泛函分析试题一

泛函分析试题一
泛函分析试题一

泛函分析试题一

一、叙述问答题(第1小题18分,第小题20分,共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题.

设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间.

2 叙述共鸣定理并回答下列问题.

设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例.

二、证明题 (第1小题10分,第2小题15分,第3小题17分,共42分)

1. 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射,A 在X 中稠密,证明)(A f 在1X 中稠密.

2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记

),(),(sup 111

x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞

=n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点.

3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L .

三、应用题 (20分)

设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b

a )(),())((?=定义的

算子T是]

C上的紧算子.

a

[b

,

(完整word版)泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上,()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗? 答:不能,因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=,(),1z x ρ= 2、 试证明:(1)()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证:(1)仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- (2)仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的, 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1 上,)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证:(1)0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ(因为x,y 是连续函数) 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证:∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证:仅证三角不等式。(1)略。 (2) 设12(,)x x x =,12(,)y y y =12R R ∈?,则

《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案

试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

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泛函分析练习题 一?名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部: 7.线性算子、线性范函: 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间: 11.弱有界集: 12.紧算子: 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题: 1.若(x,p)是度量空间,则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明:Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,),)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一, (/>0)关于,单调递增,得 1+,1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)

' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q(x,)') | Q()',z) 一1 + Q(3)1+ /?(),, z) = d(x,y) + d(y,z) 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间,天则当尤〃—尤,乂T y时"(七,月)t (寻),),即内积关于两变元连续。 证明:| (% X,)一(x, y) I2 =| (x/t - x, >; - y)\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ,以)一(x, y)『—。 即Cw〃)T(x,y)。 5.设7x(r) = 若T是从心[0,1]-匕[0,1]的算子,计算||T||;若T是从 ZJ0,1]T ZJ0,1]的算子再求1171。 解:(1)当T是从ZJ0,l]—匕[0,1]的算子。 取x&)=同,贝j]||x()||2=1>||片)川=[后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? (2)当T是从ZJ0,1]T ZJ0,1]的算子时 ||八||2=(。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--

泛函分析试题B

泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分,共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间,是中点列,如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间,是上线性泛函,那么的零空间是中的闭子空XXX,,间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子,如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间,对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间,是的共轭空间,泛函列,如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义,并求的共轭空间。 lp(1),,,, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),

,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间,证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的,证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义,并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页

泛函分析习题解答

第七章 习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 (1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此

泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的( ). A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是( ). A .集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ,则有1 1p q +的值为( ). A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是( )。 2、任何赋线性空间的共轭空间是( )。 3、1l 的共轭空间是( )。

4、设X按积空间成为积空间,则对于X中任意向量x,y成立不等式()当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。 5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子,则T为自伴算子的充要条件是()。 三、判断题(每个3分,共15分) 1、设X是线性赋空间,X中的单位球是列紧集,则X必为有限维。( ) 2、距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、若数满足平行四边形法则,数可以诱导积。( ) 4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( ) 5、设X是线性赋空间,T是X X的有界线性算子,若T既是单射又是满射,则T有逆算子。( ) 四、计算题(10分) 叙述1l空间的定义,并求1l上连续线性泛函全体所成的空间?。 五、证明题(第一个5分,其余10分一个,共45分) 1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子,证明T的定义域至多只能在X中稠密。

最新泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量 空间,p 为何值时,R 是赋范空间。 解:若R 是度量空间,所以R z y x ∈?,,,必须有: ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p p p ,所以,1≤p 若R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈?,, 必须有:||||||||||x k kx ?=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,若R 是度量空间,1=p 时,若R 是赋范空间。 2.若),(d X 是度量空间,则)1,m in(1d d =,d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈?,,有: 1)0),(≥y x d ,因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d , 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2)),(),(y x d x y d =, 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(,0)1(1)(2 >+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

