南京南师附中2022-2023高三上学期数学期中试卷+答案

南京师大附中2022-2023学年度第1学期

高三年级期中考试数学试卷

命题人:高三数学备课组

班级______ 学号______ 姓名______ 得分______

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．设全集为R ，集合2={230}A x x x -->，集合2={lg(1),R}B y y x x =+∈，则()R A B =

（ B ）

A ．{31}x x x ><-或

B ．{03}x x ≤≤

C ．{01}x x ≤≤

D ．{31}x x -≤≤

2．已知42i =1i z +-（i 是虚数单位）的共轭复数为z ，则z 的虚部为 （ B ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-

3．函数2e ()2x

f x x =的图象大致为（ A ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ C ）

A ．128

B ．127

C ．126

D ．125

5．给出下列命题：

① 垂直于同一直线的两条直线相互平行；

① 如果两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； ① 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ① 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直．

以上命题中真命题的序号是 （ D ）

A ．①①

B ．①①

C ．①①

D ．①①

6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作

抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若16AB =，则PQ = （ D ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

7．如图，在正三棱台111ABC A B C -中，3AB =116A B =，

142AA =111ABC A B C -的外接球体积为 （B ）

A ．

2563 B ．256π3

C ．64

D ．64π 8．已知正实数,x y 满足11410x y x y +++=，则4x y +的最大值为 （ D ） A ．19

B ．1

C ．2

D ．9 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，

不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．

9．设,,a b c 都是实数，下列说法正确的是 （ BC ）

A ．22ac bc >是a b >的充要条件

B ．ln ln a b >是22a b >的充分不必要条件

C ．ABC ∆中，角,,A B C 对应边分别是,,a b c ，则sin sin A B >是a b >的充要条件

D ．3tan θ=是3sin 2θ=的必要不充分条件 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-+，当01x ≤≤时，2()f x x =，

则下列结论正确的有 （ ABD ）

A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称

B ．函数()f x 是周期函数

C ．函数()f x 在[2020,2022]上单调递增

D ．函数()f x 有最小值1-

11．已知1F ，2F 分别为椭圆2

2:12

x C y +=的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．则下列结论正确的有 （ ACD ）

A ．椭圆C 的离心率为22

B ．椭圆

C 的长轴长为2 C ．若点M 是线段PQ 的中点，则MO 的斜率为12

- D ．OPQ ∆的面积的最大值为

22 12．已知函数2()ln f x x ax =-，则下列结论正确的有 （ BCD ）

A ．当12e

a <

时，()y f x =有2个零点 B ．当12e a >时，()0f x ≤恒成立

C ．当12

a =时，1x =是()y f x =的极值点 D ．若1x ，2x 是关于x 的方程()0f x =的2个不等实数根，则12e x x >

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．已知向量=(2,3)a ，(1,2)=-b ，=+k c a b ，若⊥a c ，则k =________．413-

14．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x >时，()21x f x =-，且函数(1)y f x =+关

于点(1,0)T -对称，则满足2(23)()0f x f x -+≤的x 的取值范围是________．[3,1]-

15．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可

供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也

涂红色的概率是________． 13

16．已知1F ，2F 分别为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若1F PQ ∆是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________． 1422

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b ，满足113a b ==，3712b a -=，2214a b +=．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）在①11n n n c a a +=，①n n n c a b =，①218(1)()

n n n n c a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解．

若________，求数列{}n c 的前n 项和．

（注：若多选，以选①评分）

解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，

（1）由2371112(6)12b a b q a d -=⇒-+=，221114a b a d b q +=++=，

将113a b ==代入可解得26270q q +-=，3q =，9q =-（舍），

所以2d =，数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+，…………2分

{}n b 的通项公式为(1)333n n n b -=⋅=． …………4分

（2）选①，111111()(21)(23)22123

n n n c a a n n n n +===-++++， 利用累加法，可得数列{}n c 的前n 项和为

111111111111[()()()()]23557792123

n n S c c c c n n =++++=-+-+-++-++

111111()23233(23)

n n n S c c c c n n =++++=

-=++． …………10分 选①，(21)3n n n n c a b n ==+⋅，123335373(21)3n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅， 23413335373(21)3n n S n +=⋅+⋅+⋅+

