集合问题易错点突破
集合问题易错点突破
集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。
一、对代表元素理解不清致错。
例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。 错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。
错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。
剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此求B A 实际上是求两个函数值域的交集。
正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==
}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。
二、遗漏空集致错。
例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ?，求实数m 的取值范围。
错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。
剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ?时，首先要考虑Φ=B 的情况。
正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。
②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。由???≤-+≤-51m 2,1m 2得3m 3≤≤-。所以3m 2≤≤。
由①②知m 的取值范围是]3,(-∞。
三、忽视元素的互异性致错。
例3. 已知集合y x },y |,x |,0{)}x y lg (,x y ,x {+=求的值。
错解：由0xy >，根据集合的相等，只有1x y ,0)x y lg (==。所以可得1|y |1|x |==或。 ???-=-=???==∴1y ,1x 1y 1x 或
所以2y x 2y x -=+=+或。
剖析：当1y x ==时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当}y |,x |,0{}0,1,x {,1xy ==集合时，这时容易求解了。
正解：舍去1y x ==，故2y x -=+。
四、混淆相关概念致错。
例4. 已知全集U=R ，集合222a x )1a (x |x {B },R x ,03a 4ax 4x |x {A +--=∈=+-+=
}R x ,0a 2ax 2x |x {C },R x ,02∈=-+=∈=，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。
错解：对于集合A ，当
21a 23a ,0)3a 4(4)a 4(2≥-≤≥+--=?或得 ①时，A 不是空集。 同理当31
a 1≤≤- ②时，B 不是空集；当0a 2a ≥-≤或 ③时，C 不是空集。求
得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。
剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集
或C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a +∞---∞∈ 。
五、忽视补集的含义致错。
例5. 已知全集R I =，集合}0x x |x {M 2<-=，集合
}1x 1|x {N ≤=，则下列关系正确的是（ ）
A. N C M I ≠?
B. N C M I ≠?
C. N C M I =
D. R N M C I =
错解：}1x 1|x {N ≤=的补集为}1x 1|x {N C I >=，故选C 。
剖析：本题错误地认为}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=。事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I = ，但}0)x (f |x {}0)x (f |x {>≤ )x (f |x {使=有意义，R x ∈}，即为)x (f 的定义域。所以只有当)x (f 的定义域为R 时才有}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=，否则先求A ，再求A C I 。 正解：}1x 0x |x {}0x 1x |x {}1x 1|x {N ≥<=≥-=≤=或，所以}1x 0|x {N C I <≤=，而}1x 0|x {M <<=，应选A 。
感悟与提高
1. 设集合}Z k ,412k y |y {B },Z k ,41k x |x {A ∈-==∈+==，则它们之间的关系是（ ）
A. A=B
B. A ≠?B
C. A ≠?B
D. B A ?
2. 已知集合x |m {A 关于=的不等式
03m x )1m (2x 22<-+-+有解}，若1x 3y -=，且A x ∈，则y 的取值范围是__________。
答案提示：1. 由集合A 得)1k 2(41y B ),1k 4(41x -=+=得由集合。B 是由奇数的41组
成，A 是由比4的整数倍大1的数的41组成的，所以A ≠?B ，选C 。
2. 由A 易得
2m 0)3m (4)1m (422---。51231x 3y =-?<-=。
高考数学易错易混考点大集合
2019年高考数学易错易混考点大集合 2019年高考即将到来，高考生们进入了紧张的复习阶段。一些数学不好的同学们开始了忙乱切无效的复习。今儿小编就来和这类高考生好好说说，2019年高考数学易错易混考点有哪些？ 本文主要为高考生讲解高考数学易错易混考点，易错易混点将会从导数、组合数学、立体几何、平面向量、三角函数、不等式、数列以及集合这些数学常见知识点开始说明。 导数篇：导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。点击阅读导数易错易混考点 组合数学篇：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。点击阅读排列、组合和概率易错易混考点 立体几何篇：数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘处理不同形体的体积的
测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔，瓶盖等等。毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。点击阅读立体几何易错易混考点 平面向量篇：平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。点击阅读平面向量易错易混考点 解析几何篇：又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星型线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。点击阅读解析几何易错易混考点 三角函数篇：三角函数是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状
集合,简单逻辑,函数的易错点及典型例题
