10.1.4 概率的基本性质

课标要求素养要求

通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养

教材知识探究

甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.

问题甲获胜的概率是多少？

提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.

概率的基本性质一般地，概率有如下性质：

概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B).

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).

教材拓展补遗

[微判断]

1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)

2.不可能事件的概率不一定为0.(×)

3.必然事件的概率一定为1.(√)

4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的

概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)

5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于2

3.(√)

提示任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]

1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16

B.13

C.12

D.1

解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B

2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.

解析因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.8

3.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]

1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝?，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？

提示不对，若A ∩B ＝?，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.

2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？提示不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.

题型一互斥事件概率公式的应用

应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和

【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出

现2点”.已知P(A)＝P(B)＝1

6，求出现1点或2点的概率.

(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)

＝3

10，P(B)＝

2，求这3只球中既有红球又有白球的概率.

解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B

可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝1

6＋

6＝

3，所以出现1点或出现2点的概率是

(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3

10＋

2＝

5，所以这3只球

中既有红球又有白球的概率是4 5.

规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.

【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：

(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).

解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.

(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.

(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.

(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.

所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.

题型二对立事件概率公式的应用

若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1

3，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.

解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.

即甲获胜的概率是1

(2)法一设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.

法二设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.

即甲不输的概率是2

规律方法对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.

【训练2】某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.

解某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三概率性质的综合应用

【例3】某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：

0.19. (1)求x 的值；

(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少

名？

每个个体被抽到的可能性都是n

(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x

2 000＝0.19，∴x ＝380.

(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为500

2 000×48＝12.

(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －

为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共

11个，事件A －

包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －

)＝6

11.

因此，P (A )＝1－611＝5

11.

规律方法求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.

【训练3】某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；

(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？

解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，

所以他不乘轮船去的概率为0.8.

(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，

P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，

故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.

一、素养落地

1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.

2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

3.求复杂事件的概率通常有两种方法

(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.

二、素养训练

1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()

A.0.3

B.0.7

C.0.1

D.1

解析∵A，B是互斥事件，

∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，

∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.

答案 A

2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()

A.A?B

B.A＝B

C.A＋B表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.

答案 C

3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()

A.0.3

B.0.6

C.0.7

D.0.8

解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.

答案 C

4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()

A.3

25 B.

8 C.

16 D.

解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝14

32＋

32＝

答案 B

基础达标

一、选择题

1.若A，B是互斥事件，则()

A.P(A∪B)<1

B.P(A∪B)＝1

C.P(A∪B)>1

D.P(A∪B)≤1

解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D

2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()

A.0.5

B.0.3

C.0.6

D.0.9

解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.

答案 A

3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()

A.1

3 B.

4 C.

6 D.

解析从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝1

4. 答案 B

4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18

B.38

C.58

D.78

解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝7

8. 答案 D

5.下列四种说法：

①对立事件一定是互斥事件；

②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

解析对立事件一定是互斥事件，故①对；

只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错；因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点，故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错；若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题

6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是

________.

解析由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.81

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为1

4，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.

解析由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 1928

8.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.

解析设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题

9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.

解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.

(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.

(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.

(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，

则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.

10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是1

3，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是5

12.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.

解从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.

由题意得?????

P （A ）＝1

3，

P （B ＋C ）＝512，

P （C ＋D ）＝5

12，

P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1，则?????P （B ）＋P （C ）＝5

12，

P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，

解得?????P （B ）＝1

4，P （C ）＝16，P （D ）＝14，

故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是1

能力提升

11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件

A 的概率是________.

解析由题意得???P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝2

答案 13

12.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：

(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.

解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.

(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.

创新猜想

13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为1

6，事件A 表示“小于5的

偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －

的概

率为P (B －

)＝________，事件A ＋B －

(B －

表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.

解析由题意知，B －

表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －

)＝26＝1

3，事件A

与事件B －

互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －

)＝P (A )＋P (B －

)＝26＋26＝46＝2

答案 13 23

14.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为

7，从中取出2粒都是白子的概率是12

35.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率

是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.

解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥

事件，故所求的概率为1

7＋

35＝

35.不同色的概率为1－

38＝

35.

