最小二乘法的原理及其应用

一、研究背景

在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。

其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。

二、最小二乘法的原理

人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型

q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。

通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。

其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。

确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：

用欧几里得度量表达为：

最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。

三、最小二乘法的应用

（1）最小二乘法在化学生产中的应用：蔗糖的水解反应的实验

该实验的目的是测定蔗糖转化的反应级数、速率常数。实验中测出一组旋光度)(--a a t 和时间t ，判断反应级数和计算出速率常数。若t a a t ~)ln(--呈线性关系，为一级反应，若t a a t ~)(--呈线性关系，为二级反应，若t a a t ~)(2--呈线性关系，为三级反应。该实验应是一级反应，但由于用目测法手工作图，由于误差的原因，有时会得出一级或二级均可以的奇怪结论，所以在以往的实验中把该反应级数作为已知条件，只要求学生求出速率常数。而用线性最小二乘法拟合曲线，在计算机上处理，即可得出满意的结论。原理是，先用线性最小二乘法对)(--a a t 曲线进行高次拟合，从)(--a a t 曲线上读取等间隔时间t 时的t a ，作数据匀整，改进数据的离散性，然后进行直线拟合，拟合偏差最小者为该反应的反应级数。表1为某学生的实验数据，输入计算机后，进行高次拟合，并进行数据修匀，得到表2数据。本次拟合次数为7，拟合偏差为0.026，表示拟合较好。表1 蔗糖水解反应实验数据

温度：20℃ 气压：101325Pa HCl 浓度：3M 00.5=t a 时间t/min

7 12 17 27 37 47 62 77 92 旋光度αt 6.37 6.42 6.47 4.71 2.82 1.50 0.00 -1.02 -2.

表2 蔗糖水解反应实验拟合修匀后的数据

时间t/min

10 20 30 40 50 60 70 旋光度αt 6.5125 5.12

5 4.1178 2.4181 1.0690

-0.1684 -0.5024 最后将匀整后的数据作直线拟合，一级拟合偏差平方和最小为0.064，证明蔗糖

水解反应确为一级反应。

（2）最小二乘法在系统识别中的应用

1、原理分析

系统辨识是通过建立动态系统模型,在模型输入输出数据的基础上,运用辨识方法对模型参数进行辨识，从而得到一个与所观测的系统在实际特性上等价的系统。应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种。离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正,以取得更为准确的参数估计值。由于在线辨识方法具有实时采集系统输入输出数据，实时辨识模型参数,且占据计算机存储量小的优点，因此与离线辨识相比,在线辨识方法得到了更为广泛的应用。在线辨识的参数估计的最小二乘递推算法如下：

^θ(k+1) = ^θ(k)+K(k+1)[y(k+1)-xT(k+1)^θ(k)]

K(k+1) = P(k)x(k+1)[1+xT(k+1)P(k)x(k+1)]-1

P(k+1) = P(k)-K(k+1)xT(k+1)P(k)

递推初值:^θ(0) =任意值； P(0) =α2

I,α取计算机容许的最大值。式中x 与y 分别为系统的输入输出，θ为参数估计值,K 为增益矩阵，

P(m) = (x T m x m )

1- 其最优性准则函数为:

J =)(12i e m

i ∑=

其中m 为数据采集的次数，e 为残差向量。由于上述递推算法无法反映参数随时间变化的特点，新数据被大量的老数据所淹没，对于慢时变参数的辨识来说，这必然得不到跟踪参数变化的实时估计，因此又进一步有了改进的最小二乘递推算法，即带遗忘因子的渐消记忆的递推算法，该算法贬低老数据的作用，强调新数据的作用，选取遗忘因子λ，得到渐消记忆的最小二乘递推算法如下：

^θ(k+1) = ^θ(k)+K(k+1)[y(k+1)-xT(k+1)^θ(k)]

K(k+1) = P(k)x(k+1)[λ+xT(k+1)P(k)x(k+1)]-1

P(k+1) =1λ[P(k)-K(k+1)xT(k+1)P(k)]