集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型 1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N;以及M={x ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2x ∈R},Q={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},求M ∩N ，M ∩Q ，Q ∩N 的区别。 3．区别?与{?}。 ?:表示空集，{?}：不是空集，是指含?的一个元素。 4．集合 A 、B ，?=?B A 时，注意“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合子集B A ?时 否忘记?. eg. ()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 范围，讨论了a ＝2情况了吗？ 5．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2， 12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 6． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中 的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 7． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8.可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9.命题的四种形式及其相互关系 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ
高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 (1)
高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); （1） 已知集合A={x,xy,lgxy},集合，B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。 （2）已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ； 与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：（3）()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨 论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有_____个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; （5）某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌，跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有_____________种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。（6）},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ
集合易错点分析
集合易错点分析 易错点一 遗忘空集致误 例题1已知集合若{} {}260,10,.A x x x B x mx A B A =+-==+==，则实数的取值集合是 错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，就有的可能而对于集合B 判断不出当时方程无解，此时集合B 就是空集。而考生考虑问题不周导致漏解。 正解：由已知得{}{}{}3,2,,32A B A B =-?∴=-?或或.若{}B=-3，由310m -+=得13m = ；若{}2B =，由210m +=得12m =-。若B =?由10mx +=无解，得0m =，13m ∴=或 12m =- 或 0m =。故所求的集合是11,0,23??-????。 纠错心得：空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 变式练习 {}{}|25,|121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+≤≤-?已知若则m 的取值范围是_____ 错因分析：本题易忽略B 为空集的情况易得错解 1211223215m m m m m +≤-??+≥-≤≤??-≤?得。 正解解析： ； {}1212,3,3,m m m x B B A +=-===?当时，即此时满足121212,,23215m m m m B B A m m +≥-?+<->≠??∴<≤?-≤? 当时，即满足即， 综上可知m 的取值范围为 {}|3m m ≤。 易错点二 集合运算混乱 例题2{}{}|0|1,() ()R A x x B x x A C B B C A ==>=≤-=已知，则 A ? B {}|0x x ≤ C {}|1x x >- D {}|0,1x x x >≤- 错因分析：求两个集合的补集时易出现错误。 正解分析 {}{}|0,|1A C B x x B C A x x =>=≤- 答案：D 纠错心得：集合运算的规律： / 1交集{}|A B x x A x B =∈∈且2并集{}|A B x x A x B =∈∈或 {}()()|0,1A C B B C A x x x =>≤-1212,,m m m B B A +>-<=??当时，即满足
七大集合易错点汇集精编版
七大集合易错点展示 一：高度重视容易被忽视的集合元素的三大特点 例１．若{} 322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ??=+-+---+++???? ，，，，，且{}25A B =，，试求实数a 的值． 分析：观察可以知道只有集合A 中的32275a a a --+=才有可能使{}25A B =，，解出实数a 的值后代入集合B 检验，看有没有重复的元素． 解析：∵{}25A B =，，∴由32275a a a --+=，解得 2a =或1a =±． 当1a =时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-； 当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B =，满足题意． 故2a =为所求． 点评：解这类问题时如果忽视了集合元素的互异性是很容易出错的． 二：紧紧抓住容易被混淆的集合的代表元素． 例２．已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ． 分析：集合的代表元素是y ，集合A B ，表示的是两个函数值域的集合． 解析：2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，22 22(1)33y x x x =--+=-++≤， {}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤，{}13A B y y =-∴≤≤． 点评：本题如搞不清楚集合的代表元素y 的意义，很可能误以为是求的两条抛物线的交点．而 方程组224322 y x x y x x ?=-+??=--+??无解，从而认为A B =?． 例3 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得? ??==21y x 从而A B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．
集合易错题题集
集合测试卷 [考点突破] 考点1：集合的含义与表示 1. 设集合A={2,a a a -+--1,22}，若4A ∈，则a 的值为： 2. 下列表示同一集合的是： A. M={(3，2)}, N={(2，3)} B. M={x 01>+x } ，N={y 01>+y } C. M={(x,y)1=+y x }, N={y 1=+y x } D. M={1,2} , N={(1,2)} 3. 已知集合M={x N x N ∈-∈)8(}, 则M 中的元素个数为： 个. 4. 已知集合{0,1,2}c}b,{a,=，且下列三个关系：①,2≠a ②b=2,③0≠c 有些只有一个正确，则100a+10b+c 等于 . 5. 已知集合A=}16, 12,52{2-+a a a ，且A ∈-3，求实数a 的值. 6. 已知集合A=}16{Z x N x ∈+∈，求A.