答案17

谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。关键词:条件概率，事件、样本空间 1.条件概率的概念一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P ) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P ) ()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 性质：1. ()P B A =1- )|(A B P 2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别 )|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。 3.条件概率的解题方法：解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法: （1）化为古典概型解决 )()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数（2）化为几何概型解决 )()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,) A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等（3）条件概率公式法如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式 =)|(A B P ) ()(A P AB P 计算

概率的基本性质

3.1.3概率的基本性质 1．了解事件间的包含关系和相等关系． 2．理解互斥事件和对立事件的概念及关系．(重点、易错易混点) ) 3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点 [基础·初探] 教材整理1事件的关系与运算阅读教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列问题．

同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有() A．M?N B．M?N C．M＝N D．M＜N 【解析】事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M?N.故选A. 【答案】 A 教材整理2概率的性质阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题． 1．概率的取值范围为[0,1]． 2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 3．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)， P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0. 4．概率的加法公式的含义 (1)使用条件：A，B互斥． (2)推广：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)

＋P(A2)＋…＋P(A n)． (3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)互斥事件一定对立．() (2)对立事件一定互斥．() (3)互斥事件不一定对立．() (4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．() (5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．() (6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．() 【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)× 2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于() A．0.3B．0.2 C．0.1 D．不确定【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．【答案】 D 3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 【答案】0.65 [小组合作型] () A．至多两件次品B．至多一件次品 C．至多两件正品D．至少两件正品

条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P (B |A )＝ . (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果事件A 与B 相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B ) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) ； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝ 42＋4＝23 ，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1 3， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11 27. 2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正

条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题一、知识点 ①只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A)，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ②在古典概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) ③在几何概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) 事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数区域AB的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A的几何度量(长度，面积，体积等) 条件概率及全概率公式 .对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B). 答：不是?有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P(A) > P(A| B), 这种猜测是错误的?事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令 A=｛抽到一数字是3的倍数｝; B=｛抽到一数字是偶数｝; B2=｛抽到一数字大于8｝,那么 P(A)=3/10, P(A| B i)=1/5, P(AB)=1. 因此有P(A) > P(A| B i), P(A) v P(AB). .以下两个定义是否是等价的? 定义1. 若事件A、B满足P(A^=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立?答：不是的?因为条件概率的定义为 P(A B)=P(AB?/ P(B)或P(B| A)=P(A^/ P(A) 自然要求P(A)丰0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上，若P(A)=0 由0W P(AB) < P(A)=0 可知P(AB=0 故P(AB=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化. . 对任意事件 A 、B, 是否都有P(AB < P(A < P(A+B) < P(A)+P(B). 答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)

6概率的基本性质

3.1.3 概率的基本性质（第三课时）一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片四、教学设想： 1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、例题分析：例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”．

概率的基本性质教学设计

《概率的基本性质》教学设计蓟县第四中学于海存一、说教材： 1、教材的地位及作用：本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第一节第三课时概率的基本性质，本节课主要是结合具体实例以螺旋上升的方式由浅入深地学习概率的一些基本性质，学生在前面已经学习了集合的表示方法（Venn图）和随机事件的概率，已具有一定的归纳、抽象的能力，这些都是学习本节内容的基础。本节在教材中起着承上启下的作用。一方面把所学的概率知识应用于实际生活，另一方面为今后学习概率其他知识做了理论上的准备。 2、教学目标：知识与技能：（1）了解事件之间的相互包含关系、相等关系，知到和事件、积事件的意义，（2）通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义；（3）掌握概率的几个基本性质并能简单应用。过程与方法：类比集合，揭示事件的关系与运算，培养学生的类比与归纳的数学思想，情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神.在观察发现中树立探索精神，在探索成功后体验学习乐趣。 3、教学重点与难点：根据本节课内容即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定如下教学重难点。重点：互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。难点：正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 4、课时安排：1课时二、说教法：根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用“开放性教学”，充分了解学生的最近发展区，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识。 1) 立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出； 2）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点。三、说学法：引导学生用观察、类比、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯和思维习惯。 1格式已调整，word版本可编辑.

条件概率

答案：59 探究点1 利用定义求条件概率甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？【解】设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，根据题意，得 P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是 P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝0.120.18＝23 . (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝3 5. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝ P （AB ） P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ， B 同时发生．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________．解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2 ＝π，正方形EFGH 的面积为? ?? ??2r 22 ＝2，所以P (A )＝2 π . P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，所以P (B |A )＝1 4 .

概率的基本性质教案

《概率的基本性质》教案使用教材：人教版数学必修3 教学内容：1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系； 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算； 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。一、事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C 1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C 2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C 3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C 4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C 5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C 6. 老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D 1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D 2，﹛出现的点数小于5﹜记为D 3，﹛出现的点数小于7﹜记为E ，﹛出现的点数大于6﹜记为F ，﹛出现的点数为偶数﹜记为G ，﹛出现的点数为奇数﹜记为H ，等等都是该试验的事件。那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？ 1、学生思考若事件C 1发生（即出现点数为1），那么事件H 是否一定也发生？学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ?（或A B ?）特殊地，不可能事件记为 ?，任何事件都包含 ?。练习：写出 D 3与E 的包含关系（D 3 ?E ） 2、再来看一下C 1和D 1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C 1发生，D 1 是否发生？（是，即C 1 ?D 1）；又若D 1发生，C 1是否发生？（是，即D 1? C 1）两个事件A ，B 中，若A B B A ??，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。所以C 1 和D 1相等。 “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ←→ 全集 ↓ ↓ 每一个事件 ←→ 子集这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A 和事件B 的并事件，记作A ∪B ，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B 。我们知道并集A ∪B 中的任一个元素或者属于集合A 或者属于集合B ，类似的事件A ∪B 发生等

