完整版一元一次方程及其解法

3.1

元一次方程及其解法

1. 一元一次方程 (1) 一元一次方程的概念 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一 次方程.如：7 — 5x = 3,3(x + 2) = 4— x 等都是一兀一次方程. 解技巧正确判断一元一次方程 判断一元一次方程的四个条件是： ①只含有一个未知数(元);②未知数的次数都是一次; ③未知数的系数不能为 0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可. 元' (2)方程的解

①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点: 元方程的解，也叫做方程的根. 一看，它是不是方程中未知数 的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的 解. 如x = 3是方程2x — 4= 2的解，而y = 3就不是方程2x — 4= 2的解. (3)解方程 求方程的解的过程叫做解方程. 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值), 而解方程是指求出方程的解的过程. 【例1 — 11下列各式哪些是一元一次方程 ( 1 1 , A . S=7ab ； B.x — y = 0； C.x = 0； D. _~ = 1

； 2x + 3 =0 ； H.x + 2.

解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程； E.3 — 1 = 2; F.4y — 5= 1; G.2x 2

+ 2x + 1 G 中未知数的次数是 2,所以不是 H 虽然形式上字母 元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程； 的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程； D 中分母中含有未知数，不是 元一次方程；只有 C , F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程.

答案：CF

【例1 — 21 x = — 3是下列方程(

A . — 5(x — 1) = — 4(x — 2) C .尹+ 5= 5

解析：对于选项A ，把x =— 3代入所给方程的左右两边，左边=—

5 X (— 3— 1) = 20,

右边=—4X (— 3 — 2) = 20,因为左边=右边，所以x =— 3是方程一 5(x — 1) = — 4(x — 2)的解； 对于选项B ,把x = — 3代入所给方程的左右两边，

左边=4X (— 3) + 2=— 10,右边=1,因

为左边工右边，所以x =— 3不是方程4X + 2= 1的解，选项C , D 按以上方法加以判断，都 不能使方程左右两边相等，只有

A 的左右两边相等，故应选 A.

答案：A

2. 等式的基本性质

(1) 等式的基本性质

① 性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

用式子形式表示为：

如果 a = b ,那么 a + c = b + c , a — c = b — c.

② 性质2 :等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式. 用式子形式表示为：

如果 a = b ,那么 ac = bc , |= C(c 工 0).

③ 性质3:如果a = b ，那么b = a.(对称性) 如由一8 = y ,得 y =— 8.

④ 性质4 :如果a = b , b = c ,那么a = c.(传递性) 女口：若/ 1 = 60° / 2=/ 1,则/ 2= 60°

(2) 等量代换 在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替， 谈重点应用不等式的

性质的注意事项

(1) 应用等式的基本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上

整式，才能保证所得结果仍是等式. 这里特别要注意：“同时”

坏相等关系.

(2) 等式的基本性质 2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质

1

的区别.

⑶等式两边不能都除以 0,因为0不能作除数或分母. 【例2— 11下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是

( ).

5

B .若 7a = 5,贝U a = y

C .若x

= 0，贝U x = 2

D .若x

— 1 = 1,贝U x — 6= 1

2 6 解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 右边进行相应的变形，得出结论. A 根据等式的基本性质 1,等式U 的两边都减去3y +2,左边是y ，右边是一 3,不是1; C 根据等式的基本性质 2，两边都乘以2,右边应为0,不是2; D 根据等式的基本性质 2, 左边乘以6,而右边漏乘6，故不正确；只有 B 根据等式的基本性质 2，两边都除以 7得 到 a = 7.

答案：B

)的解.

B . 4x + 2= 1 D3x — 1 = 0

简称等量代换.

(或减去)同一个数或同一个

和“同一个”，否则就会破

A .若 4y + 2= 3y — 1，贝U y = 1 确定变形的依据，再对等式的

【例2— 21利用等式的基本性质解方程：

(1)5x — 8 = 12; (2)4x — 2= 2x ; (3)x + 1 = 6; (4)3 — x = 7.

分析：利用等式的基本性质求解.

先利用等式的基本性质

1将方程变形为左边只含有未

知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质

2将未知数的系数化为1.

解：(1)方程的两边同时加上

8,得5x = 20.

方程的两边同时除以 5，得x = 4.

⑵方程的两边同时减去

2x ,得2x — 2 = 0. 方程的两边同时加上 2, 方程的两边同时除以

2, (3) 方程两边都同时「减去 得 x + 1— 1 = 6 — 1,

? - x = 6 — 1.”

