2010—2016天津中考数学压轴题(学生版)
20010年—2016年天津中考压轴题解析
3.(2010·天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线2
=-++与x轴交于点A、B(点A在点B
y x bx c
的左侧)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为E.
(Ⅰ)若2
c=，求此时抛物线顶点E的坐标；
b=，3
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE= S△ABC，求此时直线BC的解析式；
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE= 2S△AOC，且顶点E 恰好落在直线43
=-+上，求此时抛物线的解析式.
y x
4.(2011·天津)已知抛物线1C ：2
1112
y x x =-+．点F (1，1)． (Ⅰ) 求抛物线1C 的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：
11
2AF BF
+= ②抛物线1C 上任意一点P (P P x y ，))(01P x <<)．连接PF ．并延长交抛物线1C 于点Q (Q Q x y ，)， 试判断
11
2PF QF
+=是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线1C 作适当的平移．得抛物线2C ：221
()2
y x h =
-，若2x m <≤时．2y x ≤恒成立，求m 的最大值．
5.(2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (–1，y C )在该抛物线上．
(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求
A
B C
y y y -的值；
(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求A
B C
y y y -的最小值．
6.(2013·天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：
(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；
(Ⅱ)若经过点T(0，t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x，y2)．
(1)求y2与x之间的函数关系式；
(2)当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．
7.(2014·天津)在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A(2，0)，点E、点F、点M 都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.
(Ⅰ)若点M的坐标为(1，–1).
①当点F的坐标为(1，1)时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P(x，y)，求y
关于x的函数解析式；
(Ⅱ)若点M (1，m)，点F(1，t)，其中t ≠0.过点P作
PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ时，试用含t的式子表示m.
8.(2015·天津)已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)．
(Ⅰ)当b=2，c= –3时，求二次函数的最小值；
(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
9.（2016年）已知抛物线C ：2
21y x x =-+的顶点为P ，与y 轴的交点为Q ，点F （1，1
2
）. （Ⅰ）求点P ，Q 的坐标；
（Ⅱ）将抛物线C 向上平移得到抛物线C ′，点Q 平移后的对应点为Q ′，且FQ ′＝OQ ′. ① 求抛物线C ′的解析式；
② 若点P 关于直线Q ′F 的对称点为K ，射线FK 与抛物线C ′相交于点A ，求点A 的坐标.
解析版
3.(2010·天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E . (Ⅰ)若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E
恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.
解：(Ⅰ)当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.
∴ 抛物线顶点E 的坐标为(1，4)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =， ∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++(0c >)．
∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c
-++=的两个根为11
x =21x =+
∴ 此时，抛物线与x 轴的交点为10()
A ，10()
B +． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ．
∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △
ABC ． ∴ BF AB == 设对称轴1x =与x
轴交于点D ， 则1
2
DF AB BF =
+= 由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CO
DF OB
=
． ∴
．结合题意，解得 54
c =
． ∴ 点54(0 )C ，，5
2( 0)B ，．
设直线BC 的解析式为y mx n =+，则
5,4
50.2n m n ?=???
?=+?? 解得 1,2
5.4
m n ?
=-???
?=?? ∴ 直线BC 的解析式为15
24y x =-+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
(Ⅲ)根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，(0h >，0k >) 则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，
， 与x
轴的交点为0()A h -
，0()B h +
0h >) 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，
∴ S △BCF = 2S △AOC .