递推初值：^θ(0) =任意值； P(0) =α2I ，α取计算机容许的最大值。其最优性准则函数为：

J =)(21i e m

i i m ∑=-λ

其中加权系数0<λ≤1。λ通常在0.9与0.99之间取值。

2、实例分析

以某微循环流体系统模型的参数辨识为例。我们已经得到该系统模型的差

分方程形式，取特定点的压力波作为模型的输入，以另一点的压力波作为模型的输出.由于我们采集的数据是实时的，因此用在线辨识方法。由于建立的微循环流体系统模型是一个单输入、单输出的模型，为使参数估计的结果很好地跟踪参数真值的变化，我们采用渐消记忆的最小二乘法对系统模型参数进行辨识，即强调新数据的作用，贬低老数据的作用。

图1是一组通过试验测量所得到的微循环流体系统输入、输出波形以及模型辨识参数的迭代变化波形.其中，图(a)、(b)为实测波形。

图1 微循环流体模型输入输出波形图

图2中(a)图所示为实测的输入波形,(b)图为实测的输出波形,(

图2 实测波形与拟和波形的比较

四、结语

上述实例可以说明，借助计算机科学技术，用线性最小二乘法可以方便地解决动力学参数问题。这种方法避免了复杂的数学处理，有效地降低了计算误差，结果更为精确。线性最小二乘法不仅在处理动力学问题等物理化学实验，也在分析化学实验以及化学学科的其他方面都有着非常重要的应用。并且最小二乘法在系统识别中也具有很大的应用。总之，借助计算机软件，线性最小二乘法在化学中有着广泛的重要的应用。有统计史家这样评价，“最小二乘法之于统计学，犹如微积分之于数学”。在任何工程项目中，系统的线性模型永远是一个无法回避的问题，而正是最小二乘法误差分析的研究促进了线性理论模型的发展。

利用Eviews软件进行最小二乘法回归实例

例题中国居民人均消费支出与人均GDP（1978-2000），数据（例题1-2），预测，2001年人均GDP为4033.1元，求点预测、区间预测。（李子奈，p50）解答：一、打开Eviews软件，点击主界面File按钮，从下拉菜单中选择Workfile。在弹出的对话框中，先在工作文件结构类型栏（Workfile structure type）选择固定频率标注日期（Dated – regular frequency），然后在日期标注说明栏中（Date specification）将频率（Frequency）选为年度（Annual），再依次填入起止日期，如果希望给文件命名（可选项），可以在命名栏（Names - optional）的WF项填入自己选择的名称，然后点击确定。此时建立好的工作文件如下图所示：

在主界面点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选空白数据组（Empty Group）选项。此时空白数据组出现，可以在其中通过键盘输入数据或者将数据粘贴过来。在Excel文件（例题1-2）中选定要粘贴的数据，然后在主界面中点击编辑（Edit）按钮，从下拉菜单中选择粘贴（Paste），数据将被导入Eviews软件。

将右侧的滚动条拖至最上方，可以在最上方的单元格中给变量命名。二、估计参数在主界面中点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选择估计方程（Estimate Equation）在弹出的对话框中设定回归方程的形式。

在方程表示式栏中（Equation specification ），按照被解释变量（Consp ）、常数项（c ）、解释变量（Gdpp ）的顺序填入变量名，在估计设置（Estimation settings ）栏中选择估计方法（Method ）为最小二乘法（LS – Least Squares ），样本（Sample ）栏中选择全部样本（本例中即为1978－2000），然后点击确定，即可得到回归结果。以上得到的回归结果可以表示为： 201.1190.3862(13.51)(53.47)Consp GDPP =+? 如果你试图关闭回归方程页面（或Eviews 主程序），这时将会弹出一个对话框，询问是否删除未命名的回归方程，如下图所示

最小二乘法及其应用..

最小二乘法及其应用 1．引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

偏最小二乘法

偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用于近红外、红外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法〔1, 2〕。近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果〔3 ～ 5〕。本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。 §§ 6.3.1 基本原理 6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。在主成分回归中，第一步，在矩阵X 的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X 矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。事实上，Y 中亦可能包含非有用的信息。所以很自然的一种想法是，在矩阵X 因子的测试中应同时考虑矩阵Y 的作用。偏最小二乘正是基于这种思想的一种回归方法。偏最小二乘和主成分分析很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。为了实现这一点，在数学上是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子，与此同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。其数学模型为： E P T X +'=F Q U Y +'=