应用泛函分析相关习题

泛函分析练习题 一名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部: 7. 线性算子、线性范函: 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间: 11. 弱有界集: 12. 紧算子: 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题: 1.若(,)x ρ是度量空间,则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明:,,x y z X ?∈ 显然有 (1)(,)0d x y ≥,(,)0d x y =当且仅当x y =。 (2)(,)(,)d x y d y x = (3)由1()111t f t t t = =-++,(0)t >关于t 单调递增,得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++

(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2, 设H 是内积空间,,,,n n x x y y H ∈,则当,n n x x y y →→时,(,)(,)n n x y x y →,即内积关于两变元连续。 证明:22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→,即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子,计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解:(1)当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =,则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = (2)当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤

泛函分析复习题

泛函分析期末复习题(2005-2006年度) (1)所有n n 矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么? (2)什么是线性空间的子空间?子空间是否一定包含零元素?为什么? (3)什么是线性流形? (4)什么是线性空间中的凸集? (5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离,那么这个度量必须满足什么条件?试给出几个在n维欧几里德空间上常用的距离定义 (6)距离空间) X上的收敛是如何定义的? , (d

(7)线性空间上定义的范数必须满足哪些条件? (8)什么是巴拿赫空间?赋范空间中的基本列一定收敛吗? (9)有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗? (10)什么是希尔伯特空间? (11)),(2b L空间是如何构成的?在怎样的内积定义下其可以成为a 一个希尔伯特空间? (12)什么是算子?为什么要求算子T的定义域) D是一个子空 (T 间? (13)算子的范数是如何定义的?从直观角度谈谈对算子范数定义

的理解。 (14)线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗? (15)什么是有界算子?举一个无界算子的例子。 (16)算子的强收敛是如何定义的? (17)设X为一个线性赋范空间,而Y为一个Banach空间。那么从X到Y的线性算子所构成的空间), L是否构成一个Banach空 (Y X 间? (18)什么是压缩映像原理?它在力学中有什么重要应用? (19)什么是泛函?什么是泛函的范数?

(20) 什么是线性赋泛空间X 的共轭空间?线性赋泛空间X 的共轭 空间是否总是完备的? (21) 什么是弱收敛?弱收敛与强收敛之间是什么关系? (22) 什么是的Gateaux 微分? (23) 什么是泛函的(一阶)变分?它是如何定义的? (24) 形如dt t x t x t g t x J b a ))(),(,())(('?=的泛函,其对应的Euler-Lagrange 方程是什么? (25) 什么是结构的应变能密度?什么是余能密度?二者关系如 何?试画图说明。

泛函分析试题一

泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分,第小题20分,共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分,第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1. 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射,A 在X 中稠密,证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 (20分) 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的

泛函分析试题

1. 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数,λ为 常数,1λ<,求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2. 设s 为一切实(或复)数列组成的集合,在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑,其中, ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3. 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ,如果任意的0ε>, 存在基本列{}n y ,使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4. 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5. 为了()F C M ?使一个列紧集,必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6. 设 () ,A x y ?∈,求证(1). 1 sup x A AX ≤=,(2 ) 1 sup x A AX <=。 7. 设X 是一个Hilbert 空间,(),a x y 是X 上的共轭双线性函数, 并存在0M >,使得( ),a x y M x y ≤,则存在唯一的()A x ?∈, 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8. 求证()2f L ?∈Ω,方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9. 设X 是复线性空间,P 是X 上的半模,()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =,()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10. 叙述开映象定理并给出证明。 11. 叙述共鸣定理并给出证明。

泛函分析试卷(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的( ). A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是( ). A .集X 是开的 B.集Y 是开的

C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l,则有11 p q +的值为(). A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l的共轭空间是()。 4、设X按内积空间成为内积空间,则对于X中任意向量x,y 成立不等式()当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。 5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子,则T为自伴算子的充要条件是()。 三、判断题(每个3分,共15分) 1、设X是线性赋范空间,X中的单位球是列紧集,则X必为有限维。 ( ) 2、距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、若范数满足平行四边形法则,范数可以诱导内积。( ) 4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( ) 5、设X是线性赋范空间,T是X X的有界线性算子,若T既是单