得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D . 则
1
22
DF AB BF h =
+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CO
DF OB
=
． ∴
2=
，即2220h k -+=．
结合题意，解得
h =
① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ② ∴
1=． 有1k =，12h =．∴ 抛物线的解析式为23
4
y x x =-++． ．．．．．．．．．．10分
4.(2011·天津)已知抛物线1C ：2
1112
y x x =-+．点F (1，1)． (Ⅰ) 求抛物线1C 的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：
112AF BF
+= ②抛物线1C 上任意一点P (P P x y ，))(01P x <<)．连接PF ．并延长交抛物线1C 于点Q (Q Q x y ，)，
试判断
112PF QF
+=是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线1C 作适当的平移．得抛物线2C ：221
()2
y x h =
-，若2x m <≤时．2y x ≤恒成立，求m 的最大值．
解 (I )∵2211111(1)222
y x x x =
-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为(1
12
， )．
(II )①根据题意，可得点A (0，1)， ∵F (1，1)．
∴AB ∥x 轴．得AF =BF =1，
112AF BF
+= ②
112PF QF
+=成立． 理由如下：
如图，过点P (P P x y ，)作PM ⊥AB 于点M ，则FM =1P x -，PM =1P y -(01P x <<) ∴Rt △PMF 中，由勾股定理，得
22222(1)(1)P P PF FM PM x y =+=-+-
又点P (P P x y ，)在抛物线1C 上， 得211
(1)22
P P y x =
-+，即2(1)21P P x y -=- ∴222
21(1)P P P PF y y y =-+-=
即P PF y =．
过点Q (Q Q x y ，)作QN ⊥AB ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．
图文∠PMF =∠QNF =90°，∠MFP =∠NFQ ， ∴△PMF ∽△QNF 有
PF PM
QF QN
= 这里11P PM y PF =-=-，11Q QN y QF =-=-
x
∴
11PF PF
QF QF -=- 即
112PF QF
+= (Ⅲ) 令3y x =，
设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，x 0′，且0x < x 0′， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线2
12
y x =
左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线2C 向右不断平移，0x ，x 0′ 的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，．2y x ≤恒成立时，m 的最大值在x 0′ 处取得. 可得当02x =时．所对应的x 0′ 即为m 的最大值．
于是，将02x =带入2
1()2
x h x -=，
有2
1(2)22
h -=解得4h =或0h =(舍) ∴2
21(4)2
y x =-
此时，23y y =，得2
1(4)2
x x -=
解得02x =，x 0′=8 ∴m 的最大值为8.
5.(2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (–1，y C )在该抛物线上．
(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求
A
B C
y y y -的值；
(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求
A
B C
y y y -的最小值．
解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10.
①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (–2，6). ②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (–1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上，
∴y A =15，y B =10，y C =7.∴
15
5107
A B C y y y ==--.
(Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012b
x a
=-
-＜. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1.
连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，
则BD =y B －y C ，CD =1.
过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )， 交x 轴于点F (x 2，0).
则∠F AA 1=∠CBD .∴Rt △AF A 1∽Rt △BCD . ∴
11
AA FA BD CD
=
，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴
AG EG
BD CD
=
，即A E B C y y y y --=1–x 1. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (–1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上， ∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a –b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ，
∴
2111()()
1()
a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12+x 1–2=0， 解得x 1= –2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜–1. 则1–x 2≥1–x 1，即1–x 2≥3.∴A
B C
y y y -的最小值为3.
解法2：
(Ⅱ)解：设m ＞0，由于b ＞2a ＞0，令b =2a +m 当y 0≥0恒成立时，应有b 2–4ac ≤0 ∴(2a +m )2–4ac ≤0 ∵a ＞0
∴c ≥2(2)4a m a +=2(2)4a m a +–2m +2m =2
(2)4a m a -+2m
∵2
(2)4a m a
-≥0
∴c ≥2m
∵点A (1,y A )、B (0,y B )、C (–1,y C )在抛物线y =ax 2+bx +c 上 ∴y A =a +b +c , y B =c , y C = a –b +c ∴
A B C y y y -=()a b c c a b c ++--+= a b c
b a
++-
代入b =2a +m ,得
A B C y y y -= 22a a m c a m a ++++-= 2a m a c a m ++++= 21a c
a m
+++
∵c ≥2m , ∴
A B C y y y -= 21a c a m +++≥221a m
a m +++=3
∴A
B C
y y y -的最小值为3
解法3：
A (1,a +b +c )、
B (0,c )、
C (–1,a –b +c )
由B (0,c )、C (–1,a –b +c )得直线BC 为y =(b –a )x +c ∵AE ∥BC ∴设直线AE 为y =(b –a )x +m
将A (1,a +b +c )代入上式，得m =2a +c . ∴直线AE 为y =(b –a )x +2a +c
由()2
–2y b a x a c y ax bx c
?=++??=++??得x 2+x –2=0. 解得E 点横坐标为x 1=–2(x 1=1舍去)
∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴
A
B C
y y y -的最小值为3.
