(完整word版)2017年徐汇区初三数学一模试卷及答案

2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案

初三数学 试卷 2017.1

（时间100分钟 满分150分）

考生注意∶

1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．如果y x 32=，那么下列各式中正确的是（ B ）

（A ）

32=y x ； （B ）3=-y x x ； （C ）3

5=+y y x ； （D ）52=+y x x ． 2．如果一斜坡的坡比是4.2:1，那么该斜坡坡角的余弦值是（ D ） （A ）

512； （B ）125； （C ）135； （D ）13

12． 3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是

2)1(2-=x y ，那么原抛物线的表达式是（ C ）

（A ）2)3(22

--=x y ； （B ）2)3(22

+-=x y ； （C ）2)1(22

-+=x y ； （D ）2)1(22

++=x y ．

4．在ABC ?中，点E D 、分别在边AC AB 、上，联结DE ，那么下列条件中不能判断ADE ?和ABC ?相似的是( D )

（A ）BC DE //； （B ）B AED ∠=∠；（C ）AC AB AD AE =； （D ） BC

AC

DE AE =

． 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是?60，那么此时飞机与监测

点的距离是( C )

（A ）6000米； （B ）31000米； （C ）32000米； （D ）33000米． 6．已知二次函数3422

-+-=x x y ，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( A ) （A ）1≥x ； （B ）0≥x ； （C ）1-≥x ； （D ）2-≥x ．

二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．已知线段9=a ，4=c ，如果线段b 是c a 、的比例中项，那么=b __6___．

8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，B C =b ，那么=AC __b a

-__．

9．如图1，EF CD AB ////，如果2=AC ，5.5=AE ，3=DF ，那么=BD __

7

12__． 10．如果两个相似三角形的对应中线比是2:3，那么它们的周长比是__2:3___． 11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点)(BP AP >，那么请你写出一个关于线段、、BP AP

AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：__ AB BP AP ?=2__(答案不唯一)．

12．在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，如果4=CD ，3=BD ，那

么A ∠的正弦值是___

5

3

___． 13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果

1=DE ，那么=AF ___4

9

___．

14．已知抛物线ax ax y 42

-=与x 轴交于点B A 、，顶点C 的纵坐标是2-，那么

=a ___

2

1

___． 15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线

间的距离都是1，如果4:3:=BC AB ，那么AB 的长是___

4

73

___． 16．在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC 、相交于O ，如果ACD BOC ??、的面积分

别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是___16___． 17．在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，5=AC ，3=BC ，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC ?

沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是___52___．

18．如图3，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是

边CD 的中点，BF CF 2=，?=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂

足分别为Q P 、，那么AQ

AP

的值是___13392___．

图3

F A

B

C

D

E 图2

A

B C

D

A B C D E

F

图1

三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；

满分78分） 19．（本题满分10分）

计算：1

30cos 45tan 45cot 30cot 60sin 2-??

+?-?-?．

解：原式12

3

1

13232-+

--?

= 2

32133-+

+-=

332--=

20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）

将抛物线442

+-=x x y 沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于 点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ． 求：（1）点D C B 、、坐标； （2）BCD ?的面积．

解：（1）由题意，得新抛物线的解析式为542

--=x x y ，

∴可得)5,0(-C 、)9,2(-D ；

令0=y ，得0542

=--x x ，解得11-=x 、52=x ； ∴点B 坐标是)0,5(．

（2）过点D 作y DA ⊥轴，垂足为A ．

∴ADC BOC AOBD BCD S S S S ???--=梯形

5521

42219)52(21??-??-?+?=

15=．

21．（本题共2小题，每题5分，满分10分）

如图4，已知梯形ABCD 中，BC AD //，4=AB ，3=AD ，AC AB ⊥，AC 平

分DCB ∠，过点D 作AB DE //，分别交BC AC 、于E F 、，设AB a =，=b

．

求：（1）向量（用向量a 、b 表示）； （2）B tan 的值．

解：（1）∵BC AD //∴ACB DAC ∠=∠；又AC 平分DCB ∠∴ACB DCA ∠=∠；

∴DCA DAC ∠=∠；∴DC AD =； ∵AB DE //，AC AB ⊥，可得AC DE ⊥； ∴CF AF =；∴CE BE =．

∵BC AD //，AB DE //，∴四边形ABED 是平行四边形； ∴AB DE =；

∴=a

=，=b 2

121=；

∴b a

2

1+=．

（2）∵ACB DCF ∠=∠，?=∠=∠90BAC DFC ；

∴DFC ?∽BAC ?；∴

2

1

==CA CF BC DC ； 又3==AD CD ，解得6=BC ； 在BAC Rt ?中，?=∠90BAC ， ∴52462222=-=-=AB BC AC ；

∴2

5

452tan ===

AB AC B ．

图4

A

B

C D

E F

如图5，一艘海轮位于小岛C 的南偏东?60方向、距离小岛120海里的A 处，该海轮从

A 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东?45方向的

B 处．

（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（结果保留根号）； （2） 如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0.1小时）．

（参考数据：41.12≈，73.13≈）．

解：（1）过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ．

由题意，得?=∠30ACD ；

在ACD Rt ?中，?=∠90ADC ，∴AC

CD

ACD =∠cos ； ∴3602

3

12030cos =?