最小二乘法及其应用

最小二乘法及其应用最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，就由高斯首先创立并成功地应用于天文观测和大地的测量工作中。此后，近三百年来，它已被广泛应用于科学实验与工程技术中。随着现代电子计算机的普及与发展，这个古老的方法更加显示出其强大的生命力。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可以用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法拟合曲线的基本原理是：成对等精度地测得一组数据x，只(i=l，2，…，n)，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。所谓“拟合”，即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。曲线拟合的几何解释是：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。用最小二乘法拟合的曲线较为精确，接近于实际曲线。因而，最小二乘法拟合曲线在实际生活和科学研究中有着重要的意义，并渗透到各个领域，在物理、气象、化学、医学等方面有着广泛的应用。例如，在物理方面，我们通常通过实验测得数据，然后根据这些实验数据拟合曲线，从而总结出某种现象的规律或者变化趋势，进而采取相应的措施避免或加强其变化程度。这对于指导我们了解物理现象，并深刻理解物理知识是非常有帮助的。又如，在气象方面，在温室效应的研究中，科学家们通过对1860年到1980年的11个地球平均温度增加值的分析,利用最小二乘法进行曲线拟合,通过精确计算,建立了地球平均温度增加值与时间之间的函数关系。从而得出在2080年左右,地球的平均温度会比1980年上升约6℃,从而会引起诸如冰川后退、海平面上升等一系列严重的环境问题。到时极地冰盖就会融化,从而引起大量的洪水泛滥和大片的陆地被淹没,这一认识对进行环境质量评价和提出保护地球的措施具有重要的理论意义。

模拟乘法器AD834的原理与应用

模拟乘法器AD834的原理与应用 1.AD834的主要特性 AD834是美国ADI公司推出的宽频带、四象限、高性能乘法器，其主要特性如下： ●带符号差分输入方式，输出按四象限乘法结果表示；输出端为集电极开路差分电流结构，可以保证宽频率响应特性；当两输入X=Y=±1V时，输出电流为±4mA； ●频率响应范围为DC～500MHz； ●乘方计算误差小于0.5％; ●工作稳定，受温度、电源电压波动的影响小； ●低失真，在输入为0dB时，失真小于0.05％； ●低功耗，在±5V供电条件下，功耗为280mW； ●对直通信号的衰减大于65dB； ●采用8脚DIP和SOIC封装形式。 2.AD834的工作原理 AD834的引脚排列如图1所示。它有三个差分信号端口：电压输入端口X=X1－X2和Y=Y1－Y2，电流输出端口W=W1－W2；W1、W2的静态电流均为8.5mA。在芯片内部，输入电压先转换为差分电流(V－I转换电阻约为280Ω),目的是降低噪声和漂移；然而，输入电压较低时将导致V－I转换线性度变差，为此芯片内含失真校正电路，以改善小信号V－I转换时的线性特性。电流放大器用于对乘法运算电路输出的电流进行放大，然后以差分电流形式输出。 AD834的传递函数为： W=4XY (X、Y的单位为伏特，W的单位为mA) 3.应用考虑 3.1 输入端连接

尽管AD834的输入电阻较高(20kΩ)，但输入端仍有45μA的偏置电流。当输入采用单端方式时，假如信号源的内阻为50Ω，就会在输入端产生1.125mV的失调电压。为消除该失调电压，可在另一输入端到地之间接一个与信号源内阻等值的电阻，或加一个大小、极性可调的直流电压，以使差分输入端的静态电压相等；此外，在单端输入方式下，最好使用远离输出端的X2、Y1作为输入端，以减小输入直接耦合到输出的直通分量。应当注意的是，当输入差分电压超过AD834的限幅电平(±1.3V)时，系统将会出现较大的失真。 3.2 输出端连接采用差分输出，可有效地抑制输入直接耦合到输出的直通分量。差分输出端的耦合方式，可用RC耦合到下一级运算放大器，进而转换为单端输出，也可用初级带中心抽头的变压器将差分信号转换为单端输出。 3.3 电源的连接 AD834的电源电压允许范围为±4V～±9V，一般采用±5V。要求VW1和VW2的静态电压略高于引脚＋VS上的电压，也就是＋VS引脚上的电去耦电阻RS应大于W1和W2上的集电极负载电阻RW1、RW2。例如，RS为62Ω，RW1和RW2可选为49.9Ω，而＋V=4.4V,VW1=VW2=4.6V，乘法器的满量程输出为±400mV。引脚－VS到负电源之间应串接一个小电阻，以消除引脚电感以及去耦电容可能产生的寄生振荡；较大的电阻对抑制寄生振荡有利，但也会使VW1和VW2的静态工作电压降低；该电阻也可用高频电感来代替。 4.应用实例 AD834主要用于高频信号的运算与处理，如宽带调制、功率测量、真有效值测量、倍频等。在某航空通信设备扩频终端机(如图2所示)的研制中，笔者应用AD834设计了扩频信号调制器和扩频信号接收AGC电路。