(4) 方程两边都加上x ,

得 3 — x + x = 7 + x,3= 7+ x , 方程两边都减去7, 得 3 — 7= 7 + x — 7, ?? — 4= x , 即卩 x = — 4.

3. 解一元一次方程 (1)移项

① 移项的概念及依据： 把方程中的某一项改变符号后， 从方程的一边移到另一边，

这种

变形叫做移项.

因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质 1.

② 移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边. ③ 移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.

即对移动的项进行变号

的过程，^口，一 2 — 3x = 7,把一2从方程的左边移到右边，一 2在原方程中前面带有性质符

号“-”，移到右边后需变成“ + ”， 在移动的过程中同时变号， 没有移动的项则不变号. 所 以由移项，得一3x = 7+ 2.

④ 要注意移项和加法交换律的区别：

移项是把某一项从等式的一边移到另一边，

变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变.如， + 5x

= 1,把 11x = 11变成 号. 辨误区 在移项时

注意 “两变”：一变性质符号，即 “ + ”号变为“—”号，而“—”号变为 “+”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边.

(2)解一元一次方程的步骤

解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为

得 2x = 2. 得 x = 1.

1,

移项要

3

5x — 15x + 3从方程的左边移到右边要变号，得 5x = 1 — 3，是属于移项；而把 5x + 11x — 15x = 11,是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变

移项时应注意的问题

1具体

儿一次方程 (1)这些步骤「在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行， 可将解出的结果代入原方程进行检

解技巧巧解 值得注意的是： 可根据方程的形式，灵活安排步骤； (2)为了避免错误, 验. 【例3— 11下列各选项中的变形属于移项的是 ( A .由 B .由 C .由 D .由 解析： )? 2x = 4,得 x = 2

7x + 3 = x + 5,得 7x + 3= 5+rX

8 — x = x — 5，得一x — x = — 5— 8 x + 9= 3x — 1,得 3x — 1 = x + 9

选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项 B 中x + 5变成5+ x 是应用加法交换 律，只是把位置变换了一下；选项 C 是作的移项变形；选项 D 是应用等式的对称性 “a = b , 则b = a ”所作的变形.所以变形属于移项的是选项 C. 答案：C 【例3-21解方程宁-5 =亍.

分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数 12,去掉分母得

4(2 — x) — 60= 3(x — 1)，再按照步骤求解，特别注意— 5不能漏乘分母的最小公倍数 12. 解：「去分母，方程两边都乘以 12, 得 4(2 — X)— 60= 3(x — 1). 去括号，得 8 — 4x — 60= 3x — 3. 移项，得—4x — 3x =— 3 — 8+ 60. 合并同类项，得—7x = 49. 两边同除以一7,得x = — 7.

4.解复杂的一元一次方程

解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不

是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方

程和方程组的基础. 解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为

x= a(a是一个已知数).

(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同

的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分

数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算.

(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.

▼ I .■ "F亠E 0.4x—9 X —5 0.03 + 0.02x 【例4】解万程 C U — =

0.5

0.03

0.4x—9 0.03 + 0.02X

分析：由于0 5和—0~03—的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子瓷^9的分子、分母中都乘以10,变为^^—聖，在式子驾三严的

3 + 2x

分子、分母中都乘以100,变为然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解.

解：分母整数化，得

4x—90 X—5 3+ 2x

5 — 2 = 3

去分母，得

6(4x —90)—15(x—5) = 10(3 + 2x).

去括号，得

24X—540 —15X + 75= 30 + 20x.

移项，得

24X—15X—20x = 540 —75 + 30.

合并同类项，得

—11x= 495.

两边同除以一11,得

x=—45.

5.与一元一次方程的解相关的问题

方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点. 解题的关键是理

解方程的解的概念.

(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值.

(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值.

【例5—1］关于x的方程3x+ 5= 0与3x+ 3k = 1的解相同，贝U k=( ).

B 4

B . 3

5

解析：解方程3x+ 5= 0,得x=—3.

5 将x = —3代入方程3x+ 3k = 1,

得一5+ 3k= 1,解得k= 2,故应选C.

答案：C

【例5—2］若关于x的方程(m —6)x= m —4的解为x= 2，贝U m =

解析：把x= 2代入方程(m —6)x = m—4,

得(m—6) X 2 = m—4,解得m= 8.

答案：8

6.一元一次方程的常用解题策略

我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，

化未知数的系数为1,可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解

一元一次方程常用的几种技巧.

(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些

题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简

便的方法.

(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快.

有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便.巧解可激

活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣.

【例6—1］解方程3 3 ^x —1—4 = |x+ 1.