7. 直线12+=x y 与y 轴的交点所组成的集合为（ ） A. {0，1} B. {(0，1)} C.{- 21,0} D. {(21-,o)} 考点2：集合间的基本关系 1. 已知集合A={43≤≤-x x }，B={112+<<-m x m x }，且A B ?，求实数m 的取值范围. 2. 已知集合A={54-<≥x x x 或}，B={31+≤≤+a x a x }，若A B ?，求a 的取值范围. 3. 已知A={45<≤-x x }，B={392+≤<-a x a x },若B A ?，求a 取值范围. 4. 已知集合A={R x x x x ∈=+-,0232}，B={N x x x ∈<<,50}，则满足条件B C A ??的集合C 的个数为： . 5. 集合M={1,2}，则满足条件M ?N={1,2,3,4}的集合N 的个数为： . 6. 集合M={N n n x N x ∈-=∈,25}的子集个数是 . 7. 已知集合A={x Z k k x ∈+=,2 1}，B={Z k k x x ∈=,2}，则（ ） A. A=B B. A ?B C. A B ? D. 以上都不对
高中高考地理易错知识点大集合汇总
高中地理易错点集合！ 易错分析：学生容易出错的地方： （1）忽视图中的指向标，仍然按照“上北下南”的方法判断方向；（2）对比例尺理解错误，不清楚比例尺的缩放状况。 同学们在复习中要关注以下相关知识： 一、如何在地图上确定方向 1.在一幅地图上判断方向，首先要看是否有经纬网或指向标，如果有经纬网，则根据经纬线的走向判断（经线指示南北方向，纬线指示东西方向）；如果有指向标，则根据指向标的箭头方向来判断（一般箭头指向北方）；在没有经纬网和指向标的情况下，按照一般规律来判断（面对地图，上北下南，左西右东）。 2.在有经纬网或者指向标的情况下，由于其方向与普通情况不一致，同学们极易判断错误，判断时可转换试卷或者书本的角度，使其与我们习惯的方向一致（即面对地图，上侧为北方），然后进行判断。 3.以上情况为平面上方向的判断。在宇宙空间中，如地球公转示意图中，只有东西方向，且方向根据地球公转的情况来判断（地球公转的方向是自西向东）。 二、比例尺复习点睛 1.比例尺的缩放
地图比例尺缩放的计算中常出现“放大(缩小)”、“放大到(缩小到)”和“放大了(缩小了)”等问题。比例尺“放大到”原先的几倍就是原比例尺乘以几；“放大”几倍或“放大了”几倍是比原比例尺多了几倍。例如：“放大到”2倍，就是原比例尺乘以2；“放大”或“放大了”2倍，就是原比例尺乘以3。同样，原比例尺“缩小”或“缩小了”1／5，则原比例尺乘以4／5；“缩小到”1／5就是原比例尺乘以1／5。 2. 图幅的缩放 图幅的缩放是面积的缩放，而比例尺的缩放是长度的缩放。例如，比例尺放大到原图比例尺的2倍，则图幅面积放大到原图面积的4倍。 3.实地范围和纸张大小已定，绘制地图时要求确定比例尺的大小 其方法是先用纸张的长度除以实地长度，得出长度比例尺，然后用纸张的宽度除以实地宽度，求出宽度比例尺，然后比较长度比例尺和宽度比例尺的大小，只能选用较小者或比较小者更小一些的比例尺，而绝不能采用大于较小者的比例尺。 例如：用长和宽各1米的纸张绘制中国地图，可根据纸张长度和中国东西距离(约5200千米)求出长度比例尺为1∶5 200 000，根据纸张宽度和我国南北距离(约5 500千米)求出宽度比例尺为1∶5 500 000。然后可以得出在这张纸上绘制的中国地图比例尺不得大于1∶5 500 000。 4.比例尺的大小与坡度大小、风力大小的关系 (1)等高距和等高线疏密程度相同时：比例尺越大，坡度越大；比例尺越小，坡度越小。 (2)等压距和等压线疏密程度相同时：比例尺越大，风力越大；比例尺越小，风力越小。 (3)等高(压)线疏密、比例尺、图幅相同时：等高距(等压距)越大，坡度越大(风力越大)；等高距(等压距)越小，坡度越小(风力越小)。
集合问题易错点突破
集合问题易错点突破 集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。 一、对代表元素理解不清致错。 例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。 错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。 错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。 剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此求B A 实际上是求两个函数值域的交集。 正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-== }7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。 二、遗漏空集致错。 例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ?，求实数m 的取值范围。 错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。 剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ?时，首先要考虑Φ=B 的情况。 正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。 ②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。由???≤-+≤-51m 2,1m 2得3m 3≤≤-。所以3m 2≤≤。 由①②知m 的取值范围是]3,(-∞。 三、忽视元素的互异性致错。
高中数学易错点总结
高考数学九大模块易错、易混考点78条 一.集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪” 和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌
握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次 函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正 可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a 三.数列 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况
集合与常用逻辑用语中的易错题
集合与常用逻辑用语中的易错题 一、选择题 1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4 2．已知集合A ＝{－1，12 }，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( ) A ．{－1,0,2} B ．{－12，0,1} C ．{－1,2} D ．{－1,0，12 } 3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