最小二乘法的基本原理和多项式拟合

最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法 . 6—1 二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) [ ] ∑ = = - m i i i y x p 0 2 min ) (

Matlab最小二乘法曲线拟合的应用实例

MATLAB机械工程最小二乘法曲线拟合的应用实例班级: 姓名: 学号: 指导教师:

一，实验目的通过Matlab上机编程，掌握利用Matlab软件进行数据拟合分析及数据可视化方法二，实验内容 1.有一组风机叶片的耐磨实验数据，如下表所示，其中X为使用时间，单位为小时h，Y为磨失质量，单位为克g。要求：对该数据进行合理的最小二乘法数据拟合得下列数据。 x=[10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 2 0000 21000 22000 23000]; y=[24.0 26.5 29.8 32.4 34.7 37.7 41.1 42.8 44.6 47.3 65.8 87.5 137.8 174. 2] 三，程序如下 X=10000:1000:23000; Y=[24.0,26.5,29.8,32.4,34.7,37.7,41.1,42.8,44.6,47.3,65.8,87.5,137.8,17 4.2] dy=1.5; %拟合数据y的步长for n=1:6 [a,S]=polyfit(x,y,n); A{n}=a;

da=dy*sqrt(diag(inv(S.R′*S.R))); Da{n}=da′; freedom(n)=S.df; [ye,delta]=polyval(a,x,S); YE{n}=ye; D{n}=delta; chi2(n)=sum((y-ye).^2)/dy/dy; end Q=1-chi2cdf(chi2,freedom); %判断拟合良好度 clf,shg subplot(1,2,1),plot(1：6,abs(chi2-freedom),‘b’) xlabel(‘阶次’)，title(‘chi2与自由度’) subplot(1,2,2),plot(1：6,Q,‘r’,1：6,ones(1,6)*0.5) xlabel(‘阶次’),title(‘Q与0.5线’) nod=input(‘根据图形选择适当的阶次（请输入数值）’)； elf,shg, plot(x,y,‘kx’)；xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)； axis([8000,23000,20.0,174.2])；hold on errorbar(x,YE{nod},D{nod},‘r’)；hold off title(‘较适当阶次的拟合’) text(10000,150.0,[‘chi2=’num2str(chi2(nod))‘~’int2str(freedom(nod))])

最小二乘法的原理及其应用

最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：

最小二乘法原理

最小二乘法原理 1. 概念最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑

…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????

最小二乘法原理及应用【文献综述】

毕业论文文献综述信息与计算科学最小二乘法的原理及应用一、国内外状况国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。二、进展情况数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

普通最小二乘法(OLS)

普通最小二乘法（OLS ）普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到，为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即

0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （）所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （）于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成

曲线拟合的最小二乘法matlab举例

曲线拟合的最小二乘法学院：光电信息学院姓名：赵海峰学号： 200820501001 一、曲线拟合的最小二乘法原理：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 S( x) a 0 0 ( x) a 1 1(x) ... a n n ( x) 称为曲线拟合的最小二乘法。若记 m ( j , k ) i (x i ) j (x i ) k (x i ), 0 m (f , k ) i0 (x i )f (x i ) k (x i ) d k n 上式可改写为 ( k , jo j )a j d k ; (k 0,1,..., n) 这个方程成为法方程，可写成距阵形式 Ga d 其中 a (a 0,a 1,...,a n )T ,d (d 0,d 1,...,d n )T , 、数值实例：下面给定的是乌鲁木齐最近 1个月早晨 7:00左右(新疆时间 )的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。它的平方误差为： || 2 | 2 ] x ( f