条件概率试题

2.2.1 条件概率【学习要求】 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A) 也可以利用缩小样本空间的观点计算. 1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈． (2)如果B与C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝.

[一点通]求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝n(AB) n(A) ，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝P(AB) P(A) ，特别要注意P(AB)的求法．[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同． [精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果． ∴P(A)＝2×3 4×3 ＝ 1 2，P(AB)＝ 2×1 4×3 ＝ 1 6. ∴P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 1 3. (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1. ∴P(A1)＝2×4 4×4＝ 1 2，P(A1B1)＝ 2×2 4×4 ＝ 1 4. ∴P(B1|A1)＝P(A1B1) P(A1) ＝ 1 4 1 2 ＝ 1 2. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为1 2.

高中数学必修三3.1.3《概率的基本性质》

3.1.3《概率的基本性质》【学习目标】 1.说出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念； 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。【重点难点】教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质【知识链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．育网【学习过程】 1. 事件的关系与运算思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件? (1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H C1。一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B A ( 或A B )；任何事件都包含不可能事件. [来源:https://www.360docs.net/doc/4419000588.html,]（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. （3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？[来源:https://www.360docs.net/doc/4419000588.html,] 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与事件B的并事件（或和事件）是什么含义？当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B). （4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 （5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B有且只有一个发生.

概率基本性质及古典概型

概率基本性质及古典概型例1．在60 件产品中有30件是一等品，20件是二等品，10 件是三等品。从中任取3件，计算：（1）3件都是一等品的概率；（2）2 件是一等品、 1 件是二等品的概率；（3）一等品、二等品、三等品各有一件的概率。例2．甲、乙二人参加普法知识问答，共有10 个不同的题目，其中选择题6个，判断题 4 个，甲、乙两人依次各抽一题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两题人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？例 3 ．有 6 个房间安排 4 个旅游者住，每人可以住任一个房间，且进住各个房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件A :指定的4个房间各有一人；（2）事件B: 恰有 4 个房间各有一人；（3）事件C:指定的某个房间中有两人；（4）事件D: 第一号房间有一人，第二号房间有三人。

1下列事件是随机事件的有( ) A若a,b,c都是实数，则a*(b*c)=(a*b)*c B没有空气和水，人也可以生存下去 C掷一枚硬币，出现反面D在标准大气压下，水的温度达到90C 2在1,2,3,4四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是( ) 2 111 A 3 B 2 C 4 D 8 3从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) 11 2 A 2 B 3 C 3 D 1 4若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，则点P落在圆 X2+y2=16内的概率为 __________________ 5根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：0型50% , A型15% , B型30% , AB型5%，现有一血液为A 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为() A 20% B 15% C 45% D 65% 6设A,B为互斥事件，则A, B ( ) A 一定互斥 B 一定不互斥C不一定互斥D与A U B互斥 7如果事件A , B互斥，那么( ) A A U B是必然事件 B A U B是必然事件 C A与B 一定互斥 D A与B 一定不互斥 8射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24, 0.28, 0.19, 0.16 0.13，计算这个射手在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率 (2)至少射中7环的概率 ⑶射中环数不足8环的概率 9甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题。 (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

条件概率及其应用

本科毕业论文（设计） (2014 届) 条件概率及其应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学姓名冯杰指导教师孙晓玲职称副教授

摘要条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念,在概率论的知识体系中起着承上启下的作用.因而本文以条件概率及其应用作为研究课题,研究条件概率的概念、性质以及相关的四个公式(条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)的基本计算方法,并研究全概率公式以及贝叶斯公式在实际生活中的应用.通过本课题的研究,可了解抽签问题和风险决策问题中全概率公式和贝叶斯公式的应用.了解应用条件概率方法可以使实际生活中的问题转变为相关概率计算,让问题解决过程变得简洁,清晰.因此,研究条件概率及其应用有着极其重要的意义. 关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；风险决策