泛函分析习题

泛函分析复习资料 一、判断题(每小题4分,共20分) 1、设X 是线性赋范空间,X 中的单位球是列紧集,则X 必为有限维。 ( ) 2、 距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、 若范数满足平行四边形法则,范数可以诱导内积。( ) 4、 任何一个Hilbert 空间都有正交基。( ) 5、设X 是线性赋范空间,T 是X X 的有界线性算子,若T 既是单射又是满射,则T 有逆算子。( ) 二、选择题(每小题5分,共25分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件 不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的( ). A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列

4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是(). A.集X是开的 B.集Y是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l,则有11 p q +的值为(). A.1- B.1 2C.1 D.1 2 - 三、填空题(每小题5分,共25分) 1、距离空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l的共轭空间是()。 4、设X按内积空间成为内积空间,则对于X中任意向量x,y 成立不等式()当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。 5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子,则T为自伴算子的充要条件是()。 四、证明题(每小题15分,共15分) 1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子,证明T的定义域至多只能在X中稠密。

应用泛函分析习题解答

1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3.设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列,证明}{k x 有界,即∞?ε,0N ?,当0,N n m >时,有εε<-?<-m n m n x x x x ,不妨设m n x x ≥,则0, ,N n m x x m n >+<ε。取0N m =,则有 0 ,0N n x x N n >+<ε, 令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ,则 1 ,≥?ε,总0N ?,当0,N p n ≥时,有 ε<-+n p n y y ,所以}{n y 是E 中的Cauchy 列,又因为E 是Banach 空间,则必 存在E ∈x ,使得∑∑∞ ==∞ →==1 1 lim k k n k k n x x x 。 9.(Hamel 基)设A 是线性空间E 的非空子集,若A 中任意多个元素都是线性无关的,则称A 是线性无关的。若A 是线性无关的,且E =A span ,则称A 是E 是的一个Hamel 基。此时若A 是无穷集,则称E 是无穷维的;若A 是有限集,则称E 是有限维的,并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。通常用E dim 表示 E 的维数, 并约定当}0{=E 时,0dim =E ,可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。证明酉空间n C 的维数为n ,并问当视n C 为实线性空间时,其维数是多少? 证明:设n y x C ∈,,C ∈βα,, 则有n y x C ∈+βα。令)0,0,1,0,0( 项 共项 第n k k =e ,则对任意的),,(21n x x x x =,必有∑==n k k k x x 1 e ,因此},,,{21n e e e 是空间n C 的基,则n n =C dim 。 当视n C 为实线性空间时,可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ,则对任意的 ) ,,(21n x x x x =,有 ∑∑==+=n k k k n k k k i x g x x 1 1 ) )((Im )Re(e e ,所以 n n 2dim =C 。 10.证明∞=],[dim b a C ,这里b a <。 证明:取],[,0,)(b a t k t t x k k ∈≥=,只需证},,{10 x x 线性无关。为此对 0≥?n ,令01 =∑=n k k k x c 。则00!01 =?=?=∑=n n n n k k k c c n x c 次求导 。因此必有 01 1 =∑-=n k k k x c ,求该式求1-n 导后有00)!1(11=?=---n n c c n 。依次类推,有 001====-c c c n n ,所以对任意的0≥n ,都有},,{10n x x x 线性无关,即∞=],[dim b a C 。 第 二 节 2.(点到集合的距离)设A 是E 的非空子集,E ∈x 。定义x 到A 的距离为: }|inf{),(A A ∈-=y x y x d 证明: 1) x 是A 的内点?0),(>c x d A ; 2) x 是A 的孤立点?A ∈x ,且0}){\,(>x x d A ; 3) x 是A 的外点?0),(>A x d 。 解: 1)必要性: x 是 A 的内点 内点的定义 ?ε ?,使得