(2008 年 10 月 26~11 月 26) F 面应用Matlab 编程对上述数据进行最小二乘拟合三、Matlab 程序代码: x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; %三次多项式拟合% %九次多项式拟合% %十五次多项式拟合% %三次多项式误差平方和 % %九次次多项式误差平方和 % %十五次多项式误差平方和 % %用*画出x,y 图像% %用红色线画出x,b1图像% %用绿色线画出x,b2图像% %用蓝色o 线画出x,b3图像% 四、数值结果：不同次数多项式拟和误差平方和为: r1 = 67.6659 r2 = 20.1060 r3 = 3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和拟和曲线如下图: a 仁polyfit(x,y,3) a2= polyfit(x,y,9) a3= polyfit(x,y,15) b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).A 2) r2= sum((y-b2).A2) r3= sum((y-b3).A2) plot(x,y,'*') hold on plot(x,b1, 'r') hold on plot(x,b2, 'g') hold on plot(x,b3, 'b:o')

最小二乘法应用实例

数值计算方法实际应用（论文）题目最小二乘法原理实际生活应用学院信息工程学院专业软件工程姓名张同班级 13级2班学号1402130235

摘要最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法[1]，目前在测量学、城市道路规划、物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用Visual C++编制程序实现最小二乘法的界面化设计，通过实验数据的输入，实现线性和二次拟合曲线的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。关键词：最小二乘法曲线拟合Visual C++

最小二乘法在实际生活中的应用一．实际问题描述：早在19世纪后期，英国生物学家Galton 在研究父母身高与子女身高关系时，观察了1078个家庭中父亲、母亲身高的平均值x 和其中一个成年儿子身高y,建立了x 与y 之间的线性关系。二．提出问题：通过父母平均身高推算出成年儿子身高三．分析问题：平时我们在实验过程中会遇到两量y x ,如果存在b ax y +=的线性关系时，其中b a ,为线性函数的参数。当实验数据存在这种线性关系时，通常我们运用作图法对其参数进行处理运算、进而求出实验结果。但是作图法很难得到好的结果，而运用最小二乘法可以得到比较好的线性拟合 [19] 。对其两种方法比较可以最小二乘法的数据处理方法是比较理想的办法。四．实验原理: 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法拟合:对给定数据点{(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ 中，求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E ^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。五．解决方案：运用数值计算方法中的最小二乘法处理数据，计算出a 与b ，得到y=a+bx 关系式。 1.根据实验数据列以下表格：表1 实验数据收集父母平均身高x （cm ） 155 160 165 170 175 180 成年儿子身高y （cm ） 158 164 168 175 178 188 2.主要程序代码： #include #include

最小二乘法的本原理和多项式拟合

第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

最小二乘法综述及举例

最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()2 1 ∑=- = m i i i y v s 其中是测量值, 是由己求得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值 )(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。我们可以通过正规方程组求出a 最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。三曲线拟合曲线拟合的几何解释: 求一条曲线, 使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。（1）一元线性拟合设变量y 与x 成线性关系x a a y 10+=,先已知m 个实验点),...,2,1(,m i v x i i =，求两个未知参数1,0a a 。令()2 1 10∑ =--=m i i i x a a y s ，则1,0a a 应满足1,0,0==??i a s i 。即 i v i v