6.(2013·天津)已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示： (Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式；
(Ⅱ)若经过点T (0，t )作垂直于y 轴的直线l ′，A 为直线l ′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P (x ，y 2)． (1)求y 2与x 之间的函数关系式；
(2)当x
解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0，9
4
)，
∴c =94
．
∴y 1=ax 2+bx +9
4
，
∵点(–1，0)、(3，0)在抛物线y 1=ax 2+bx +
9
4
上， ∴90499304a b a b ?-+=????++=??，解得，3432
a b ?=-????=
??
∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1= –34x 2+32x +94
；
(II )∵y 1= –34x 2+32x +9
4，
∴y 1= –3
4
(x –1)2+3，
∴直线l 为x =1，顶点M (1，3)． ①由题意得，t ≠3，
如图，记直线l 与直线l ′交于点C (1，t )，当点A 与点C 不重合时， ∵由已知得，AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ANMP 为菱形， ∴P A ∥l ，
又∵点P (x ，y 2)， ∴点A (x ，t ) (x ≠1)， ∴PM =P A =|y 2–t |，
过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q (1，y 2)， ∴QM =|y 2–3|，PQ =AC =|x –1|， 在Rt △PQM 中，
∵PM 2=QM 2+PQ 2，即(y 2–t )2=(y 2–3)2+(x –1)2，整理得，y 2=
162t -(x –1)2+3
2
t +， 即y 2=162t -x 2–1
3t
-x +21062t t --，
∵当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合， ∴P (1，
3
2
t +)， ∴P 点坐标也满足上式，
∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=162t -x 2–1
3t
-x +21062t t -- (t ≠3)；
②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y 2开口方向向上时，6–2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M (1，3)，抛物线y 2的顶点(1，
3
2
t +)， ∵3＞32
t +，
∴不合题意，
当抛物线y 2开口方向向下时，6–2t ＜0，即t ＞3时，
y 1–y 2= –34(x –1)2+3–[162t -(x –1)2+3
2t +]
=3114(3)t t --(x –1)2+32
t
-， 若3t –11≠0，要使y 1＜y 2恒成立， 只要抛物线y =
3114(3)t t --(x –1)2+32t -开口方向向下，且顶点(1，32
t
-)在x 轴下方，
∵3–t ＜0，只要3t –11＞0，解得t ＞
11
3
，符合题意； 若3t –11=0，y 1–y 2= –13＜0，即t =11
3
也符合题意．
综上，可以使y 1＜y 2恒成立的t 的取值范围是t ≥11
3
．
7.(2014·天津) 在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x =1，点A (2，0)，点E 、点F 、点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P . (Ⅰ)若点M 的坐标为(1，–1).
① 当点F 的坐标为(1，1)时，如图，求点P 的坐标； ② 当点F 为直线l 上的动点时，记点P (x ，y )，求y 关于x 的函数解析式；
(Ⅱ)若点M (1，m )，点F (1，t )，其中t ≠0.过点P 作 PQ ⊥l 于点Q ，当OQ ＝PQ 时，试用含t 的式子表示m .
解：(Ⅰ) ①∵点O (0,0),点F (1,1).
∴直线OF 的解析式为y =x 设直线EA 的解析式为y =kx +b
由点E 和点F 关于点M (1,–1)对称，得点E (1,–3) 又点A (2,0).点E 在直线EA 上. ∴203k b k b +=??
+=-?解得3
6
k b =??=-?
∴直线EA 的解析式为y =3x –6 ∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，
有36y x y x =??=-?.解得33x y =??=?
