2013高中数学精华第04章 平面向量与复数
平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点,成为联系众多知识内容的媒介。所以,向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看,对向量的考查力度在逐年加大,除了直接考查平面向量外,将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合,在知识交汇点处命题,既是当今高考的热点,又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量,具有“数”和“形”的特点,向量是数形结合的桥梁,在处理向量问
题时注意用数形结合思想的应用.
2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础,也是平面向量坐标表示的基础,它表明同一平面内任意向
量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式,引入坐标表示,可以把几何问题转化为代数问题解决.
4.要了解向量的工具作用,熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】
1.出下列命题:①若=a b ,则=a b ;②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件;③若,==a b b c ,则=a c ;④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ;⑤若//a b ,
//b c ,则//a c 。其中,正确命题材的序号是②③
2. 化简AC - BD + CD - AB
得0
3.在四边形ABCD 中,AB =a +2b ,BC =-4a -b ,CD =-5a -3b ,其中a 、b 不共线,则四边形ABCD 为梯形
4.如图,设点P 、Q 是线段AB 的三等分点,
若OA =a ,OB =b ,则OP =21
33
+a b ,
OQ =12
33+a b (用a 、b 表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F , 求证:2AB DC EF +=
.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明:如图,连接EB 和EC ,
由EA AB EB += 和EF FB EB += 可得,EA AB EF FB +=+
(1)
由ED DC EC += 和EF FC EC += 可得,ED DC EF FC +=+
(2) (1)+(2)得, 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++
(3) ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点,∴0EA ED += ,0FB FC +=
,
代入(3)式得,2AB DC EF +=
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例1
例2.已知,OA OB
不共线,OP aOA bOB =+ ,求证:A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=
分析:证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解:先证必要性:若A,P ,B 三点共线,则存在实数λ,使得AP AB λ= ,即()
OP OA OB OA λ-=-
,∴
()1,OP OA OB λλ=-+ ∵OP aOA bOB =+
,∴1,a b λλ=-=,∴ 1.a b +=
再证充分性:若 1.a b +=则AP OP OA =- =()()
1a OA bOB b OB OA -+=-
=bAB ,∴
AP 与AB
共线,∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】
1.已知向量a 和b 反向,则下列等式成立的是(C )
A. |a |-|b |=|a -b |
B. |a |-|b |=|a +b |
C.|a |+|b |=|a -b |
D. |a |+|b |=|a +b |
2.设四边形ABCD 中,有1,2
DC AB AD BC ==
则这个四边形是(C )
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简:
①AB BC CD ++ , ②DB AC BD ++ , ③OA OC OB CO --+- 。
解析:①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=
; ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=
;
③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=
。
4.设x 为未知向量, a 、b 为已知向量,x 满足方程2x -(5a +3x -4b )+2
1
a -3
b =0, 则x =9
2
a b -
+(用a 、b 表示) 5.在四面体O-ABC 中,OA ,OB ,OC ,D a b c === 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则=111
244
a b c
++(用a ,b ,c 表示)
6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ,线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD =3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==
试用表示
解:()
()11
111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666
a b ∴-
15OM=OB+BM 66a b ∴=+ . OD CD ON CD CN 3
234,31==∴=
()
()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+ 11MN=ON-OM 26
a b ∴=-
第2课 向量的数量积
【考点导读】
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为0
60,那么3+=
a b 13
2.在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若直角三角形ABC 中,2=+
AB i j ,3=+
AC i kj ,则k 的可能值个数为2个
3. 若1=a ,2=b ,a 与b 的夹角为0
60,若(3+5)⊥a b ()-ma b ,则m 的值为
238
4.若||1,||2,===+a b c a b ,且⊥c a ,则向量a 与b 的夹角为 120° 【范例导析】
例1.已知两单位向量a 与b 的夹角为0
120,若2,3=-=-c a b d b a ,试求c 与d 的夹角的余弦值。 分析:利用2
2=a
a 及cos θ?=
?a b
a b
求解. 解:由题意,1==a b ,且a 与b 的夹角为0
120,所以,1c o s 1202
?=?=-a b a b
,
()()2
2222447=?=-?-=-?+= c c c a b a b a a b b ∴=c ,同理可得∴=
而?=
c d 2217
(2)(3)7322
-?-=?--=-
a b b a a b b a ,设θ为c 与d 的夹角,则
cos
θ==点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°, (1)求证:()-a b ⊥c ;(2)若||1++>ka b c )(R k ∈,求k 的取值范围.