3 4 3 3 4 1 1

分析：注意到4X 4= 1,把3乘r以中括号的每一项，则可先去中括号，-X 4 * —4

3 11 3

=|x + 1,再去小括号为^x—4—3 = |x + 1,再按步骤解方程就非常简捷了.

1 1 3

解：去括号，得|x —1—3=討1.

移项，合并同类项，得一x= 17.

17

两边同除以一1,得x=——.

x+ 3 x+ 2 = x+ 1 x+ 4

【例6-2］解方程7 -5 = 6

分析：此题可按照解方程的一般步骤求解, 4 -

但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍

数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分, 5 x+ 3 —7 x+ 2 2 x+ 1 —3 x+ 4

35 12

把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.

—x — 10

.

去分母，得「12( — 2x + 1) = 35( — x — 10). 去括号，得—24x + 12=— 35x — 350. 移项、合并同类项，得

11x = — 362.

362

两边同除以11,得x =—3

6j 2

.

题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题， 理解掌握数学基础知识.

【例7— 11 (1)当a = ___________ 时，式子2a + 1与2— a 互为相反数. ⑵若6的倒数等于X + 2,则x 的值为 __________________ .

解析：(1)根据互为相反数的两数和为 0，可得一元一次方程 2a +c 1+ (2 — a) = 0,解得a =—3;

(2)由倒数的概念：乘积为 1的两个数互为倒数，可得一元一次方程 6(x + 2) = 1,解 /曰 11

得 x

=— 6 .

11

答案：⑴―3 (2)-—

解：方程两边分别通分，得 5x + 3 — 7x + 2 2x + 1 — 3x + 4

.化简, 35

12

—2x + 1

得—3^ =

7.列一元一次方程解题

(1) 利用方程的解求未知系数的值 当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，

代入原方程，得到关于字母系数的等式 (2) 利用概念列方程「求字母的值

利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值， 如根据同类项的定义或一元

一次方程的定义求字母的值.

列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系. 的取值. 谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件

许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在

即将方程的解 (或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可.

常常采用代入法,

再列出方程，解方程从而求出字母

发掘隐含条件时需要全面、深刻地

【例7-2】已知x=- 2是方程号+誉- 分析：把x=- 2代入原方

程，原方程就变成了以k的方程，可以求出k的值.

解：把x=-2代入原方程，得

-2-k 3k+ 2 - 2+ k

+ - (-2)=

去分母，得

2(- 2-k)+3k+ 2-(- 2) X 6 = 3(-2+ k).

去括号，得

—4-2k+3k+ 2 + 12=- 6 + 3k.

移项、合并同类项，得

-2k=- 16.

方程两边同除以一2,得k= 8.

黑体小四

课后作业

【题

01】

下列变形中，不正确的是（

【题02】

【题03】

【题04】A 若x2 5x，则x 5 .

C若盘1 x，则r

下列各式不是方程的是（

A y2

c. p2

解为x

A 2x

C 3(x

B.

D.

B.

若7x 7,则x 1 .

2n

ax ay .

C 2

2pq q

2的方程是（

2) (x 3) 5x

D.

B.

D.

若关于x的方程2x n23(n 4）0是一儿

5x

次方程，求n的值.

x =爭的解，求k的值.

k为未知数的新方程，解含有未知数

【题05】 已知(2 m 3)x (2 3m) x 1是关于x 的

2

儿一次方程，则 m

【题06】 若关于 x 的方程 (2 |m|)x 2

(m 2)x (5

2 m) 0 是 儿一次方程，求 m 的解.

【题07】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 1

5k 0是一儿' 次方程，则

【题08】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 1

5k

儿一次方程，则

.若关于x 的

方程 (k 2

2)x 4kx

5k 0

是,

儿一次方程, 则方程的解 x =

【题09】 (3a 2

8b )x 5bx 7a 0是关于x 的

儿一次方程，且该方程有惟一解，则

21 40 B.空

40

56 15

15

【题10】解方程:5(3 |x)

3(2

【题11】解方程: |(4y)

1(y

【题

12】

解方程:

【题13】解方程:

2x 5x

6

5

才）36

3)

【题14】解方程:

【题

15】

解方程:

【题

16】

解方程:

【题

17】

解方程:

【题18】解方程:

1

——

X

0.7

0.5

0.2X

丄(0.17 0.2X) 1

0.03

3(x 4)

------ 5x 19

0.125

0.45 0

.015 0.01X0.5X 2.5

0.25

0.1X 0.9 0.2X

0.03 0.7

0.015

2[4X

3

2 1

才2)]

【题19】解方程：-[丄（丄X 1） 6] 2 0

3 4 3