∴点P 坐标为(3,3) ②由已知，设点F (1,t ) ∴直线OF 的解析式为y =tx 设直线EA 的解析式为y =kx +b
由点E 和点F 关于点M (1，–1)对称，得点E (1,–2–t ) 又点A 、点E 在直线EA 上
∴202k b k b t +=??+=--?解得22(2)k t b t =+??=-+?
∴直线EA 的解析式为y =(2+t )x –2(2+t ) ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点 ∴tx =(2+t )x –2(2+t )，化简，得t =x –2 有y =tx =(x –2)x =x 2–2x
∴y 关于x 的函数解析式为y =x 2–2x (Ⅱ)根据题意，同(Ⅰ)可得 直线OF 的解析式为y =tx
直线EA 的解析式为y =(t –2m )x –2(t –2m ) ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点 ∴tx =(t –2m )x –2(t –2m )，m ≠0
化简，得2t
x m =-. 有y =tx =22t t m -
∴点P 坐标为(2t
m -,22t t m -)
∵PQ ⊥l 于点Q ，点Q (1,2
2t t m
-)
∴OQ 2=2
21(2)t t m +-，PQ 2=2(1)t m
- ∵OQ =PQ
∴2
21(2)t t m +-
=2(1)t m
- 化简，得t (t –2m )(t 2–2mt –1)=0. 又t ≠0 ∴t –2m =0或t 2–2mt –1=0
∴m =2
t
或212t m t -=即为所求.
8.(2015·天津)已知二次函数y =x 2+bx +c (b ，c 为常数)．
(Ⅰ)当b =2，c = –3时，求二次函数的最小值；
(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =l 的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析 式；
(Ⅲ)当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21， 求此时二次函数的解析式．
解：(Ⅰ)当b =2，c = –3时，二次函数的解析式为y =x 2+2x –3=(x +1)2–4，
∴当x = –1时，二次函数取得最小值–4；
(Ⅱ)当c =5时，二次函数的解析式为y =x 2+bx +5， 由题意得，x 2+bx +5=1有两个相等是实数根， ∴△=b 2–16=0，
解得，b 1=4，b 2= –4，
∴次函数的解析式y =x 2+4x +5，y =x 2–4x +5； (Ⅲ)当c =b 2时，二次函数解析式为y =x 2+bx +b 2， 图象开口向上，对称轴为直线x = –b
2 ，
①当–b
2
＜b ，即b ＞0时，
在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，y 随x 的增大而增大， ∴当x =b 时，y =b 2+b ?b +b 2=3b 2为最小值， ∴3b 2=21，解得，b 1= –7 (舍去)，b 2=7 ； ②当b ≤–b
2 ≤b +3时，即–2≤b ≤0，
∴x = –b 2 ，y =3
4
b 2为最小值，
∴3
4b 2=21，解得，b 1= –27 (舍去)，b 2=27 (舍去)； ③当–b
2
＞b +3，即b ＜–2，
在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，y 随x 的增大而减小， 故当x =b +3时，y =(b +3)2+b (b +3)+b 2=3b 2+9b +9为最小值， ∴3b 2+9b +9=21．解得，b 1=1(舍去)，b 2=﹣4； ∴b =7 时，解析式为：y =x 2+7x +7
b = –4时，解析式为：y =x 2–4x +16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y =x 2+7x +7或y =x 2–4x +16．
本题考查了二次函数的最值：当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x = –b
2a 时，y = 4ac –b 24a ；
当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x = –b
2a 时，y = 4ac –b 24a ；确定一个二次函数的最值，首先看
自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个
范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9.（2016年）已知抛物线C ：2
21y x x =-+的顶点为P ，与y 轴的交点为Q ，点F （1，1
2
）. （Ⅰ）求点P ，Q 的坐标；
（Ⅱ）将抛物线C 向上平移得到抛物线C ′，点Q 平移后的对应点为Q ′，且FQ ′＝OQ ′. ③ 求抛物线C ′的解析式；
④ 若点P 关于直线Q ′F 的对称点为K ，射线FK 与抛物线C ′相交于点A ，求点A 的坐标.