4．(优质试题·烟台质检)已知命题p ：?x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1] 5．下列说法不正确的是( ) A ．命题“?x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“?x ∈R ， x 2－x －1≥0” B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题 C ．命题“?a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下： 1．代表元素意义不清致误 例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A I B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ． 错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ． 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ． 变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I 解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2 =--=x x x B ，判断A 与B 的关系。 错解：}32{，-==B A 分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。 例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ? B B ．B ?A C ．A ∈B D ．B ∈A 错解：B 分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?， ∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A. 评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值． 错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２． 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下： 1．代表元素意义不清致误 例1 设集合A ＝｛（x ,y ）∣x ＋2y ＝5｝，B ＝｛（x ,y ）∣x －2y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A I B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ． 错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ． 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ． 变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2 y x y B ==，求B A I 解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。 错解：}32{，-==B A 分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。 例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ? B B ．B ?A C ．A ∈B D ．B ∈A 错解：B 分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?， ∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A. 评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值． 错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２． 集合与简易逻辑（重点、易错点） 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 （1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8） （2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点 )()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）； （3）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_ _个 （答：7） 二．遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的 情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合{|10}A x ax =-=，{} 2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝__ _.（答：1 0,1,2 a =） 已知集合A={x|x 2 ＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R * =?，则实数m 的取值范围是_________．（答：m>－4） 三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ， 12-n .22-n 如 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有___个。 （答：7） 四．集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??； ⑶A B ??B C A C U U ?； ⑷B A B C A U ??Φ=?； ⑸B A U B A C U ??=?； ⑹()U C A B U U C A C B =； ⑺()U U U C A B C A C B =.如： （1） 设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝__ __， B ＝__ _. （答：{2,3}A =，{2,4}B =） （2） 设全集U={x|0 不等式的易错点以及典型例题 1.同向不等式能相减，相除吗？ 2.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 3.分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 4.解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 5.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 6.利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2??? ??+≤b a ab 等求函数的最值时， 你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 7. ) R b , (a , b a 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）； 8.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 10.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 11.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y 的系数变为正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b 的取值范围，但也可以不用线性规划。 11.不等式易错典型例题 （1）未等价转化致错 例题1：已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是 A 1317(,)22 - B 711(,)22- C 713(,)22- D 913 (,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b 的范围，扩大了范围。 正解：用待定系数法，解出2a+3b=5 2 (a+b)12-(a-b),求出结果为D 。或用线性规划 法。 （2）含参函数未讨论致错(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
集合问题中常见易错点归类分析答案解析
集合重点难点易错题完整版
不等式的易错点以及典型例题