的正负形,并将绝对值求出。 例: (1)化简:|x+1|+|x-1| 分析:首先,在这个题中,应该明确知道有两个式子,对应应该有两个零点,分别将他们求出,得到x+1的零点为x=-1,x-1的零点为x=1;其次,在数轴上标出两个零点,并可以看出它们将数轴分割为3段: 将每一段表示出来: 第一段:x<-1;第二段:-1≤x<1;第三段:1≤x (注:也可以表示为:第一段:x≤-1;第二段:-1<x≤1;第三段:1<x;分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点,比如上面例题中,在第一段表示出零点x≤-1后,第二段就不可以含有零点,所以第二段若表示成-1≤x<1是错误的。)然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性,然后求出来。 解:由题意,得: 零点为: ①x+1=0 得x=-1;②x-1=0 得x=1; 所以: ①当x<-1时: 原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x ②当-1≤x<1时: 原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2 ③当1≤x时: 原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x (2)化简:|x|+|x+1|+|x-1| 分析:首先,在这个题中,应该明确知道有三个式子,而不是两个,对应应该有三个零点,分别将他们求出,得到x的零点为x=0,x+1的零点为x=-1,x-1的零点为x=1;其次,在数轴上标出三个零点,并可以看出它们将数轴分割为四段。 利用零点分段法解含多绝对值不等式 对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题, 不少同学感到无从下手, 下面介绍 一种通法——零点分段讨论法. 一、步骤 通常分三步: ⑴找到使多个绝对值等于零的点. ⑵分区间讨论, 去掉绝对值而解不等式. 一般地 n 个零点把数轴分为 n + 1 段进行讨论. ⑶将分段求得解集,再求它们的并集. 二、例题选讲 例1求不等式|x + 2| + I X — 1| > 3的解集. x 的取值把实数分成三个区间, 再分别讨论而去掉绝对值. 从而 2 (x 2) x 1 (x 1) ,I x — 1| = 2 (x 2) 1 x (x 1) 故可把全体实数x 分为三个部分:①x < — 2,②—2W X V 1,③x > 1. 所以原不等式等价于下面三个不等式组: x 2 x 1 2 x 1 (I) ,或(n ) ,或(川) . x 2 1 x 3 x 2 x 1 3 x 2 1 x 3 不等式组 (I ) 的解集是 {x I x <— 2}, 不等式组 ( n ) 的解集是 , 不等式组(川)的解集是{x | x > 1}. 综上可知原不等式的解集是 {x |x < — 2或x > 1}. 例 2 解不等式 I x — 1I +I2 — x I > 3— x . 解:由于实数1, 2将数轴分成(—R, 1] , (1 , 2] , (2 ,+^ )三部分,故分三个区间 来讨论. ⑴ 当x < 1时,原不等式可化为一(x — 1) — (x — 2) >x + 3,即x < 0?故不等式的解集 是{x | x < 0}. ⑵ 当1 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值 符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等 式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因 此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关 键。 1 利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义,即 |x |= x(x x (x 0) 0) x(x 0) ,有 |x | 4 利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法,是指:若数x1,x2x n 分别使含有|x-x1|,|x-x2|,??,|x-x n|的代数式 中相应绝对值为零,称x1,x2,??,x n为相应绝对值的零点,零点x1,x2,??,x n将数轴分为m+1 段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符 号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。 5 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝 对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于 |x a| |x b| m或|x a| |x b| m(m 为正常数)类型不等式。对|ax b| |cx d | m(或<m),当|a| ≠c ||时一般不用。 零点分段法 零点分段法四步走:1、找零点2、画数轴分段3、分段化简4、综上所述 1、阅读下面材料并解决有关问题: 我们知道:|x|=.现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=0,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值x=﹣1和,x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况: ①x<﹣1;②﹣1≤x<2;③x≥2. 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况: ①当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1; ②当﹣1≤x<2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3; ③当x≥2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1.综上讨论,原式=. 通过以上阅读,请你解决以下问题: 化简代数式|x+2|+|x﹣4|. 2、化简代数式2121x x x -++--. 零点分段法解析 1、阅读下面材料并解决有关问题: 我们知道:|x|=.现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=0,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值x=﹣1和,x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况: ①x<﹣1;②﹣1≤x<2;③x≥2. 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况: ①当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1; ②当﹣1≤x<2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3; ③当x≥2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1.综上讨论,原式=. 通过以上阅读,请你解决以下问题: 化简代数式|x+2|+|x﹣4|. 解:当x<﹣2时,|x+2|+|x﹣4|=﹣x﹣2+4﹣x=﹣2x+2; 当﹣2≤x<4时,|x+2|+|x﹣4|=x+2+4﹣x=6; 当x≥4时,|x+2|+|x﹣4|=x+2+x﹣4=2x﹣2; 综上讨论,原式 () () () 222 624 22 x x x x x -+<-? ? =-< ? ? - ? ≤ ≥4 【初高中衔接教材】-----------代数部分 第一节 绝对值与零点分段法 一、知识点 )0 (≥a a a a (-<0) 2. =x 1的几何意义? 3. 11=-x 的几何意义?(两个点) 4.2+x >1的几何意义?(两射线) 5.12≤+x 的几何意义?(一条线段) 一般地,21x x -表示数轴上两点的距离,即21x x -=AB 二、例题 例1:在下列条件下去掉绝对值 (1)()221>---x x x ;(2)()3131≤≤---x x x ;(3)31-+-x x 例2:解绝对值不等式 (1)11<-x ;(2)212<-x ;(3)3121 >+x ;(4)075≥+x ; (5)012<+x ;(6)012≤+x ; 练习:①5 例5:解不等式 (1)5421≤-+-x x ; (2)231≥-+-x x ; (3)131≥-+-x x (4)53312≤-+-x x ; (5)29342≥-+-x x 例5:作出下列函数图像 (1)x y =; (2)1-=x y ; (3)21-+-=x x y ; (4))2(1+-=x x y ; (5)322--=x x y ; (6)322--=x x y 例6:(1)求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 (2)求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7:(1)方程m x x =--322有4个解,求m 的取值范围; (2)不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数,求m 的范围 思考:不等式组 113x x a -≤-≤无解,求a 的范围;分式不等式的解法
绝对值的零点分段法
绝对值大全(零点分段法-化简-最值)
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几种常见不等式的解法
零点分段法详解
利用零点分段法解含多绝对值不等式(20200814154710)
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专题十:零点分段法
1第一节 绝对值与零点分段法
不等式的分类及解法