由点N 在直线Q ′F 上，得035044x -
+=，解得05
3
x =. 将053x =代入2
000524y x x =-+，得02536
y =.
∴点A 的坐标为525
()336
，
（Ⅱ） ②解法二：设K 00()x y ，
. 连接Q ′P 、Q ′K 、FP . 由P 、K 关于直线Q ′F 对称，有Q ′K ＝Q ′P ，FK ＝FP ，因此，Q ′K 2＝Q ′P 2，FK 2＝ FP 2.
21.81.6
1.41.2
1
0.80.60.40.20.2
y
5
0.5
1 1.5
2 2.5
x
N
A
K Q'F
Q O P
根据勾股定理，得222
200222
0055()1()44
11(1)()()22
x y x y ?+-=+????-+-=??.
解方程组，得003725
16
25x y ?=????=??，即点K 的坐标为3716(
2525， 设直线FK 的解析式为y kx b =+，代入F 1
(1)2，及K 3716(
)2525
，， 得12371625
25k b k b ?+=????+=??，解方程组得，724
524k b ?
=????=
??，
即直线FK 的解析式为752424
y x =
+
. 点A 为射线FK 与抛物线C ′的交点，把752424y x =+
代入2
524
y x x =-+， 得方程2
552502424x x -+=，解得12551
38x x ==<，（舍去）. 此时，2536y =， 即点A 的坐标为525
()336
，.
2016年中考数学压轴题精选及详解
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
天津市和平区202X年中考数学压轴题综合训练及答案 (2)
天津市和平区202X年九年级中考数学压轴题综合训练 1.若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4 2.如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（） A．9 B．6 C．5 D．4 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其 中正确的结论是（） A．①②B．②③ C．③④ D．②④ 4.如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（） 5.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）
6.如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（） A．40°B．36°C．32°D．30° 7.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（） A．3B．2C．2D．2 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（） A．B．C．D． 9.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF．其中将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 10.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG 的平分线,EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG 和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（） A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．
2016年天津市中考数学试卷(word版)及答案
机密★启用前 2016年天津市初中毕业生学业测试试卷 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。测试时间100分钟。 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴测试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。测试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。 祝你测试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2.本卷共12题，共36分。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）计算（－2）－5的结果等于 （A）－7 （B）－3 （C）3 （D）7 （2）sin60 的值等于 （A）1 2 （B 2 （C 3 （D3
（3）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 （A ） （B ） （C ） （D ） （4）据2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6 120 000株. 将6 120 000用科学记数法表示应为 （A ）70.61210? （B ）66.1210? （C ）561.210? （D ）461210? （5）右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 （A ） （B ） （C ） （D ） （6）估计19的值在 （A ）2和3之间 （B ）3和4之间 （C ）4和5之间 （D ）5和6之间 （7）计算 11 x x x +-的结果为 （A ）1 （B ）x （C ） 1x （D ） 2 x x + （8）方程2 120x x +-=的两个根为 （A ）1226x x =-=， （B ）1262x x =-=， （C ）1234x x =-=， （D ）1243x x =-=， （9）实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，把a -， 第（5）题 a b
2016年中考数学压轴题70题精选(含答案及解析)
2016年中考数学压轴题70题精选（含答案） 【001】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4 5。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公 共点，求m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在， 求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。 （1）判断△ABM 的形状，并说明理由。 （2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。
中考数学压轴题100题精选【含答案】
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
2016年天津市中考数学试卷含答案(word版)
2016年天津市初中毕业生学业考试试卷 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） （1）计算（-2）-5的结果等于( ) （A ）-7 （B ）-3 （C ）3 （D ）7 （2）sin60o 的值等于( ) （A ） 2 1 （B ） 2 2 （C ） 2 3 （D ）3 （3）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) （A ） （B ） （C ） （D ） （4）2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120 000株，将6120 000用科学记数法表示应为( ) （A ）0.612×107 （B ）6.12×106 （C ）61.2×105 （D ）612×104 （5）右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) （A ） （B ） （C ） （D ） （6）估计6的值在( ) （A ）2和3之间 （B ）3和4之间 （C ）4和5之间 （D ）5和6之间 （7）计算 x x x 1 1-+的结果为( ) （A ）1 （B ）x （C ） x 1 （D ） x x 2 + 第（5）题图