++⋅， 两式相减，得2341322112332(333)(21)33(13)332(21)32313

n n n n n n S n n n +-++-=⋅+++

+-+⋅-=⋅+-+⋅=-⋅-， 数列{}n c 的前项n 和为13n n S n +=⋅． …………10分

选①，22222

18(1)8(1)11()(21)(23)(21)(23)n n n n n c a a n n n n +++===-++++， 利用累加法，可得数列{}n c 的前n 项和为

1112222222211111111()()()()355779(21)(23)n n S c c c c n n =+++

+=-+-+-++-++．2

119(23)n S n =-+ …………10分 18．(本小题满分12分) 点D 为∆ABC 边AB 上一点，满足2=AD ，8=DB ，记α∠=ABC ，β∠=BAC ．

（1）当⊥CD AB ，且2βα=时，求CD 的值；

（2）若π4

αβ+=，求∆ACD 的面积的最大值． 解：（1）设CD x =，当⊥CD AB ，2=AD ，8=DB ，所以tan 8x α=

，tan 2x β=， 因为π202βα

>=>，所以tan tan 20β

α=>，即22tan tan 01tan αβα

=>-， 所以22

2803221()8

x x x x ⋅=>⇒=-，所以x =CD =．

…………5分 （2）在∆ABC 中，由

π4αβ+=，得3π4

ACB ∠=，由正弦定理，得

3πsin sin sin 4

AC BC AB αβ==， 又10AB AD DB =+=，所以AC α

=，BC β=，

则∆ABC 的面积13πsin sin 24S

BC AC αβ=⋅⋅=，因为π4

αβ+=，所以 2π)sin 50(sin cos sin )25(sin 2cos21)4

S βββββββ=-=-=+-， π)254S β=+-，

…………9分 因为π04β<<，所以ππ3π2

444β<+<，所以当ππ242β+=，即π8

β=时，S 有最大值1)，由∆ACD 的面积等于15

S ，……11分 所以∆ACD 的面积的最大值为1)．………12分

19．(本小题满分12分)

如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB BC CD ===，4AD =，点E 为线段AD 的中点，将三角形CDE 沿着CE 折起到三角形CPE 位置，M 为EC 的中点．

（1）求证：平面BPM ①平面ABCE ；

（2）当平面CPE ①平面ABCE 时，求二面角B PC E --的余弦值．

证明：（1）在等腰梯形ABCD 中，因为BC AD ≠，所以//BC AD ，

连结BE ，因为点E 为线段AD 的中点，所以2BC ED ==，

所以四边形BCDE 为平行四边形，又因为2BC CD ==，所以四边形BCDE 为菱形，2分

连结BD ，则BD 与CE 相互平分且垂直，故BD 与CE 交于点M ，

且BM ①CE ，PM ①CE ，又因为BM ∩PM=M ，BM PM BPM ⊂、平面，

所以CE BPM ⊥平面，又因为CE ⊂平面ABCE ，所以平面BPM ①平面ABCE ．……5分

（2）因为平面CPE ①平面ABCE ，且PM ①CE ，且PM PCE ⊂平面，

平面CPE 平面=ABCE CE ，所以PM ABCE ⊥平面，又BM ABCE ⊂平面，所以PM BM ⊥， 以111,MB ME MP MB ME MP ⎧⎫⎪⎪

⎨⎬⎪⎪⎩⎭

,为单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)

M ，0)

B ，，(0,1,0)C

-，P ，

所以(BP =-，CP =， 设平面BCP 的法向量为(,,)m x y z =，则

00m BP m

CP ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩，即00

y ⎧=⎪

⎨=⎪⎩ 令=1z ，则=1x ，=y -，所以(1,m =-是平面BCP 的一个法向量…………7分

又因为平面PCE 在yOz 坐标平面内，所以(1,00)n =，

是平面

PCE 的一个法向量 所以cos ,11m n

m n m n ⋅<>===⋅⋅， …………10分 设二面角B PC E --的平面角为θ，则5cos cos ,

5m n θ=<>=

即二面角B PC E --． …………12分 20．(本小题满分12分)

学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行．近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查．根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100

（1）求这1000份试卷成绩的平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）假设此次测试的成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值x ，

2σ 近似为样本方差2

s ，已知s 的近似值为6.61，以样本估计总体．假设有84.135%的党员的测试成绩高于市委宣传部预期的平均成绩，则市委宣传部预期平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？