分析:问题(1)通过证明()0-?=a b c 证明()-⊥a b c ,问题(2)可以利用()2
2
||++=++ka b c ka b c
解:(1)∵ ||||||1===a b c ,且a 、b 、c 之间的夹角均为120°,
∴ 00()||||cos120||||cos1200-?=?-?=-=a b c a c b c a c b c
∴ ()0-?=a b c
(2)∵ ||1++>ka b c ,即2||1++>ka b c
也就是2222
2221+++?+?+?>k a b c ka b ka c b c ∵ 12
?=?=?=-a b b c a c ,∴022>-k k
所以 0
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例3.如图,在直角△ABC 中,已知BC a =,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问BC PQ 与的夹角θ取 何值时?的值最大?并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
()()BP CQ AP AB AQ AC ?=-?-
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解:,0.AB AC AB AC ⊥∴?=
,,,
()()
AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴?=-?-
2
2
2
2
22()
12
12
cos .AP AQ AP AC AB AQ AB AC
a AP AC AB AP
a AP AB AC a PQ BC
a PQ BC
a a θ=?-?-?+?=--?+?=--?-=--?=--?=-- 2cos 0,(),..2
PQ BC BP CQ a πθθ==
?-
故当即与方向相同时最大其最大值为
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】
1.已知向量a,b 满足14,2a =,b a b == 且,则a 与b 的夹角为
3
π
2.如图,在四边形ABCD 中,||||||4,AB BD DC →
→
→
++=0,AB BD BD DC →
→
→
→
?=?=
→→→→=?+?4||||||||DC BD BD AB ,则→
→→?+AC DC AB )(的值为4
3.若向量a,b 满足=1a =b ,a,b 的夹角为60°,则a a +a b
=3
2
例3
第2题
4.若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =
+5.已知| a |=4,|b |=5,|a +b |=21 ,求:① a ·b ;②(2a -b ) ·(a +3b )
解:(1)|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2,∴222
102
a b a b
a b +--=
=-
(2)(2a -b )·(a +3b )=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×42+5×(-10)-3×52=-93. 6.已知a 与b 都是非零向量,且a +3b 与7a-5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角. 解:∵且a +3b 与7a-5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,
∴(a +3b )·(7a-5b )=0,(a -4b )·(7a -2b )=0 ∴7a 2+16 a ·b -15 b 2=0,7a 2
-30 a ·b +8 b 2=0, ∴b 2=2 a ·b ,|a |=|b | ∴1cos 2
a b a b θ?==? ∴60θ=
第3课 向量的坐标运算
【考点导读】
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】
1若=)8,2(,=)2,7(-,则
3
1
=(3,2)-- 2平面向量,a b 中,若(4,3)=-a ,b =1,且5?=a b ,则向量b =43(,)5
5
-
3.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-
,且A 、B 、C 三点共线,则k=2
3
- 4.已知平面向量(3,1)=a ,(,3)=-b x ,且⊥a b ,则x =1 【范例导析】
例1.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=a b c ,回答下列问题: (1)求满足=+a mb nc 的实数m ,n ; (2)若()()//2+-a kc b a ,求实数k ;
(3)若d 满足()()//-+d c a b ,且-=
d c d
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解:(1)由题意得()()()1,42,12,3n m +-=
所以???=+=+-2234n m n m ,得??
??
?
==9895n m (2)()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a
()()()13
16,025432-
=∴=+--+?∴k k k (3)设(),d x y =
,则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d
由题意得()()()()??
?=-+-=---5
140
12442
2y x y x 得???-==13y x 或?