（8）方程01222 =-+x x 的两个根为( ) （A ）x 1= -2，x 2=6 （B ）x 1= -6，x 2=2 （C ）x 1= -3，x 2=4 （D ）x 1= -4，x 2=3 （9）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，把-a ，-b ，0按照从小到大的顺序排列，正确的是( ) （A ）-a < 0 < -b （B ）0 < -a < -b （C ）-b < 0 < -a （D ）0 < -b < -a （10）如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B’，AB’与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( ) （A ）∠DAB’=∠CAB’ （B ）∠ACD=∠B’CD （C ）AD=AE （D ）AE=CE （11）若点A （-5，y 1），B （-3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数x y 3 =的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) （A ）y 1 < y 3 < y 2 （B ）y 1 < y 2 < y 3 （C ）y 3 < y 2 < y 1 （D ）y 2 < y 1 < y 3 （12）已知二次函数()12 +-=h x y （h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) （A ）1或 -5 （B ）-1或5 （C ）1或 -3 （D ）1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） （13）计算()3 2a 的结果等于________． （14）计算 ( )( ) 353 5-+的结果等于________． （15）不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是________． （16）若一次函数b x y +-=2（b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是________（写出一个即可）． （17）如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则的值等于________． 第（9）题图 a 0 b 第（10）题图
2020-2021学年天津市中考数学压轴题综合训练及答案解析
天津市最新九年级中考数学压轴题综合训练 1.若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4 2.如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（） A．9 B．6 C．5 D．4 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（） A．①②B．②③C．③④ D．②④ 4.如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（） 5.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）
6.如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（） A．40°B．36°C．32° D． 30° 7.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F 点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（） A．3B．2C．2 D． 2 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D 处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（） A．B．C．D． 9.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D 恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF．其中将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 10.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG 的平分线,EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（） A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2017中考数学压轴题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB， ∴QH QB AC AB ，∴QH=错误!未找到引用源。x，y=错误!未找到引用源。BP?QH= 1 2 （10 ﹣x）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x2+8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴ ' AQ QH AB BC =，即： ' 14 10 6 x QH - =错误!未找到引用源。，解得：QH′=错误!未找到引用源。（14﹣x）， ∴y= 1 2 PB?QH′= 1 2 （10﹣x）? 3 5 （14﹣x）= 3 10 x2﹣ 36 5 x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y= 2 2 4 8(03) 5 336 42(37) 105 x x x x x x ? -+<≤ ?? ? ?-+<< ?? 错误!未找到引用源。；（3）∵AP=x，AQ=14﹣x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴ AP AQ PQ AC AB BC ==，即： 14 8106 x x PQ - ==错误!未找到引用源。， 解得：x= 56 9 ，PQ= 14 3 ，∴PB=10﹣x= 34 9 ，∴ 14 21 3 3417 9 PQ BC PB AC ==≠错误!未找到引用源。， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；（4）存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
2016年天津市中考数学试卷及解析
2016年天津市中考数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分 1．计算(﹣2)﹣5的结果等于() A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7 2．sin60°的值等于() A．B．C．D． 3．下列图形中,可以看作是中心对称图形的是() A．B． C． D． 4．2016年5月24日《天津日报》报道,2015年天津外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示应为() A．0.612×107B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104 5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是() A．B． C．D． 6．估计的值在() A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间 7．计算﹣的结果为() A．1 B．x C．D． 8．方程x2+x﹣12=0的两个根为() A．x1=﹣2,x2=6 B．x1=﹣6,x2=2 C．x1=﹣3,x2=4 D．x1=﹣4,x2=3 9．实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0按照从小到大的顺序排列,正确的是() A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a 10．如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是()