ABSTRACT Conditional probability is an important and useful concepts in probability theory, play a connecting role in probability theory system. So in this paper, the conditional probability and its application as the research subject, research condition probability concept, character and correlation of four formula (conditional probability formula, multiplication formula, the formula of total probability, the Bias formula) the basic calculation methods, application and study the full probability formula and Bias formula in practical life. Through the study of this subject, can understand the application of ballot problem and risk decision making problem in the whole probability formula and Bias formula. The probabilistic method to understand the application conditions can make real life problems into the relevant probability calculation so, problem solving process more concise, clear. Therefore, there is an extremely important significance of conditional probability and Its Applications. Key words：conditional probability；complete probability formula；Bayes formula；Risk decision

“概率基本性质”专项练习题1

某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这射手在一次射击中至多8环的概率是（） A．0.48 B．0.52 C．0.71 D．0.29 A 考点：概率的基本性质．专题：概率与统计．分析：利用对立事件的概率的性质直线计算．解答：解：∵某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，∴这射手在一次射击中至多8环的概率p=1﹣0.24﹣0.28=0.48．故选A．点评：本题考查概率的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意对立事件的概率的性质的应用．选择题不透明的袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中42个红球，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是（） A．0.32 B．0.35 C．0.65 D．0.19 B 考点：概率的基本性质．专题：计算题．分析：因为口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，所以可求出口袋内白球数．再根据其中有42个红球，可求出黑球数，最后，利用等可能性事件的概率求法，就可求出从中摸出1个球，摸出黑球的概率．解答：解：∵口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23， ∴口袋内白球数为23个，又∵有42个红球，∴黑球为35个．从中摸出1个球，摸出黑球的概率为 35 100 =0.35

点评：本题考查了等可能性事件的概率求法，属于基础题，必须掌握．选择题下列叙述错误的是（） A．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1 B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 D 考点：概率的基本性质；概率的意义．专题：计算题．分析：根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项A，对立事件是互斥事件的子集可判定选项B，分别求出抽到有奖奖券的概率可判定选项C，概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值可判定选项D．解答：解：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，故选项A正确互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，对立事件是互斥事件的子集，故选项B正确 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，甲抽到有奖奖券的概率为1 5 ，乙抽到有奖奖券的概率为411 545?=，则乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同，故选项C正确概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故选项D不正确故选D．点评：本题主要考查了概率的基本性质，以及互斥事件、对立事件、必然事件、不可能事件等有关概念，属于基础题．选择题若P（X≥x1）=1﹣α，P（X≤x2）=1﹣β，其中x1＜x2，则P（x1≤X≤x2）=（） A．（1﹣α）（1﹣β） B．1﹣（α+β） C．1﹣α（1﹣β） D．1﹣β（1﹣α）

浅谈条件概率

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 引言 (1) 1.条件概率的定义及意义 (1) 1.1条件概率的定义 (1) 1.2几何直观意义 (1) 1.3 概率直观意义 (2) 2.条件概率的性质及算法 (2) 2.1 条件概率的性质 (2) 2.2条件概率的算法 (3) 3.条件概率系列公式的关系探讨 (4) 3.1乘法公式 (4) 3.2全概率公式 (4) 3.3贝叶斯公式 (5) 3.4 系列公式使用的技巧 (5) 3.5例题解析 (6) 4.结束语 (9) 参考文献 (10)

浅谈条件概率学生姓名：李青烨学号：20090401057 数学与计算机科学系数学与应用数学指导老师：王瑞瑞职称：讲师摘要：条件概率是“概率论与数理统计”课程的重要知识之一，文章从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．关键词：条件概率;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式 Abstract : Conditional probability is one of the important knowledge of the probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional probability , quality, algorithm , the connection of serial formulas of conditional probability and some rules and skills about the using of these formulas. Key Words : Conditional probability ；Multiply formula ；Probability formula ； Bayesian formula 引言概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，而条件概率又是概率论与数理统计一个重要知识点．本文从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率． 1.条件概率的定义及意义 1.1条件概率的定义若),,(P F Ω是一个概率空间，F B ∈，且0)(>B P 则对任意的F A ∈，称(|)P A B ) () (B P AB P = 为已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率．条件概率的意义，可以从以下二个方面来阐述. 1.2几何直观意义我们可以用单位正方形来表示样本空间Ω,用正方形内任一封闭曲线围成的图形

10.1.4 概率的基本性质

10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养 . 教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3. 概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 教材拓展补遗 [微判断] 1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×) 2.不可能事件的概率不一定为0.(×) 3.必然事件的概率一定为1.(√) 4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的

概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√) 5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于2 3.(√) 提示任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练] 1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.1 解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B 2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________. 解析因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.8 3.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考] 1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝?，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示不对，若A ∩B ＝?，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件. 2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？提示不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立. 题型一互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和