=??=AC CD （海里）． （2）在BCD Rt ?中，?=∠90BDC ，?=∠45DCA ，

∴BC

CD

BCD =∠cos ；

∴4.14644.2606602

2

3

6045cos =?≈==?=

CD BC （海里）

； ∴3.732.7204.146≈=÷（小时）．

答：该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离是360海里；

它从B 处到达小岛C 的航行时间约为3.7小时．

如图6，已知ABC ?中，点D 在边BC 上，B DAB ∠=∠，点E 在边AC 上，满足 CE AD CD AE ?=?．

（1）求证：AB DE //；

（2）如果点F 是DE 延长线上一点，且BD 是DF 和AB 的比例中项，联结AF ．

求证：AF DF =．

23．证明：（1）∵CE AD CD AE ?=?，∴

CD

AD

CE AE =

； ∵B DAB ∠=∠，∴BD AD =；

∴CD BD CE AE =； ∴AB DE //．

（2）∵BD 是DF 和AB 的比例中项，∴AB DF BD ?=2

； 又BD AD =，∴AB DF AD ?=2

；

∴

AD

AB

DF AD =

； ∵AB DE //，∴BAD ADF ∠=∠； ∴ADF ?∽DBA ?； ∴1==BD AD DF AF ； ∴AF DF =．

图6 A B C D

E

24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）

如图7，已知抛物线32

++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E ．

（1）求点D 的坐标；

（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值；

（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM ?和ABC ?相似，求点M 的坐标．

解：（1）∵抛物线32

++-=bx x y 与y 轴交于点

，∴

又抛物线32

++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）， ∵OC OB =；∴)0,3(B ； ∴0339=++-b ，解得2=b ； ∴322

++-=x x y ；∴)4,1(D ．

（2）∵OC OB =，∴?=∠=∠45OBC OCB ；

∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴?=∠45DCy ； ∴?=??-?=∠90452180DCB ； ∴32

2

3cot ===

∠DC BC DBC ． （3）由322++-=x x y ，可得)0,1(-A ．在AOC ?和BCD ?中，

3==CD

BC

AO CO ，

?=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ?∽BCD ?，∴CBD ACO ∠=∠； 又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠，

∴?=∠=∠45OCB E ；

当EBM ?和ABC ?相似时，已可知CBA E ∠=∠；

又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；

由题意，得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ．

∴18)33()3(2

2=++-x x ，解得5

6

1-=x ，02=x （舍去）； ∴点M 的坐标是)5

3,56(--．

25．（本题满分14分）

如图8，已知ABC ?中，3==AC AB ，2=BC ，点D 是边AB 上的动点，过点D 作

BC DE //，交边AC 于点E ，点Q 是线段DE 上的点，且DQ QE 2=，联结BQ 并延长，

交边AC 于点P ．设x BD =，y AP =．

（1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）当PEQ ?是等腰三角形时，求BD 的长； （4分） （3）联结CQ ，当CQB ∠和CBD ∠互补时，求x 的值． （6分）

解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ．

∴

21==QE DQ PE DF ；又BC DE //，∴1==AB

AC

BD EC ； ∴x BD EC ==；y x PE --=3；

∵AC DF //，∴

AB

BD

AP DF =

；即323x y y x =--， ∴3

239+-=

x x

y ；定义域为：30<

∴当PEQ ?是等腰三角形时，PBC ?也是等腰三角形；

?1当BC PB =时，ABC ?∽PBC ?；∴AC CP BC ?=2；

即)3(34y -=，解得35=

y ，∴353239=+-x x ，解得19

12

==x BD ；

图8

Q

P

D

B

A

C E B A

C

备用图

Q

P

D

B

A

C E

F

?2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴

13239=+-x x ，5

6

==x BD ；

?3当PB PC =时，点P 与点A 重合，不合题意．

（3）∵BC DE //，∴?=∠+∠180CBD BDQ ；又CQB ∠和CBD ∠互补，

∴?=∠+∠180CBD CQB ；∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =， ∴四边形BCED 是等腰梯形；∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠； 又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠； ∴BDQ ?∽QEC ?；

∴

EC DQ QE BD =：即2

22x DQ =，∴2x DQ =，2

3x DE =； ∵BC DE //，∴

AB AD

BC DE =

；即332

23x x -=； 解得 73

24

254-=

x ．