最小二乘法原理及其简单应用_邹乐强

科技信息 SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第23期y (%) 1.000.90.90.810.60.560.35x (%) 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 最小二乘法原理及其简单应用邹乐强（河南工程技术学校河南焦作 454000）【摘要】最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识，并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。然而，最小二乘法因其抽象、难懂常常被大家所忽视。本文就最小二乘法的引入，原理的证明，简单的应用进行归纳和总结，使读者对最小二乘法有更为清晰、系统、全面地认识。【关键词】最小二乘法；回归模型；参数估计；系统辨识最小二乘法作为一种传统的参数估计方法，早已经被大家所了解。然而大多同学对最小二乘法的认识都比较模糊，仅仅把最小二乘法理解为简单的线性参数估计。事实上，最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的应用。本文就最小二乘法的引入、最小二乘法原理的简单证明、最小二乘法在线性参数估计、欧氏空间、多项式拟合以及经济领域的模型参数估计等应用方面进行具体的阐释。本文的一些理论建立在学习过高等代数、数值分析及了解简单的经济计量学的基础上。本文的理论简明易懂，仅对现实中常见的问题用最小二乘法理论结合阐释。 1问题的引入例已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关。下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值：我们想找出y 对x 的一个近似公式。解把表中数值划出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线。因此我们决定选取x 的一次式ax+b 来表达。当然最好能选到适当的a ，b 使下面的等式 3.6a+b -1.00=03.7a+b -0.9=03.8a+b -0.9=03.9a+b -0.81=0 4.0a+b -0.60=04.1a+b -0.56=04.2a+b -0.35=0 都成立。实际上是不可能的，任何a ，b 代入上面各式都会发生误差。于是想找a ，b 使上面各式的误差的平方和最小，即找到a ，b 使 (3.6a+b -1.00)2+(3.7a+b -0.9)2+(3.8a+b -0.9)2+(3.9a+b -0.81)2+(4.0a+b -0.60)2+(4.1a+b -0.56)2+(4.2a+b -0.35)2 最小。这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法。现在转向为一般的最小二乘法问题：实系数线性方程组 a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n - b 1=0 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n - b 2=0………… a m 1x 1 +a m 2x 2+…+a mn x n -b m = 1.1 可能无解。即任何一组实数x 1,x 2,……,x s 都可能使 m i =1 Σ(a i 1x 1+a i 2x 2+…+a in x n -b i )2 （*）不等于零。我们设法找到实数组x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 使最小，这样的x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 称为方程组的最小二乘解。这样问题就叫最小二乘法问题。 [1] 2 最小二乘法原理的证明 2.1 最小二乘法原理的初等证明定理：X =(x 1,x 2,……x n )T 是矛盾方程组（1.1）的最小二乘解的充要条件是X 是方程组 (m i =1Σa 2 i 1)x 1+ m i =1Σa i 1a i 211x 2+…+ m i =j Σa i 1a in 11x n =m i =1 Σa i 1b i m i =1Σa i 2a i 1 1 1x 1+ m i =1Σa 2 i 2 11x 2+…+m i =1Σa i 2a in 11x n = m i =1Σa i 2b i m i =1 Σa in a i 11 1x 1+m i =1Σa in a i 211x 2+…+ m i =1 Σa 2 in 11x n = m i =1 Σa in b i 2.2 的解[2] 证明：设Y = m i =1Σ b i -n k =1 Σa ik x k 11 2 2.3 把Y 整理为关于x j (1≦j ≦n)的二次函数得 Y = m i =1 Σa 2ij 1 1x 2 j +2m i =1 Σ(a j (a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a 1n x n b j ))x j +m i =1 Σ(a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a in x n -b j )2 j=1,2,3,……,n 必要性：设X =(x 1,x 2,……,x n )T 是方程组⑴的最小二乘解，由定义1知⑴式中Y 有最小值，且X 是最小值点。由二次函数的性质得知二次函数 m i =1 Σa 2ij 〉0（j=1,2,……,n ），故a ij 不全部为零（与A 列满秩的假设一致），且X 满足： X = m i =1 Σ[a ij (a i 1x 1 +…+a i ,j -1x i,j -1 +a i ,j +1x i,j +1+…+a in x n -b n )] m i =1 Σa ij (j=1,2,……,n) 2.4 化简得： m i =1 Σa ij a i 111x 1+m i =1Σa ij a i 211x 2+…+ m i =1Σa ij a i,j-111x j -1+ m i =1 Σa 2 ij 11x j + m i =1Σa ij a i,j+111x j +1+…+m i =1Σa ij a in 1 1x n =m i =1 Σa ij b i (j=1,2,…n) 这就是方程组⑵。不难看出方程组⑵的系数矩阵为A T A （A T 表示A 的转置矩阵），由A 列满秩知|A T A |≠0，故⑵有唯一解。必要性得证。充分性：设X 是方程组（2）2.2的解，由x j (j =1,2,...,n )满足方程组2.2，也就是满足⑷式，再由于A 列满秩，a ij (i =1，2，...，m )不全为零，故⑶中二次项系数 m i =1 Σa 2 ij ＞0，因此，⑷中式Y 有最小值且最小值点为X =(x 1 ， x 2，...，x n )，所以X 是方程组⑴的最小二乘解。 2.2利用欧氏空间证明最小二乘法下面我们利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件。令 A ＝ a 11a 12…a 1n a 21a 22 …a 2n … ……… a m 1 a m 2… a mn ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠B = b 1b 2… b m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ X = x 1x 2… x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ Y =n j =1Σa 1j x 1n j =1Σa 2j x 2n j =1 Σa mj x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠ ≠ =AX 2.5 ○职校论坛○ 282