A．∠DAB′=∠CAB′B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE 11．若点A(﹣5,y1),B(﹣3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 () A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 12．已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为() A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分 13．计算(2a)3的结果等于． 14．计算(+)(﹣)的结果等于． 15．不透明袋子中装有6个球,其中有1个红球、2个绿球和3个黑球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率是． 16．若一次函数y=﹣2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,则b的值可以是 (写出一个即可)． 17．如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于． 18．如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE,BF的延长线的交点． (Ⅰ)AE的长等于； (Ⅱ)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证 明)．
中考数学压轴题100题精选(精选)
我选的中考数学压轴题 100题精选 【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0， 抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． x y M C D P Q O A B
【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着PQ 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QBBCCP 于点E ．点PQ 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点PQ 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．． 写出t 的值． A C B P Q E D 图16
天津中考数学压轴题全搞定
天津中考数学压轴题全 搞定 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
九年级数学冲刺讲义 二次函数12题 1. 已知关于x的函数同时满足下列三个条件： ①函数的图象不经过第二象限； ②当x＜2时，对应的函数值y＜0； ③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大． 你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可，答案不唯一）． 2．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在y轴左侧； ②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根； ③a﹣b+c≥0； ④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB 的中点，则CD的长为（） A．B．C．D． 4．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论： ①x1=2，x2=3；②m＞﹣；③二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下 列结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0 其中，正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m （am+b）（m≠1的实数）． 其中正确的结论有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 9. 已知抛物线y=x2-(2m-1)x+2m不经过第三象限，且当x>2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（） ≤m≤ ≥ ≤m≤1 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 天津市中考数学压轴题综合训练 1.若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4 2.如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（） A．9 B．6 C．5 D．4 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其 中正确的结论是（） A．①②B．②③ C．③④ D．②④ 4.如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（） 5.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（） 6.如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（） A．40°B．36°C．32°D．30° 7.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（） A．3B．2C．2D．2 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（） A．B．C．D． 9.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF．其中将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 10.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG 的平分线,EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG 和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（） A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为． 天津市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 1．计算（﹣2）﹣5的结果等于（） A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7 2．sin60°的值等于（） A．B．C．D． 3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（） A．B． C． D． 4．2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（） A．0.612×107B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104 5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A．B． C．D． 6．估计的值在（） A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间 7．计算﹣的结果为（） A．1 B．x C．D． 8．方程x2+x﹣12=0的两个根为（） A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（） A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a 10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（） A．∠DAB′=∠CAB′B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE 11．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2， y3的大小关系是（） A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 12．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 13．计算（2a）3的结果等于． 14．计算（+）（﹣）的结果等于． 15．不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是． 16．若一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是（写出一个即可）． 17．