非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释 弱收敛,弱*收敛,,0()k p W Ω,强制,Gateaux 可微,Frechet 可微,紧映射,正则点,临界点,正则值,临界值,2C 映射的Brouwer 度,全连续场,全连续场的Leray-Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分 212 1222 1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=? 四. 证明Poincare 不等式:存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T u W u u u L T R ? ∈=∈,有 1,p T W u C u ∞ ≤ 五. 设n R Ω?是有界闭集,(,,)k x y u 是2 R Ω?上的连续函数,证明积分算子 :()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω Ω→Ω=? 是全连续算子。 六. 设X 是Banach 空间,:[0,)f X X +∞?→连续,对固定的[0,)t ∈+∞,(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的,并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界,证明:存在0β>,使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解 (,) (0)dx f t x dt x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式:设,,u v w 是[,]a b 上的实函数,其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积,v 在[,]a b 上绝对连续,w 在[,]a b 上连续,若它们满足 ()()()(), t a w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤? 则 ()()exp(())exp(()) t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设:n n f R R R ?→连续,关于 x 是局部Lipschitz 的,关于t 是T 周期的,若存在球(0)n r B R ?使得 (0),[0, ]r x B t T ∈?∈时,1 (,),(,)0n i i i f t x x f t x x =<>=<∑,证明下列初值问题存在T 周期解 (,) dx f t x dt ?=??

泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上,()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗? 答:不能,因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=,(),1z x ρ= 2、 试证明:(1)()12 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定义 了度量。 证:(1)仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- (2)仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的, 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1 上,)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证:(1)0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ(因为x,y 是连续函数) 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证:∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证:仅证三角不等式。(1)略。 (2) 设12(,)x x x =,12(,)y y y =12R R ∈?,则

泛函分析考试试卷自制试卷

B、(A*)*=A** D、(aA)*= a A* x?X有 泛函分析考试试卷 、选择题。 1、下列说法不正确的是( ) A、n维欧式空间R n是可分空间 B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集 C、 I a是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的 答案:D 2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射,那么T在x°?x连续的充要条件是() A、当xm x o (n fg)时,必有 Tx n i Tx o (n^m) B、当 X n f x o (n ig)时,必有T X O T Tx n (n^m) C、当 X O T x n (n fg)时,必有 Tx n i Tx o (n^m) D、当 X n f x o (n^O)时,必有 Tx n f Tx o (n0) 答案:D 3、在度量空间中有() A、柯西点列一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛,而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案:C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间 C、空间l p是巴拿赫空间 D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案:D 5、下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A、(A+B)*=A*+B*; C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案:B 、填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为 __________________ O 答案:原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件是T是X上的。 答案:连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子,那么T=0的充要条件是对一切 答案:(Tx , x) =0 4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子,并且 答案:=

泛函分析习题1

习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上,定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ,证明(1)(,)ρR 不是度量空间;(2)(,)d R 是度量空间. 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间,:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数,且满足,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+,令(,)((,))d x y f x y ρ=,证明X d (,)为度量空间. 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间,证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+. 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=,对于123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ,定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ .证明 X d (,)为度量空间. 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组,例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =,对于任意的,()x y X n ∈,定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数,例如在(3)X 中,(110,111)1d =,(010,010)0d =(010,101)3d =.证明((),)X n d 为度量空间. 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间, A X ?且A ≠φ.证明A 是开集当且仅当A 为开球的并. 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间.那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集. 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列.证明(),n n n a d x y =是收敛列. 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间,在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+,其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?,1p ≥为正数.证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间. 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间,{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集,证明1n n G ∞ =I 也是X 中的稠密子集. 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ,证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集. 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间,A X ?且A φ≠.证明 (1){|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集. (2){|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集,其中0ε>.

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