（3）该市宣传部准备从成绩在[90,100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，

再从这6份试卷中随机抽取3份做进一步分析．设Y 为抽取的3份试卷中测试成绩在[95,100]内的份数，求Y 的分布列和数学期望．

参考数据：若2~(,)X N μσ，()0.6827P X μσμσ-<<+≈，

(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．

解：（1） 67.540+72.59077.520082.540087.515092.58097.540=82.151000

x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 答：这1000份试卷成绩的平均数为82.15． …………3分 （2）=82.15μ，=6.61σ，界限75.54=82.15 6.61=μσ--，所以

1111(X 75.54)()()0.68270.8413584.135%2222

P P X P X μσμσμσ>=>-=

+-<<+=+⋅=≈ 答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5． …………7分 （3）因为成绩在[90,95]和[95,100]内的份数比例为80:40=2:1，

所以，抽取的6份中测试成绩在[95,100]内的份数为2份，

即从6份中随机抽取3份，Y 服从超几何分布(3,2,6)H ， 随机变量Y 可取数值有0，1，2

343641(0)205C P Y C ====，122436263(1)205C C P Y C ⋅⋅====，212436141(2)205

C C P Y C ⋅⋅====，

…………10分

131()0+1+21555

E X =⨯⨯⨯=， 答：X 的均值为1． …………12分 21．(本小题满分12分)

已知抛物线214

y x Γ=：的焦点为F ． （1）求抛物线Γ的准线方程；

（2）若过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与抛物线Γ的

准线交于点C ，请问：是否存在直线l ，使得4tan =

3ACB ∠成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）由22144

y x x y =⇒=，所以2p =，准线方程为1y =-． …………2分 （2）当直线l 的斜率不存在时与抛物线只有一个交点，不满足题意，

由焦点(0,1)F ，可设直线1l y kx =+：，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，

1222121444044y kx x x k x kx x x x y

=++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩，（恒有0∆>） 设点M 为线段AB 的中点，则21212(

,)(2,21)22x x y y M M k k ++=+，…………4分 则线段AB 的中垂线方程为：21(2)21y x k k k

=--++， 整理得：2123y x k k =-++，23123241

C y x k x k k k y ⎧=-++⎪⇒=+⎨⎪=-⎩，…6分 由弦长公式，得

2124(1)AB x k =-+，

3242)M C MC x k k k k =-=+-=+，………8分 由题意可知ABC ∆为等腰三角形，AC BC =，

由242tan tan =tan 231tan ACM ACB ACM ACM

∠∠=∠=-∠，可解得 1tan 2

ACM ∠=，tan 2ACM ∠=-（舍），所以12AM MC =，即AB MC =，

所以2224(1))23k k k k +=+⇒=⇒=⇒=11分

故直线1l y =+：． …………12分

22．(本小题满分12分) 设函数3()sin 3m f x x x x =-+

． （1）若12

=m ，求函数'()f x 在[0,)+∞上的最小值； （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有()0f x ≥，求m 的取值范围．

解：（1）21'()cos 12

f x x x =-+，''()sin f x x x =-+，则'''()1cos 0f x x =-≥，

所以''()f x 在[0,)+∞上单调递增， …………2分 所以当0x ≥时，''()''(0)0f x f ≥=，所以'()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数'()f x 在[0,)+∞上的最小值为min '()'(0)0f x f ==． ………4分

（2）2'()cos 1f x x mx =-+，''()sin 2f x x mx =-+，则'''()2cos f x m x =-，

①当12

m ≥时，则'''()0f x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以''()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，''()''(0)0f x f ≥=，所以'()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f ≥=，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=． ………6分 ②当0m ≤时，则2

'()cos 10f x x mx =-+≤，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f <=．故不成立 ………8分

（另解：存在0π3

x =，使得000π()sin 023f x x x ≤-=-<， 所以当[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥不恒成立．）

③当102m <<时，'''()f x 在π[0,]2

上单调递增， π'''()202f m =>，'''(0)210f m =-<，存在1π(0,)2

x ∈，使得1'''()0f x =， 故当1(0,)x x ∈时，'''()0f x <，所以''()f x 在1(0,)x 上单调递减，

当1π()2x x ∈，时，'''()0f x >，所以''()f x 在1π()2x ，上单调递增，

所以当1(0,)x x ∈时，''()''(0)0f x f <=，所以'()f x 在1(0,)x 上单调递减，

所以当1(0,)x x ∈时，'()'(0)0f x f <=，所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，

所以当1(0,)x x ∈时，()(0)0f x f <=，不满足条件． ………11分 综上，m 的取值范围是1

[,)2+∞． ………12分