实验2 离散时间傅里叶变换

电 子 科 技 大 学

实 验 报 告

学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建

一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换

二、实验目的：

熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。

三、实验内容：

1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换

(a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n =

2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。

3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。

4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。

5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：

(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；

(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；

(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。

四、实验原理：

1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：

2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数

(2)()()j j X e X e ??π+=

3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。

*()()

Re[()]Re[()]

Im[()]Im[()]()()

()()

j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠

4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有

1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+

5．时移

[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==

6．频移

00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=

7．反转（翻褶）

[()]()j F x n X e ω--=

五、实验器材（设备、元器件）：

PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1

六、实验步骤：

本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。

[()]()()(),

()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：

七、实验源代码：

1．（a）

w = [0:1:500]*pi/500;

x = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));

magx = abs(x);angx = angle(x);

realx = real(x);imagx = imag(x);

subplot(2,2,1);plot(w/pi,magx);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Magnitude Part');ylabel('Magnitude') subplot(2,2,3);plot(w/pi,angx);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Angle Part');ylabel('Radians')

subplot(2,2,2);plot(w/pi,realx);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Real Part');ylabel('Real')

subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagx);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Imaginary Part');ylabel('Imaginary')

1.（b）

n = -1:3;x = 1:5;

k = 0:500;w = (pi/500)*k;

X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k);

magX = abs(X);angX = angle(X);

realX = real(X);imagX = imag(X);

subplot(2,2,1);plot(k/500,magX);grid

xlabel('frequency in pi units');title('magnitude Part')

subplot(2,2,3);plot(k/500,angX);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Angle Part')

subplot(2,2,2);plot(k/500,realX);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Real Part')

subplot(2,2,4);plot(k/500,imagX);grid

xlabel('frequency in pi units');title('Imaginary Part')

2．

n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n;

k = -200:200;w = (pi/100)*k;

X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);

magX = abs(X);angX = angle(X);

subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|x|')

title('Magnitude Part')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);grid

xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi') title('Angle Part')

3．

subplot(1,1,1)

n = -5:5; x = (-0.9).^n;

k = -200:200;w = (pi/100)*k;

X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);

magX = abs(X);angX = angle(X);

subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

axis([-2,2,0,15])

xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|x|')

title('Magnitude Part')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);grid

axis([-2,2,-1,1])

xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi') title('Angle Part')

4．（1）

x1 = rand(1,11);x2 = rand(1,11);n = 0:10;

alpha = 2; beta = 3;

k = 0:500;w = (pi/500)*k;

X1 = x1 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);

X2 = x2 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);

x = alpha*x1 + beta*x2;

X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);

X_check = alpha*X1 + beta*X2;

error = max(abs(X - X_check))

4.（2）

x = rand(1,11);n = 0:10;

k = 0:500;w = (pi/500)*k;

X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);

y = x; m = n+2;

Y = y * (exp(-j*pi/500)).^(m'*k);

Y_check = (exp(-j*2).^w).*X;

error = max(abs(Y - Y_check))

4.（3）

n = 0:100; x = cos(pi*n/2);

k = -100:100;w = (pi/100)*k;

X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);

y = exp(j*pi*n/4).*x;

Y = y * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);

subplot(1,1,1)

subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(X));grid;axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|X|')

title('Magnitude of X')

subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(X)/pi);grid;axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('randiands/pi') title('Angle of X')

subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(Y));grid;axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|Y|')

title('Magnitude of Y')

subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(Y)/pi);grid;axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('randiands/pi')

title('Angle of Y')

4.（4）

n = -5:10; x = rand(1,length(n));

k = -100:100;w = (pi/100)*k;

X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);

y = fliplr(x);m = -fliplr(n);

Y = y* (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);

Y_check = fliplr(X);

error = max(abs(Y - Y_check))

5.（a）

Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t)); Wmax = 2*pi*2000;K =500; k = 0:1:K;W = k*Wmax/K; Xa = xa * exp(-j*t'*W)*Dt;Xa = real(Xa);

W = [-fliplr(W),W(2:501)];

Xa = [fliplr(Xa),Xa(2:501)];

subplot(1,1,1)

subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);

xlabel('t in msec');ylabel('xa(t)')

title('Analog Signakl')

subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);

xlabel('Frequency in KHz');ylabel('Xa(jW)'*1000)

title('Continuous-tine Fouroer Transform')

5.（b）（c）

Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t)); Ts = 0.0002;n = -25:1:25;x = exp(-1000*abs(n*Ts));

K =500; k = 0:1:K;w = pi*k/K;

X = x * exp(-j*n'*w);X = real(X);

w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];

X = [fliplr(X),X(2:K+1)];

subplot(1,1,1)

subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);

xlabel('t in msec');ylabel('x1(n)')

title('Discrete Signal');hold on

stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 msec');hold off

subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);

xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X1(w)')

title('Discrete-time Fourier Transform')

八、实验数据及结果分析：

2.1.a

2.2

2.4

2.5bc

九、实验结论：

离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete-time Fourier Transform）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f(nT)变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱F(eiω)，值得注意的是这一频谱是周期的。

十、总结及心得体会：

通过此次实验中练习使用matlab语言进行离散傅里叶级数变换和逆变换的方法，更为熟悉的掌握了matlab的功能，在实验过程中也遇到很多小问题，并通过仔细检查和查阅相关书籍解决此类问题，让我深刻认识到，细节的重要性。在使用help过程中，深切体会到良好的英语基础和充实的课堂知识的重要性。

十一、对本实验过程及方法、手段的改进建议：

建议大家多使用help

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