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点． （Ⅰ）AE的长等于； （Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）． WORD 格式整理版 2015 年安徽省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A 、B、C 、 D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．（ 4 分）（ 2015?安徽）在﹣ 4，2，﹣ 1，3 这四个数中，比﹣ 2 小的数是（） A．﹣ 4B．2C．﹣1 2．（ 4 分）（2015?安徽）计算×的结果是（）A．B．4C． 3．（ 4 分）（2015?安徽）移动互联网已经全面进入人们 的日常生活．截止 2015 年 3 月，全国 4G 用户总数达到1.62 亿，其中 1.62 亿用科学记数法表示为（）7．（ 4 分）（ 2015?安徽）某校九年级（1）班全体学生2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分）3539424445人数（人）25668根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是45 分 C．该班学D．生3这次考试成绩的中位数 是45 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是45 分 D． ABCD 中， 8．（ 4 分）（ 2015?安徽）在四边形 ∠A= ∠ B=∠ C，点 E 在边 AB 上，∠ AED=60 °，则一定有（） A. ∠ ADE=20° B.∠ ADE=30° C.∠ ADE= ∠ ADC A ．1.62×104 B． 1.62×106C． 1.62×108 4．（ 4 分）（2015?安徽）下列几何体中，俯视图是矩形 D． 0.162×10 D. ∠ADE= ∠ ADC 9 的是（） A. B. C. D.9.（ 4 分）（ 2015?安徽）如图，矩形ABCD 中， AB=8 ，BC=4 ．点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是 （） A ． 2B． 3C． 5 A．B．C．D． 5．（ 4 分）（2015? 安徽）与 1+最接近的整数是（） A ．4B． 3C． 2D． 1 6．（ 4 分）（2015?安徽）我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重 因素，快递业务迅猛发展， 2014 年增速位居全国第一．若10．（4 分）（ 2015?安徽）如图，一次函数y1=x 与二次 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2014 年与 2013 22函数 y2=ax +bx+c 图象相交于P、Q 两点，则函数 y=ax + 年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ b﹣ 1） x+c 的图象可能是（）（） A ．1.4（ 1+x） =4.5B． 1.4（ 1+2x） =4.5 C． 1.4（ 1+x 22 ） =4.5D． 1.4（ 1+x） +1.4（ 1+x） =4.5 2016年天津市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 1．（3分）计算（﹣2）﹣5的结果等于（） A．﹣7B．﹣3C．3D．7 2．（3分）sin60°的值等于（） A．B．C．D． 3．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（） A．B． C．D． 4．（3分）2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（） A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×104 5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A．B．C．D． 6．（3分）估计的值在（） A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）计算﹣的结果为（） A．1B．x C．D． 8．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（） A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3 9．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（） A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a 10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（） A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE 11．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 12．（3分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 13．（3分）计算（2a）3的结果等于． 14．（3分）计算（+）（﹣）的结果等于． 15．（3分）不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是． 16．（3分）若一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是（写出一个即可）． 17．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则 1.【2016?长沙市中考压轴题（第25题）】若抛物线L：y =ax2 +bx +c （a ，b ，c 是 常数，且abc ≠ 0 ）与直线l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l 上，则称此直线l 与抛物线L具有“一带一路”关系，此时直线l 叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l 的“路线” ． （1）若直线y =mx +1与抛物线y =x2 - 2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； （2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y =6 的图象上，它的“带线” x l 的解析式为 y = 2x - 4 ，求此“路线”L的解析式； （3）当常数k 满足1 ≤k ≤ 2 时，求抛物线y =ax2 + (3k 2 - 2k +1)x +k 的“带线”2 l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围． 2.【2016?长沙市中考压轴题（第26题）】如图，直线l : y =-x +1与x 轴，y 轴分别交 于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠PO Q=135°． （1）求△AOQ的周长； （2）设AQ =t > 0 ，试用含t 的式子表示点P的坐标； （3）当动点PQ在直线l 上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m ．若过点A的二次函数y =ax2 +bx +c 同时满足以下两个条件： ① 6a + 3b + 2c = 0 ②当m ≤x ≤m + 2 时，函数的最大值等于2 ．求二次项系数a 的值． m 7 3. 【2016?株洲市中考压轴题（第25题）】已知AB 是半径为1的圆O 的直径，C 是圆上一点 ，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形 ． （1） 求证：△DFB 是等腰三角形； （2） 若DA= AF ，求证：CF ⊥AB ． 4. 【2016?株洲市中考压轴题（第26题）】如图，已知二次函数 y = x 2 -(2k +1)x + k 2 + k (k > 0) ． 1 （1） 当 k = 时，求这个二次函数的顶点坐标； 2 （2） 求证：关于 x 的二次方程 x 2 - (2k +1)x + k 2 + k = 0(k > 0) 有两个不相等的实数 根； （3） 如图，该二次函数图象与 x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与 y 轴交于C 1 1 1 点，P 是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证： + = ． QA 2 AB 2 AQ 2近年来中考数学压轴题大集合
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