??==35y x ∴()()3,153d =-
或,
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式,建立方程组求解。 例2.已知△ABC 的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为AD ,求及点D 的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解:设点D 的坐标为(x ,y ) ∵AD 是边BC 上的高, ∴AD ⊥BC ,∴AD ⊥ 又∵C 、B 、D 三点共线, ∴BC ∥BD
又AD =(x -2,y -1), BC =(-6,-3)
=(x -3,y -2)
∴?
?
?=-+--=----0)3(3)2(60
)1(3)2(6x y y x
解方程组,得x =
59
,y =5
7 ∴点D 的坐标为(
59,57),的坐标为(-5
1
,52) 点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例2
例3.已知向量33cos
,sin ,cos ,sin ,2222???
?==- ? ??
???x x x x a b 且??
????∈2,0πx 求(1)?a b 及+a b ;(2)若()2λ=?-+f x a b a b 的最小值是2
3
-,求λ的值。 分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解. 解:(1)33cos
cos sin sin cos 22222??
?=+-= ???
x x a b x x x
,+=a b .cos 22cos 22x x =+=
0,,2cos 2π??
∈∴+=????
x a b x 。
(2)()()12cos 21cos 4cos 2cos 42cos 22
2---=--=-=λλλλx x x x x x f
[]1,0cos 2,0∈∴??
?
???∈x x π
(1) 当[]1,0∈λ时,()12,cos 2min --==λλx f x 2
5
,23122
=
∴-
=--∴λλ (2) 当0<λ时,()23
1,0cos min -≠-==x f x (3) 当1>λ时,()18
5
2341,1cos min <=∴-=-==λλx f x
综上所述:2
5
=
λ。 点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论. 【反馈练习】
1.已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与b (A )
A .垂直
B .不垂直也不平行
C .平行且同向
D .平行且反向
2.与向量a =71,,22?? ???b =??
? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是4343,,5555????
-- ? ?????或
3.已知向量(4,6),(3,5),OA OB == 且,//,OC OA AC OB ⊥ 则向量OC 等于??
? ??-214,7
2
4.已知向量5
(1,2),(2,4),||(),2
a b c a b c a c ==--=+?=
若则与的夹角为120° 5.若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -,试判断则△ABC 的形状____直角三角形_____
6.已知向量(cos ,sin )a θθ=
,向量1)b =-,则2a b -的最大值是 4
7.若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥,(2)b a b -⊥ ,则a 与b 的夹角是3π
8.已知:a 、b 、c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2) (1)若|c |52=,且//c a ,求c 的坐标;
(2)若|b |=
,2
5
且2a b +与2a b -垂直,求a 与b 的夹角θ. 解:(1)设()c =x,y ,由
//c a 和c =可得:
???200212
2=+=?-?y x x y ∴ ???42==y x 或 ?
??42
-=-=y x ∴(2,4)c =,或(2,4)c =--
(2) (2)(2
),a b a b +⊥- (2)(2)0a b a b ∴+-= 即222320,a a b b +?-= 222||32||0a a b b ∴+?-=
∴ 5253204a b ?+?-?=, 所以5
2a b ?=-
∴ c o s 1,||||
a b a b θ?==-? ∵ ],0[πθ∈
∴ πθ=.
9.已知点O 是,,内的一点,0090BOC 150AOB =∠=∠?ABC OA ,OB ,OC ,a b c ===
设且
2,1,3,a b c ===试用,a b c 和表示.
解:以O 为原点,OC ,OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2,0
120=∠AOx ,所以()
()
,31-A ,120sin 2,120cos 200,即A , 易求()()3,0C 1-0B ,,,设
()
()().
31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121??
???==???
??==+=+=,,
,,即OC OB
13
a c
=-.
第9题
第4课 向量综合应用
【考点导读】
1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函
数、数列等知识的综合问题.
2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】
1.已知a =(5,4),b =(3,2),则与2a -3b 平行的单位向量为e =±
2.a =1,b =1,a 与b 的夹角为60°,x =2a -b ,y =3b -a ,则x 与y 的夹角的余弦值为
【范例导析】
例1.已知平面向量a =(3,-1),b =(
21, 2
3). (1) 若存在实数k 和t ,便得x =a +(t 2-3)b , y =-k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k =f (t ); (2) 根据(1)的结论,确定k =f (t )的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:(1)法一:由题意知x =(23322--t ,223232--t ), y =(21t -3k ,23
t +k ),又x ⊥y
故x · y =23322--t ×(21t -3k )+223232--t ×(2
3
t +k )=0。
整理得:t 3
-3t -4k =0,即k =
41t 3-4
3t . 法二:∵a =(3,-1),b =(
21, 2
3), ∴. a =2,b =1且a ⊥b ∵x ⊥y ,∴x · y =0,即-k a 2
+t (t 2
-3)b 2
=0,∴t 3
-3t -4k =0,即k =41t 3-4
3
t (2) 由(1)知:k =f (t ) =
41t 3-43t ∴k ′=f ′(t ) =43t 2-4
3
, 令k ′<0得-1<t <1;令k ′>0得t <-1或t >1.
故k =f (t )的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量的垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意)。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两个力(单位:牛)1f 与2f 的夹角为60
,其中1f = (2,0)
,某质点在这两个力的共同作用下,由点A (1,1)移动到点B (3,3)(单位:米)
(1) 求1f ;
(2) 求1f 与2f
的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
解:()12220> (,),,令()f =
f =f =t t 12
12=222
∴+=,)t
t 2∴= )f
(
)()222212?=+??
2W=(
,)=)(,)f AB f f 点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题. 【反馈练习】
1.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3, 1),B(-1, 3), 若点C 满足OC OA OB =α+β
,
其中α,β∈R 且α+β=1,则点C 的轨迹方程为x +2y -5=0
2.已知a ,b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是
3
π
3. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|+|=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为2或-2
4.已知向量a =(cos ,sin θθ),向量b
1-),则|2a -b |的最大值是 4
5.如图,AB (6,1),BC (,),CD (2,3)===--
x y , (1)若BC ∥DA
,求x 与y 间的关系;
(2)在(1)的条件下,若有AC BD ⊥
,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.
解(1)),2,4(-+=y x 又∥
x(y 2)y(4x)0∴--+= x 2y 0?+=①
(2)由⊥,得(x -2)(6+x)+(y -3)·(y+1)=0,② 即x 2+y 2+4x -2y -15=0 由①,②得63x y =-??=?或2
1
x y =??
=?16=∴S
第5题
第5课 复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义. 【基础练习】
1.设a 、b 、c 、d ∈R ,若
i
i
a b c d ++为实数,则0bc ad -= 2.复数i
z -=11的共轭复数是i 2
12
1-
3.在复平面内,复数1i i ++(1+3i )2
对应的点位于第二象限 4.若复数z 满足方程022=+z ,则=3
z i 22±
【范例导析】
例 .m 取何实数时,复数i m m m m m z )152(3
6
22--++--=
(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数? 分析:本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数.由于所给复数z 已写成标准形式,即
)R (∈+=b a bi a z 、,所以只需按题目要求,对实部和虚部分别进行处理,就极易解决此题.
解:(1)当???≠+=--0
301522m m m 时,即???-≠=-==35
35m m m m 即时或 ∴5=m 时,z 是实数.
(2)当???≠+≠--0301522m m m 时,即???-≠-≠≠33
5m m m 且 ∴当5≠m 且3-≠m 时,z 是虚数.
(3)当??
???≠--≠+=--0152030622m m m m m 时即???
??-≠≠-≠-==3
532
3m m m m m 且或∴当3=m 或2-=m 时,z 是纯虚数.
点拨:研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,首先要保证这个复数的实部、虚部是有
意义的,这是一个前提条件,学生易忽略这一点.如本题易忽略分母不能为0的条件,丢掉03≠+m ,导致解答出错.
【反馈练习】
1.如果复数2
()(1)m i mi ++是实数,则实数m =1-
2.已知复数z
3i )z =3i ,则z
=344
+
3.若复数Z=
2
1i -,则Z
100
+Z
50
+1+i 的值为0
4.设x 、y 为实数,且
i
i y i x 315211-=-+-,则x +y =4.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。